Tratamiento de los Errores Accidentales

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Tratamiento de los Errores Accidentales

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Clasificación de los Errores: Repaso

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata

Groseros Sistemáticos Accidentales

o fortuitos Clasificación de los errores

 Errores Groseros:

Son aquellos que por una cuestión inadvertida llevan a una evaluación fallida de la medición.

 Errores Sistemáticos:

Son aquellos que se repiten en magnitud y signo (en igualdad de condiciones). Se los debería calcular y desafectar con alguna corrección.

 Errores Accidentales:

Son aquellos que no se repiten siempre con la misma intensidad y signo

sino que siguen leyes del azar. No se los puede desafectar.

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Resumen de cómo tratar errores: Repaso

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Groseros Sistemáticos Accidentales

o fortuitos Clasificación de los errores

Se deben detectar y eliminar.

De ser posible se deben determinar y desafectar de la medida usando

alguna corrección.

De no ser posible desafectarlos contribuirán a la incertidumbre.

Se deben estimar y considerar en la

incertidumbre

Valor medido + Corrección ± Incertidumbre

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MEDICIONES ELÉCTRICAS I

 En muchas aplicaciones es suficiente que el valor medido sea el resultado de una única medición, y que la incertidumbre tome el valor de un Error Máximo o Límite (como venimos haciendo).

Medición Única vs Varias Mediciones

Valor medido + Corrección ± Incertidumbre

 Sin embargo, cuando se quiere aumentar la exactitud del resultado (es decir

acercarse más al valor verdadero) se pueden hacer varias mediciones del mismo

valor de la magnitud en las mismas condiciones experimentales, ya que si hay

en cada medición se cometen errores accidentales que siguen las leyes del

azar es posible que en una serie de mediciones haya por lo menos una

compensación parcial de esos errores accidentales. (Una medición

accidentalmente en exceso se compense con otra medición accidentalmente en

defecto).

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MEDICIONES ELÉCTRICAS I

 Si hay una compensación (aunque sea parcial) de los errores accidentales, puede ser que algún valor representativo de esa serie de mediciones (por ejemplo el promedio de ellas) sea más representativo del valor verdadero que una medición tomada individualmente.

Medición Única vs Varias Mediciones

Conclusión general: Varias mediciones en las mismas condiciones y un tratamiento estadístico posterior tienden a

mejorar la calidad de la medida

 Además, si tomamos varias mediciones en lugar de una sola, podríamos calcular algún índice que nos dé información acerca de la dispersión de los valores medidos respecto del promedio, y si utilizamos ese índice de dispersión como incertidumbre tendremos más información que si solo usamos el error absoluto límite.

¡Para que esto suceda, los errores deben ser puramente aleatorios, lo que

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Conceptos Básicos sobre el Tratamiento

Estadístico de una Serie de Mediciones

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MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Media aritmética:

Parámetros Característicos de una Serie de Mediciones

Mediana (Mn):

Si llamamos v

₁

, v

₂

, ….. v

_n

a las variantes de “n” mediciones independientes obtenidas en las mismas condiciones se define:

Es el promedio de las “n” mediciones: 𝑣 = 1

𝑛 𝑣 _𝑖

𝑛

𝑖=1

Es aquella variante que divide el campo de observaciones en dos partes iguales.

Es decir la mitad de las mediciones son iguales o superiores a la mediana y la mitad de las mediciones tienen valores iguales o menores que la mediana.

Si el número de variantes “n” es par se toma como mediana el promedio de los dos valores centrales equidistantes de los extremos.

Modo (Mo):

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MEDICIONES ELÉCTRICAS I

El Error Límite (E.L.) de una serie de mediciones:

Parámetros Característicos de una Serie de Mediciones

Está determinado por los valores máximos de las desviaciones de la serie.

Si se usa este índice de dispersión para acotar una medida puede expresarse el resultado como:

10.000

⁺²⁵

-50

𝑣 = 𝑣 _−𝐸𝐿 ^+𝐸𝐿

No necesariamente los límites superior e inferior deben ser iguales, por ejemplo se puede poner:

. .L E v  .

.L E

v  v

100% de las mediciones

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MEDICIONES ELÉCTRICAS I

El Error Probable (E.P) de una serie de mediciones:

Parámetros Característicos de una Serie de Mediciones

Se define como aquel valor tal que la mitad de las variantes resultan comprendidas entre:

Error Medio (E.M.) de una serie de mediciones:

Es el promedio de los valores absolutos de las desviaciones parciales.

𝐸. 𝑀. = 1

𝑛 𝑣

₁

− 𝑣 + 𝑣

₂

− 𝑣 + ⋯ . + 𝑣

_𝑛

− 𝑣 = 1

𝑛 𝑣

_𝑖

− 𝑣

𝑛

𝑖=1

Si se usa este índice de dispersión para acotar una medida, la cota de error será lógicamente menor que al usar E.L.

𝑣 = 𝑣 ± 𝐸. 𝑀.

𝑣 − 𝐸. 𝑃. 𝑣 𝑣 + 𝐸. 𝑃.

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MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Parámetros Característicos de una Serie de Mediciones

La Desviación Normal o Desviación Típica (σ):

Es la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de los errores aparentes o desvíos respecto de la media aritmética:

𝜎 = 1

𝑛 (𝑣

_𝑖

− 𝑣 )

²

𝑛 𝑖=1

• Para salvar este inconveniente, y como en la práctica el número de mediciones es acotado, se reemplaza “n” por “n-1” con lo que la ecuación anterior se modifica a:

𝑠 = 1

𝑛 − 1 (𝑣 _𝑖 − 𝑣 ) ²

𝑛 𝑖=1

• Si se realizara una sola medición (n = 1) la desviación normal “σ” daría cero y la conclusión sería incorrecta, puesto que con una sola medición se estaría diciendo que la desviación es nula (es como decir que no hubo error accidental) y eso no tiene sentido.

(desviación típica para muestras pequeñas)

𝑉 = 𝜎 ²

• Al cuadrado de los errores aparentes, es decir, el cuadrado de la desviación normal se lo llama

Varianza (V):

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MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Histograma de Frecuencias Relativas

Intervalo Lecturas

Frecuencia Relativa (fr) (lecturas/total de

lecturas)

(99,65 a 99,75] 1 0,02

(99,75 a 99,85] 3 0,06

(99,85 a 99,95] 12 0,24

(99,95 a 100,05] 18 0,36

(100,05 a 100,15] 11 0,22

(100,15 a 100,25] 4 0,08

(100,25 a 100,35) 1 0,02

Total = 50 Suma = 1

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

99,7 99,8 99,9 100 100,1 100,2 100,3

Es un gráfico que representa como se distribuyen las mediciones que se presentaron (es decir con que frecuencia de repitieron)

Ejemplo de 50 mediciones:

fr

Cantidades medidas

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Funciones de Distribución de Probabilidades

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

 Los histogramas de probabilidades pueden ser reinterpretados al tomar una función continua que sea envolvente del gráfico escalonado. Estas envolventes se denominan “funciones se distribución de probabilidades”

Así como la media para “n” variantes se calcula con la ecuación vista en la transparencia 7:

Se puede demostrar que se llega a la siguiente ecuación usando una distribución de probabilidades “f(v)” (una función continua) en lugar de las “n” mediciones, quedando esta expresión:

𝑣 = 1

𝑛 𝑣 _𝑖

𝑛

𝑖=1

 

 v f v dv

v . ( ).

fr f(v)

v

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Funciones de Distribución de Probabilidades

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

 Los histogramas de probabilidades pueden ser reinterpretados al tomar una función continua que sea envolvente del gráfico escalonado. Estas envolventes se denominan “funciones de distribución de probabilidades”

Así como la varianza para “n” variantes se calcula con la ecuación vista en la transparencia 9:

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 1

𝑛 (𝑣 _𝑖 − 𝑣 ) ²

𝑛

𝑖=1

Se puede demostrar que se llega a la siguiente ecuación usando una distribución de probabilidades “f(v)” (una función continua) en lugar de las “n” mediciones, quedando esta expresión:

 



 v v f v dv

Varianza ( ) ² . ( ).

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Funciones de Distribución de Probabilidades

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Hay cuatro funciones de distribución de probabilidad que son las de mayor utilización en el campo de las medidas eléctricas.

Funciones de distribución de probabilidades

más usadas

Distribución rectangular o uniforme Distribución triangular

Distribución de Gauss

Distribución Student o “t”

Recordemos que en toda función de distribución de probabilidad el área

debajo de la curva es “1”.

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Funciones de Distribución de Probabilidades

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Distribución rectangular:

12 ) ) (

( :

2

b a

V

Varianza     ) 2

(

: a b

X

media  

(16)

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Distribución triangular:

Funciones de Distribución de Probabilidades

) 3 (

: a b c

X

media  



18 )

( :

2 2

2

a b c ab ac bc

V

Varianza        

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MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Distribución de Gauss o distribución normal:

Funciones de Distribución de Probabilidades

Se utiliza muy a menudo para muestras . de gran tamaño (n>30) porque muchas mediciones repetidas siguen este comportamiento.

Se basa en los siguientes postulados:

 El valor verdadero de un número muy grande de mediciones efectuadas en iguales condiciones, está dado por la media aritmética de las mismas.

 Es igualmente probable cometer errores de igual valor absoluto, pero de

distinto signo.

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MEDICIONES ELÉCTRICAS I

y

v v

Ejemplo: Sea una población=10.000 resistencias

La media aritmética de la población la llamaremos µ

La desviación normal de la población la llamaremos σ

Si graficamos la función de distribución de probabilidades

generalmente es normal

Funciones de Distribución de Probabilidades

(19)

• Es una función continua que está caracterizada por dos parámetros:

la media del universo “μ” y la desviación típica, “σ”.

• Su función de distribución es:

La curva normal adopta un número infinito de formas, determinadas por

μ y σ.

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Distribución de Gauss:

Funciones de Distribución de Probabilidades

2 e ) 1

(

2

2 - 1 



 



 



 ^







v

v f

 (media) y  (desviación típica) son parámetros de la distribución

v = valores observados de la variable en estudio

(20)

Distribución de Gauss:

• Tiene forma de campana, es asintótica al eje de las abscisas

• Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores   

•

Simétrica con respecto a la media () donde coinciden la mediana (Mn) y la moda (Mo )

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Funciones de Distribución de Probabilidades

68%

99%

95%

Una regla empírica indica que en una distribución normal el área bajo la

curva entre μ±σ es:

 -



+



𝜇 ± 𝜎 ≅ 68%

𝜇 ± 2𝜎 ≅ 95%

𝜇 ± 3𝜎 ≅ 99%

(21)

20 30 40 50 60 70 80

 5



 10



MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Distribución de Gauss:

Funciones de Distribución de Probabilidades



 



20 30 40 50 60 70 80

µ

 50



 40



 60



 



v v

f(v)

2 e ) 1

(

2 2

-1 



 



 



 ^







v

v f

(22)

Distribución de Gauss:

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Funciones de Distribución de Probabilidades

La probabilidad de que una variante cualquiera “v” de las “n”

mediciones se encuentre comprendida entre “a” y “b” será el aérea de la curva de distribución de probabilidades.

2 e ) 1

(

2 2

-1 



 



 





^







v

v f

dv ) ( )

( ^ ^ ^ 

^b

a

v f b

v a

P

Debido a que es muy laborioso resolver esta integral para encontrar la probabilidad se realiza )

( a v b

P  

(23)

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Funciones de Distribución de Probabilidades

Se define una variable auxiliar “ z ^” _{𝑧 =} ^{𝑣 − 𝜇} 𝜎

La nueva variable z se distribuye como una NORMAL con media  = 0 y desviación típica  = 1

68%

95%

¿Cómo se resuelve una integral sobre la distribución de Gauss?

𝜇 ± 𝜎 ≅ 68%

𝜇 ± 2𝜎 ≅ 95%

𝜇 ± 3𝜎 ≅ 99%

(24)

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

¿Cómo se resuelve una integral sobre la distribución de Gauss?

Funciones de Distribución de Probabilidades

El área bajo la curva de esta distribución normal con media  = 0 y desviación típica  = 1 en la variable “z” está resuelta, y sus valores

se muestran en distintas tablas.

Hay varios tipos de tablas de la distribución normal

La que se explica aquí representa las áreas para los diferentes valores de z desde 0 hasta + 

Entonces una vez transformada la variable “v” a valores de “z”

se busca en la tabla el área correspondiente

0 ⁺

Los valores

negativos de z NO están tabulados, ya que la distribución es simétrica

(25)

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Funciones de Distribución de Probabilidades

¿Cómo se resuelve una integral sobre la distribución de Gauss?

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.0 .50000 .49601 .49202 .48803 .48405 .48006 .47608 .47210 .46812 .46414 0.1 .46017 .45620 .45224 .44828 .44433 .44038 .43644 .43251 .42858 .42465 0.2 .42074 .41683 .41294 .40905 .40517 .40129 .39743 .39358 .38974 .38591 0.3 .38209 .37828 .37448 .37070 .36693 .36317 .35942 .35569 .35197 .34827 0.4 .34458 .34090 .33724 .33360 .32997 .32636 .32276 .31918 .31561 .31207 0.5 .30854 .30503 .30153 .29806 .29460 .29116 .28774 .28434 .28096 .27760 0.6 .27425 .27093 .26763 .26435 .26109 .25785 .25463 .25143 .24825 .24510 0.7 .24196 .23885 .23576 .23270 .22965 .22663 .22363 .22065 .21770 .21476 0.8 .21186 .20897 .20611 .20327 .20045 .19766 .19489 .19215 .18943 .18673 0.9 .18406 .18141 .17879 .17619 .17361 .17106 .16853 .16602 .16354 .16109 1.0 .15866 .15625 .15386 .15151 .14917 .14686 .14457 .14231 .14007 .13786 1.1 .13567 .13350 .13136 .12924 .12714 .12507 .12302 .12100 .11900 .11702 1.2 .11507 .11314 .11123 .10935 .10749 .10565 .10383 .10204 .10027 .09853 1.3 .09680 .09510 .09342 .09176 .09012 .08851 .08691 .08534 .08379 .08226 1.4 .08076 .07927 .07780 .07636 .07493 .07353 .07215 .07078 .06944 .06811 1.5 .06681 .06552 .06426 .06301 .06178 .06057 .05938 .05821 .05705 .05592 1.6 .05480 .05370 .05262 .05155 .05050 .04947 .04846 .04746 .04648 .04551 1.7 .04457 .04363 .04272 .04182 .04093 .04006 .03920 .03836 .03754 .03673 1.8 .03593 .03515 .03438 .03362 .03288 .03216 .03144 .03074 .03005 .02938

Tabla Distribución Normal: Area desde +z a infinito

?x

(26)

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Funciones de Distribución de Probabilidades

¿Cómo se resuelve una integral sobre la distribución de Gauss?

Tabla Distribución Normal: Area desde +z a infinito (continuación)

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

2.1 .01786 .01743 .01700 .01659 .01618 .01578 .01539 .01500 .01463 .01426 2.2 .01390 .01355 .01321 .01287 .01255 .01222 .01191 .01160 .01130 .01101 2.3 .01072 .01044 .01017 .00990 .00964 .00939 .00914 .00889 .00866 .00842 2.4 .00820 .00798 .00776 .00755 .00734 .00714 .00695 .00676 .00657 .00639 2.5 .00621 .00604 .00587 .00570 .00554 .00539 .00523 .00508 .00494 .00480 2.6 .00466 .00453 .00440 .00427 .00415 .00402 .00391 .00379 .00368 .00357 2.7 .00347 .00336 .00326 .00317 .00307 .00298 .00289 .00280 .00272 .00264 2.8 .00256 .00248 .00240 .00233 .00226 .00219 .00212 .00205 .00199 .00193 2.9 .00187 .00181 .00175 .00169 .00164 .00159 .00154 .00149 .00144 .00139 3.0 .00135 .00097 .00069 .00048 .00034 .00023 .00016 .00011 .00007 .00005 4.0 .00003 .00002 .00001 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000

?x

(27)

EJEMPLO

Una fuente de tensión fue medida 100 veces dando un valor promedio de 4V en las mismas condiciones, obteniendo de las mediciones un desviación normal  = 1.5 V

¿Cuál es la probabilidad de que una nueva medición tenga un valor superior a 6 V?

v  6V → (P(v  6 ))

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

(28)

?

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 z

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Solución:

 = 4 V  = 1.5 V Hallar P ( v > 6 )

1.- Transformamos la variable tensión en una variable z.

El valor de z para una tensión de 6 V será:

z = (6 V – 4V)/1.5V = 1.33

z v μ σ

 

(29)

6 MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Solución:

 = 4 V  = 1.5 V Hallar P ( v > 6 )

2.- Hallamos P ( z > 1.33) de una tabla:

P ( z > 1.33) = 0,09176 →

.02275 .02872 .03593 .04457 .05480 .06681 .08076 .09680 .11507 .13567 .15866 .18406 .21186 .24196 .27425 .30854 .34458 .38209 .42074 .46017 .50000 .00

.02222 .02807 .03515 .04363 .05370 .06552 .07927 .09510 .11314 .13350 .15625 .18141 .20897 .23885 .27093 .30503 .34090 .37828 .41683 .45620 .49601 .01

.02169 .02743 .03438 .04272 .05262 .06426 .07780 .09342 .11123 .13136 .15386 .17879 .20611 .23576 .26763 .30153 .33724 .37448 .41294 .45224 .49202

.02

.02118 .02680 .03362 .04182 .05155 .06301 .07636 .09176

.10935 .12924 .15151 .17619 .20327 .23270 .26435 .29806 .33360 .37070 .40905 .44828 .48803 .03

.02068 .02619 .03288 .04093 .05050 .06178 .07493 .09012 .10749 .12714 .14917 .17361 .20045 .22965 .26109 .29460 .32997 .36693 .40517 .44433 .48405

.04

.02018 .02559 .03216 .04006 .04947 .06057 .07353 .08851 .10565 .12507 .14686 .17106 .19766 .22663 .25785 .29116 .32636 .36317 .40129 .44038 .48006 .05

.01970 .02500 .03144 .03920 .04846 .05938 .07215 .08691 .10383 .12302 .14457 .16853 .19489 .22363 .25463 .28774 .32276 .35942 .39743 .43644 .47608

.06

.01923 .02442 .03074 .03836 .04746 .05821 .07078 .08534 .10204 .12100 .14231 .16602 .19215 .22065 .25143 .28434 .31918 .35569 .39358 .43251 .47210 .07

.01876 .02385 .03005 .03754 .04648 .05705 .06944 .08379 .10027 .11900 .14007 .16354 .18943 .21770 .24825 .28096 .31561 .35197 .38974 .42858 .46812 .08

.01831 2.0

.02330 1.9

.02938 1.8

.03673 1.7

.04551 1.6

.05592 1.5

.06811 1.4

.08226 1.3

.09853 1.2

.11702 1.1

.13786 1.0

.16109 0.9

.18673 0.8

.21476 0.7

.24510 0.6

.27760 0.5

.31207 0.4

.34827 0.3

.38591 0.2

.42465 0.1

.46414 0.0

.09 z*

.02275 .02872 .03593 .04457 .05480 .06681 .08076 .09680 .11507 .13567 .15866 .18406 .21186 .24196 .27425 .30854 .34458 .38209 .42074 .46017 .50000 .00

.02222 .02807 .03515 .04363 .05370 .06552 .07927 .09510 .11314 .13350 .15625 .18141 .20897 .23885 .27093 .30503 .34090 .37828 .41683 .45620 .49601 .01

.02169 .02743 .03438 .04272 .05262 .06426 .07780 .09342 .11123 .13136 .15386 .17879 .20611 .23576 .26763 .30153 .33724 .37448 .41294 .45224 .49202

.02

.02118 .02680 .03362 .04182 .05155 .06301 .07636 .09176

.10935 .12924 .15151 .17619 .20327 .23270 .26435 .29806 .33360 .37070 .40905 .44828 .48803 .03

.02068 .02619 .03288 .04093 .05050 .06178 .07493 .09012 .10749 .12714 .14917 .17361 .20045 .22965 .26109 .29460 .32997 .36693 .40517 .44433 .48405

.04

.02018 .02559 .03216 .04006 .04947 .06057 .07353 .08851 .10565 .12507 .14686 .17106 .19766 .22663 .25785 .29116 .32636 .36317 .40129 .44038 .48006 .05

.01970 .02500 .03144 .03920 .04846 .05938 .07215 .08691 .10383 .12302 .14457 .16853 .19489 .22363 .25463 .28774 .32276 .35942 .39743 .43644 .47608

.06

.01923 .02442 .03074 .03836 .04746 .05821 .07078 .08534 .10204 .12100 .14231 .16602 .19215 .22065 .25143 .28434 .31918 .35569 .39358 .43251 .47210 .07

.01876 .02385 .03005 .03754 .04648 .05705 .06944 .08379 .10027 .11900 .14007 .16354 .18943 .21770 .24825 .28096 .31561 .35197 .38974 .42858 .46812 .08

.01831 2.0

.02330 1.9

.02938 1.8

.03673 1.7

.04551 1.6

.05592 1.5

.06811 1.4

.08226 1.3

.09853 1.2

.11702 1.1

.13786 1.0

.16109 0.9

.18673 0.8

.21476 0.7

.24510 0.6

.27760 0.5

.31207 0.4

.34827 0.3

.38591 0.2

.42465 0.1

.46414 0.0

.09 z*

z = (6 V – 4V)/1.5V = 1.33

9,176%

(30)

30

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Sea una población de mediciones que tiene una media μ:

Sacamos su media

Supongamos que extraemos un subconjunto (una muestra) de “n” mediciones :

𝑣

Las medias de distintas muestras de “n” mediciones cada una que se tomen, forman también una distribución de

Gauss, alrededor de µ que tiene una desviación

𝑣 ₁

𝑣 ₁ = 𝜇 ; 𝑣 ₁ < 𝜇 ; 𝑣 ₁ > 𝜇

y

v v

µ

𝜎 _𝑣 = 𝜎 _𝑣

₁

𝑛 𝜎 _𝑣

₁

𝜎 _𝑣 = 𝜎 _𝑣

₁

𝑛

y su 𝜎 _𝑣

₁

Funciones de Distribución de Probabilidades

Puede ser que:

distribución de la

media de las muestras

(31)

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Sucede que cuando el tamaño de la muestra (n) es muy pequeño, la desviación normal de la muestra “S” (que es lo que podemos calcular) solo

sirve como primera aproximación para calcular la desviación normal de la media del universo.

𝑣 ₁

µ

𝜎

_𝑣

≈ 𝑆

𝑣 𝑛

µ

y

v

x 0

-x

v

W. S. Goset bajo el seudónimo de “Student” llegó a establecer “coeficientes de

corrección” para estimar mejor la desviación normal de la media del universo a partir de

Funciones de Distribución de Probabilidades

(32)

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Distribución de Gosset o Student (también llamada “t”):

Funciones de Distribución de Probabilidades

Al igual que la distribución normal, es una distribución continua, acampanada y simétrica.

La distribución de Student tiene una media de cero, es simétrica respecto de la media y se extiende de - a + .

 No hay una distribución de Student, sino una "familia" de distribuciones Student, todas con la misma media cero, pero con su respectiva desviación estándar diferente de acuerdo con el tamaño de la muestra n. Existe una “distribución t” p.ej. para una muestra de 10, otra para una muestra de 11, y así sucesivamente.

La distribución Student es más ancha y más plana en el centro que la

distribución de Gauss. Sin embargo, a medida que aumenta el tamaño de la

muestra, la distribución t se aproxima a la distribución de Gauss.

(33)

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Distribución de Gauss vs Student:

Funciones de Distribución de Probabilidades

Distribución Normal

Distribución Student para n=2

Distribución Student para n=4 Distribución Normal

Distribución Normal

(34)

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Funciones de Distribución de Probabilidades

¿Cómo se trabaja con la distribución de Student?

Se define una variable t :

Los valores de t están tabulados para distintas probabilidades de ocurrencia y grados de libertad (n-1) existiendo distintas tablas con

ligeras variaciones en cuanto a como se las utiliza.

S

v

v n

S

t v   

 



¹ ¹

Distribución de Gosset o Student (también llamada “t”):

n

t S

v 

 ₁



Entonces se puede afirmar que:

(35)

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Distribución Student:

Funciones de Distribución de Probabilidades

α/2

(36)

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Distribución Student:

Funciones de Distribución de Probabilidades

(37)

Dada una muestra de “n”

variantes

1 ) (

1

2 1 1









^ ^v_n ^v

n

i i

n S

t S

v 

 ₁



/2 f(y)

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

𝑣 ₁

µ

Grados de libertad = n-1

Se fija una probabilidad (por ende un valor de α)

Se extrae un valor de t de tabla

¿Cómo se trabaja con las distribuciones de Student?

(38)

Se realiza un estudio de consumo de agua en una pequeña ciudad, tomando como referencia las mediciones en una muestra al azar de 10 viviendas, arrojando los siguientes consumos diarios:

Vivienda Consumo [litros/día]

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

EJEMPLO

Calcule cuanto consume en promedio una vivienda de la ciudad con una

probabilidad del 90% de ser una

afirmación correcta.

(39)

día n l

n

v v

n S s

n

i

v

1 6 . 93 /

) (

1

2

 







En función de los grados de libertad y el índice de confianza se determina el valor de t de la tabla de Student

día l

v  168 /

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Solución:

(40)

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Distribución Student:

(41)

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Distribución Student:

(42)

día n l

n x

n S s

n i

n

1 6 . 93 /

1

2

 





día l /

) 13 168

( )

93 , 6 . 833 ,

1 (

168   

día litros

promedio consumo

día

litros / 181 /

155  

día l

v  168 /

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Solución:

(43)

Distribución de Student

Cuando por razones

económicas la muestra está acotada en número

Distribución de Gauss

Cuando

disponemos de un número

considerable de muestras (>30)

Tamaño de la muestra

En resumen:

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

(44)

Medición de Corriente de Corte de Fusibles

(ensayo destructivo)

CASO II CASO I

Medición de Capacitores (ensayo no destructivo)

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Teoría de Gauss Teoría de Student

EJEMPLO

(45)

Ley de Propagación de la Varianza

(46)

) v , u

f (

w 

Sea una función que relaciona dos variables u y v:

) , (

_u _v

W f  

 

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Ley de propagación de la Varianza

Y que se realicen una serie de “n” mediciones de u y v, de manera que se puedan calcular las medias aritméticas y las desviaciones típicas de esas variables:

Nos proponemos encontrar cuanto vale la desviación típica de la variable W, es decir, σ

_w

:

u  

_u

v  

_v

u ,..., u

,

u

₁ ₂ _n

v

₁

, v

₂

,..., v

_n

(47)

1 1

1

( ^w _u ) _u _, _v . _u ( ^w _v ) _u _, _v . _v

w E E

E  ^ _  ^ _



Podemos tomar los errores cometidos en la medición numero 1 de u (u

₁

) (llamémoslo E

_u1

) y en la medición 1 de v (v

₁

) que podemos llamarlo E

_v1

y propagarlos con la ley de propagación del error, para obtener el error en la medición 1 de w (llamémoslo E

_w1

). Es decir:

u

1

E

^y

E v

1

PRIMERA MEDICION:

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Ley de propagación de la Varianza

Para otro par de mediciones u

₂

y v

₂

tendremos lo mismo:

2 2

2

( ^w _u ) _u _, _v . _u ( ^w _v ) _u _, _v . _v

w E E

E  ^ _  ^ _

2



E u

v

2

E

SEGUNDA MEDICION: y

Genéricamente:

w

w E E

E  ( ^ _ ) .  ( ^ _ ) . Es lo que vimos

en la clase

(48)

  _





 ⁿ

i

w w

w

_n

E

_i

E n E

n E ₁

2 2

2 1

...

1

2



1

Con todos los errores cometidos sobre la variable W (E

_w1

, E

_w2

,….., E

_wn

) podemos calcular la varianza σ

_w

aplicando su definición (transparencia 10):

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Ley de propagación de la Varianza

Pero como dijimos:

Entonces su valor al cuadrado será:

 , ,  ²

2 ( ) . ( ) .

i i

i

v u v v

w u

v u u

w

w E E

E  ^ _  ^ _

i i

i

v u v v

w u

v u u

w

w E E

E  ( ^ _ ) _, .  ( ^ _ ) _, .

i i

i

v u v v

w u

v u u

w v

v v u

w u

v u u

w

w E E E E

E ²  ( ^ _ ) _, ² . ²  ( ^ _ ) _, ² . ²  2 .( ^ _ ) _, . .( ^ _ ) _, .

(49)

 

 ⁿ

i

w

w E

_i

n ₁

2 2 1

Reemplazando: 

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Ley de propagación de la Varianza

Pero:

 

 



  

   



n

i

v u v

v u w v u u

w n

i

v v

v u w n

i

u v

u u w

w

E

_i

E

_i

E

_i

E

_i

n

₁ ^, ^, ₁

2 2

, 1

2 2

,

2

1 ( ) ( ) 2 ( ) ( )

 



2 1

1

2

u n

i

u_i

n E    

 



 



2 1

1

2

v n

i

v_i

n E    

 



 



 

 



  

 

 n

i

v u v

v u w v u u

w v

v v u

w u

v u u

w

E

_i

E

_i

n

₁

, ,

2 2

, 2

2 ,

2

1 ) ( )

( 2 )

( )

( ^ _  ^ _  ^ _ ^ _



(50)

Caso particular:

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Ley de propagación de la Varianza

Esta expresión se conoce como ley de propagación de la varianza para variables no correlacionadas

0

1

 

 n

i

v u_i

E

_i

E

 Si los errores que afectan a las variables u y v (E

_ui y E_vi)

son totalmente independientes, es decir, un error aleatorio que afecte a u no tiene ninguna relación con el error aleatorio que afecte a v, la expresión anterior se simplifica porque:

2 2

, 2

2 ,

2 ( ^w _u ) _u _v _u ( ^w _v ) _u _v _v

w  

  ^ _  ^ _

Entonces:

(51)

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

Ley de propagación de la Varianza

1 0

1

 

 n

i

v u_i

E

_i

n E

 Si los errores que afectan a las variables u y v (E

_ui y E_vi)

no son totalmente independientes, es decir, si están relacionados de alguna manera se cumple que:

) , ( cov )

( )

( 2 )

( )

( _, ² ² _, ² ² _, _,

2 ^w _u _u _v _u ^w _v _u _v _v ^w _u _u _v ^w _v _u _v u v

w  

 

   

   

Entonces:

v) (u, covarianza 1

1

 

 n

i

v u_i

E

_i

n E

A este término se lo denomina covarianza:

(52)

MEDICIONES ELÉCTRICAS I

• Las magnitudes de entrada u y v son independientes; por ejemplo, cuando se han observado reiterada, pero no simultáneamente, en diferentes experimentos independientes, o cuando representan magnitudes resultantes de diferentes evaluaciones que se han realizado de forma independiente.

• No existe información suficiente para valorar la existencia de una correlación entre las magnitudes de entrada.

En la práctica, se considera que no hay correlación entre las variables cuando:

Ley de propagación de la Varianza

(53)

Ejemplo:

Averiguar la desviación típica porcentual de una resistencia calculada a partir de

“n” mediciones de tensión y “n” mediciones de corriente, cuyos valores medios y desviaciones típicas son: U = 100 V ± 12 V y I = 10 A ± 2 A.

2 2 2

2

(

_U^R

) .

_U

(

^R_I

) .

_I

R

 

 

_^



^_

  ¹ ² ²   ² ²

2

I

I U I U

R  

   

 

¹ ² ²

 

² ² ² ² ₂ ²

²

10 12 100

10 1

2

 

 

 

 

 







_I

I U I U

R

 









 1 . 44 4 2 . 33



R



_R

%  23 . 3 %

Una desviación del 12% en la tensión y del 20% en

MEDICIONES ELÉCTRICAS I





 10

m m

m

I

R V

Fómula usada

porque no hay datos para evaluar una correlación entre tensión y corriente







 10 2

R

m

Tratamiento de los Errores Accidentales