MATRICES Y DETERMINANTES

(1)

MATRICES Y DETERMINANTES



Ma

M

at

tr

ri

ic

ce

es

s

1.

Definición

.- Una matriz real es un conjunto de números reales arreglados en filas y columnas en forma de rectángulo. Ejemplos: A =        39 54 ; B ) _12 3/34 5/7_ ; C =                9 5 2 6 ; D ) _ 41 ₇2 3 4_ 2.

Notación

.- columnas M = _          5 2 4 1 3 1 0 2 5 4 2 1 filas N =                2 4 3 1 51 4 5 3 4 5 1 2 3 23 2 0 2 1

El 4 es el elemento que pertenece a la tercera fila y a la segunda columna esto se denota por :

4 = n

32

n34 = 3 n25 = ___

n12 = ___ n11 = ___

n43 = ___ n44 = ___

“El elemento de la fila i, columna j, se representa por nij”

Fila I (i = 3) Columna j (j = 2) Fila 1 : 3, -2, 0, 2, 1 Fila 3 : -1, 4, -5, 3, 4 Columna 1 : 3, 2, -1, 5 Columna 3 : 0, -2, -5, 3 Número de columnas Número de filas

(2)

Una matriz en general, se escribe: A = _       34 a 33 a 32 a 31 a21 a22 a23 a24 a11 a12 a13 a14 a =

 

4 x 3 ij a

N

o

t

a

a. Sin una matriz tiene “m” filas y “n” columnas se dice que es una matriz de orden m x n. En el ejemplo anterior A es un matriz de orden 3 x 4.

b. Si el número de filas es igual al número de columnas entonces se dice que la matriz es cuadrada y que su orden es “n”. Ejemplo: M =         4 3 1

2 _{es una matriz cuadrada de orden 2.}

c. Si A es una matriz cuadrada, la diagonal principal de A, está formada por los elementos aij.

Diag(M) = {2; -4}

d. Se llama traza de una matriz a la suma de los elementos de su diagonal principal. Traza(M) = 2 + (-4) = -2

3.

Matrices Iguales

.- Dos matrices A y B son iguales, si lo son todos los elementos que ocupan las mismas posiciones, es decir : aij = bij, para todo i, j.

Ejemplos: A. _2₄ ₅1 _3₇_ = _2₄ ₅1 _3₇_ B. Para que: _      1 y x 2

= _₃a _b2_ se debe verificar que : a = 2 , x = -2 , y = 3 , b = -1.

4.

Matrices Especiales

.-

a.

Matriz Nula

.- Todos sus elementos son ceros. Se denota por O.

Ejemplo: O2 =       0 0 0 0

b.

Matriz Diagonal

.- Todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son ceros.

Ejemplo: A = _       4 0 0 1 0 0 0 0 3

(3)

c.

Matriz Escalar

.- Es una matriz diagonal en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo: M =           4 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4

d.

Matriz Identidad

.- Es la matriz escalar en la que sus elementos de la diagonal principal son iguales a la

unidad. Ejemplo: I = _       1 0 0 1 0 0 0 0 1

e.

Matriz Traspuesta

.- Se obtiene permutando las filas por las columnas.

Ejemplo: Si A =       6 5 4 2 3 1 __At₌         6 3 5 2 4 1

5.

Suma de Matrices

.- Si A y B son matrices del mismo orden, entonces A + B es la matriz en la que cada elemento es la suma de los elementos de la misma fila y columna de A y B.

Ejemplo: _3₄ ₅1 _₄2_ + __3₅ ₂4 _1₁_ = __6₁ ₇3 _1₅_

6.

Resta de Matrices

.- Se procede de la misma forma que la suma.

Ejemplo:        43 41 22 -      2 3 8 3 5 2 ₌ _      211 27 03

7.

Multiplicación por un Escalar

.- Se obtiene multiplicando todos los elementos de la matriz por el escalar.

Ejemplo: 3        3 4 1 2 ₌ _       9 126 3

8.

Producto de Matrices m x r por r x n

.- Para efectuar esta operación se debe cumplir que el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.

Ejemplos: a.



1 2 1



. _       41 3 = 1 . 3 + 2 . 4 + (-1) (-1) = 12

(4)

b. Sea : A = _2₄ _3₁ 1₂_ ; B = _        32 61 5 4 A . B = _2₄._.4₄_3₍_.3₁₎₃1_(₂2₍)_₂₎ ₄2_..5₅_₍3_.6₁₎₆1_(₂1₍)_₁₎_ = _15₉ ₁₂27_



De

D

et

te

er

rm

mi

in

na

an

nt

te

es

s



_{Determinante de Segundo Orden}

.- Si : A =       d c b a ___A_₌ d ca b = ad - bc Determinante de A Ejemplo: ₂3 ₄5 = 3 . 4 – (2) (-5) = 12 + 10 = 22 ₂ x 1 0 x = x . x2_{– 1 . 0 = x}3



Determinante de Tercer Orden

.- Si : A = _       i h g e f d b c a

para calcular su determinante se procede de la siguiente manera :

1º Se escriben las dos primeras filas debajo de la tercera : a b c d e f g h i a b c d e f

2º Se calculan los productos de los elementos que se encuentran en la diagonal principal y las paralelas, luego se suman dichos productos :

a b c d e f

g h i = (aei + dhe + gbf) a b c

d e f

3º Se calculan los productos de los elementos que se encuentran en la otra diagonal y sus palabras, para luego sumar dichos productos :

a b c d e f

 = g h i = (ceg + afh + bdi) a b c

(5)

4º Se calcula la diferencia de los números obtenidos en los pasos (2º) y (3º): A = (aei + dhc + gbf) – (ceg + afh + bdi)

Ejemplo: Si A = _         2 4 32 1 4 3 1 2 , calcular A 2 1 3 -2 -1 4 3 4 2 = (-4 – 24 + 12) = -16 2 1 3 -2 -1 4 2 1 3 -2 -1 4 3 4 2 = (-9 + 32 - 4) = 19 2 1 3 -2 -1 4 Restando obtenemos:  = -16 – 19 = -35

1. Escribir explícitamente la matriz “A”.

A = (aij)3x2 / aij = i + 2j a)         7 5 6 4 5 3 b)         9 54 8 7 3 c)         9 7 8 6 7 5 d)         4 10 0 2 4 e) N.A. 2. Si : _x_x__yy 2_zz__ww_ = _₁3 ₄5_. Halle : “(x + 2y) – (z + w)” a) 4 b) –3 c) 2 d) 3 e) -2 3. Dado : A =           2 51 3 2 1 ; B =           3 1 1 12 2 . Calcular : “2A - 3B” a)          5 7 9 5 2 4 b)            5 75 9 2 4 c)          5 75 9 2 4 d)         2 01 1 2 4 e)          9 5 2 41 2

4. Determinar P(A) si : A = __2₁ ₀1_ además :

P(x) = 2x + 31. Dar la suma de elementos de P(A).

a) 10 b) 5 c) 12 d) 14 e) 120 5. Si : A = _₁2 ₂3_ ; B = _₄1 ₁2 ₂3_. Hallar “AB” a) _14₉ ₀1 12₇ _ d) _₂4 ₀0 ₂2_ b) _12₄ ₃0 ₂3_ e) _₁1 ₀0 ₁0_ c) _₂4 _0₁ ₄1_

6. Dada la matriz : A = _₃2 ₂3_. Calcular “A2_{– 4A”}

a) _5₀ 1₃_ b) _₀5 ₃0_ c) _₀5 0₁_ d) _₀5 ₅1_ e) _5₀ ₅0_ 7. Si : A2_{= B}2₌     1 0 0 1 _{; AB =}      2 10 1 ; BA = __2₁ ₀1_. Hallar : (A + B)2 a) _₀4 ₄0_ b) _₀8 0₈_ c) _1₀ 0₁_ d) _2₀ ₂0_ e) _₀1 ₇4_ 8. Si : A = _₃1 ₄2_ ; B = _₅3 5₉_, hallar la matriz “X” que resuelve la ecuación : AX = B. Dar como respuesta la suma de sus elementos.

(6)

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

9. Dadas las matrices : A = _5₇ 2₃_ ; B = ₃1 ₄2 ; C = ₈3 2₅ . Entonces se cumple que :

a) A < B < C d) B < A < C b) A < C < B e) C < B < A c) B < C < A

10. Indicar el valor de verdad de cada una de

las siguientes afirmaciones :

I. ₂ b ab ab 2 a _{= 2a}2_b2 II. n_n1 _n_n₁ = -1 III. _aa__bb _aa__bb = 4ab a) VVV b) VVF c) FVV d) FVF e) VFV 11. Si : (1 + x) (1 - x) = y2_{. Calcular :} E = _yx _xy + _xyy _x1 a) 0 b) –1 c) 1 d) 2 e) -2 12. Si : A = ₁₂₅ 5 Log 16 4 Log232 Log327 Log _{. Calcular :}__A_ a) 15 b) 13 c) 8 d) 7 e) 9 13. Dada la matriz : H = _xx2 ₁3 , si H = 4. Hallar H2 a) 268_₆₈ ₁₃51 d) 244_₆₀ ₁₃51 b) 244_₆₈ ₁₁45 e) 268_₆₈ ₁₁45 c) 268_₆₈ ₁₃45 14. Si “x” satisface la ecuación : x + 2₀ ₃3 = 2 ₂1 ₀4 . Calcular el valor de : E = Traza (x) + x a) –39 b) 32 c) –7 d) 25 e) 30

15. Dadas las matrices: A =

3 4 1 3 2 5 1 3 2 ; B = 2 4 3 5 3 2 2 1 3 Calcular el valor de : E = 2A + 3B a) 71 b) 36 c) 72 d) 17 e) 24 1. Dada la matriz : A =             5 0 3 2 4 02 3 1 , calcular el valor de : E = a12 + 222a + a33 a) 12 b) 16 c) 4 d) –4 e) -1 2. Si : A = _2x₄1 _3₁_, B = __3₂y_z 6_y₁_ y A = B. Calcular el valor de : E = 4x + 2y - z a) 6 b) 8 c) 13 d) 9 e) 5

(7)

3. Si : A = __1₂ ₅4_ ; B = __3₂ ₁2_ y C = 2A + 3B Hallar traza (C) a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26 4. Dada la matriz: A =            4 2 1 3 1 2 1 2 3 y el polinomio P(x) = 5x – 2. Hallar la suma de los elementos de P(A).

a) –69 b) 20 c) 69

d) –20 e) 49

5. Dadas las matrices: A = _2₃x__y1 ₂y_ ; B = _5_x_₁y 2₂x_ ; C = _₄2 _5₁_, si : A = B.

Calcular : A + C

a) _₅7 ₂2_ b) __7₂ ₂5_ c) _₄7 ₂2_ d) _₉5 ₁3_ e) _₃5 ₉1_

6. Dadas las matrices:

A =



1 0 2 4



; B =            75 3 1 . Hallar “AB” a) 19 b) –37 c) –19 d) 37 e) -25 7. Resolver la ecuación:             6 5 1 1 a 2 a = [0] a) S = {-2, 3} d) S = {-2} b) S = {2, -3} e) S = {-3} c) S = {-2, -3}

8. Calcular (A + B)2_{, si se sabe que: A}2₌

    31 12 B2₌     33 66 ; AB = 42 48 ; BA = 10 00 a) _₁₁5 ₁₀1_ b) _5₁₁ _6₁_ c) _₁₁10 _12₁ _ d) __5₁ ₁₁6_ e) __10₁ ₁₁12_ 9. Si: A = _₀2 1₂_. Calcular A4_ a) 32 b) 64 c) 128 d) 256 e) 300 10. Si: A = _1₄ 3₂_. Calcular: E = 2A + 3At_ a) 354 b) 48 c) 306 d) –256 e) –306

11. Si la matriz X satisface la ecuación:

X + 2₃1 _2₁ = ₃2 ₄1 . Hallar X a) –24 b) –15 c) 9 d) –9 e) –33 12. Si: A2₌ 3 1 1 2  _{y B}2₌ 1 2 1 1  _{. Calcular el} determinante de: C = (A + B)(A - B)

a) 2 b) 4 c) –2 d) –4 e) 0 13. Dada la matriz: A = 2 1 x 2 x 2 _{, si :}__A__{= 3.} Hallar: 2A + 3At_ a) 100 b) –125 c) 25 d) –100 e) N.A. 14. Si: A = 3 4 15 3 2 3 1 2 . Calcular : A a) 40 b) 20 c) 30 d) 0 e) 10