Prácticas de uso de la tecnología para el desarrollo de competencias en modelación de funciones de una variable real

Texto completo

(1)Universidad Virtual Escuela de Graduados en Educación. Prácticas de uso de la tecnología para el desarrollo de competencias en modelación de funciones de una variable real. Tesis que para obtener el grado de: Maestría en Tecnología Educativa presenta:. Juan Guillermo Montes Esparza. Asesor tutor: Mta. Natalia Isabel Herrera Baker. Asesor titular: Dra. Ruth Rodríguez Gallegos. Ecatepec de Morelos, México, México. Diciembre, 2010.

(2) Índice. Resumen.............................................................................................................................. 1 Capítulo 1 Planteamiento del problema................................................................................. 2 1.1 Introducción........................................................................................................... 2 1.2 Marco conceptual …………………..................................................................... 2 1.3 Antecedentes de la problemática............................................................................ 3 1.4 Preguntas de investigación..................................................................................... 8 1.5 Objetivos de investigación..................................................................................... 9 1.6 Justificación de la investigación............................................................................. 9 1.7 Limitaciones y delimitaciones de la investigación.................................................10 Capítulo 2 Revisión de la literatura.................................................................................... 2.1 Introducción........................................................................................................ 2.2 Definición de términos........................................................................................ 2.3 Marco teórico...................................................................................................... 2.4 Criterios de selección......................................................................................... 2.5 Influencia de la tecnología en la didáctica de la matemática............................ 2.6 Modelación matemática..................................................................................... 2.7Construcción del conocimiento matemático....................................................... 2.8 Concepción particular de modelación y competencias en modelación............... 13 13 14 18 19 20 25 30 34. Capítulo 3 Metodología.................................................................................................... 3.1 Introducción………..….................................................................................... 3.2 Método de investigación................................................................................... 3.3 Población y muestra.......................................................................................... 3.4 Tema, categorías e indicadores de estudio........................................................ 3.5 Fuentes de información…………………........................................................ 3.6 Técnicas de recolección de datos……….......................................................... 3.7 Prueba piloto……………………………......................................................... 3.8 Aplicación de instrumentos…………….......................................................... 3.9 Captura y análisis de datos………………………........................................... 3.10 Aspectos éticos…………………………......................................................... 38 38 38 40 42 45 47 47 48 50 52. Capítulo 4 Análisis de resultados..................................................................................... 53 4.1 Introducción………..….................................................................................... 53 4.2 Presentación de resultados…............................................................................ 54 4.2.1 Uso de tecnología...….................................................................................... 54 4.2.2 Competencias en modelación y funciones de una variable real...................... 65 4.2.3 Modelación y optimización: caso naranjas..................................................... 78 4.2.4 Modelación y optimización: caja sin tapa..................................................... 94 4.3 Análisis e interpretación de resultados............................................................. 105 ii.

(3) 4.3.1 Análisis: Tecnología...................................................................................... 4.3.2 Análisis: Competencias en modelación y funciones de una variable real..... 4.3.3 Análisis: Funciones de una variable real…………………………………... 5 Conclusión del capítulo 4……………………………………………………..... 106 112 115 117. Capítulo 5 Conclusiones.................................................................................................... 119 5.1 Introducción....................................................................................................... 119 5.2 Discusión y conclusiones................................................................................... 119 5.2.1 Funciones de una variable real….................................................................... 120 5.2.2 Competencias en modelación…..................................................................... 122 5.2.3 Tecnología.…................................................................................................ 123 5.3 Recomendaciones…………….….................................................................... 126 Referencias....................................................................................................................... 129 Anexos……….................................................................................................................. Anexo 1.................................................................................................................. Anexo 2.................................................................................................................. Anexo 3.................................................................................................................. Anexo 4.................................................................................................................. Anexo 5.................................................................................................................. Anexo 6.................................................................................................................. Anexo 7.................................................................................................................. Anexo 8.................................................................................................................. Anexo 9.................................................................................................................. Anexo 10.................................................................................................................. Anexo 11.................................................................................................................. Anexo 12.................................................................................................................. Anexo 13.................................................................................................................. Currículum Vitae. 134 134 139 140 141 142 143 152 155 158 159 165 166 169. ....................................................................................................... 172. iii.

(4) Prácticas de uso de la tecnología para el desarrollo de competencias en modelación de funciones de una variable real Resumen En el presente trabajo se indagó sobre el desarrollo de competencias en modelación en la construcción del concepto función de un variable real con el uso de nuevas tecnologías. En la revisión de la literatura se encontró que en los cursos de Cálculo Diferencial es práctica común incluir el tema de funciones privilegiando la representación algebraica, generalmente la representación algebraica de la función la sugiere el docente y a partir de ella transitar a su representación gráfica. Sin embargo cuando los alumnos son expuestos a modelar una situación real con una representación algebraica, las estrategias que emplean no les permiten obtenerla. En este trabajo se propuso el uso de tecnología para facilitar y motivar al alumno en el desarrollo de competencias de modelación como una opción para que de manera integral se logre la construcción del concepto de función de una variable real. Se diseñaron cuatro actividades de aprendizaje para alumnos que cursaban Cálculo Diferencial con el propósito de indagar sobre el proceso de construcción de diferentes representaciones de una función de una variable. Los principales hallazgos de la investigación confirmaron que entre los alumnos prevalece la costumbre de esperar y/o solicitar una expresión algebraica de parte del profesor, lo que dificulta la obtención por cuenta propia la construcción de una expresión algebraica a partir de contextos reales. Los alumnos manifestaron una clara preferencia por el uso de nuevas tecnologías como apoyo a su aprendizaje, por las representaciones tabular y gráfica para modelar un problema y describir el comportamiento de la función que lo representa. 1.

(5) Capítulo 1 Planteamiento del problema. 1.1 Introducción El presente capítulo dará inicio con el marco contextual en torno al problema de investigación, los antecedentes que lo generaron hasta la propuesta de preguntas de investigación. También se exponen al lector diversos argumentos que justifican la selección de tecnología y modelación al considerarlos elementos importantes dentro de la investigación y cómo el uso de múltiples representaciones del concepto de función, favorecen la construcción del mencionado concepto. La investigación se realizó con los alumnos del cuarto semestre en el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de México (CECyTEM), plantel Ecatepec, que cursaban Cálculo Diferencial.. 1.2 Marco contextual La investigación se realizó en el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de México (CECyTEM), plantel Ecatepec. El CECyTEM recibe recursos Federales, Estatales y Municipales, fue creado como respuesta a las fuertes demandas sociales de los servicios educativos de nivel medio superior en las zonas aledañas al Distrito Federal, así como de las necesidades del sector productivo de la región para contar con personal técnico altamente capacitado.. 2.

(6) 1.3 Antecedentes de la problemática Generalmente en el análisis de funciones, se privilegia un tipo de representación de la función sobre otro. Mochón (2000) considera que realizar el análisis de funciones empleando solamente aspectos algebraicos no resulta en una verdadera comprensión del comportamiento de las funciones. Una de las posibles causas de privilegiar la representación algebraica de la función es que genera mayor comodidad durante la exposición del docente y porque se tiene la idea que es la representación más importante de la función. Es común que los programas de Cálculo Diferencial sigan un orden determinado: Números Reales, Desigualdades, Funciones, Límites, Continuidad y Derivadas. Si los contenidos previos garantizaran la comprensión de los subsiguientes no habría ningún problema, pero la evidencia muestra que los alumnos logran comprensiones parciales de cada contenido al estudiarlos por separado, sin establecer alguna articulación entre ellos. Ese aprendizaje distorsionado y sin relación entre los contenidos limita la aplicación práctica de los mismos en situaciones reales fuera del ambiente escolar (Castillo y Montiel, 2007). Con el ingreso de las nuevas Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC) al ambiente educativo, se pensó que diversos problemas de enseñanza- aprendizaje de las matemáticas se resolverían, en particular el de las múltiples representaciones de una función. Si bien las TIC tuvieron su fase de crítica y rechazo por parte de varios actores relacionados con la educación, actualmente se reconocen como instrumentos didácticos que permiten un mejor proceso de enseñanza y aprendizaje pero que también han generado nuevos problemas a resolver (Castillo, 2008). 3.

(7) En un primer intento por utilizar la nueva tecnología educativa en oferta, se dieron a conocer las bondades de recursos tecnológicos principalmente la computadora y software pero sin el apoyo didáctico apropiado para emplearlos. Luego del primer encuentro entre el sector educativo y las nuevas TIC, se reconoció que el docente no podía ser reemplazado de su función y que el alumno debería adoptar otro papel. Para el docente poco apoco se delineaba una nueva actividad: diseñador de situaciones didácticas asistidas con tecnología y el alumno dejaría de ser solamente un operador de software para resolver ejercicios rutinarios. Ahora el alumno a partir de las actividades diseñadas por el docente, participa en la construcción de conocimiento y conceptos matemáticos (Robert y Pouyanne, 2005). Entre otros beneficios al emplear computadoras y software se encuentran la rapidez al realizar operaciones y gráficas, dos representaciones básicas de las funciones. El interés por el uso de las nuevas TIC en la enseñanza de las matemáticas lo investigó Slavit (1993) de manera indirecta, a partir de las ilustraciones de los libros de texto de Cálculo, según su estudio realizado en 1992 observó que hasta antes del uso extendido de las computadoras como medio para graficar, de los 5369 ejercicios propuestos en 30 libros de Cálculo, solo 999 se relacionaban con la representación gráfica, según lo reportan Ibarra, Bravo y Grijalva (2001). El incremento en el interés por la representación gráfica de conceptos importantes del Cálculo, por ejemplo el concepto de función, permite enfocar la atención a nuevas representaciones de la función comúnmente inconexas entre sí, lo que dará origen a una mejor comprensión del concepto. La vinculación entre diferentes representaciones de la. 4.

(8) función ahora se puede observar en una pantalla y de esa manera el alumno logrará reconstruir el concepto de función. Quienes están a favor del empleo de tecnología en el desarrollo del concepto de función, mantienen la opinión que la capacidad de utilizar diferentes representaciones del objeto matemático llamado función, permiten asimilar el concepto, hacerlo propio. Por ejemplo, los investigadores Hitt (2001) y Duval (1999) coinciden al afirmar que la comprensión de un concepto matemático se adquiere cuando se emplean al menos dos registros de representación. La rapidez y naturalidad para pasar de un registro a otro es una medida de la comprensión del concepto. La importancia de lo mencionado anteriormente radica en que actualmente se puede utilizar la computadora y software para graficar para operar más fácilmente al menos dos representaciones de un objeto matemático como la función. El advenimiento de las computadoras personales y el software para facilitar diversos modos de representación de conceptos matemáticos ha permitido rescatar el interés en una representación visual. De acuerdo a Hitt (1997), citado por Ibarra et al. (2001) el predominio de lo algebraico sobre lo visual tiene sus orígenes en la época griega, donde la importancia de lo deductivo dejó de lado el aspecto visual, continuando esa tendencia anti-ilustrativa de la matemática por más de veintitrés siglos. El uso de tecnología es una decisión que toma el docente con la finalidad de que los alumnos aprendan de manera más rápida, tal vez mejor y como elemento motivador. Abundan las críticas en el sentido de que la matemática fue creada de manera independiente a las nuevas tecnologías. Y si las nuevas TIC se admiten en los cursos de matemáticas es debido a su carácter pedagógico, tomando en cuenta las bondades y. 5.

(9) desventajas de su uso, sin pretender que serán el único remedio a las dificultades de enseñanza (Artigue, 2004). En los años sesenta y setenta se presenta una crisis en la enseñanza de las matemáticas. En la búsqueda de soluciones, investigadores de diversos países realizan esfuerzos para proponer modificaciones pertinentes en los cursos de matemáticas. Es en Francia donde un grupo de investigadores en matemáticas escolares desarrollan la didáctica de las matemáticas con mayor coherencia y mejor sustento teórico (Artigue, 1995). De ese grupo de investigadores surgieron diversos enfoques sobre la didáctica de las matemáticas. Artigue refiere que actualmente prevalecen tres visiones sobre la didáctica de las matemáticas: 1) la cognitiva de Vergnaud; 2) la de los saberes de Chevallard y 3) la de situaciones de Brousseau. Este trabajo de investigación se realizó teniendo como marco la Teoría de las Situaciones Didácticas (Brousseau, 1986). En la práctica docente existe interés por abordar los contenidos, en particular sobre el tema de funciones de una variable real, de manera tal que puedan interesar a los alumnos. Los ejercicios de funciones propuestos en los textos no llaman su atención, entre las soluciones a ese problema se han planteando problemas de optimización donde se pueda emplear la modelación. Se esperaba que en el proceso de solución los alumnos distinguieran diversas funciones y pudieran analizar las características principales de las mismas por medio de diferentes representaciones. El proceso de modelación empezaba usando lo que Guin, Ruthven y Trouche (2005) denominan estrategia del papel y lápiz pero también empleando calculadora. 6.

(10) científica. Al concluir la actividad el docente procedía a la revisión haciendo uso de tecnología ya sea una calculadora graficadora o software para graficar. Generalmente se solicitaba hacer uso de EXCEL para automatizar y realizar de manera rápida los cálculos. Con la tabla ya organizada se identificaban las columnas correspondientes a la variable independiente y dependiente para trazar la gráfica correspondiente. Durante el proceso de construcción de diferentes representaciones de la función se realizaba el análisis de las funciones, por ejemplo dominio, rango, máximos o mínimos. Se intervenía en la solución de los problemas planteados sin emplear con frecuencia el llamado efecto Topaze, circunstancia en donde el estudiante llega a la solución de un problema, pero no ha sido por sus propios medios, sino porque el profesor asume la resolución del problema (Brousseau, 1986). Al momento de medir el aprendizaje de los alumnos sobre el concepto de funciones se notaban dificultades para obtener una representación algebraica y no quedaba claro el gran poder que tienen las fórmulas en el análisis de funciones. La problemática que se presenta en el tema de funciones tiene manifestaciones diferentes y también serán diversas las propuestas para resolverla: recurrir a diversas representaciones de la función, analizar funciones a partir de elementos particulares de cada representación, emplear tecnología para obtener las representaciones con mayor rapidez, hacer uso de la modelación como estrategia para construir funciones y principalmente que el docente construya diseños didácticos pertinentes a partir de un referente teórico apropiado.. 7.

(11) El poder transitar entre diferentes tipos de representaciones de las funciones genera beneficios a corto plazo para los alumnos entre otros poder reconocer aplicaciones de las funciones en situaciones reales, cotidianas y concretas y como antecedente en el desarrollo del concepto de variación muy necesario para los cursos de cálculo (Mochón, 2000).. 1.4 Preguntas de investigación La pregunta de investigación fue elaborada a partir de varios supuestos teóricos y la problemática que enfrenta el investigador en su contexto. La pregunta principal es ¿Cuáles son las prácticas de uso de la tecnología que promueven el desarrollo de competencias de modelación en el estudio de funciones de una variable real? En la pregunta principal se pueden identificar al menos dos constructos teóricos de estudio: a) funciones de una variable real y competencias en modelación y b) prácticas de uso de tecnología. Durante el trabajo de investigación se obtuvo información empírica que permitió responder a la pregunta planteada triangulándola para asegurar un grado aceptable de validez. Para definir elementos particulares que están presentes en los constructos generales se plantearon las siguientes preguntas: •. ¿Qué características debe tener la tecnología empleada para facilitar el aprendizaje del concepto de función de una variable real?. •. ¿Qué tipo de representaciones de la función de una variable real son favorecidas cuando se modela usando tecnología?. 8.

(12) •. ¿Qué diseños didácticos son los más apropiados si se pretende que el concepto de función sea construido por medio de la modelación?. 1.5 Objetivos de investigación Objetivo principal Obtener información empírica que permita identificar las prácticas de uso de tecnología y modelación que propicien un mejor aprendizaje del concepto de función vinculando sus diversas representaciones. Objetivos secundarios Establecer criterios de selección de tecnología para el desarrollo de competencias matemáticas en modelación. Identificar las ventajas y desventajas de cada recurso tecnológico en la construcción del concepto de función. Identificar los conceptos más importantes de una función al estar trabajando con diferentes representaciones de la función. Seleccionar la representación matemática adecuada a cada concepto importante de función.. 1.6 Justificación de la investigación La investigación se considera importante porque en general permite obtener información sobre las estrategias más adecuadas que permitan el aprendizaje de función, empleando tecnología y modelación. Dicha información permitirá establecer criterios. 9.

(13) para el diseño de situaciones didácticas optimizadas que permitan construir el concepto de función a partir de problemas de modelación. La investigación beneficiará particularmente a los estudiantes que cursan Cálculo Diferencial ya que podrán reconstruir el concepto de función de una variable real de manera integral con el desarrollo de competencias en modelación, la que generalmente se le veía como un agregado de los cursos de Cálculo donde se podían aplicar los conceptos de función, pero de manera desvinculada. La aplicación de las actividades permitirá a los alumnos transitar entre diferentes representaciones de la función al mismo tiempo que trabaja modelación, las experiencias logradas harán ver la función como un solo concepto mientras que cada una de las diferentes representaciones de la función aportarán elementos particulares para la construcción sólida del concepto y mayores habilidades para modelar problemas extraescolares.. 1.7 Limitaciones y delimitaciones Limitación económica: fue la principal porque no se contó con el presupuesto para. realizar problemas de modelación utilizando sensores de movimiento y temperatura. Limitación espacial: se contaba con la autorización para el uso del laboratorio de cómputo, pero finalmente la investigación se realizó en el salón de clase. Limitación temporal: la investigación en campo se inició a partir del 15 de febrero del 2009 que es cuando inició el semestre en el CECyTEM Ecatepec y terminó la recolección de información con el cierre del tema de funciones, dos semanas después.. 10.

(14) Delimitación temática: se estudió solo el tema de funciones de una variable real y sus diferentes representaciones, debido a limitaciones de tiempo establecidas en la planeación del profesor que apoyó en la investigación. El investigador tampoco profundizó en otros temas, solo se enfocó en las diferentes representaciones de la función a partir de las actividades de modelación. Delimitación metodológica: aunque las características de la investigación son del tipo mixto, predominan las que lo acercan más al enfoque cuantitativo. Delimitación poblacional: en la aplicación de las actividades participaron dos profesores, un docente que permitió la observación de su clase y el propio investigador. A partir de una entrevista piloto a un docente, se elaboró en un cuestionario para los alumnos y cuatro docentes del turno vespertino. Los estudiantes que participaron fueron los alumnos de un grupo a cargo del profesor que apoyará la investigación y los demás fueron alumnos de los grupos asignados al investigador. Además de los instrumentos propios de la investigación cualitativa, observación y entrevista, se pudo filmar el trabajo del docente que apoyó la investigación. Se tomaron varias fotografías de los productos logrados por los alumnos, principalmente de las cajas sin tapa, también los alumnos registraron en video algunas actividades realizadas ya que por limitación de tiempo y espació varios equipos las tuvieron que realizar en casa. La mayor parte de los registros se consideraron fuentes importantes de información y permitieron el análisis de las actividades de modelación encomendadas. Las actividades de modelación y los respectivos reportes por escrito que entregaron los alumnos, también aportaron información para responder a la pregunta de investigación.. 11.

(15) Se aplicó un cuestionario a los alumnos y docentes participantes en la investigación, este instrumento permitió explorar el contexto de los colaboradores en cuanto a la disposición de computadora, acceso a Internet y uso de recursos educativos digitales. No se aplicaron herramientas sofisticadas para el análisis de las respuestas, solo se elaboraron gráficas y tablas a partir de la información recabada (Hernández, Fernández y Baptista, 2006).. 12.

(16) Capítulo 2 Revisión de la literatura. 2.1 Introducción En este capítulo se presenta una selección de diversos artículos que permiten conocer el trabajo que varios investigadores han desarrollado acerca del tema de la investigación titulada: prácticas de uso de la tecnología para el desarrollo de competencias en modelación de funciones de una variable real. Para formar el marco teórico de este estudio se ha revisado de manera profunda la literatura al respecto, seleccionando la que se considera más importante para la investigación tomando como criterio de selección, los artículos más recientes y de autores que aparecen frecuentemente citados en publicaciones arbitradas nacionales e internacionales. La búsqueda de información proviene de la necesidad de conocer el trabajo previamente realizado por investigadores para posteriormente fundamentar teóricamente la presente investigación. Se hace énfasis en la resolución de situaciones didácticas para construir el concepto de función de una variable real a partir de las diferentes representaciones de la función. Entendiendo la modelación como una estrategia para generar conocimiento y no como un complemento práctico de las matemáticas escolares para realizar aplicaciones. El empleo de tecnología, software Graphmatica obedece a la rapidez y ayuda para las representaciones numérica, gráfica y algebraica de la función sin dejar a un lado el grado de motivación que puede ejercer en el alumno.. 13.

(17) Se insiste en que la construcción del conocimiento matemático requiere de la habilidad para transitar entre diversas representaciones de un concepto. El caso de la función no es la excepción ya que generalmente se prefiere la representación algebraica de la función, limitando así un aprendizaje verdadero acerca de las funciones de variable real. Se finaliza el capítulo dos con una interpretación y selección personal de lo que significa modelación y competencias en modelación, retomando las ideas de los autores que más se asemejan con la realidad del docente investigador. También se detalla la manera en que fueron medidas las competencias de modelación en base a una escala descriptiva y el ciclo de modelación.. 2.2 Definición de términos Didáctica: La Didáctica y su definición no son asuntos nuevos, Brousseau (1986) registra en el año de 1640 una definición de didáctica dada por Comenius: “el arte de enseñar” o “conjunto de medios y procedimientos que tienden a hacer conocer, a hacer saber algo”. “Actividades didácticas, es decir, las actividades que tienen por objeto la enseñanza (Brousseau, l986, p. 5). En una conferencia que realizó en Chile, Brousseau (2004) expresó que la Didáctica es una ciencia que estudia la difusión del los conocimientos útiles al hombre que vive en sociedad. La Didáctica tiene como principales objetivos: la producción, difusión y aprendizaje de los conocimientos, extendiendo el interés hasta las instituciones y actividades que los facilitan.. 14.

(18) Didáctica de las matemáticas: La Didáctica de las matemáticas estudia las actividades que tiene por objeto la enseñanza de las matemáticas (Brousseau, 1986). “En la Didáctica de las matemáticas, lo que debe ser aprendido es generalmente un concepto matemático” (Brousseau. 2004, p.2). Modelo matemático: “Un modelo matemático es cualquier sistema completo y compatible de ecuaciones matemáticas, diseñadas para que se correspondan con alguna otra entidad, su prototipo. Tal prototipo puede ser una entidad física, biológica, social, psicológica o conceptual, tal vez, incluso, otro modelo matemático" (Suárez, 2002, p.4). Modelación: “Cosa que debe ser imitada”, “”representación”, “es en sí misma conocimiento”, “es una práctica social” “es considerada como una herramienta didáctica que ayudará al estudiante a hacer representaciones adecuadas y eficientes del objeto matemático” (Cordero, 2006, p. 3). Visualización: “Habilidad para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar información visual. …proceso mental demasiado útil en diversas áreas del conocimiento matemático y científico” (Cantoral y Montiel, 2001, p. 2). Representación matemática: signos para representar un concepto u objeto matemático, en este trabajo se refiere a las diversas formas en que puede estudiarse una función de una variable real, descripción verbal o escrita, representación numérica o tabular, representación gráfica y representación algebraica por medio de una fórmula (Cordero, 2006). Concepto matemático: “no definible en sí mismo, aunque sí ejemplificable mediante trabajos prácticos o resolución de problemas” (Cuevas, 2009, p. 9).. 15.

(19) Es una síntesis de la evolución, diferenciación, combinación acumulativa de ideas y transformaciones constantes del lenguaje verbal al operacional y del lenguaje operacional al lenguaje verbal (Lanner y Faulin, 2002, p. 195). “Concepto matemático lo consideramos como síntesis evolutiva histórico-cultural del modo en que el ser humano conoce determinados aspectos de la realidad” (Faulin, 2002, p. 186). Objeto matemático: Para Cordero (2006) un objeto matemático es un concepto mental que se hace visible mediante una representación matemática. También se “considera como objeto matemático cualquier tipo de entidad real o imaginaria a la que nos referimos cuando realizamos, comunicamos o aprendemos matemáticas” (Godino, Recio, Roa, Ruiz y Pareja, 2005). Saber Matemático: conocimiento generado por investigadores y matemáticos también llamado saber erudito (Brousseau, 1986, p.5). Efecto Topaze: Es una intervención del docente para acercar al alumno a la respuesta correcta de un problema, una vez que percibe que el alumno no la obtendrá por sí mismo (Brousseau, 1986). Situaciones didácticas: Brousseau (1986) participó en el desarrollo de la Teoría de las Situaciones Didácticas que es el apoyo teórico por el cual se pueden diseñar actividades didácticas, poner a prueba instrumentos de enseñanza o mejorarlos para el aprendizaje de la matemática. Una situación didáctica es la que estudia las relaciones establecidas entre los elementos indicados para lograr aprendizaje, bajo el supuesto que el aprendizaje se logra por la interacción frecuente entre el estudiante y el contenido matemático.. 16.

(20) Transposición didáctica: proceso de cambio o modificaciones al conocimiento de matemáticas generado por expertos fuera de la escuela y que es necesario para hacer más fácil la enseñanza en el salón de clase (Brousseau, 1986, p. 5). Una de las desventajas del cambio están el olvido de las razones que originaron el concepto matemático generando a la vez desconcierto en los alumnos al no percibir la necesidad de apropiarse o construir un determinado concepto. Contrato didáctico: reglas que rigen la relación didáctica entre el alumno y el profesor (Brousseau, 1986, p.15). Competencia matemática: según el proyecto 2003 del Programa Internacional para la Evaluación de Estudiantes, Programme for International Student Assessment (PISA), la competencia matemática también llamada alfabetización matemática es “la capacidad individual para identificar y comprender el papel que desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir juicios bien fundados, utilizar las matemáticas y comprometerse con ellas, y satisfacer las necesidades de la vida personal como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo” (Rico, 2007, p.49). Para Collado, Guzner y Kaczurisky (2005) la competencia matemática es una conducta que se manifiesta en el saber hacer y proceder de manera exitosa cuando se realicen tareas que incluyen un proyecto matemático. El éxito depende de los conocimientos, saberes y habilidades que una persona emplee cuando interactúe con la situación matemática planteada.. 17.

(21) 2.3 Marco teórico La práctica docente de más de un profesor de matemáticas, inicia y a veces se mantiene de acuerdo a la experiencia que vivió como alumno o creencias muy particulares sobre la enseñanza y aprendizaje sin un sustento teórico firme (Orton, 2003). Sin pretender iniciar un debate sobre los dos enfoques de aprendizaje usualmente empleados en la enseñanza de las matemáticas, el conductista y el cognitivo y para no extraviarse entre las diferentes corrientes de cada enfoque, en el presente trabajo se citarán las teorías didácticas construidas por la llamada escuela francesa, pero seleccionando solo una de ellas, la teoría de las situaciones didácticas de Brousseau. Entre los diversos grupos de investigación para la enseñanza de las matemáticas en los años sesenta y setenta, destaca el grupo francés por fundamentar de manera sólida su propuesta para la llamada didáctica de las matemáticas. La didáctica de las matemáticas es producto de la investigación para buscar establecer la relación y dependencia entre tres elementos involucrados la enseñanza de las matemáticas: profesor, estudiante y el saber. El grado de éxito de la escuela francesa se puede medir de manera indirecta por el nivel de influencia que ejercieron no solo los matemáticos, sino la capacidad de convocatoria de otros profesionistas: físicos, psicólogos, sociólogos y docentes de diferentes niveles educativos. Los institutos de investigación en la enseñanza de las matemáticas, Instituts de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques (IREM), fueron la culminación concreta lograda por el grupo multidisciplinario de profesionistas (Douady, 1995).. 18.

(22) Los investigadores de los IREM desarrollaron métodos para mejorar la didáctica de las matemáticas, producto de ese trabajo surgieron nuevas metodologías como la ingeniería didáctica. Desde mediados de los años setenta, la didáctica de las matemáticas ha permitido obtener datos empíricos para construir teorías cuya influencia ha llegado hasta el diseño curricular de varios países, sin embargo es en Francia donde se tiene un mejor nivel de unidad y teorización (Artigue, 1995). A manera de resumen se presentan tres puntos de vista actuales sobre la didáctica de las matemáticas, con cierto grado de interrelación y complementarias entre sí, (Artigue, 1995). • Cognitiva, con Vergnaud y su teoría de campos conceptuales. • Saberes, con Chevallard y su teoría de la transposición didáctica. • Situaciones, con Brousseau y su teoría de las situaciones didácticas.. 2.4 Criterios de selección Entre las principales razones para adoptar la teoría de situaciones didácticas de Brousseau en el presente trabajo de investigación, destacan: • El gran desarrollo teórico generado a partir de datos empíricos. • El empleo de estrategias en la enseñanza como los ajustes de los saberes a situaciones escolares. • La propuesta de escenarios didácticos para la construcción de conceptos matemáticos. Los cuatro instrumentos de investigación (actividades de modelación) fueron precisamente escenarios didácticos o situaciones didácticas para la construcción del. 19.

(23) concepto de función, por medio de las modelación y empleando tecnología: computadora y software Graphmatica para graficar.. 2. 5 Influencia de la tecnología en la didáctica de la matemática La llegada de las nuevas Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC) generó diversas posiciones sobre su utilidad en diferentes campos disciplinares. Actualmente en el campo educativo las TIC son vistas como medios que permiten mejorar los procesos de enseñanza-aprendizaje y los esfuerzos de investigadores se enfocan en el desarrollo de metodologías para lograrlo (Castillo, 2008). Producto de las investigaciones desarrolladas principalmente en el marco de teorías constructivistas, se logrado establecer que es necesario un cambio en las estrategias de enseñanza-aprendizaje para que sean más eficientes y que consideren al alumno como parte central de proceso. El desarrollo de las competencias en modelación con uso de tecnología en los alumnos depende en gran medida de la intervención del profesor y aunque se espera que los docentes cuenten con el perfil adecuado para lograrlo, Castillo (2008) sugiere una lista de competencias que un docente debe tener o estar dispuesto a obtenerlas y que no se limite al manejo de contenidos sino que pueda aprovechar los recursos tecnológicos para mejorar su práctica docente: • Competencias tecnológicas para seguir su formación profesional empleando la red. • Competencias didácticas que le permitan conocer diversas teorías de aprendizaje, desarrollar ambientes adecuados de aprendizaje, diseñar y recursos y tareas para el aprendizaje del alumno.. 20.

(24) • Competencias tutoriales que incluyen habilidades de comunicación para crear entornos de trabajo adecuados. • Competencias pedagógicas que le permitan incorporar las nuevas TIC que apoyen el aprendizaje de sus alumnos. • Competencias para colaboración y trabajo en red. Si bien las bondades de las nuevas TIC en el proceso de aprendizaje son descritas ampliamente en el trabajo de Castillo (2008) también se detallan las desventajas y las formas inadecuadas de su uso, concluyendo que son un medio pero no garantía que al emplearlas se resuelva el problema de aprendizaje, en particular de las matemáticas. Compartiendo la visión de mejora con el uso de tecnología para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas Fernández (2000) advierte sobre los riesgos que implica el uso de tecnología. Por ejemplo, el uso de software solo para resolver ejercicios rutinarios de matemáticas no permite optimizar las ventajas de esa tecnología, lo que obliga a cambiar el punto de vista de que ésta por sí misma resolverá problemas de aprendizaje. Es necesario considerar a la tecnología como un medio que requiere del diseño de nuevas estrategias del docente para su uso en el proceso de enseñanza y aprendizaje. El diseño de la estrategia adecuada permitirá al docente proponer actividades de mayor nivel cognitivo a sus alumnos para desarrollar su creatividad. En el actual proyecto de investigación se consideró el tema de la función de variable real desde un enfoque diferente al tradicional que comúnmente consiste en clasificar las funciones, evaluar, operar, determinar dominio, rango desde un punto de vista algorítmico prefiriendo solamente la representación algebraica de la función.. 21.

(25) Se trabajaron cuatro actividades, dos de modelación de problemas de optimización, las cuatro con la intención de identificar el tipo de función, la forma, sus intervalos reales de variación desde diferentes representaciones de la función: numérica y visual principalmente, apoyándose en el uso de Graphmatica y como parte final la representación algebraica no como la exigencia de los programas de estudio sino como necesidad de contar con una fórmula para poder analizar de manera diferente a las funciones de variable real. En el proceso de solución se observa el desarrollo de habilidades y destrezas de modelación empleando funciones, llevar una situación real a otra representación para su estudio. Para facilitar el proceso se sugirió el uso de Graphmatica. Al final se recaba información sobre el grado de construcción del concepto de función en los alumnos participantes. Con respecto al uso de tecnología, Fernández (2000) concluye que existe evidencia del efecto positivo en el aprendizaje de las matemáticas en base a documentación de diversos casos donde observa ventajas y desventajas del uso de nuevas TIC. Ventajas: • Permite al docente tomar el papel de formador en vez de informador. • Genera motivación en los alumnos. • Permite que cada alumno aprenda a su propio ritmo. Desventajas: • Deshumanización del sistema educativo. • Algunos profesores delegan a la computadora la “responsabilidad” de enseñar.. 22.

(26) • Los alumnos ya no realizan esfuerzo alguno para realizar cálculos. • El conocimiento obtenido con poco esfuerzo se olvida rápidamente. • Se pierde la comunicación con el estudiante en lo referente a la dirección y control del aprendizaje. • Una excesiva dependencia hacia la computadora y software limita el interés por diferentes representaciones de un problema matemático. Continuando con Fernández (2000) y su trabajo titulado Perfeccionamiento de la enseñanza-aprendizaje del tema límite de funciones con el uso de un asistente matemático, en el que describe las bondades del uso de software matemático como Derive para crear ambientes gráficos y mejorar la comprensión de otros temas de matemáticas, el estudio hace referencia al tema de límite de funciones, que es de gran dificultad para los alumnos si se aborda desde el enfoque algorítmico, dificultad que puede reducirse al incorporar el aspecto gráfico y de visualización permitiendo realizar diversas aproximaciones al concepto de límite por descubrimiento y exploración. Además de las ventajas en el aprendizaje de límite propiciadas por el uso del Derive y una estrategia didáctica para su uso, la autora describe también el período en el que se utilizó el software sin una planeación adecuada y solamente se empleó para resolver ejercicios rutinarios. Las experiencias documentadas por Fernández (2000) permiten vislumbrar los problemas en la enseñanza de la matemática al emplear software para graficar, éste no debe verse como un medio solo para trazar gráficas o realizar cálculos sin que medie la comprensión, se debe considerar la tecnología como un instrumento que originará nuevas. 23.

(27) situaciones de aprendizaje y no como un sustituto del razonamiento y el trabajo de los docentes. Se tomaron en cuenta las observaciones de Fernández (2000) para diseñar las actividades del presente trabajo de investigación. De tal manera que el uso de tecnología no sea el fin en sí mismo sino como medio para enriquecer el aprendizaje y lograr otros niveles cognitivos al construir el concepto de función. Es recomendable mantener una visión realista sobre el uso de de nuevas TIC en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, donde se reconozcan ventajas y desventajas, sin embargo se encontró en la literatura información sobre actitudes extremas con respecto al empleo de tecnología. Los investigadores Ortiz, Castro y Rico (2004), reportan los resultados de un estudio con metodología cuantitativa en donde se manifiesta la tendencia de los profesores a trabajar el curso de álgebra lineal de la manera tradicional y mantener una actitud de rechazo y negación a incorporar nuevas herramientas que permitan mejorar su actividad, en respuesta los autores declaran que el adoptar tecnología y nuevas estrategias de enseñanza modificarían de manera positiva la actitud de sus alumnos hacia las matemáticas. Pero una vez que se acepta el uso de tecnología y en particular software para graficar no puede concluirse que dejaran de aparecer otros problemas de aprendizaje. Dolores (2004) reporta que los estudiantes no manifiestan una buena comprensión de características importantes de la gráfica de una función, como dominio, imagen, intervalos de crecimiento o decrecimiento. Se observa que los alumnos asocian posiciones de la gráfica a partir de los signos de la fórmula y con frecuencia afecta su predicción sobre la posición y forma de la gráfica a partir de la representación simbólica.. 24.

(28) Las recomendaciones a partir de las experiencias descritas por Dolores (2004) se tomaron en cuenta para el diseño de actividades con el uso de tecnología: emplear calculadoras graficadoras o software que permitan al alumno obtener de manera rápida la representación gráfica de la función y realizar con éxito el análisis de las gráficas de funciones requiere de un apropiado diseño didáctico. Si la representación gráfica de la función se había obtenido a partir de una expresión algebraica y una tabla de valores de pares ordenados, con la aparición de las nuevas tecnologías se puede considerar que la actividad actual de los alumnos consistirá en interpretar lo que ve desplegado en las pantallas de una computadora o una calculadora graficadora. La interpretación de la representación gráfica es una actividad cognitiva más importante que la operación de algoritmos de manera mecánica (Moreno y Waldegg, 2004). Desde el punto de vista de Moreno y Waldegg (2004) el uso de tecnología en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas puede provocar que se abandone la preferencia de los aspectos algorítmicos para dar paso al desarrollo de otras representaciones de la función. Tomando en cuenta que la tecnología no es la finalidad en la enseñanza de las matemáticas sino que se le considera como “amplificador” de la capacidad cognitiva de los usuarios.. 2. 6 Modelación matemática Villalba (2002) en su artículo El nacimiento del cálculo, invita a la reflexión sobre el proceso de generación de ideas innovadoras en las matemáticas desde las de Tales de Mileto hasta las de Newton y Leibnitz y toma como referencia precisamente los orígenes. 25.

(29) del Cálculo. Describe la inseguridad de Newton para aceptar sus propias conclusiones, señala que no existe una línea definida para construir un concepto matemático, en ocasiones se descartan, otras veces se reformulan o se les añaden nuevos componentes. El mensaje finalmente es que los conceptos matemáticos como hoy se conocen han pasado por un largo proceso de consolidación. Es hasta cierto punto normal y cotidiano en la práctica educativa de los docentes, emplear el producto terminado y presentarlo a los alumnos. En particular en un curso de Cálculo Diferencial donde la acción del docente está dirigida en función del programa de contenidos y de los libros de texto. No es la intención descartar la utilidad de esa forma de proceder porque gran parte de los alumnos resuelven ejercicios rutinarios, sin embargo cuando se trata de aplicar los conceptos se presenta una gran dificultad entre las reglas aprendidas, el conocimiento adquirido de esa manera y cómo aplicarlo para resolver problemas. Esa dificultad para relacionar lo aprendido con situaciones reales no solamente se observa en contextos extra-escolares, también en diversos cursos y niveles educativos, ya que la enseñanza de las matemáticas comúnmente se les presenta a los alumnos de tal manera que no tienen significado. Por otro lado hay disciplinas que utilizan fórmulas matemáticas pero sin conexión con una situación real. Ante tales condiciones en los párrafos siguientes se pretende presentar diversos trabajos que consideran a la modelación como una solución al problema de la descontextualización de las matemáticas. Cordero (2006), expone diversas concepciones al respecto de la modelación y graficación. Se le considera como una aplicación de la matemática, un subproducto de. 26.

(30) trabajo matemático, sin embargo debe ser vista como un conocimiento matemático por derecho propio. También expone que el conocimiento matemático no debe ser anterior a la aplicación necesariamente, sostiene la afirmación que se puede construir conocimiento matemático paralelamente a la aplicación por medio de la modelación. Cordero (2006) describe de manera muy amplia el concepto de modelación a partir de variación de parámetros, su importancia en la enseñanza de las matemáticas y la relación que tiene con la tecnología, además de realizar propuestas para cambios en la estructura curricular. Con respecto a la tecnología y los diversos significados, Cordero (2006) encuentra que para un sector de la población, la tecnología es el producto práctico del conocimiento científico pero señala que para matemáticas tiene otro significado, menciona la tecnología educativa como proveedora de medios para lograr aprendizaje. Hace referencia a dispositivos tecnológicos como sensores y dispositivos que permiten graficar la relación entre dos variables de un experimento y cuyo uso adecuado permite desarrollar habilidades cognitivas. Bosch, Gascón e Higueras (2006) refieren que desde la década de los ochenta se ha incrementado la investigación en torno al impacto que la modelación pudiera tener en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, consideran también que la modelación no debiera ser entendida como una aplicación de las matemáticas sino como una forma de generar conocimiento matemático. Es de tal grado el interés por la modelación que actualmente se escucha con frecuencia la necesidad relacionar contenidos matemáticos con situaciones reales y que la. 27.

(31) modelación es considerada como una competencia básica y necesaria para cualquier persona. Relacionada a la competencia de modelación aparece otra llamada matematización que consiste en construir un modelo matemático a partir de una situación o problema de un contexto real (Rico, 2007). Para lograr la competencia de modelación se requiere que la solución de problemas y la modelación sean objetos explícitos de enseñanza y aprendizaje no solamente como alternativas en el desarrollo de los cursos de matemáticas. Pasando al terreno de las aplicaciones, Rodríguez (2008) menciona la herramienta matemática específica de las ecuaciones diferenciales que se puede emplear para modelar situaciones presentes en problemas de la Física y dentro de los cursos de matemáticas. En su artículo describe los pasos para modelar el funcionamiento de un desfibrilador en una situación concreta: calcular la probabilidad de que una persona sobreviva a un problema cardiaco en la calle si es atendido con un desfibrilador. Asocia el desfibrilador con un circuito eléctrico donde la resistencia representa la equivalente de un cuerpo humano y la capacitancia el nivel de carga eléctrica que recibirá, el modelo en cuestión es una ecuación diferencial. Describe el proceso de modelación con un esquema que inicia con una situación real y lo lleva al terreno o dominio matemático. En la parte media del proceso se encuentra el dominio pseudo concreto, no es un proceso en un solo sentido sino que tiene retroalimentación. En cierta forma es parecido al proceso de matematización que presentan Bosch et al. (2006).. 28.

(32) Si para los alumnos de nivel licenciatura, las ecuaciones diferenciales son la herramienta adecuada para modelar situaciones reales, en el nivel medio superior también se cuenta con herramientas adecuadas para realizar modelación: las funciones de una variable real incluidas en los cursos de Cálculo Diferencial empleadas e identificadas bajo el nombre de problemas de aplicación. Para la ejecución de proyecto de investigación se elaboraron y presentaron situaciones reales para modelación con funciones de una variable real a los participantes, quienes eran alumnos de cuarto semestre que cursaban la materia de Cálculo diferencial. Autores como Valero, Barba y Castillo (2009) consideran que los problemas de modelación no son recientes, en su artículo sobre modelación inician con una breve introducción donde ubican los problemas de optimización en los orígenes de la humanidad. Actualmente los contextos social, económico y educativo son una fuente de problemas de optimización y representan una gran oportunidad para poner en práctica la modelación. Bajo el supuesto de que se puede comprender y construir un objeto matemático a través de sus representaciones, Valero et al. (2009) plantean un conjunto de situaciones didácticas para optimizar, que van desde una representación concreta y tangible en un modelo real, hasta el empleo de una calculadora graficadora que les permite hacer otras representaciones del problema. En su investigación de tipo cualitativo titulada Modelos matemáticos a través de proyectos, Aravena, Caamaño y Giménez (2008), sustentan varias razones para emplear la modelación como estrategia para desarrollar habilidades metacognitivas, las que permitirían construcción de conceptos matemáticas y el aprendizaje de la matemática:. 29.

(33) • Como motivación. • Como una forma de evitar aprendizajes incorrectos. • Como argumento formativo. • Como favorecedora de una competencia crítica. • Como argumento de utilidad de las matemáticas. De las ventajas descritas anteriormente al emplear la modelación como estrategia para la construcción de conceptos matemáticos podría esperarse una amplia difusión en los salones de clase y estrategia favorita empleada por los docentes. Mochón (2000) y Alcalá (2002) coinciden acerca de que la modelación no es aceptada ampliamente en las aulas, todavía existe la idea que las matemáticas consisten solamente en un conjunto de operaciones con símbolos.. 2.7 Construcción del conocimiento matemático El fracaso escolar generalizado en las matemáticas, desde el punto de vista de Alcalá (2002), se debe a que la exposición del docente usando pizarrón, gis, papel y lápiz no es ni la mejor ni única forma de ejercer la enseñanza de las matemáticas. También menciona que es preocupante que ello suceda a pesar de que los docentes asistan a cursos de actualización, de que reciban apoyo de otras disciplinas como la psicología y pedagogía y que conozcan la oferta de material didáctico. Atribuye entonces el fracaso a diversas creencias acerca de las matemáticas no siempre bien fundadas, una de ellas es la de creer que el conocimiento matemático escolar puede ser transmitido y en consecuencia aprendido.. 30.

(34) Alcalá (2002) agrega que las matemáticas no son solo un conjunto de operaciones o algoritmos por transferir a loa alumnos. Expone en su trabajo que para tener éxito en el aprendizaje de las matemáticas es necesario dar significados a los símbolos con los que se trabaja, que matemáticas no es el estudio de los símbolos empleados en ellas sino solo los medios para representar formas de pensamiento. Para que se acepte a la modelación como el enfoque adecuado para construir conocimiento y aprendizaje de las matemáticas, Mochón (2000) sugiere que se deben modificar al menos cuatro ideas erróneas acerca de las matemáticas. • Las matemáticas no se usan en la vida diaria. • Las matemáticas son abstractas. • Las matemáticas son exactas. • Las matemáticas solo son para genios. Aunque también considera que el enfoque de enseñanza basado en problemas puede ayudar a un mejor aprendizaje y comprensión de las matemáticas, es la modelación la que emplea en su trabajo para que las matemáticas adquieran significado. Su propuesta de trabajo consiste en logar una representación matemática a partir de una situación real: Situación real → Representación numérica → Representación gráfica Mochón (2000) se cuestiona sobre la utilidad de las fórmulas o la representación gráfica a lo que responde que son adecuadas cuando la representación numérica es muy complicada, extensa o se requiere calcular directamente un valor y para predecir el comportamiento de la situación modelada.. 31.

(35) La falta de contacto con la modelación en el salón de clase, origina que la interpretación y análisis de gráficas que representan situaciones reales y hasta cierto punto cotidianas, como las que aparecen en revistas, periódicos o sitios de Internet se efectúen de manera superficial e inadecuada, como lo muestran los resultados del trabajo de investigación de corte cualitativo de Dolores y Cuevas (2007) titulado Lectura e interpretación de gráficas socialmente compartidas. Dolores y Cuevas (2007) obtuvieron información la cual muestra que los alumnos participantes su investigación carecen de habilidades en la matemática funcional, definida como aquella que permitirá emplear los conocimientos obtenidos en otros contextos que nos sean los escolares, reconstruyéndolos para interpretar gráficas que se difunden fuera del medio escolar. Según Dolores y Cuevas (2007), la escasa habilidad de interpretación de las gráficas la atribuyen a que no se ha desarrollado en los estudiantes el pensamiento visual o bien que se prefiere el pensamiento algorítmico porque el visual requiere de procesos cognitivos superiores. El trabajo de investigación Registros de representación, el aprendizaje de nociones relativas a funciones: voces de los estudiantes de Guzmán (1998), reporta las dificultades de los alumnos para la comprensión del concepto de función al atribuirles las mismas características a diferentes representaciones. Acostumbrados a trabajar de manera algorítmica con la representación algebraica de la función o fórmula, asocian los signos a determinado eje o cuadrante pero cuando se representa la función de manera gráfica usando software para graficar, se manifiestan problemas cuando no coincide su predicción con la gráfica observada, los autores. 32.

(36) mencionan por ejemplo que los alumnos esperan que la gráfica de y = (x + 1)2 se desplace hacia la derecha por asociar el signo “+” a ese sentido. Guzmán (1998) concluye que hay preferencia por la representación algebraica y solo un porcentaje reducido de los alumnos opta por la representación gráfica, queda la duda si se debe a falta de pericia para trabajar con la representación gráfica o bien se debe a que para los estudiantes es más importante la representación algebraica. Privilegiar una representación algebraica sobre otras no es una situación que se presente de manera local. Los investigadores Aravena, Caamaño y Giménez (2008) también describen una problemática semejante. Producto de su investigación realizada en su país con respecto a la enseñanza de las matemáticas, también concluyeron que se privilegian los procesos algorítmicos dando como resultado una baja habilidad en el manejo de conceptos matemáticos importantes, situación que genera dificultades de los alumnos para aplicar lo aprendido en el aula a otras situaciones fuera del contexto escolar. Para contrarrestar la problemática expuesta Aravena et al. (2008) recomiendan que para la apropiación y/o construcción de conceptos matemáticos se requiere presentar una problemática que los contextualice, que interese a los alumnos, que busquen entre sus conocimientos previos todos aquellos que servirían para afrontar la problemática, al encontrar que no son suficientes o adecuados entonces surge la necesidad de construir nuevos conceptos matemáticos.. 33.

(37) 2.8 Concepción particular de modelación y competencias en modelación La revisión de literatura, la amplitud y diversidad de puntos de vista sobre el tema de investigación son indispensables como parte del sustento teórico del presente trabajo. Sin embargo es necesario describir la forma en que la influencia de varios autores permite una visión y marco particular de los temas tratados. Haciendo referencia a la pregunta principal de investigación: ¿Cuáles son las prácticas de uso de la tecnología que promueven el desarrollo de competencias de modelación en el estudio de funciones de una variable real? Se pueden identificar al menos dos constructos teóricos de estudio: a) prácticas de uso de la tecnología y b) competencias en modelación además del tema principal que es la construcción del conocimiento matemático: función de una variable real, descrito en una sección anterior. Para la construcción del concepto de función es necesario diseñar una situación didáctica adecuada que interese al alumno y le permita transitar entre diversas representaciones del concepto. De acuerdo con Hitt (2001) un concepto es primordialmente mental y para que se construya requiere de varias experiencias. El problema radica en que los conceptos requieren para su manejo que se les represente de manera externa. En el caso de las funciones se conocen diversos tipos de representaciones: la verbal, tabular, gráfica y algebraica. Cada representación del concepto muestra aspectos parciales de la función, por lo que es necesario transitar entre diversas representaciones del concepto de función para la formación del concepto de función. Siguiendo la propuesta de Hitt (2001) se considerará que el alumno ha construido correctamente el concepto de función cuando puede obtener cada representación y la. 34.

(38) información más importante así como elegir la más conveniente cuando emplee el concepto en situaciones prácticas. Para Moreno y Waldegg (2004) la tecnología además de ser un amplificador es generador de las capacidades cognitivas de los seres humanos y ha modificado el sentido de diversas actividades de operación y cálculo en matemáticas. Actualmente las tecnología permite explorar diversas representaciones de la función pero principalmente la gráfica a partir de la representación algebraica que difícilmente se realizarían empleando papel y lápiz. Al disponer de varios recursos tecnológicos como hojas de cálculo, software para graficar y sensores los alumnos tienen mayor posibilidad de resolver problemas planteados seleccionando el recurso tecnológico apropiado, aumentando el tiempo dedicado al análisis gracias al menor tiempo invertido en la realización de operaciones monótonas. En el presente trabajo de investigación se parte del supuesto que el uso de tecnología: software Graphmatica es un elemento motivador y facilitador de la representación de la función en dos aspectos: el numérico y el gráfico. Se espera que análisis de las características de las representaciones anteriores permita a los participantes de investigación la obtención de la representación algebraica de la función. La capacidad para obtener y transitar entre diversas representaciones de la función será la evidencia de la construcción del concepto de función. En la propuesta para la construcción del concepto de función se decidió que la modelación no es un subproducto de la matemática sino la estrategia de aprendizaje pertinente para la construcción de conocimiento matemático y no solo como una forma de aplicar las matemáticas. Paralelo a la modelación surge otro término llamado. 35.

(39) matematización que consiste en construir un modelo matemático a partir de una situación o problema de un contexto real. Se pretende reconstruir el concepto de función a partir de la interacción con los contenidos propuestos en la situación didáctica, es predecible un cierto grado de dificultad en la construcción del concepto de función. Se evitará en lo posible el efecto Topaze pero se intervendrá señalando a los alumnos que es normal la dificultad que enfrenten ya que los conceptos matemáticos como hoy se conocen han pasado por un largo proceso de modificaciones hasta llegar a su consolidación. Una razón más para elegir la modelación es que permite desarrollar habilidades metacognitivas que a su vez permitirían construcción de conceptos matemáticos y el aprendizaje de la matemática. Son diversas las definiciones de competencia matemática pero se prefiere aquella que la considera como una conducta que se manifiesta en el saber hacer y proceder de manera exitosa cuando se realicen tareas que incluyen un proyecto matemático. El éxito depende de los conocimientos, saberes y habilidades que una persona emplee cuando interactúe con la situación matemática planteada. Las competencias de modelación tienen que ver con el nivel se logra cumplir un ciclo básico de modelación. Se parte de una situación real planteada y por medio de una simplificación, idealización y estructuración se construye un modelo real, posteriormente se transforma ese modelo en uno matemático por medio del proceso de matematización. El ciclo de modelación no termina ahí ya que se trabaja con el modelo matemático, se interpreta y finalmente se valida contrastándolo con la situación real planteada. Para medir el nivel de logro en competencias de modelación se emplea la escala de tres. 36.

(40) niveles sugerida por Henning y Keune (2005): reconocer y comprender la modelación, modelación independiente y meta-reflexión sobre la modelación. Los problemas de optimización planteados en las situaciones didácticas tienen por objetivo presentar contextos que permitan explorar características particulares de las funciones de variable real, como los puntos máximos y mínimos, intervalos de variación del dominio y rango que servirán de referente en los temas posteriores incluidos en el programa de Cálculo diferencial.. 37.

(41) Capítulo 3 Metodología. 3.1 Introducción En el presente capítulo se describe la metodología seleccionada para llevar a cabo la investigación, las razones que llevaron a su selección, determinar el contexto para realizar el investigación, la elección de los participantes de la misma, herramientas para seleccionar las fuentes de información, como tabla de triple entrada y los instrumentos adecuados para la recolección de información en función de la metodología adoptada. Con el objetivo de elaborar instrumentos efectivos para la recolección de información se puso a prueba un guión de entrevista y un cuestionario para detectar posibles incongruencias y realizar las correcciones pertinentes antes de su aplicación definitiva además de estimar el tiempo para su aplicación. Se mencionarán los procesos como la triangulación para validar el análisis de los datos obtenidos y la interpretación (Ramírez, 2008).. 3.2 Método de investigación El debate entre las visiones cualitativa y cuantitativa al realizar una investigación parece continuar en la actualidad, aunque ambos enfoques tuvieron influencia en el presente trabajo finalmente se eligió el enfoque cuantitativo en la modalidad de estudio descriptivo, que consiste en un proceso que detalla como son y se manifiestan los fenómenos de estudio (Hernández, Fernández y Baptista, 2006).. 38.