INSTITUCIÓN EDUCATIVA PUERTO NUEVO
PLAN DE ÁREA DE MATEMÁTICAS
SAN JOSÉ DE CÚCUTA
2016
PRESENTACIÓN
“Dentro de los límites fijados por la ley 115 de 1.994 y el proyecto educativo institucional, las instituciones de educación formal gozan de autonomía para organizar las áreas fundamentales de conocimiento definidas para cada nivel, introducir asignaturas optativas dentro de las áreas establecidas en la ley, adaptar algunas áreas a la necesidades y características regionales, adoptar métodos de enseñanza y organizar actividades formativas, culturales y deportivas, dentro de los lineamientos que establezca el Ministerio de Educación Nacional”1.
Esta propuesta busca introducir un cambio en la construcción del propio quehacer pedagógico del docente a partir del análisis crítico de teorías pertinentes a la construcción de las matemáticas como elementos internos y externos que inciden en el desarrollo integral del niño. Fue elaborado por docentes del área de matemáticas, con el fin de proporcionar los elementos conceptuales y operativos básicos en la conformación del programa curricular;
pretende retomar el ejercicio de la autonomía institucional, apoyar los procesos y elementos de la gestión académica, las iniciativas e innovaciones que contribuyan a la integración y cualificación del personal discente existente en las instituciones educativas.
El documento pretende ser posibilitador, promotor y orientador de los procesos curriculares que viven las instituciones. En el se encuentran los referentes para elaborar y desarrollar un currículo como una propuesta en permanente proceso de revisión y cualificación que ha de suscitar análisis, discusiones y proyecciones en torno al mejoramiento de la calidad de la educación matemática.
1 Artículo 77, Ley general de educación.
INTRODUCCIÓN
La matemática es un elemento básico de la cultura que constituye un poderoso medio de comunicación y relación entre las personas, que da forma y permite explicar múltiples actividades del hombre; es una herramienta para interpretar y elaborar la cultura, puesto que atiende a planes, fórmulas, estrategias y procedimientos que gobiernan la conducta, permite ordenar el comportamiento del hombre, marca pautas de racionalidad y ayuda a que surja y se desarrolle el pensamiento científico mediante procesos como la exploración, el descubrimiento, la clasificación, la abstracción, la estimación, el cálculo, la predicción, la descripción, la deducción y la medición entre otros. El pensar matemático que es social y público, consiste en dar significado y compartir un simbolismo lógico, espacial y cuantitativo que permite expresar y desarrollar las capacidades de relación, representación y cuantificación.
La matemática como un conjunto de construcciones socioculturales ha sido y seguirá siendo una de las formas más importantes para explicar el hombre y el universo y contribuir a la transformación de ambos; por tanto, permite a los estudiantes apreciar mejor su legado cultural al suministrarles una amplia perspectiva de los logros de la humanidad.
Como herramienta intelectual se reconoce que los niveles básicos de matemáticas son pre-requisito para acceder a casi todos los saberes de las demás áreas del currículo y establecen intervenciones sociales humanamente enriquecedoras.
El valor principal de la matemática está en que organiza y da sentido a una serie de prácticas a cuyo dominio hay que dedicar esfuerzo individual y colectivo. La matemática está en el proceso educativo para contribuir al desarrollo integral de los estudiantes, con el fin de poder asumir eficientemente los retos personales, institucionales y sociales del siglo XXI.
El objetivo de cualquier trabajo en matemáticas es ayudar a las personas a dar sentido al mundo que los rodea y a comprender significados que otros constituyen y cultivan y a transformar positivamente la cultura; mediante el aprendizaje de las matemáticas, los estudiantes no solo desarrollan su capacidad de pensamiento y reflexión lógica, sino que al mismo tiempo adquieren un conjunto de instrumentos poderosos para explorar la realidad, representarla, interpretarla, modelarla, explicarla y predecirla, en suma para actuar en ella.
Por lo anterior, se busca con este documento, promover el aprendizaje de las matemáticas como un camino para construir paso a paso, día a día, para llegar a un desarrollo humano armonioso; proceso en el cual todos los estudiantes
participen como primeros responsables de su trabajo apropiándose de los conceptos y compartiendo la elaboración de significados simbólicos con sus congéneres, avanzando en el desarrollo de procesos de pensamiento útiles para aprender a aprender y aplicables fuera del ámbito escolar donde debe tomar decisiones, enfrentarse a situaciones nuevas, exponer sus opiniones y ser receptivo a las de los demás.
Por consiguiente es necesario relacionar los saberes con las experiencias cotidianas de los estudiantes, proponiendo en un contexto de situaciones problemáticas, es decir, una enseñanza centrada en la resolución de problemas que le permita desarrollar y ejercitar su inteligencia, afirmar su autoestima, en fin crecer y mejorar como personas, proyectándose en todas sus dimensiones hacia un futuro mejor.
El currículo del área de matemáticas está centrado en el desarrollo de pensamientos y procesos matemáticos a saber:
Pensamiento numérico y sistemas numéricos
Pensamiento espacial y sistemas geométricos.
Pensamiento métrico y sistema de medidas.
Pensamiento aleatorio y sistemas de datos.
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos.
Empleando los Derechos Básicos de Aprendizaje (DBA) como herramienta fundamental para lograr el desarrollo de los pensamientos y sistemas mencionados anteriormente, partiendo de que los DBA se estructuran guardando coherencia con los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias (EBC).
JUSTIFICACIÓN
El desarrollo de unas matemáticas a través del lenguaje de una Renovación Curricular justifica superar las limitaciones de las teorías tradicionales seleccionando nuevos aspectos positivos que tenga el enfoque conceptual de la nueva matemática significativa para formar estudiantes con criterios teóricos y prácticos.
La sugerencia pedagógica del área es la de tomar como punto de partida los DBA ya que su importancia radica en que plantean elementos para la construcción de rutas de aprendizaje año a año para que, como resultado de un proceso, los estudiantes alcancen los EBC propuestos por cada grupo de grados. Tomando estos como herramienta de apoyo para el desarrollo de propuestas curriculares que pueden ser articuladas con los enfoques, metodologías, estrategias y contextos definidos en el establecimiento educativo, en el marco de los Proyectos Educativos Institucionales materializados en los planes de área y de aula.
La sugerencia pedagógica del área es la de explorar los sistemas concretos que ya utilizan los niños, para partir de ellos hacia la construcción de los sistemas conceptuales significativos.
Procesos curriculares dentro del Proyecto Educativo Institucional que deben servir de orientación a los docentes en las decisiones que les corresponde tomar en asuntos como saberes, metodologías y estrategias para la participación.
En este sentido, los programas de matemáticas de la Renovación Curricular constituyen una propuesta de mejoramiento de la calidad de educación para enriquecer tanto el desempeño de conocimiento de los estudiantes como del currículo del PEI de la institución.
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ANTECEDENTES EDUCATIVOS
REFERENTE HISTÓRICO
La perspectiva histórica conlleva a concebir la matemática como una ciencia humana por ende no acabada ni constituida por verdades infalibles, en ocasiones falible pero capaz de corregir sus errores; a su vez este análisis per- mite alcanzar un conocimiento más profundo de la matemática misma ya que en el proceso histórico los objetos matemáticos aparecen en su verdadera perspectiva
El conocimiento de la historia proporciona además una visión dinámica de las matemáticas y permite apreciar cómo sus desarrollos han estado relacionados con las circunstancias sociales y culturales e interconectados con los avances de otras disciplinas, lo que trae consigo importantes implicaciones didácticas:
posibilidad de conjeturar acerca de desarrollos futuros, reflexión sobre
limitaciones y alcances en el pasado, apreciación de las dificultades para la construcción de nuevo conocimiento
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Es importante resaltar que el valor del conocimiento histórico al abordar el conocimiento matemático escolar no consiste en recopilar una serie de anécdotas y curiosidades para presentarlas ocasionalmente en el aula.
El conocimiento de la historia puede ser enriquecedor, entre otros aspectos, para orientar la comprensión de ideas en una forma significativa, por ejemplo, en lugar de abordar los números enteros desde una perspectiva netamente estruc- tural a la cual se llegó después de trece siglos de maduración, podrían considerarse aquellos momentos culminantes en su desarrollo para proporcionar aproximaciones mas intuitivas a este concepto; para poner de manifiesto formas diversas de construcción y de razonamiento; para enmarcar temporal y espacial mente las grandes ideas y problemas junto con su motivación y precedentes y para señalar problemas abiertos de coda época, su evolución y situación actual.
LA TEORÍA DE CONJUNTOS Y LA LÓGICA MATEMÁTICA
Durante las décadas de los años cuarenta y cincuenta se había desarrollado una ingente labor de sistematización de las matemáticas a través del lenguaje de la teoría de conjuntos y de la lógica matemática, liderada por el grupo que escribía con el seudónimo de “Nicolás Bourbaki”. Esta reestructuración bourbakista de las matemáticas sedujo a la comunidad matemática por su elegancia arquitectónica y por la unificación del lenguaje, hasta tal punto que se pensó abolir el plural “matemáticas” para hablar de una sola “matemática”.
LA MATEMÁTICA MODERNA
La llamada “nueva matemática” o “matemática moderna” o “new math” en los años 60 y 70, que produjo una transformación de la enseñanza y cuyas principales características fueron: énfasis en las estructuras abstractas;
profundización en el rigor lógico, lo cual condujo al énfasis en la fundamentación a través de la teoría de conjuntos y en el cultivo del álgebra, donde el rigor se alcanza fácilmente; detrimento de la geometría elemental y el pensamiento espacial; ausencia de actividades y problemas interesantes y su sustitución por ejercicios muy cercanos a la mera tautología y reconocimiento de nombres.
En los años 70 y 80, el debate entre los partidarios de esta “nueva matemática” y los que querían que se volviera a lo básico: las cuatro operaciones con enteros, fraccionarios y decimales. Este movimiento Back to Basics tuvo muchos defensores entre matemáticos calificados, maestros y padres de familia, quienes decían que los niños aprendían muchas palabras raras, aprendían operaciones entre conjuntos y símbolos lógicos y no podían hacer operaciones entre naturales ni fraccionarios. En nuestro país se decía que a los niños les estaba dando “conjuntivitis”.
RENOVACIÓN CURRICULAR
En 1978, se nombró como asesor del Ministerio para la reestructuración de las matemáticas escolares al doctor Carlos Eduardo Vasco Uribe, por comisión de la Universidad Nacional, y con un grupo de profesionales de esa dirección se comenzó a revisar los programas de matemáticas de primero a tercero, y se consideró esencial la elaboración de un marco teórico global que permitiera precisar los criterios con los cuales se deberían hacer la revisión y el diseño de los programas de los nueve grados de la educación básica.
EL ENFOQUE DE LA MATEMÁTICAS EN LA RENOVACIÓN CURRICULAR
El enfoque propuesto para los programas de matemáticas de la Renovación Curricular pretendió superar las limitaciones de las dos escuelas mencionadas, seleccionando los aspectos positivos que tenía el enfoque conceptual de la nueva matemática sin caer en enseñar lógica y conjuntos, y ofrecer esos criterios teóricos que permitieran la toma de decisiones.
Para la preparación de sus clases, el marco teórico del programa de matemáticas propuso al maestro enfocar los diversos aspectos de las matemáticas como sistemas y no como conjuntos. Esto se llamó “enfoque de sistemas” y propuso acercarse a las distintas regiones de las matemáticas, los números, la geometría, las medidas, los datos estadísticos, la misma lógica y los conjuntos desde una perspectiva sistémica que los comprendiera como totalidades estructuradas, con sus elementos, sus operaciones y sus relaciones.
El enfoque del programa también propuso al docente distinguir cuidadosamente entre el sistema simbólico (que se escribe, se pinta o se habla), el sistema conceptual (que se piensa, se construye, se elabora mentalmente) y los sistemas concretos (de donde los niños pueden sacar los conceptos esperados).
La renovación curricular propuso acercarse a las distintas regiones de las matemáticas, los números, la geometría, las medidas, los datos estadísticos, la misma lógica y los conjuntos desde una perspectiva sistémica que los comprendiera como totalidades estructuradas, con sus elementos, sus operaciones y sus relaciones.
La sugerencia pedagógica del programa es la de explorar los sistemas concretos que ya utilizan los niños, para partir de ellos hacia la construcción de los sistemas conceptuales respectivos; cuando ya se ha iniciado la construcción de
éste, el mismo alumno puede desarrollar sistemas simbólicos apropiados, aprender los usuales y aún traducir de unos sistemas simbólicos a otros.
La Renovación Curricular, como proyecto de largo aliento, con casi veinte años de diseño, experimentación, revisión y de aplicación gradual, ha sido uno de los programas a largo plazo del Ministerio de Educación. Este programa marcó una etapa de concreción de una propuesta curricular fruto de una búsqueda que se entregó al país no para copiarla y seguirla al pie de la letra, sino para ver formas de trabajar unidades didácticas de manera activa, que permitieran avanzar en la conceptualización y la fundamentación de las propuestas pedagógicas.
Un análisis crítico de la Renovación Curricular de Matemáticas debe detenerse, entre otros aspectos, en los aportes al incremento de la capacidad de conceptualizar. Los programas extensos con actividades y sugerencias metodológicas tienen el propósito de satisfacer necesidades de actualización sentidas por los docentes.
El análisis de la Ley General de Educación, Ley 115 de 1994, permite identificar los desarrollos pedagógicos obtenidos en los decenios anteriores, que fueron asumidos en las políticas educativas actuales.
LA REVOLUCIÓN EDUCATIVA
La política educativa nacional en los últimos diez años ha orientado sus esfuerzos a mejorar la calidad de la educación colombiana. Diferentes documentos promulgados por el MEN y por otros organismos involucrados con la educación de nuestro país, han dado orientaciones que plantean nuevas concepciones sobre el currículo, los saberes y la evaluación que queremos para nuestros estudiantes
FUNDAMENTOS LEGALES
Los aspectos más importantes a los que hacen referencia estos documentos educativos son:
La Ley General de Educación o Ley 115 estableció los fines de la educación y los objetivos para cada nivel y ciclo de educación formal, definió un conjunto de áreas obligatorias y fundamentales del conocimiento y dejó abierta la posibilidad de introducir asignaturas optativas, pertinentes y necesarias de acuerdo con las características locales donde se desarrolla la acción escolar. De la misma manera, la Ley dio autonomía a las instituciones educativas para definir, en el marco de los lineamientos curriculares y las normas técnicas producidas por el MEN, su Proyecto Educativo Institucional PEI.
El Decreto 1860 reglamentó la Ley 115 en aspectos pedagógicos y organizativos generales. Entre otros, se refiere al Proyecto Educativo
institucional, el Manual de convivencia, el gobierno escolar y las orientaciones curriculares.
Las recomendaciones de la Misión de Ciencia, Educación y Desarrollo en su informe La educación para un milenio nuevo constituyen un referente para las políticas educativas. Sugiere fortalecer el Sistema Nacional de Evaluación de la Educación, en particular, realizar la evaluación de competencias básicas y dar una nueva orientación general a los procesos curriculares de la educación básica.
La Resolución 2343 determinó un diseño de lineamientos generales de los procesos curriculares de las instituciones educativas y estableció los indicadores de logro por conjuntos de grados para la educación formal.
Los lineamientos curriculares para las áreas de Lengua castellana, Matemáticas y Ciencias, son documentos que dan orientaciones para que las instituciones educativas del país realicen un trabajo permanente en torno a los procesos curriculares y al mejoramiento de la calidad de la educación. Estos lineamientos aportan elementos conceptuales para constituir el núcleo común del currículo de todas las instituciones educativas, fundamentar los desarrollos educativos hacia los cuales pueden avanzar y generar cambios culturales y sociales (MEN, 1996).
A partir del año 2000, el ICFES cambió el modelo evaluativo de las pruebas de estado que se aplica a los estudiantes de decimoprimero grado. En este nuevo modelo de evaluación por competencias se evalúan los desempeños de los estudiantes en el nivel interpretativo, argumentativo y propositivo
El MEN dio a conocer el documento de estudio: Estándares para la excelencia en la educación a toda la comunidad educativa del país.
Este documento fue estudiado y debatido por diferentes agremiaciones y grupos pedagógicos de educación básica y universitaria.
Los Estándares básicos de calidad para matemáticas fueron promulgados en mayo de 2003 y se definen como criterios claros y públicos que permiten conocer cuál es la enseñanza que deben recibir los estudiantes del país.
1. ESTRUCTURA CONCEPTUAL
1.1 ENFOQUE
En la matemáticas como en todas las ciencias ha habido diversas tendencias o enfoques que de alguna manera buscan organizar los saberes, correlacionarlos, jerarquizarlos que han constituido escuelas matemáticas; actualmente hay una corriente muy notoria que se propone presentar la matemáticas como una ciencia unificada, en la cual las diversas ramas tienen estructuras comunes, afines, que pueden expresarse en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Este enfoque unificador de todas las ramas de la matemática puede también articularse, de manera coherente alrededor de un concepto clave más amplio que el conjunto, que es el concepto de sistema.
El concepto de sistema como un conjunto de objetos con sus relaciones y operaciones puede identificarse y analizarse en diversos campos de la actividad científica, económica, política, etc.
Es fácil comprender la ventaja del enfoque de sistemas, como organizador de saberes y estructura curricular. Los saberes de área para educación básica, se han organizado con base a los siguientes sistemas: Sistemas numéricos, sistemas variacional, sistemas geométricos, sistemas métricos y sistema aleatorio.
El concepto de sistema tiene la ventaja de no ser exclusivo de la matemática, ya que es empleado en una u otra forma en todas las ciencias. Cada ciencia se ocupa de sistemas especiales; por consiguientes, debe establecer reglas específicas para interpretarlos, manejarlos y garantizar, además, una utilización adecuada del lenguaje de los sistemas y de la teoría general de sistemas.
El enfoque de sistemas contribuye al logro de objetivos de matemáticas porque organiza y unifica los saberes y las diversas ramas de la matemáticas, a través de unos conceptos y un lenguaje común; facilita la articulación de la
matemáticas con las demás áreas del currículo y permite desarrollar los saberes atendiendo a las características de los alumnos del ciclo básico y de la realidad en que viven, sin caer en énfasis desmedido en los conjuntos que se hace en cierto tipo de la llamada matemática moderna.
El diagrama que se presenta a continuación muestra las características del enfoque de sistemas.
ENFOQUE DE SISTEMAS
NÚCLEOS SIGNIFICATIVOS
PENSAMIENTOS METODOLOGÍA
CONOCIMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS
DESARROLLO DE HABILIDADES Y DESTREZAS
RAZONAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS
OBSERVACIÓN Y ANÁLISIS
CREATIVIDAD ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS
INTERPRETACIÓN Y FORMULACIÓN
VARIACIONAL Y SÍNTESIS Y COMPROBACIÓN REFLEXIÓN SISTEMAS ALGEBRAICOS
ANALÍTICOS CRITICA Y ARGUMENTACIÓN
PROCESOS MATEMÁTICOS
EVALUACIÓN CUALITATIVA Y CUANTITATIVA
ESTUDIANTES
1.2. HISTORIA O EVOLUCIÓN.
La perspectiva histórica conlleva a concebir la matemática como una ciencia humana por ende no acabada ni constituida por verdades infalibles, en ocasiones falible pero capaz de corregir sus errores; a su vez este análisis per- mite alcanzar un conocimiento más profundo de la matemática misma ya que en
el proceso histórico los objetos matemáticos aparecen en su verdadera perspectiva
El conocimiento de la historia proporciona además una visión dinámica de las matemáticas y permite apreciar cómo sus desarrollos han estado relacionados con las circunstancias sociales y culturales e interconectados con los avances de otras disciplinas, lo que trae consigo importantes implicaciones didácticas:
posibilidad de conjeturar acerca de desarrollos futuros, reflexión sobre limitaciones y alcances en el pasado, apreciación de las dificultades para la construcción de nuevo conocimiento
.
Es importante resaltar que el valor del conocimiento histórico al abordar el conocimiento matemático escolar no consiste en recopilar una serie de anécdotas y curiosidades para presentadas ocasionalmente en el aula.
El conocimiento de la historia puede ser enriquecedor, entre otros aspectos, para orientar la comprensión de ideas en una forma significativa, por ejemplo, en lugar de abordar los números enteros desde una perspectiva neta mente estruc- tural a la cual se llegó después de trece siglos de maduración, podrían considerarse aquellos momentos culminantes en su desarrollo para proporcionar aproximaciones mas intuitivas a este concepto; para poner de manifiesto formas diversas de construcción y de razonamiento; para enmarcar temporal y espacial mente las grandes ideas y problemas junto con su motivación y precedentes y para señalar problemas abiertos de coda época, su evolución y situación actual.
1.3REFERENTESTEÒRICOS
1.3.1.EL PLATONISMO
Éste considera las matemáticas como un sistema de verdades que han existido desde siempre e Independientemente del hombre. La tarea del matemático es descubrir esas verdades matemáticas, ya que en cierto sentido está "sometido"
a ellas y las tiene que obedecer. Por ejemplo, si construimos un triángulo de catetos c, d y de hipotenusa h, entonces irremediablemente encontraremos que:
h2 = c2 + d2.
Las operaciones y las relaciones aritméticas nos resultan en alguna forma misteriosas; tienen propiedades que descubrimos sólo a costa de un gran esfuerzo; tienen otras que nos esforzamos por descubrir pero no lo conseguimos, y existen otras que ni siquiera sospechamos, ya que las matemáticas trascienden la mente humana, y existen fuera de ella como una
"realidad ideal" independiente de nuestra actividad creadora y de nuestros conocimientos previos.
1.3.2.EL LOGICISMO
Esta corriente de pensamiento considera que las matemáticas son una rama de la Lógica, con vida propia, pero con el mismo origen y método, y que son parte de una disciplina universal que regiría todas las formas de argumentación.
Propone definir los conceptos matemáticos mediante términos lógicos, y reducir los teoremas de las matemáticas a los teoremas de la Lógica, mediante el empleo de deducciones lógicas.
Prueba de lo anterior es la afirmación de que "La Lógica matemática es una ciencia que es anterior a las demás, y que contiene las ideas y los principios en que se basan todas ciencias", atribuida a Kurt Gödel y que coincide, en gran medida, con el pensamiento aristotélico y con el de la escolástica medieval.
Claro que hay que tener en cuenta que para los antiguos, la Lógica era más un arte que una ciencia: un arte que cultiva la manera de operar válidamente con conceptos y proposiciones; un juego de preguntas y respuestas; un pasatiempo intelectual que si realizaba en la Academia de Platón y en el Liceo de Aristóteles, en el que los contendientes se enfrentaban entre sí mientras el público aplaudía los ataques y las respuestas.
Esta corriente reconoce la existencia de dos Lógicas que se excluyen mutuamente: la deductiva y la inductiva. La deductiva busca la coherencia de las ideas entre si: parte de premisas generales para llegar a conclusiones específicas. La inductiva procura la coherencia de las ideas con el mundo real;
parte de observaciones especificas para llegar a conclusiones generales, siempre provisorias, que va retinando a través de experiencias y contrastaciones empíricas.
Una de las tareas fundamentales del Logicismo es la "logificación" de las matemáticas, es decir, la reducción de los conceptos matemáticos a los conceptos lógicos. El primer paso fue la reducción o logificación del concepto de número, en este campo se destaca el trabajo de Gottlob Frege quien afirma
"espero haber hecho probable que las leyes aritméticas son juicios analíticos y por tanto a priori. Según ello, la aritmética no seria más que una lógica más desarrollada; todo teorema aritmético seria una ley lógica aunque derivada. Las aplicaciones de la aritmética a la explicación de los fenómenos naturales serían un tratamiento lógico de los hechos observados; computación seria inferencia.
Las leyes numéricas no necesitan, como pretende Baumann, una confirmación práctica para que sean aplicables al mundo externo, puesto que en ese mundo no hay conceptos, ni propiedades de conceptos, ni números. Por tanto las leyes numéricas no son en realidad aplicables al mundo externo: no son leyes de la naturaleza. Son, sin embargo, aplicables a los juicios, los cuales son en verdad cosas de la naturaleza: son leyes de las leyes de la naturaleza".
Frege hizo grandes aportes a lo que hoy conocemos como Lógica Matemática:
cálculo proposicional, reglas para el empleo de los cuantificadores universal y existencial, y análisis lógico del método de prueba de inducción matemática.
El Logicismo, lo mismo que otras teorías sobre fundamentos de las matemáticas, tiene que afrontar el delicado reto de evitar caer en las paradojas, sin que haya conseguido una solución plenamente satisfactoria, después de un siglo de discusiones y propuestas alternativas Entre los problemas que reaparecen en la discusión sobre filosofía de las matemáticas, está el de la logificación o aritmetización del continuo de los números reales.
1.3.3.EL FORMALISMO
Esta corriente reconoce que las matemáticas son una creación de la mente humana y considera que consisten solamente en axiomas, definiciones y teoremas como expresiones formales que se ensamblan a partir de símbolos, que son manipulados o combinados de acuerdo con ciertas reglas o convenios preestablecidos. Para el formalista las matemáticas comienzan con la inscripción de símbolos en el papel; la verdad de la matemática formalista radica en la mente humana pero no en las construcciones que ella realiza internamente, sino en la coherencia con las reglas del juego simbólico respectivo. En la actividad matemática, una vez fijados los términos iniciales y sus relaciones básicas, ya no se admite nada impreciso u oscuro; todo tiene que ser perfecto y bien definido. Las demostraciones tienen que ser rigurosas, basadas únicamente en las reglas del juego deductivo respectivo e independiente de las imágenes que asociemos con los términos y las relaciones.
1.3.4.EL INTUICIONISMO
Considera las matemáticas como el fruto de la elaboración que hace la mente a partir de lo que percibe a través de los sentidos y también como el estudio de esas construcciones mentales cuyo origen o comienzo puede identificarse con la construcción de los números naturales.
Puede decirse que toda la matemática griega, y en particular la aritmética, es espontáneamente intuicionista, y que la manera como Kant concebía la aritmética y la geometría es fundamentalmente intuicionista, por más que el Intuicionismo como escuela de filosofía de las matemáticas se haya conformado sólo a comienzos del siglo XX.
El principio básico del Intuicionismo es que las matemáticas se pueden construir;
que han de partir de lo intuitivamente dado, de lo finito, y que sólo existe lo que en ellas haya sido construido mentalmente con ayuda de la intuición.
El fundador del Intuicionismo moderno es Lurtzen Brouwer, quien considera que en matemáticas la idea de existencia es sinónimo de constructibilidad y que la idea de verdad es sinónimo de demostrabilidad. Según lo anterior, decir de un enunciado matemático que es verdadero equivale a afirmar que tenemos una prueba constructiva de él. De modo similar, afirmar de un enunciado matemático que es falso significa que si suponemos que el enunciado es verdadero tenemos una prueba constructiva de que caemos en una contradicción como que el uno es el mismo dos.
Conviene aclarar que el Intuicionismo no se ocupa de estudiar ni de descubrir las formas como se realizan en la mente las construcciones y las intuiciones matemáticas, sino que supone que cada persona puede hacerse consciente de esos fenómenos. La atención a las formas como ellos ocurren es un rasgo característico de otra corriente de los fundamentos de las matemáticas: el Constructivismo, al cual nos referimos enseguida.
1.3.5 TEORÍA PSICOLÓGICA DE JEAN PIAGET
La teoría del psicólogo suizo Jean Piaget, que señala distintas etapas del desarrollo intelectual, postula que la capacidad intelectual es cualitativamente distinta en las diferentes edades, y que el niño necesita de la interacción con el medio para adquirir competencia intelectual. Esta teoría ha tenido una influencia esencial en la psicología de la educación y en la pedagogía, afectando al diseño de los ambientes y los planes educativos, y al desarrollo de programas adecuados para la enseñanza de las matemáticas y de las ciencias.
La psicología evolutiva ha logrado establecer que los niños piensan en forma diferente a los adultos y que la evolución del pensamiento infantil al pensamiento adulto se logra a través de varios periodos sucesivos ordenados, identificados por características especificas y diferenciados por el grado de complejidad y de generalidad de las estructura del pensamiento, propias de cada uno. Los periodos de la evolución del pensamiento son:
Sensorio motriz, Preoperacional
Operaciones concretas Operaciones formales.
Por consiguiente, el programa de matemáticas centrado en el estudiante debe atender a sus características a sus posibilidades y a sus necesidades.
Si atiende a sus posibilidades, establece metas cuyo logro supone un progreso siempre renovado hacia el nivel más desarrollado del pensamiento que sigue inmediatamente al nivel en que él se encuentra. Y si atiende a sus necesidades, constituye un estímulo constante que hace que el estudiante, se desarrolle día a día y adquiera las habilidades de razonamiento, cálculo y simbolización que le permitirán desempeñarse con éxito.
1.3.6 EL CONSTRUCTIVISMO
Está muy relacionado con el Intuicionismo pues también considera que las matemáticas son una creación de la mente humana, y que únicamente tienen existencia real aquellos objetos matemáticos que pueden ser construidos por procedimientos finitos a partir de objetos primitivos. Con las ideas constructivistas van muy bien algunos planteamientos de George Cantor: "La esencia de las matemáticas es su libertad. Libertad para construir, libertad para hacer hipótesis".
El Constructivismo matemático es muy coherente con la Pedagogía Activa y se apoya en la psicología Genética; se interesa por las condiciones en las cuales la mente realiza le construcción de los conceptos matemáticos, por la forma como los organiza en estructuras y por la aplicación que les da; todo ello tiene consecuencias inmediatas en el papel que juega el estudiante en la generación y desarrollo de sus conocimientos. No basta con que el maestro haya hecho las construcciones mentales; cada estudiante necesita a su vez realizarlas; en eso nada ni nadie lo puede reemplazar.
Para muchos autores, el constructivismo constituye ya un consenso casi generalizado entre los psicólogos, filósofos y educadores. Sin embargo, algunos opinan que tras ese término se esconde una excesiva variedad de matices e interpretaciones que mantienen demasiadas diferencias. De hecho, algunos autores han llegado a hablar de 'los constructivismos' (André Giordan), ya que mientras existen versiones del constructivismo que se basan en la idea de 'asociación' como eje central del conocimiento (como Robert Gagné o Brunner), otros se centran en las ideas de 'asimilación' y 'acomodación' (Jean Piaget), o en la importancia de los 'puentes o relaciones cognitivas' (David P. Ausubel), en la influencia social sobre el aprendizaje, etc.
Algunos autores han planteado la imposibilidad de obtener consecuencias pedagógicas claras del constructivismo por no ser ésta estrictamente una teoría para la enseñanza; sin embargo, lo cierto es que no es posible comprender las líneas actuales que impulsan la enseñanza moderna sin recurrir a las aportaciones del constructivismo.
1.3.6.1 Tipos de constructivismo
Como sucede con cualquier doctrina o teoría, el constructivismo alberga en su interior una variedad de escuelas y orientaciones que mantienen ciertas diferencias de enfoque y saberes.
El 'constructivismo piagetiano', que adopta su nombre de Jean Piaget, es el que sigue más de cerca las aportaciones de ese pedagogo, particularmente aquellas que tienen relación con la epistemología evolutiva, es decir, el conocimiento sobre la forma de construir el pensamiento de acuerdo con las etapas psicoevolutivas de los niños. El constructivismo piagetiano tuvo un momento particularmente influyente durante las décadas de 1960 y 1970, impulsando numerosos proyectos de investigación e innovación educativa. Para Piaget, la idea de la asimilación es clave, ya que la nueva información que llega a una persona es 'asimilada' en función de lo que previamente hubiera adquirido.
Muchas veces se necesita luego una acomodación de lo aprendido, por lo que debe haber una transformación de los esquemas del pensamiento en función de las nuevas circunstancias.
Por su parte, el 'constructivismo humano' surge de las aportaciones de Ausubel sobre el aprendizaje significativo, a los que se añaden las posteriores contribuciones neurobiológicas de Novak.
El 'constructivismo social', por su parte, se funda en la importancia de las ideas alternativas y del cambio conceptual (Kelly), además de las teorías sobre el procesamiento de la información. Para esta versión del constructivismo son de gran importancia las interacciones sociales entre los que aprenden.
Finalmente, se ha denominado como 'constructivismo radical' (von Glaserfeld) una corriente que rechaza la idea según la cual lo que se construye en la mente del que aprende es un reflejo de algo existente fuera de su pensamiento. En realidad, se trata de una concepción que niega la posibilidad de una transmisión de conocimientos del profesor al alumno, ya que ambos construyen estrictamente sus significados. Los constructivistas radicales entienden la construcción de saberes desde una vertiente darwinista (véase Charles Robert Darwin) y adaptativa, es decir, el proceso cognitivo tiene su razón de ser en la adaptación al medio y no en el descubrimiento de una realidad objetiva. A diferencia de los otros 'constructivismos', en general calificables como 'realistas', el constructivismo radical es idealista porque concibe el mundo como una construcción del pensamiento y, por tanto, depende de él.
1.3.6.2 Ideas fundamentales del constructivismo
Aún teniendo en cuenta la amplia variedad de versiones que coexisten bajo el marbete del constructivismo, pueden destacarse unas pocas ideas fundamentales que caracterizan a esta corriente. Entre ellas está la de las 'ideas previas', entendidas como construcciones o teorías personales, que, en ocasiones, han sido también calificadas como concepciones alternativas o preconcepciones. Otra idea generalmente adscrita a las concepciones constructivistas es la del 'conflicto cognitivo' que se da entre concepciones alternativas y constituirá la base del 'cambio conceptual', es decir, el salto desde
una concepción previa a otra (la que se construye), para lo que se necesitan ciertos requisitos.
Junto a los anteriores aspectos, el constructivismo se caracteriza por su rechazo a formulaciones inductivistas o empiristas de la enseñanza, es decir, las tendencias más ligadas a lo que se ha denominado enseñanza inductiva por descubrimiento, donde se esperaba que el sujeto, en su proceso de aprendizaje, se comportara como un inventor. Por el contrario, el constructivismo rescata, por lo general, la idea de enseñanza transmisiva o guiada, centrando las diferencias de aprendizaje entre lo significativo (Ausubel) y lo memorístico.
Como consecuencia de esa concepción del aprendizaje, el constructivismo ha aportado metodologías didácticas propias como los mapas y esquemas conceptuales, la idea de actividades didácticas como base de la experiencia educativa, ciertos procedimientos de identificación de ideas previas, la integración de la evaluación en el propio proceso de aprendizaje, los programas entendidos como guías de la enseñanza
1.3.7 TEORIA DEL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO
En 1963 presentó su teoría en el libro Psicología del aprendizaje significativo verbal, que se complementaría en 1968 con Psicología educativa: un punto de vista cognoscitivo (México: Trillas, 1976), en cuya segunda edición, de 1978, contó con las aportaciones de Joseph Novak y Helen Hanesian (México: Trillas, 1983). Entre otras publicaciones de Ausubel, merecen citarse los artículos aparecidos en el Journal of Educational Psychology (1960, sobre los
“organizadores previos”); en la revista Psychology in the Schools (1969, sobre la psicología de la educación); y en la Review of Educational Research (1978, en defensa de los “organizadores previos”).
Inicialmente Ausubel destacó por defender la importancia del aprendizaje por recepción, al que llamó 'enfoque expositivo', especialmente importante, según él, para asimilar la información y los conceptos verbales, frente a otros autores que, como Bruner, defendían por aquellos años la preeminencia del aprendizaje por descubrimiento.
La teoría del aprendizaje significativo de Ausubel contrapone este tipo de aprendizaje al aprendizaje memorístico. Sólo habrá aprendizaje significativo cuando lo que se trata de aprender se logra relacionar de forma sustantiva y no arbitraria con lo que ya conoce quien aprende, es decir, con aspectos relevantes y preexistentes de su estructura cognitiva. Esta relación o anclaje de lo que se aprende con lo que constituye la estructura cognitiva del que aprende, fundamental para Ausubel, tiene consecuencias trascendentes en la forma de abordar la enseñanza. El aprendizaje memorístico, por el contrario, sólo da lugar
a asociaciones puramente arbitrarias con la estructura cognitiva del que aprende. El aprendizaje memorístico no permite utilizar el conocimiento de forma novedosa o innovadora. Como el saber adquirido de memoria está al servicio de un propósito inmediato, suele olvidarse una vez que éste se ha cumplido.
1.3.7.1 Ejes y categorías del aprendizaje significativo
En sus últimos trabajos, Ausubel sugiere la existencia de dos ejes en la definición del campo global del aprendizaje: de una parte, el que enlaza el aprendizaje por repetición, en un extremo, con el aprendizaje significativo, en el otro; por otra, el que enlaza el aprendizaje por recepción con el aprendizaje por descubrimiento, con dos etapas: aprendizaje guiado y aprendizaje autónomo. De esta forma, puede entenderse que se pueden cruzar ambos ejes, de manera que es posible aprender significativamente tanto por recepción como por descubrimiento.
Ausubel diferencia tres categorías de aprendizaje significativo: representativa o de representaciones, conceptual o de conceptos y proposicional o de proposiciones. La primera supone el aprendizaje del significado de los símbolos o de las palabras como representación simbólica. La segunda permite reconocer las características o atributos de un concepto determinado, así como las constantes en hechos u objetos. La tercera implica aprender el significado que está más allá de la suma de los significados de las palabras o conceptos que componen la proposición. Estas tres categorías están relacionadas de forma jerárquica, como puede deducirse fácilmente de su diferente grado de complejidad: primero es necesario poseer un conocimiento representativo, es decir, saber qué significan determinados símbolos o palabras para poder abordar la comprensión de un concepto, que es, a su vez, requisito previo al servicio del aprendizaje proposicional, en el que se generan nuevos significados a través de la relación entre conceptos, símbolos y palabras. Autor, junto con Edmund V. Sullivan, de El desarrollo infantil (traducción de José Penhos, Paidós Ibérica: Barcelona, 1983), Ausubel sostiene que la mayoría de los niños en edad escolar ya han desarrollado un conjunto de conceptos que permiten el aprendizaje significativo. Tomando ese hecho como punto de partida, se llega a la adquisición de nuevos conceptos a través de la asimilación, la diferenciación progresiva y la reconciliación integradora de los mismos. Los requisitos u organizadores previos son aquellos materiales introductorios que actúan como
“puentes cognitivos” entre lo que el alumno ya sabe y lo que aún necesita saber.
Ausubel propone considerar la psicología educativa como elemento fundamental en la elaboración de los programas de estudio, ofreciendo aproximaciones prácticas al profesorado acerca de cómo aplicar los conocimientos que aporta su teoría del aprendizaje a la enseñanza. No es extraño, por tanto, que su
influencia haya trascendido el mero aspecto teórico y forme parte, de la mano de sus aportaciones y las de sus discípulos, de la práctica educativa moderna.
Actualmente la filosofía continua dando cuenta de la naturaleza de las matemáticas pero desde una perspectiva mas amplia que tiene en cuenta los aspectos externos como la historia, la génesis y la práctica e igualmente los aspectos internos como el ser (ontología) y el conocer (epistemología).
Según Miguel de Guzmán citando a otros autores, la filosofía de la matemática enfoca su atención en el carácter cuasi empírico de la actividad matemática, así como los aspectos históricos y de inmersión de las matemáticas en la cultura de la sociedad que los origina.
Paúl Ernest propone una conceptualización del papel de la filosofía de las matemáticas de tal manera que tenga en cuenta la naturaleza, la justificación, la génesis del conocimiento y los objetos matemáticos, el quehacer a lo largo de la historia y las aplicaciones a la ciencia y la tecnología.
El conocimiento matemático en la escuela se considera una actividad social y en ese sentido tiene en cuenta los intereses y la afectividad del niño y el joven. Por lo tanto debe ofrecer respuestas a los interese que continuamente aparecen en el mundo actual. “Su valor actual está en que organiza y da sentido a una serie de prácticas, a cuyo dominio hay que dedicar esfuerzo individual y colectivo”.
En este sentido el educador tiene una gran responsabilidad ya que las matemáticas constituyen una herramienta intelectual potente y su dominio ofrece muchas ventajas y privilegios.
La comunidad de educadores matemáticos ha construido una nueva visión de las matemáticas escolares, basados en los siguientes tópicos:
Aceptar que el conocimiento matemático es el resultado de la evolución histórica de un proceso cultural.
Valorar la importancia que tiene los procesos constructivos y de interacción social en el aprendizaje de las matemáticas.
Considerar que el conocimiento matemático constituye una herramienta potente para el desarrollo de las habilidades del pensamiento.
Reconocer que existe un núcleo de conocimientos matemáticos básicos que debe dominar todo ciudadano.
Comprender y asumir los fenómenos de la transposición didáctica.
Reconocer el impacto de las nuevas tecnologías tanto en los énfasis curriculares como sus aplicaciones.
Privilegiar como contexto del hacer matemático escolar las situaciones problemáticas.
1.4 DIMENSIONES
A continuación se presenta la contribución que realiza el área de Matemáticas al desarrollo de las dimensiones cognitiva, procedimental y afectiva.
DIMENSIONES CONTRIBUCIÓN DEL ÁREA
COGNITIVA
La comunicación matemática consolida la manera de pensar de una forma coherente, clara y precisa, esto permite desarrollar actividades para la compresión de conceptos matemáticos, adquirir la capacidad de conceptualización como medio para coordinar o desarrollar un lenguaje matemático pertinente en un esquema realidad – pensamiento – lenguaje y ejercitar la capacidad para profundizar en un campo del conocimiento, de acuerdo con las potencialidades e intereses.
El estudio de las matemáticas debería capacitar al alumno para:
1. Recordar los elementos de la matemática;
2. Comprender y utilizar la terminología matemática;
3. Comprender conceptos y relaciones matemáticas;
4. Comprender la contribución histórica de las matemáticas a la sociedad;
5. Conocer las fórmulas, ecuaciones, reglas teoremas relevantes, así como la demostración de estos últimos cuando fuere menester;
6. Conocer los procedimientos y técnicas más importante s como el caso de método de prueba por inducción;
7. Recordar las formas básicas de los gráficos de las funciones y relaciones utilizadas
8. Comprender dónde se usan las ma temá ti c a s e n l a v i d a r e a l .
PROCEDIMENTAL Proporciona los conocimientos necesarios para manejar y utilizar operaciones simples de cálculo y procedimientos lógicos elementales en diferentes situaciones, así como la capacidad para plantear y solucionar problemas.
Desarrolla las capacidades para el razonamiento matemático, mediante a formulación, argumentación y demostración de problemas que utilicen los pensamientos numéricos, geométricos, métricos, lógicos, analíticos, en la interpretación de los problemas de ciencia, tecnología y los de la vida cotidiana.
Promueve la expresión, elaboración y apreciación de patrones y regularidades, fomentando el uso de esquemas y representaciones gráficas.
Los estudiantes deberían ser capaces de:
1. Utilizar la estrategia particular adecuada para resolver un problema.
2. Identificar y ejecutar los pasos necesarios para resolver un conjunto de problemas prácticos.
3. Poner las situaciones reales escritas u orales en símbolos
matemáticos y viceversa;
4. Formular e intentar justificar conclusiones o hipótesis referidas a datos determinados;
5. Tomar decisiones fundadas en base a una evaluación matemática de varias opciones;
6. Arribar a resultados precisos en relación con un contexto dado;
7. Analizar e interpretar natos;
8. Descubrir generalizaciones y expresarlas matemáticamente.
ACTITUDINAL Estimula el trabajo en equipo, el ejercicio de la crítica, la participación, la colaboración, la discusión y defensa de sus propias ideas y la toma de decisiones.
El estudiante debería:
1. Desarrollar autoconfianza en el manejo de las matemáticas.
2. Apreciar el valor de las matemáticas en la sociedad y en su contexto cotidiano;
3. Leer información expresada en términos y símbolos matemáticos;
4. Tener voluntad para experimentar matemáticamente en situaciones no familiares;
5. Manifestar perseverancia;
6. Esforzarse por una presentación prolija, ordenada y lógica;
7. Reconocer que las matemáticas son intelectualmente estimulantes;
8. Interactuar de un modo cooperativo con sus pares y profesores.
2. HACIA UNA ESTRUCTURA CURRICULAR
Las consideraciones hechas acerca de la naturaleza de las matemáticas, del quehacer matemático en la escuela, las justificaciones para aprender y enseñar matemáticas, los procesos que los niños siguen al aprender, y las relaciones de la matemática con la cultura, son elementos para tener en cuenta a la hora de proponer una estructura curricular del área al igual que su articulación con otras disciplinas en el Proyecto Educativo Institucional.
Las matemáticas, lo mismo que otras áreas del conocimiento, están presentes en el proceso educativo para contribuir al desarrollo integral de los estudiantes con la perspectiva de que puedan asumir los retos del siglo XXI. Se propone pues una educación matemática que propicie aprendizaje de mayor alcance y más duraderos que los tradicionales, que no sólo haga énfasis en el aprendizaje de conceptos y procedimientos sino en procesos de pensamiento ampliamente aplicable y útil para aprender cómo aprender.
Por otra parte, hay acuerdo en que el principal objetivo de cualquier trabajo en matemáticas es ayudar a las personas a dar sentido al mundo que les rodea y a comprender los significados que otros construyen y cultivan. Mediante el aprendizaje de las matemáticas los alumnos no sólo desarrollan su capacidad de pensamiento y de reflexión lógica sino que, al mismo tiempo, adquieren un conjunto de instrumentos poderosísimos para explotar la realidad, representarla, explicarla y predecirla; en suma, para actuar en y para ella.
El aprendizaje de las matemáticas debe posibilitar al alumno la aplicación de sus conocimientos fuera del ámbito escolar, donde debe tomar decisiones, enfrentarse y adaptarse a situaciones nuevas, exponer sus opiniones y ser receptivo a las de los demás.
Es necesario relacionar los saberes de aprendizaje con la experiencia cotidiana de los alumnos, así como presentarlos y enseñarlos en un contexto de situaciones problemáticas y de intercambio de puntos de vista.
De acuerdo con esta visión global e integral del quehacer matemático, proponemos considerar tres grandes aspectos para organizar el currículo en un todo armonioso: Procesos generales, Conocimientos básicos y el contexto.
2.1 PROCESOS GENERALES
Tienen que ver con el aprendizaje, tales como el razonamiento, la resolución y planteamiento de problemas; la comunicación; la modelación y la elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos.
2.1.1EL RAZONAMIENTO
En general, el razonamiento se entiende como la acción de ordenar ideas en la mente para llegar a una conclusión. Es necesario tener en cuenta la edad de los estudiantes, su nivel de desarrollo y el hecho de que los logros se retoman y amplían en los grados siguientes.
Razonar en matemáticas tiene que ver con:
Dar cuenta del cómo y el por qué dé los procesos que se sigue para llegar a conclusiones.
Justificar las estrategias y los procedimientos puestos en acción en el tratamiento de problemas.
Formular hipótesis, hacer conjeturas y predicciones, encontrar contraejemplos, usar hechos conocidos, propiedades y relaciones para explicar otros hechos.
Encontrar patrones y expresarlos matemáticamente.
Utilizar argumentos propios para exponer ideas.
Para esto el maestro debe escuchar con atención a los estudiantes, orientar el desarrollo de sus ideas, hacer uso extensivo y reflexivo de materiales que posibiliten la comprensión de ideas abstractas. Crear un pensamiento crítico en el aula, así toda afirmación del maestro o los alumnos debe estar abierta a preguntas, reacciones y reelaboraciones.
2.1.2.LA RESOLUCIÓN Y EL PLANTEAMIENTO DE PROBLEMA
El tratamiento de problemas es para algunos autores, el corazón de las matemáticas y el eje de su desarrollo a nivel escolar.
Para Polya, "resolver un problema es encontrar un camino allí donde no se conocía previamente camino alguno, encontrar la forma de salir de una dificultad, encontrar la forma de sortear un obstáculo, conseguir el fin deseado, que no es conseguible de forma inmediata, utilizando los medios adecuados”.
En la medida en que los estudiantes van resolviendo problemas van ganando confianza en el uso de las matemáticas, van desarrollando una mente inquisitiva y perseverante, van aumentando su capacidad de comunicarse matemáticamente y su capacidad por utilizar procesos de pensamiento da más alto nivel.
Polya, describió cuatro fases para la resolución de problemas:
1. Comprensión de problemas.
2. Concepción de un plan.
3. Ejecución del plan.
4. Visión retrospectiva.
Para cada fase sugiere una serie de preguntas que el estudiante se puede hacer o de aspectos que debe considerar para avanzar en la resolución del problema.
Para utilizar el razonamiento heurístico, el cual se considera como una de LAS ESTRATEGIAS PARA AVANZAR EN PROBLEMAS DESCONOCIDOS Y NO USUALES, es preciso dibujar figuras, introducir una notación adecuada, aprovechar problemas relacionados, explorar analogías, trabajar en problemas auxiliares, reformular el problema, introducir elementos auxiliares en un problema, generalizar, especificar, variar el problema, trabajar hacia atrás.
Alan Schoenfeid, considera que en el proceso de resolver problemas influyen los siguientes factores:
EL DOMINIO DEL CONOCIMIENTO: Son los recursos matemáticos con los que cuenta el estudiante y pueden ser utilizados en el problema como intuiciones, definiciones, hechos, procedimientos, reglas.
ESTRATEGIAS COGNOSCITIVAS: Incluyen métodos heurísticos como descomponer el problema en simples casos, establecer metas relacionadas, invertir el
problema, dibujar diagramas, usar material manipulable, ensayo y error, uso de tablas y listas ordenadas, búsqueda de patrones y reconstrucción del problema.
ESTRATEGIAS METACOGNITIVAS: Se relacionan con el monitoreo y el control, con acciones como planear, evaluar y decidir.
SISTEMA DE CREENCIAS: Se compone de la visión que se tenga de las matemáticas y de sí mismo.
2.1.3.LA COMUNICACIÓN
La comunicación es uno de los procesos más importantes para aprender matemáticas y para resolver problemas. Se dice que "la comunicación juega un papel fundamental al ayudar a los niños a construir vínculos entre sus nociones informales e intuitivas y el lenguaje abstracto y simbólico de las matemáticas ayuda a que los estudiantes tracen importantes conexiones entre las representaciones físicas, pictóricas, gráficas, simbólicas, verbales y mentales de las ideas matemáticas”.
Los retos del siglo XXI exigen que todas las personas sean capaces de:
Expresar ideas hablando, escribiendo, demostrando y describiendo visualmente de diferentes formas.
Comprender, interpretar y evaluar ideas que son presentadas oralmente, por escrito y en forma visual.
Construir, interpretar y ligar varias representaciones de ideas y relacionar.
Hacer observaciones y conjeturas, formular preguntas y reunir información.
Producir y presentar argumentos persuasivos y convenientes.
La comunicación es la esencia de la enseñanza, el aprendizaje y la evaluación de las matemáticas. El profesor debe guiar, escuchar, discutir, sugerir, preguntar y clarificar el trabajo de los alumnos a través de actividades apropiadas e interesantes.
2.1.4.LA MODELACIÓN
La forma de describir el Juego o interrelación entre el mundo real y las matemáticas es la modelación.
Hans Freudenthal presenta en la siguiente figura los elementos básicos de la construcción de modelos.
Para transferir una situación problemática real a un problema planteado matemáticamente, pueden ayudar algunas de las siete actividades siguientes:
1. Identificar las matemáticas específicas en un contexto general.
2. Esquematizar.
3. Formular y visualizar un problema en diferentes formas.
4. Descubrir relaciones.
5. Descubrir regularidades.
6. Reconocer aspectos isomorfos en diferentes problemas.
7. Transferir un problema de la vida real a un problema matemático.
Una vez que el problema es transferido a un problema más o menos matemático puede ser tratado con herramientas matemáticas, para lo cual se pueden realizar actividades como las siguientes:
Representar una relación en una fórmula.
Probar y demostrar regularidades.
Refinar y ajustar modelos.
Combinar e integrar modelos.
Formular un concepto matemático nuevo.
Generalizar. La generalización se puede ver como el nivel más alto de la modelación.
2.1.5.LA ELABORACIÓN,COMPARACIÓN Y EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS
El aprendizaje de procedimientos o "modos de saber hacer" es muy importante en el currículo, ya que estos facilitan aplicaciones de las matemáticas en la vida cotidiana.
Los procedimientos se refieren a los conocimientos en cuanto a actuaciones, destrezas.
Situación Problemática
Real
MODELO
COHERENCIA INTERNA
PREDICCIÓN
VALIDACIÓN
El énfasis en el estudio de los sistemas numéricos es el desarrollo del pensamiento numérico.
Según NCTM, el sentido numérico es una intuición sobre los números que surge de todos los significados del número. Los estudiantes con sentido numérico comprenden los números y sus múltiples relaciones reconocen las magnitudes relativas y el efecto de las operaciones entre ellos y han desarrollado puntos de referencia para cantidades y medidas.
Mcintosh dice que "el pensamiento numérico se refiere a la comprensión general que tiene una persona sobre los números y las operaciones junto con la habilidad y la inclinación para usar esta comprensión en formas flexibles para hacer juicio matemático y para desarrollar estrategias útiles al manejar números y operaciones".
2.2 PENSAMIENTOS.
2.2.1. ELPENSAMIENTONUMÉRICOYSISTEMASNUMÉRICOS.
Se adquiere gradualmente y va evolucionando en la medida en que los alumnos tienen la oportunidad de pensar en los números y de usarlos en contextos significativos y se manifiesta de diversas maneras de acuerdo con el desarrollo del pensamiento matemático. La manera como se trabajen los números en la escuela contribuye o no a la adquisición del pensamiento numérico. Los estudiantes que son muy hábiles para efectuar cálculos de algoritmos con lápiz y papel y pueden o no estar desarrollando este pensamiento.
Tres aspectos que pueden ayudar a desarrollar este pensamiento son:
1. Comprensión de los números y de la numeración.
2. Comprensión del concepto de las operaciones.
3. Cálculo con números y aplicaciones de números y operaciones.
2.2.2.PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS:
Howard Gardner plantea que el pensamiento espacial es esencial para el pensamiento científico, ya que es usado para representar y manipular información en el aprendizaje y resolución de problemas.
En los sistemas geométricos se hace énfasis en el desarrollo del pensamiento espacial, el cual es considerado como el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones
mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones y sus diversas traducciones o representaciones materiales.
Los sistemas geométricos se construyen a través de la exploración activa y modelación del espacio, tanto para la situación de los objetos en reposo como para el movimiento. Esta construcción se entiende como un proceso cognitivo de interacciones, que avanza desde un espacio intuitivo o sensoriomotor a un espacio conceptual o abstracto.
Este proceso está influenciado tanto por las características cognitivas individuales, como por la influencia del entorno físico, cultural, social e histórico.
Por tanto, el estudio de la geometría en la secundaria debe favorecer dichas interacciones; se trata de actuar y argumentar sobre el espacio ayudándose con modelos y figuras, con palabras del lenguaje cotidiano, con gestos y movimientos corporales.
2.2.3.PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMA DE MEDIDAS:
Los logros propuestos para los sistemas métricos van encaminados a acompañar al estudiante a desarrollar procesos y conceptos como los siguientes:
Construcción de los conceptos de cada magnitud.
Comprensión de los procesos de conservación de magnitudes.
Estimación de magnitudes y los aspectos del proceso de separar lo continuo de lo discreto.
Apreciación del rango de las magnitudes.
Selección de unidades de medidas, de patrones e instrumentos.
Diferencia entre la unidad y el patrón de medición.
Asignación numérica.
El papel del trasfondo social en las mediciones.
2.2.4.EL PENSAMIENTO ALEATORIO Y LOS SISTEMAS DE DATOS:
En las matemáticas escolares el desarrollo del pensamiento aleatorio mediante el saber de la probabilidad y la estadística, deben estar imbuidos de un espíritu de exploración y de investigación, tanto por parte de los estudiantes como de los docentes. Debe integrar la construcción de fenómenos físicos y al desarrollo de estrategias como lo de simulación de experimentos y conteos. También han de estar presentes la comparación y la evaluación de diferentes formas de aproximación a los problemas con el objeto de monitorear posibles concepciones y representaciones erradas.
De esta manera, el desarrollo del pensamiento aleatorio significa resolución de problemas.
