MA2112 Práctica 05 – Derivadas parciales pdf

Texto completo

(1)Practica 5 Derivadas parciales.. 1.

(2) Problema 1 En los siguientes casos Halle las derivadas: dw dt. a). w = x2 + y 2 , x = cos(t), y = sen(t); t = π. b). x y 1 2 2 w = + , x = cos (t), y = sen (t), z = ; t = 3 z z t. c) w = ln. !. x +y +z 2. 2. 2. ". √. , x = cos(t), y = sen(t), z = 4 t; t = 3. Ejercicio 1. 2.

(3) a). ∂w ∂w = 2x, = 2y (1) ∂x ∂y dy dx = −sen(t), = cos(t) (2) dt dt. (1,2). b) (1’). dw = −2xsen(t) + 2ycos(t) = −2cos(t)sen(t) + 2sen(t)cos(t) = 0 dt. x y cos2 (t) sen2 (t) w= + = + =t 1 1 z z t t. (1’). dw dw(3) =1⇒ =1 dt dt. 3.

(4) problema 2. ∂z ∂u. ∂z ∂v. Hallar las derivadas y , en los casos que se muestran a continuación:. a). b). π z = 4e ln(y), x = ln (ucos(v)) , y = usen(v); (u, v) = (2, ) 4 x. ! " x π z = 4 ex tg−1 ( ), x = u cos(v), y = u sen(v); (u, v) = 1.3, y 6. Ejercicio 2. 4.

(5) Sect Sectio. 4 cos v) ln (u sin v) ! 4 cos v;. a) in v. ‰ ! Š 4ey`‹ y yb (tan v) ` z v)` xœ " a`4e z (u cos z x`ln x ! x. 4ex u cos v cos y. x x x 4e ln y v 4e 4e os 7.v (a)i) ` u œ ` x ` u ! ` y ` u œ a4e ln yb ˆ u cos v ‰ ! Š xy ‹ (sin v) œ x u ! x ysin v 4e ln y ` zv) `z `x `z `y 4e 4e sin v x4u cos v ˆ cos v ‰ 4(u cos(a) v)(u cos 7. œ ! œ a 4e ln y b ! (sin v) œ ! Š ‹ v)`sin (u v) ! ; u cos v `v) ` u sin 4(u x 4u usin yln v) y u y 4(u(`" cos ln (u cos v)(sin u sin v ` u œ sin v v) œ ! œ (4 cos v) ln (u sin v) ! 4 cos v; sin v vv)‰ ˆ usin 4(uv)cos (u sin Ê `` uz œ (4 cos lnv)(ulnusin v) v) ! 4(u 4(u coscos v)u v)(sin sin v œ (4 cos v) ln (u œ ! x sin v) ! 4 cos v; ` y u u sin v ` ` ` ` ! z z x z u sin v 4e x x uln cosyvb‰ ˆ ‰ ˆ œ ! œ a 4e ! (u cos v) œ " a 4e ln yb (tan Š ‹ o `` vz œ ("4u sin v) ln (u sin v) ! 4(u cos v) ` ` ` ` ` v x v y v u cos v y u sin v x `z `z `x `z `y !u sin v ‰ x x x 4e ‹ (u cos xb ˆ x œ ! œ a 4e ln y ! v) œ " a 4e ln y b (tan Š ` y 4e ln y `z `x ` z cos v 4e 4e sin v x ` ` ` ` ` v x v y v u cos v y ˆ ‰ 4(u cos v)(u cos ! v) œ a4e lnv)ybln (u ! Š y ‹v)(sin v) œ xsin v) ln (u ` x `ù!z! `œ y"` z`[u" u cos v u y("4u x x sin v) ! 4(u cos sin v)](tan ! œ evaluando `y 4e ln y ` ` x z cos v 4e 4e sin v x π u sin v ˆ ‰ 4(u cos v)(u cos v) 1œ a) ! œ a 4e ln y b ! (sin v) œ ! Š ‹ È È È È !cos4 v) cos œ 2x["`24(u !v) œ sin2v)](tan (ln 2 ! 2); (u 4(u cos cos v)2(u `ln `v) `2yv)(sin `2uln u2, uln u cos v y u v) ln (u sin y v) ! œ v) ! œ ( " 4u sin ` z 4 sin x u sin v ! œ (4 cos v) ln (u sin v) ! 4 cos v; 4z œ 4e lnu ysinœ v 4(u cos v) ln (u sin v) Ê ` u œ (4 cos v) ln (u sin v) ! 4(u cos v ) ˆcos u4 ‰ 4(u cos v)2xln (u sin v) 4È24(u cos v)(sin v)2 ! 4È2 `z È Èy Èln2 (u œ " 4 ln 2 ! œ " 2 ln x x4(u cos v) z œ 4e ln œ 4(u cos v) sin v) Ê œ (4 cos v) ln (u sin v) ! œ ! œ (4 cos v) ln (u sin v) ! 4 cos v; ` z 4 `‰ xx ` z ` y xu ! u sin v 4e 4e u cos v ` z sin x x ` u u sin v4 ˆ ‰ 4e ln y ! œ a 4e y b ! (u cos v) œ " a 4e ln y b (tan v) ! Š ‹ œ (4 cos v) ln (u sin v) ! cos v; also œ ( " 4u sin v) ln (u sin v) ! x 4e sin v x x y4(u cos v 4e ln y ` x `` zv ``! yz ` ` vx u cos ycos v ` v `z `y 4e 4e sin v xv œ ` z ˆ ‰ x ) ` ù zuœ œ ! œ a 4e ln y b ! (sin v) œ ! y Š ‹ y sin v) ! ! x v) ualso sin œŠy(4e "4u sincos v) ln (u v) ! cos v) x 4 cos x 4(u ` `x z(4 `ùcos ``y zln`ù(u uv; cos usin y ˆ 4u cos vv v ‰ ` v 4(u cos v)(u cos v) œ ! œ a 4e ln y b ! (u v) œ " a 4e ln y b (tan ‹ " ` v v)œ `lnx((u ` v4u ` y v) ` vlnv)(u!sin v) ! sinu vcosœv ("4u siny v) ln (u sin v) ! 4u cos v ; 4(u cos sin sin v)](tan u sin sin v 4u 4(uv; ln (u sin 4(u cos v)(sin v) y cos v cos v) (uv) sin v)(cos v) ! (u cos v)(sin v)v cos v x sin v x ! 4 cos x 4u sin ln4e(u sin sin v) ! 4e ln y v) n xv œœx " yœ"(" œ œv0; vsin ! œ (4 cos v) ln (u sin v) ! 4 cos v; ` z sin vÈ 4(u cos v)(u cos v) 1 ` z 1 1 1 x " y u sin È È È! u u v ˆ ‰ ˆcos ‰ ˆ ‰ e ln(b) yœ 4(u v) ln (u sin v) Ê œ (4 cos v) ln (u sin v) ! 4(u cos v) At 2ßcos : œ 4 cos ln 2 sin ! 4 cos œ 2 2 ln 2 ! 2 2 œ 2( œ [" 4(u v) ln (u sin v)](tan v) ! œ ( " 4u sin v) ln (u sin v) u y u sin v x 4 ù 4 ` u 4 4 u sin v 4e 1u cos ˆ v 1 `z 1‰ 1x È2 ln È2 !u2cos È È2 (ln `œ `4e ` ßxln4 ‰ `(tan ! z "At zˆx2 z` u` yœ u sin v 4e (b) : 4 cos ln 2 sin ! 4 cos œ 2 2 œ v) a y b v) ! x x ` z v ˆ ‰ ˆ ‰ (4)(2) cos 4y 4sin 4 ‹ v) `! z Š ˆ ‰ œ ! œ a 4e ln y b (u cos v) œ " a 4e ln yœbcos (tan v cos`zv) ln 4e (u v) ! 4 cos v; also œ ( " 4u v) ln (u sin ! 4(u cos v) ``zxxsin 1 1 4 È È È È ln y œ 4(u cos v) ln (u sin v) Ê œ (4 cos v) ln (u sin v) ! 4(u v) ` ` ` vœ v y v u cos v y yu sin v ! (u sin v)(u sin v) ! (u cos v)(u cos v) ˆ ‰ xu cos v ` v u sin v œ ( " 4)(2) sin ln 2 sin ! œ " 4 2 ln 2 ! 4 2 " 2 `cos u ‰ ‰ `zv" x " y " x " y œ 4 4u (4)(2)ˆˆsin — u cos v `œ 1 1 4 4 È2 ln È2 ! 4È2 œ "2È42 4u cos v 4u cos vln ˆ;2 sin ‰ ! 4(u `cos œ ( " 4)(2) sin œ " 4 v)(u cos v) z 4u sin v) ln (u sin v) ! 4u sin (ucos sin v) ! ˆ ‰ ("4u sin `4(u vcos 4v v! 4v; ! œ (4 v) ln (u sin v) 4 cos also ln (u cos!v) sinsin [ " v) ln (u sin v)](tan v) œ (v) "4u sinsin v) v) ln ! (u 4(u sin v) x œ x sin œ 4 ex 4e u cos v ` v x u sin v `z `z " !" # sin v ˆ ‰ 1 ` z 1 1 1 œ tan (cot v) Ê œ 0 and œ " csc a b 2 ! 2È2 œ È2 (ln 2 ! 2); Š ‹ È ˆ ‰ ˆ yn (u yzln vÈ ! 4(u cos `v) ` v 4 cos " xcotv y ‰ :sin v) u2 sin ‰ ! 1cos v2 œ 4 cos ln œ 2 ` x 4u ˆ u sin vln! 4 z œ` u(4e 4v) 4 v) 4v) yœ cos v) (u sin Ê œ (4 cos v) ln (u sin v) ! 4(u cos v) "` z4ulnsin ln (u sin Š ‹ Š4(u ‹ ` u evaluando sin y y cos v (u sin v)(cos v) ! (u cos v yv x sin v ˆ ‰ x u cos v (4)(2) cos s v) 4u cos v 8. (a) œ cos v ! sin v œ " œ 1 4(u 1 —ˆ ‰ 4 Š ‹1"— È Èx2xsin È È Š n("(u4)(2) sin v) cos ˆ ` z 2 ln È – – `zu! x2 "vy4È "vy" uÈ sin ln 2 ! œ 4 ! œ 2 2 ln 2 ! 4 y ‹ v)‰ x sin x y cos (u sin v)(cos v) !cos (u2cosv) v)(ˆ 1 ` z 1 1 y ` È È u sin v ˆ ‰ œ (4 cos v) ln (u sin v) ! 4 cos v; also œ ( " 4u sin v) ln (u sin v) ! 4(u ˆ ‰ ˆ ‰ 4 4 " 1 " 1 Š ‹ Š ‹ sin v sin b) (a) At 2` uß 4œ – : `xuy œ 4—cos ln –42 xsin ! 4 cos œ 2 2 2 ! 2 2 œ 2 (ln 8. cos 4v ! sin v œ " œ y !x4 "πy " x "y 4 — `v u 1 v Šy‹ " 1 Š y ‹ "sin cos v(4)(2)x ˆcos ‰ 2, ` z ("4u sin v)Šln‹(u 1 sinˆv) ! 4u 1‰ œ 4 Šv‹ È2yulnsinÈ Èv2 œ !"(u2sin Èv)(2 u sin 4 œ ( " 4)(2) sin ln 2 sin ! œ " 4 2 ! 4 y sin v v y ` z xu cos ‰ u cos v œ " `v 4x ("u sin v) 4 ! Š xˆ‹ sin œ "xuxcos"vy œ!(u sin v)(u È È È Š ‹ 4 u cos v Š(ln ‹2 ! Š2y! ‹!(x2 – — – — v z)(1) x y `z! " n z)(1) 2 œ 2); y 2! ! x)(v) œ x ! y ! 2z ! v(y ! x) yu sin v x(y x y 1 ` z 1 1 1 ` y cos Š v‰ ! sinœ v)(cos v) !È (u cos v)(sin v) 2œœ È 2 (ln È È x4sin vu cos(u " 1cos Š yœ ‹ "41y cos ‹ ‰ : –v`! ˆ œ ( " u sin v) ! v " " )– At ˆ2`—ß v4cos ln 2 sin œ 2 2 ln 2 ! 2 y sin v œ " œ œ 0; uyxsin v x " — – — x y x y " " u 4 4 4 – — x x " y u x x `w `Šw ‹` x " 1‹` w" 1` y ! ` w ` z Šy‹ " 1 " 1 Š ‹ Š y œ 2u ! 4uv; œ ! y y È È È È 5 `v `x `v `y `v `z `v (4)(2) ˆcos ‰. Section 14.4 The Ch. Sectio. Section 14.4 The Chain Rule. 881. Section 14.4 The Chain Rule. ‹ (sin v) œ. !. (u sin v) ! 4 cos v;. ‹ (u cos v) œ " a4e ln yb (tan v) ! œ ("4u sin v) ln (u sin v) !. 4 cos v) ln (u sin v) ! 4(u cos v) ˆ 4u sin v) ln (u sin v) ! 4(u cos v) ˆ. ; ‰. ‰. Sectio. 881.

(6) Section 14.4 The Chain Rule. ` uv u sin. 881 Secti. `x ù `y ù u cos v y u y x x x 4e ln y x 4ex sin coscos vux ‰ 4e 4(uvcos v)(u xcos ày4ex ln xyb ˆ 4(u ! sin v 4e 4ex uv) cos v v) ln (u sin v) 4(u cos v)(sin v) ! (sin v) œ ! Š ‹ ˆ ‰ œ a 4e ln y b ! (u cos v) œ " a 4e ln y b (tan v) ! œ [ " 4(u cos v) ln (u sin v)](tan v) ! ( " 4u sin v) ln (u sin v) Š ‹ !u sin v 4e 4e u cos vœ! x y yv) y ! œ "u asin4ev uln œ (4 cos v) ln (u sin v) 4 cos v; y ˆ` vu cos v ‰œ!uŠcosyuvcos‹uv(u cos u sin v yb (tan v) ! y x x x 4e ln y 4e 4e sin v ` z x 4(u cos v)(u cos v) (ucos cosv v)(sin v) 4u cosx v ‰ ` ysin ! (sin v) œ ! z œ 4e ln y œ 4(u cos v) ln (u sin v) Ê (4 v) ln (u Š ‹ nu (u sin v)](tan v) ! œ ( " 4u sin v) ln (u sin v) ! ;(ucos ` ` ` ` ! z z x z u sin v 4eœ x xv) !x 4(u cos (4 cos v) ln (u v) ! 4 cos v; x sin x ˆ ‰ u sin v sin v cos v v cos y u y ` u œ ! œ a 4e ln y b ! cos v) œ " a 4e ln4eybsin(tan 4(u v)(u cos v) u sin Š ‹ ` y 4e ln y v ` `z v ``zx ``xv ``zy ` v cos vv ‰ 4u cos4e v v) x u cos y ˆ œ 4u sin ln (uybsin v) ! .)u ! (a) ` uu(usin œsinv` v) !` z(`" œ v) av) 4e lnsin !v) ! y Šˆvsin v;‹‰(sinx v) œ x(4 ` z sin ` ` x u y u u cos v y u cosx v) ln Ê œ cos ln (u v) ! 4(u cos !u sincos v ‰ v) 4e(u sin v) ! 4 cos v; xalso u cos œ (4(u ln! œcos (v)" 4u4esin v)v ln (u sin v) ! 4(u cos ` uŠ u sin v! ˆ ln y`œ bv) ! (u cos v) œ " a 4e ln y b (tan ‹ 4(u cos v)(u v) 4u œa4e (4 cos ln sin v) 4 cos v; ` v z4(u sin v u cos cos vv)cos y y [ " 4(u v) ln (u sin v)](tan v) ! œ ( " 4u sin v) ln (u sin v) ! ` z u cos v ln (uœ sin(" v)4u(u v)(sin v) ‰(u‰sin v) ! 4 cos v; v) v)Ê (4 cos v) ln sin v)(u !sin4(u cos v) uˆsin vˆ uln s sin ! 4œ`cos v; also sin4(u v)cos ln v)cos ! 4(u cos v) ! œ (4 cos v) u œ u sin v 4u v ` v sin v x4(u x 4u cos v u sin sin v cos v)(uv) cosln v) (u sinuv) œ ( " 4u ! !u sin v 4e 4e u cos v ; x ` z x sin v ‰ in v)](tan v) ! œ ( " 4u sin v) ln (u sin v) ! ˆ 4uŠcos v ‹ln ! (u cos v) œ " a 4e ln y b (tan v) ! ` z u cos v sin z œ 4e y œ 4(u cos v) ln (u sin v) Ê œ (4 cos v) ln (u sin v) ! 4(u cos v) u sin v v (u sinvv) `!zœ sin ˆ ‰ x ualso cos y y ` u " sin `v) v) cos ` y(u sin 1 v` z4u ` `zz ln ! u1sinv) v ‰ u sin 4e x ! 4(u x ` v œ(ˆ v ˆ 1x‰`! 1 œ a 4e ln y b ! (u cos v) œ " a 4e ln yœb (tan È È È Èˆ2 Š ‹ z sin v ˆ ‰ ` z (b) At 2 ß : œ 4 cos ln 2 sin ! 4 cos œ 2 2 ln 2 ! 2 2 ˆ ‰ ` ` ` ` ` v x v y v u cos v y 1 1 1 v) ln (u sin v) Ê œ (4 cos v) ln (u sin v) ! 4(u cos v) È È È È ˆv)(u(4 ‰ 4 v) 4(u cos coscos v) `(u u sin œ cos also (v"2; 4u sin (u sin v) ! 4(u cos v) 4! cos 2v) 2!ln ln44(u 2sin !v;2v) 2!4œ4u 2œ(ln !4u2); evaluando `4u(ln sin vv) ln vcos ` v cos 4 ln 2 sin 4 ! 4 œ œ " 4u sin v) v vv)(u cos ˆcos ‰ˆ uv)cos v ‰ 4(usin cos (4)(2) ` z v)1! 4 cosu sin ˆ ‰ (4)(2) cos ` z 1 1 4 !4(u " œv)"! 4u cos v È È È È v;1[‰" also œv) (4"lnsin 4u sin v)2v) ln (u sin v) ! 4(u cos v) œzœ 4(u cos v) ln (u sin v)](tan v) ! œ ( " 4u sin v) ln sin È È È È È ˆ ‰ ˆ œ ( " 4)(2) ln 2 sin ! œ " 4 2 ln 2 ! 2 2 π ln 2 sin ! œ " 4 ln 2 ! 4 2 œ " 2 2 ln 2 ! 4 2 ` sin v ( " 4u sin (u sin ! ` v u sin v ˆsinu sin ‰ ‰v ˆsin È ‰ ln (uÈ ˆ ` v (4 4 v) !È 4 cos 4œ sin v È 1 cos v)41 ‰Ê v) sin 4(u v) 4 2, 4 ` cos ucosv x œ 2 u sin v! 2); ! 4 2 ln 2 ! 2 2 œ 2 (ln 2 4u ` z 4 1ln y `œ 44(u z 4(u cos v) 1 lnˆ(u sin 1v) 1 (4 cos n 4v) ! z œ 4e Ê œ v) ln (u sin v) ! v2 È È È È2cos ˆ ‰ ‰ ` z sin ucos cos v ‰ œ 2 2 ln v 2ß (b) At : œ 4 cos ln 2 sin ! 4 2 ! 2 2 œ (ln ` u ˆ u ln (u sin 4v) ! 4(u cos 4 v) 4 also œ 4(" ‰ 4u4 sin `v) (4)(2)`ˆvcos u sin v È È È x 1 œ " 4È 2 1 1 ln È ` z2Èln È È È 2 ! 4 2 œ " 2 2 ! 4 2v) ln ˆ ‰ Š ‹ ˆ ‰ (4)(2) cos ln 2 sin ! 4 cos œ 2 2 ln 2 ! 2 2 œ 2 (ln 2 ! 2); œ cos v) ln (u sin v) ! 4 cos v; also œ ( " 4u sin (u sin4È v)2!œ4(u cos vl xv)(cos y cos v (u sin v) ! (u cos v)(sin v) ˆ ‰ y(4 ` z 1 1 x sin v sin 4 È È È 4 4 4 v v! 4 ` v Š ‹ ˆ ‰ Š ‹ cos sin v œ " œ œ 0; œ ( " 4)(2) sin ln 2 sin ! œ " 4 2 ln 2 ! " 2 2 y x " y4 y cos v (u sin v)(cos v) ! (u co – Š`xv‹` z" 1 — ˆ x "y u x sin v ˆsin ‰ 4 y evaluando ‰ 4 8. (a) œ cos v ! sin v œ " œ (4)(2) cos 4ux cos È v— 4 È È È –sin — – x2 " y2 ! 4xÈ "y2 u ˆ12 sin 14 ‰œy!`(u" x v) 4u ln (u sin v) ! œ " 4 2 ln 2 ! 4 2 œ " 2 ln " 1 " 1 Š ysin ‹È ‰y ‹ 1 ˆxsin Š4È v È È ‰ ! 4 cos œ 2 2 ln 2 ! 2 2 œ 2 (ln 2 ! 2); Š ‹ 4 4 y1 yu sin v ! (u sin v)(u sin1v) ! (u cos v)(u cos v) xu cos v 1 1 È È È È "u(b) sin v)At ! ˆ–2ßx ‰ :— ùzcos v œ " " œ ˆ ‰ x œ 4 cos ln 2 sin ! 4 cos œ 2 2 ln 2 ! 2 2 œ 2 (l x x y x y u " " v (u sin v)(cos v) ! (u cos v)(sin v) x sin v Š ‹ (4)(2) ˆcos 4 ‰ yŠcos Š ‹ Š ‹ 4 ` u 4 4 4 Š ‹ " 1 y y v sin v)(cos !(uv)(sin sin È Èœ Èv) y‹ cos4 vÈ y 2 ln 2y ! y œ " 2È sin v œ " œ 0; ` z xu cosv)v! (u cos ` z x sin vyu sin(u œ " 4 2 ln 2 ! 4 2 2 — x " y x " y u 8. ˆsin (a) œ cos v ! sin v œ " œ œ ( " u sin ! u cos v œ " " œ x‰ ` u ˆcos ‰" y (4)(2) – — – — – — – — x xÈ "y x "# È v y x " y u ` Š ‹ ` z 1 1 x x x x 4 4 È È `sin `(u "" x‹ z! z cosˆv)(sin # !" !"lnx ˆ ‰ y cos v (u v)(cos v) ! v) " 1 " 1 y Š ‹ Š ‹ " 1 " 1 sin v Š Š ‹ œ ( " 4)(2) sin 2 sin œ 4 2 ln 2 ! 4 2 œ " 2 ‰ v œ " 1; z œ tan œ tan (cot v) Ê œ 0 and œ " csc v a b ! – x ` v — sin vyŠœyy ‹x " y 4" x "y œy 4 ` u y ˆsinu`4v ‰ 1 " cot v œ 0; x Šy‹ " 1 x ‹ `z `z x v) ! (u cos # # !"v)(u cos v) Š ‹sin!" " 1 Š ‹ yu sin v ! (u v)(u sin y cos v z œytan y v " cos v xu œ " sin œ " 1; œ tan (cot v) Ê œ 0 and yu sin v ! (u sin v)(u sin Š ‹ ` z xu cos v u cos v œ " " œ ` ` y u v œ ( " u sin v) ! u cos v œ " " œ x — x y x y u " " ` z` vy cos v (u sin v)(cos v) ! (u cos v)(sin v) – — – — Š ‹ x y x y " " x sin v x œ 0"and œy"1 Š"xy!" yu sin v v)(u sin v) ! (u cos v)(u cos v) 1v œ xxu ‹sin cos v" 1 !(u sinœ " 1 ‹ Š ‹ œ 0; ` v y Š ‹ Š ‹ " —n v) ! –` z xxœ" y — uyxcos "y v œ y cos v u x sin v (u sin v)(cos v) ! (u cos v) x " y "y ux " y œ œ " 1 sin 1 v " cos v cos v ! ‹ "– . (a) ` uŠ yœ sin v œ " œ — – — x " y x "y # ` z u` z x x x # # !" !" ` ` " z z !" x œ "sin !" ˆ " 1 " 1 Š y ‹v1 Šzy`‹œ ˆ ‰ " cos v œ " 1; tan œ tan (cot v) Ê œ 0 and œ ` z z Š ‹ œ tan (cot v) Ê œ 0 and œ " csc v a b ` y Š ‹ wn ` w ` z ˆ ‰ ` u# `v 1 x 1.3! : !`(x 0 ànd `œ y` z Àt u! (y v xy ! y`1z!"2z cot!vv(y !(b) œ ! z)(1) !œ ! x) `x)(v) " x ß z)(1) z "1 !"(y !"œ ‹ 6 u ` v ` u u ˆ 1v)(u ‰ a" csc vb "1; z uœcos tanv œŠ!" œsin tan (cot œ 0 and œ v v)(u sin v)`! (u cos cosvv) ‹ yu xu cosv)v Ê !`(uu sin " y" v cot x " `w `w œ `x `Šw ` y‹ `w u `z Š ‹ œ œ " 1 — x y x y " " "" v)1! 2uv ! v(2u) œ 2u ! 4uv; œ ! ! y yu sin v !(u sin v)( y ` z sin v " cos v xu cos v v x v y v z v ` ` ` ` ` ` ` ("u sin v)` z! – x u cos v œ " x " y " x " y œ – — — ` v `œ x 1 ` z ` y `‹w‰ " `w z"12v 1x y " Š ‹ " x ! z)( !Šßx)(u) (y ! x)u !1(2u)u œ "2v ! 2u# ; (b)"1)At!wˆ(y1.3 :`œ œ`xw0!and œœ`" 6. ii). 9. (a). œ. y. !. !. œ (y ! z)(1) ! (x ! z)(1) ! (y ! x)(v) œ x ! y. y.

(7) Ejercicio 3. Escriba el diagrama de arbol, y la formula de la regla de la cadena para la siguiente derivada: dz , para z = f (u, v, w), u = g(t), v = h(t), w = k(t) dt. w. (r). ∂z ∂w. ∂z ∂w. dv ∂t. z ∂z ∂v. v. ∂z ∂u. t. du dt. u. 7.

(8) Problema 3. a) Suponga que la siguiente ecuación define a la variable z como una función continua de las variables (x,y), 3 xy + z x − 2yz = 0 Entonces calcule: ∂z , en el punto (1, 1, 1) ∂x. 8.

(9) !. y + 3z. !. 2 ∂z. ∂x. ". ∂z x + z − 2y =0 ∂x 3. " ∂z 2 3z x − 2y = −y − z 3 ∂x. ∂z −y − z 3 = ∂x (3z 2 x − 2y) evaluando en (1, 1, 1). Esta formula es equivalente al calculo que hemos efectuado ∂z = ∂x. ∂F (x,y,z) − ∂x ∂F (x,y,z) ∂z. ∂z = −2 ∂x. 9.

(10) Ejercicio 3. a) Suponga que la siguiente ecuación define a la variable x como una función continua de las variables (y,z), xz + y ln(x) − x + 4 = 0 2. Entonces calcule: ∂x , en el punto (1, −1, −3) ∂z. 10.

(11) Ejercicio 4. Considere la función diferenciable f (u, v, w). con. u=x−y w =z−x v =y−z. Demuestre que f(u,v,w), satisface ∂f ∂f ∂f + + =0 ∂x ∂y ∂z. 11.

(12)