Teorías de Falla Estática

(1)

DIPLOMADO EN INGENIERÍA DE DISEÑO Y ÁNÁLISIS POR COMPUTADORA.

Teorías de Falla Estática

Conceptos Básicos

(2)

Introducción

¿Por qué fallan las partes mecánicas?

(3)

La figura 1 muestra el círculo de Mohr para un elemento sometido a una prueba de

tensión. En esta prueba una fuerza axial es aplicada lentamente causando un esfuerzo normal. Sin embargo, el círculo de Mohr

también muestra un esfuerzo cortante, el cual tiene una magnitud igual a la mitad del

esfuerzo normal. La pregunta es, ¿qué

esfuerzo hace que falle la pieza, el esfuerzo normal o el esfuerzo cortante?

La figura inferior muestra un ensayo de

torsión que causa un esfuerzo de corte. Sin embargo, también se encuentra presente un esfuerzo normal. ¿Cuál hace fallar la pieza?

Introducción

(4)

¿Qué queremos decir con falla?

• Una parte puede fallar si se deforma lo suficiente como para impedir su correcto funcionamiento.

• Una parte puede fallar fracturándose y separándose.

• Cualquiera de estas condiciones es una falla, pero los mecanismos que los causan son muy diferentes.

• Algunos factores a considerar son los siguientes:

 Tipo de material

 Condiciones del material

 Tipo de carga

Introducción

(5)

Falla de Materiales Dúctiles Bajo Carga Estática

Mientras que los materiales dúctiles llegarán a la fractura

si se llevan más allá de su resistencia última, la falla

normalmente es considerada cuando llegan al punto de

cedencia. La resistencia a la cedencia es

considerablemente menor que la resistencia última. Se

han formulado muchas teorías para explicar esta falla, sin

embargo, únicamente dos de estas teorías coinciden con

los datos experimentales; la teoría de la energía de

distorsión (Von Mises-Hencky) y la teoría del esfuerzo

cortante máximo.

(6)

Teoría de la Energía de Deformación (Von Mises)

Energía Total de Deformación. La energía de deformación en un volumen unitario asociado con cualquier tipo de esfuerzo es igual al área bajo la curva esfuerzo deformación hasta el punto del esfuerzo aplicado tal como se muestra en la figura 2.

2



 1 U

Extendiendo a un estado de esfuerzo tridimensional



₁ ₁ ₂ ₂ ₃ ₃



2 1        



U

(7)

Teoría de la Energía de Deformación (Von Mises) Cont...

Esta última expresión se puede escribir en términos de esfuerzos

principales únicamente por medio del uso de las siguientes relaciones:

 



₃ ₁ ₂



3

3 1

2 2

3 2

1 1

1 1 1































E E E

 



1 2 2 3 1 3



2 3 2

2 2

1

2

2 1               

 E

U

(8)

Teoría de la Energía de Deformación (Von Mises) Cont...

Estado de Carga Hidrostática. Es posible almacenar una gran cantidad de energía de deformación sin que ocurran fallas en materiales sometidos a esfuerzos uniformes en todas direcciones.

Esto es debido a que este tipo de esfuerzos, aunque crean un cambio de volumen y grandes cantidades de energía de deformación, no existe distorsión de la parte y por lo tanto no existen esfuerzos cortantes. Como ejemplo considere una parte sometida a los siguientes esfuerzos:

 1



_y _z

x

 



El círculo de Mohr es un punto con esfuerzo cortante nulo y con esfuerzos principales iguales, de manera que no existe distorsión ni falla.

3 2

1

 

  

(9)

Teoría de la Energía de Deformación (Von Mises) Cont...

Componentes de la Energía de Deformación. Se puede considerar que la energía total de deformación se compone de una parte hidrostática (U_h) que cambia el volumen, y otra debida a la distorsión (U_d) que cambia la forma. Esta última proporciona información del esfuerzo cortante. Se puede entonces escribir:

d

h

U

U U  

Los esfuerzos principales también se pueden escribir de la misma forma:

id h

i

 

  

_{i = 1,2,3}

Sumando los esfuerzos principales obtenemos:



_d _d _d



h 1 2 3 1 2 3

3             

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Teoría de la Energía de Deformación (Von Mises) Cont...

Para que exista un cambio volumétrico sin distorsión, el término entre paréntesis debe ser cero, con lo que obtenemos:

3

3 2

1

 



_h 



^ ^ ^La componente hidrostática es simplemente el promedio de los esfuerzos principales

Ahora bien, la energía U_h asociada al cambio de volumen se puede encontrar reemplazando cada esfuerzo principal en la ecuación de la energía total por el esfuerzo hidrostático _h:



1 2



2

2 3

h

h E

U  

 

 



1 2 2 3 1 3



2 3 2

2 2

1

2 6 2

1    _  _  _   _   _  

 E

U

_h

(11)

Teoría de la Energía de Deformación (Von Mises) Cont...

Energía de Distorsión. La energía de distorsión se obtiene de

h

d

U U

U  



₁² ₂² ₃² ₁ ₂ ₂ ₃ ₁ ₃



3 1    _  _  _   _   _  

 E U

_d

Para obtener un criterio de falla, comparemos la energía de distorsión por unidad de volumen dada por la ecuación anterior con la energía de distorsión por unidad de volumen presente en un ensayo de tensión, ya que de este ensayo proviene nuestra mayor cantidad de información. En este ensayo tenemos

Sy 1 



3 0

2  



Sustituyendo en U_d ²

3 1

y

d

S

U   E 

(12)

Teoría de la Energía de Deformación (Von Mises) Cont...

Finalmente, el criterio de falla se obtiene igualando las dos expresiones para U_d



1 2 2 3 1 3



2 3 2

2 2

1 2

3 1 3

1     _ _ _  _  _  U E

E S^y ^d

3 1 3

2 2

1 2

3 2

2 2

1

       

     

y

 S

Aplicable para estado de esfuerzo triaxial. Para un estado de esfuerzos biaxial, la ecuación se reduce a:

2 3 3

1 2

1

  

  

y



S

(13)

Teoría de la Energía de Deformación (Von Mises) Cont...

La última ecuación describe una elipse como se muestra en la figura 3. El interior de esta elipse define la región segura de esfuerzos biaxiales combinados contra cedencia bajo carga estática.

Figura 3

(14)

Teoría de la Energía de Deformación (Von Mises) Cont...

Cortante Puro. Para el caso de cortante puro los esfuerzos principales quedan definidos como

2 0

3 1













Esta condición queda representada por una línea recta a –45 grados que pasa por el origen. Esta línea intersecta a la elipse en los

puntos A y B. Los valores absolutos de los esfuerzos principales en estos puntos se encuentran a partir de la forma bidimensional:

max 1

2 max 2

1 2

1 1

1 2

577 . 3 0

3 3















y y

y

S S S

Definimos la resistencia a la cedencia en corte S_ys  0.577S_y

(15)

Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo

La contribución del esfuerzo cortante en la falla estática de materiales dúctiles se reconoció antes del desarrollo de la teoría de Von Mises. Esta teoría es conocida también como la Teoría de Tresca-Guest.

Esta teoría establece que se presenta una falla cuando el esfuerzo cortante máximo en una parte es mayor que el esfuerzo cortante en una probeta de tensión cuando se alcanza el punto de cedencia. Escrito de diferente manera, se predice que la resistencia a la cedencia en corte de un material dúctil es:

y

ys S

S  0.50

Notar que este criterio es más conservador que el criterio de la energía de distorsión.

(16)

Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo.

Cont...

En la figura 4 se muestra la envolvente de falla hexagonal superimpuesta con la elipse de la energía de distorsión. Está inscrita dentro de la elipse y la toca en seis puntos.

Se considera que existe falla cuando el estado combinado de esfuerzos alcanza la frontera hexagonal.

Las condiciones de cortante puro se muestran como los puntos C y D.

Figura 4

(17)

Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo.

Cont...

El uso de esta teoría es para materiales dúctiles homogéneos isotrópicos. El primer paso es calcular los tres esfuerzos principales ₁, ₂ y ₃, y de aquí el cortante máximo ₁₃.

Entonces se compara el cortante máximo con el criterio de falla.

Se define un factor de seguridad a partir de las siguientes relaciones:



₁ ₃

 

₁ ₃



max

max 2

2 50

. 0





  

 



 S^ys S^y S^y S^y N

(18)

Comparando Teorías de Falla vs Datos

Experimentales

(19)

(20)

Falla de Materiales Frágiles Bajo Carga Estática

Los materiales frágiles se fracturan en lugar de ceder.

La fractura frágil en tensión es debida al esfuerzo

normal únicamente de manera que la teoría del

esfuerzo normal máximo es aplicable en este caso. La

fractura frágil en compresión es debida a una

combinación del esfuerzo normal en compresión y el

esfuerzo cortante y requiere una teoría de falla

diferente. Si se desea considerar toda una combinación

de cargas se utiliza una combinación de teorías.

(21)

Materiales Simétricos y No-Simétricos

Figura 6 Figura 7

Los materiales simétricos son aquellos cuya resistencia a la tensión es la misma que su resistencia a la compresión (fig 6). Los materiales no- simétricos son aquellos cuya resistencia a la tensión es diferente a la resistencia a la compresión (fig 7). Las fundiciones son un ejemplo típico de material no-simétrico.

(22)

Teoría del Esfuerzo Normal Máximo (Mohr)

Esta teoría establece que ocurre una falla cuando el mayor esfuerzo normal es igual a algún límite de resistencia normal como puede ser la resistencia a la cedencia o la resistencia última.

(23)

Teoría de Coulomb-Mohr y Modificada de Mohr

Las observaciones realizadas acerca de los materiales no-simétricos llevaron al desarrollo de esta teoría. La figura 9 muestra las diferentes teorías de falla para un estado de esfuerzos bidimensional en los ejes 1 y 3 y con esfuerzos normalizados a la resistencia última del material. Nótese la similitud de la teoría de Coulomb-Mohr con la teoría del cortante máximo para materiales dúctiles.

Figura 9

(24)

Comparando Teorías de Falla vs Datos Experimentales

La desviación mostrada con respecto a la teoría de Coulomb- Mohr, es lo que desarrolla la Teoría

Modificada de Mohr. Esta es la teoría

preferida para el caso de materiales frágiles no- simétricos bajo carga estática.

(25)

Uso de la Teoría de Mohr Modificada

Si los esfuerzos principales se ordenan como

0 ,

₂

3

1

   



Únicamente se necesitan dibujar los cuadrantes primero y cuarto tal como se muestra en la figura 11.

El punto A representa un estado de esfuerzos con los dos esfuerzos principales 1 y 3 son positivos. El factor de seguridad para esta situación está dado por

^ut1

N  S

Si los esfuerzos principales tienen signos contrarios, entonces existen dos posibilidades para la falla: la primera es representada por el punto B y el factor de seguridad estaría dado por la expresión anterior

Figura 11

(26)

Uso de la Teoría de Mohr Modificada

Si el estado de esfuerzo está representado por el punto C, entonces el factor de seguridad está dado por:



₁ ₃



1  

  



ut uc

uc ut

S S

S N S

Un método alternativo es evaluar una serie de expresiones conocidas como coeficientes de Dowling que representan un esfuerzo efectivo equivalente al esfuerzo de Von Mises para materiales dúctiles.

El esfuerzo efectivo se determina en base a la siguiente relación



₁^, ₂^, ₃^,

^

₁^,

^

₂^,

^

₃





 MAX C C C

El factor de seguridad es



^ut N  S

 

_



 



  









 



  









 



    



1 3

3

3 2

2

2 1

1

2 2

1

2 2

1

2 2

1



uc ut uc

S S C S

(27)

(28)

Teoría de la Fractura

Las teorías de falla revisadas hasta el momento suponen que los materiales son perfectamente homogéneos e isotrópicos, de tal manera que se encuentran libres de defectos como grietas, huecos o inclusiones que pueden servir como concentradores de esfuerzos. Por lo general, esto no es verdad para los materiales reales.

Podemos afirmar que todos los materiales contienen microgrietas que son imperceptibles al ojo.

Las grietas pueden ocurrir de forma espontánea durante el uso de la parte, y esto dificulta mucho su determinación, cálculo y control.

(29)

Teoría de la Fractura. (Cont...)

Las figuras 12 y 13 muestran la presencia de una grieta crea una concentración de esfuerzos que tiende a ser infinita. Observe que este ocurre conforme la apertura de la grieta disminuye.



 



 

 c

K 1 2 a

En esta sección supondremos que la zona de cedencia alrededor de la grieta es muy pequeña en comparación con las dimensiones de la parte y que el modo de la separación de la grieta es en tensión (modo I)

(30)

Teoría de la Fractura. (Cont...)

Factor de Intensidad de Esfuerzos K

A partir de la teoría lineal de la elasticidad, para b>>a, los esfuerzos alrededor de la grieta se pueden escribir como:



x y



z z

zx yz

xy y x

r K











 



 



 









 

 

 



 

 

  

0

2 sin 3 sin 2

cos 2 2

2 sin 3 sin 2

2 1 2 cos

2 sin 3 sin 2

2 1 2 cos



Esfuerzo plano Deformación plana

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Teoría de la Fractura. (Cont...)

Tomando como ejemplo un estado de esfuerzo plano, calculando el esfuerzo de Von Mises a partir de las componentes x,y y cortante, podemos obtener una gráfica de esfuerzo vs  para una distancia dada (Fig 16). Ahora bien, la figura 17 muestra una gráfica esfuerzo vs radio para la posición  con máximo valor de esfuerzo.

(32)

Teoría de la Fractura. (Cont...)

Los grandes esfuerzos cerca del borde de la grieta crean cedencia local y una zona plástica de radio r como se muestra en la figura 18. El estado de esfuerzos en esta zona plática es directamente proporcional al factor de intensidad de esfuerzo K. Si b>>a y con una grieta en el centro:

a K  

_nom



Si la grieta no es pequeña comparada con la dimensión de la placa, o bien si la geometría es más complicada, entonces:

a K  

_nom



 es un parámetro adimensional que depende de la geometría, el tipo de carga y la razón a/b.

Figura 18

(33)

Teoría de la Fractura. (Cont...)

Por ejemplo, el valor de  para el caso de una grieta centrada en una placa es



 



 

b a sec 2



Ahora bien, si la grieta se encuentra en un borde de la placa como se muestra en la figura 18, entonces =1.12

Se define un factor de seguridad a la falla por fractura

K N_FM  K^c

Donde K_c es la tenacidad a la fractura que es

una propiedad del material. Figura 18 (repetida)

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Teoría de la Fractura. (Cont...)

Unidades.

Las unidades del factor de intensidad de esfuerzo K son MPa-m^0.5 o bien kpsi-in^0.5.

Valores de Tenacidad a la Fractura.

Metales: 20 – 200 MPa-m^0.5

Polímeros y cerámicos: 1 – 5 MPa-m^0.5

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