a estos últimos valores se les llamasolucionesde la ecuación

(1)

4. Una parte importante del proceso de solución es tener presente ciertascondiciones, como la velocidad inicial y la altura inicial del cuerpo en el ejemplo anterior, que quedarán incorporadas en la expresión final de la función que resuelve la ED.

5. En el ejemplo anterior el proceso de solución consistió simplemente en integrar la ED; de hecho en el proceso de solución generalmente habrá que hacer alguna integración, pero en otros casos podrían requerirse otros procedimientos.

En las secciones siguientes definiremos con toda precisión lo que consideraremos unaecuación diferencial ordinaria, lo que se debe entender por sus soluciones y cómo, al añadir ciertas condiciones adicionales a una ED, es posible determinar una única solución. En los siguientes capítulos nos ocuparemos de los diferentes métodos de solución para ellas.

1.2 Definición de una ecuación diferencial

Antes de iniciar, es importante recordar que una ecuación es una proposición matemática que involucra una igualdad entre dos expresiones de cualquier índole, con la condición de que estas expresiones contengan términos indefinidos. Estos términos son expresiones, comúnmente llamadas incógnitas o indeterminadas, que representan algo (un número, vector, matriz, función, etc.) que no tiene asignado un valor fijo, pero que puede ser sustituido, en teoría al menos, por cualquier valor apropiado. Algunos valores convierten a la ecuación en una proposición falsa y otros en una proposición verdadera; a estos últimos valores se les llamasolucionesde la ecuación.

Unaecuación diferencial (ED)es una ecuación en la que se relaciona una variable independiente, una variable dependiente y al menos una de sus derivadas.

Una manera de expresar estas ecuaciones diferenciales es F .x; y⁰; ; y^.n//D 0:

Nos ocuparemos únicamente de estudiar lasED ordinariasque son las que tienen sólo una variable independiente y todas las derivadas se realizan con respecto a esa variable independiente.

Por otra parte, las derivadas que aparecen en una ecuación diferencial pueden ser de varios órdenes:

primeras derivadas, segundas derivadas etc. Al mayor orden de la derivada que participa en la ecuación diferencial se le llama elordende la ED.

Ejemplo 1.2.1 Las siguientes ecuaciones son ecuaciones diferenciales ordinarias:

1. y⁰D x², de orden 1.

2. y⁰⁰ 2yD x², de orden 2.

3. x²y⁰⁰⁰ 2xy⁰D x³, de orden 3.

4. y^.4/5

2x y^.3/2

D x²y³, de orden 4.

5. dy

dx D ry

1 y

k

, de orden 1.

Las ecuaciones diferencialesparciales, o ecuaciones en derivadas parciales, son aquellas que tienen más de una variable independiente y las derivadas (necesariamente parciales) se efectúan con respecto a estas variables independientes.

Ejemplo 1.2.2 Las siguientes son ecuaciones diferenciales parciales:

1. @u

@t D 2@u

@x 5@u

@y C u, de orden 1.

(2)

3. @ u

@t² D k @ u

@x² C@ u

@y² , de orden 2 . 4. @u

@t D k @²u

@x² C @²u

@y²

, de orden 2.

5. @u

@x D @v

@y; @u

@y D @v

@x, sistema de dos ecuaciones parciales de orden 1.

1.3 Soluciones de ecuaciones diferenciales

1.3.1 Soluciones de una ecuación

Ejemplo 1.3.1 Resolver la ecuación: 2x 2D 0.

H Resolver esta ecuación significa encontrar todos los valores que satisfacen la ecuación. ¿Cuáles son esos valores? Depende en parte del conjunto en donde busquemos (es decir, el universo de trabajo), como se ve a continuación:

1. Si consideramos que x 2 R (el universo de trabajo es la recta real), el conjunto solución consta de un sólo punto x D 1. Lo mismo sucedería si consideramos como universo de trabajo sólo a los números enteros o bien sólo a los racionales.

xD 1

Solución de 2x 2D 0.

2. Si el universo es ahora el plano R², el conjunto solución de 2x 2 D 0 consta de todos los puntos .x; y/

que pertenecen a la recta x D 1, paralela al eje y, que pasa por el punto .1; 0/.

x y

.1; 0/

.1; y/

xD 1

3. Si el contexto del problema para resolver la ecuación 2x 2 D 0 es el espacio R³, el conjunto solución consta de todos los puntos .x; y; z/ que se encuentran en el plano x D 1, paralelo al plano yz que pasa por el punto .1; 0; 0/.

(3)

x y z

Observe que la solución de la ecuación considerada cambia dependiendo del universo de trabajo.

Ejemplo 1.3.2 Resolver la ecuación: x²C y²D 25.

H

1. Si el universo de trabajo es el plano R², el conjunto solución de x²C y² D 25 consta de todos los puntos .x; y/ que pertenecen a la circunferencia de radio 5 con centro en el origen. La figura siguiente marca algunas de las soluciones como pares de números reales:

x y

. 5; 0/ .5; 0/

.0; 5/

.4; 3/

. 3; 4/

2. Si trabajamos en R³, el conjunto solución de x²C y² D 25 consta de todos los puntos .x; y; z/ que pertenecen al cilindro recto circular de radio 5, con eje de simetría el eje z.

x y

z

(4)

independiente sea x).

x²C y² D 25 ) y²D 25 x² )

˚y1Dp 25 x² y2D p

25 x²I ambas con dominio Œ 5; 5 :

Las gráficas de estas funciones son las siguientes:

x y

5 5

y1Dp 25 x².

x y

5 5

y2D p 25 x².

También existen soluciones discontinuas como la siguiente:

x y

5 5

yD

(pp25 x² si 5 x < 0I 25 x² si 0 x 5:

En los ejercicios y problemas de este libro estaremos buscando por lo general soluciones f .x/ 2 F que sean continuas.

Observe que una función como g.x/ Dp

25 x², con 5 x 0, también es solución continua de la ecuación x²C y²D 25; sin embargo, en el universo F D f f W R ! R g se tomarán las soluciones con el dominio más amplio posible. Así, es preferible la solución h.x/ Dp

25 x², con 5 x 5.

De los ejemplos anteriores podemos concluir que una ecuación puede tener una, varias o una infinidad de soluciones y esto depende no sólo de la ecuación en sí, sino también del conjunto en el que buscamos las soluciones.

(5)

1.3.2 Solución de una ecuación diferencial

Unasolución de una ecuación diferencial de orden n en un intervalo I es una función definida en dicho intervalo que puede derivarse al menos n veces y que, al sustituirse junto con sus derivadas, se satisface a la ED. Esto es, resulta una identidad para los valores de x en el intervalo I .

Ejemplo 1.3.3 Verificar que las funciones y D 3x²C 7x C Ce ^4x(C 2 R, constante) son soluciones de la ecuación diferencial

y⁰C 4y D 12x²C 34x C 7:

H Derivamos:

y D 3x²C 7x C Ce ^4x ) y⁰D 6x C 7 4Ce ^4x: Sustituyendo y & y⁰en la ecuación diferencial, resulta:

y⁰C 4y D 6x C 7 4Ce ^4xC 4.3x²C 7x C Ce ^4x/D D 6x C 7

4Ce ^4xC 12x²C 28x C

4Ce ^4xD D 12x²C 34x C 7:

La ED se satisface para todos los valores de x 2 R.

Con mucha frecuencia una solución de una ED puede estar definida de manera implícita como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.3.4 Usando derivación implícita, demostrar que las funciones definidas implícitamente por la ecuación 2xyC 3x²y²D 1;

son soluciones de la ecuación diferencial:

y⁰D 2y 6xy² 2xC 6x²y : H Derivamos con respecto a x:

2xyC 3x²y²D 1 ) 2xy⁰C 2y C 3x²2yy⁰C 6xy²D 0:

Despejamos y⁰:

y⁰.2xC 6x²y/D 2y 6xy² ) y⁰ D 2y 6xy² 2xC 6x²y :

Ejemplo 1.3.5 Encontrar los valores de r de tal manera que la función y D e^{r x}sea solución de la ecuación diferencial:

y⁰⁰C 7y⁰C 12y D 0:

H Derivamos dos veces:

y D e^{r x} ) y⁰D re^{r x} ) y^{0 0}D r²e^{r x}: Sustituyendo y, y⁰ & y⁰⁰en la ecuación diferencial:

r²e^{r x}C 7re^{r x}C 12e^{r x}D 0 ) e^{r x}.r²C 7r C 12/ D 0 ) r²C 7r C 12 D 0:

Observe que aquí hemos cancelado el factor e^{r x}, que es ¤ 0 para todo x 2 R. Factorizando:

r²C 7r C 12 D .r C 4/.r C 3/ D 0:

Las soluciones de esta última ecuación son: r1D 4 & r2D 3.

Tenemos entonces dos soluciones de la ecuación diferencial:

y1D e ^4x & y2D e ^3x:

(6)

H Derivamos dos veces con respecto a x:

yD x^r ) y⁰D rx^{r 1} ) y^{0 0}D r.r 1/x^{r 2}: Sustituyendo y, y⁰ & y⁰⁰en la ecuación diferencial, resulta:

x²r .r 1/x^{r 2} xr x^{r 1} 3x^r D r.r 1/x^r r x^r 3x^r D

D x^rŒr .r 1/ r 3D x^r.r² r r 3/D D x^r.r² 2r 3/D 0:

Entonces, suponiendo que x ¤ 0, se obtiene:

r² 2r 3D 0 ) .r 3/.rC 1/ D 0;

y esta última tiene soluciones r1D 3 & r2D 1. Existen entonces dos soluciones:

y1 D x³ & y2D x ¹:

Advierta en este caso que la segunda función no está definida en x D 0, así que podemos decir que y¹D x³ resuelve la ecuación diferencial en el intervalo . 1; 1/, mientras que y² D x ¹ resuelve la ecuación diferencial en . 1; 0/ o bien en .0; C1/.

Es conveniente aclarar, para toda futura referencia lo que queremos decir por resolver.

Resolver una ecuación diferenciales encontrar todas sus soluciones, es decir, es encontrar su conjunto solución. Siempre que sea posible, al resolver una ecuación diferencial hay que especificar en qué intervalo está definida cada función del conjunto solución.

Advierta que en el ejemplo anterior hicimos lo que se indica: especificar en qué intervalo está definida la función del conjunto solución.

En el estudio de ED es frecuente interpretar y⁰D dy

dx como el cociente de diferenciales. De esta forma, por ejemplo, si la ED es

dy

dx D M.x; y/

N.x; y/; ésta puede ser escrita como:

M.x; y/ dx N.x; y/ dyD 0:

A esta expresión de la ED la denotaremos como suforma diferencial.

Ejemplo 1.3.7 Probar quex³

3 C x Cy²

2 2yD C define implícitamente la solución general de la ED:

.x²C 1/ dx C .y 2/ dyD 0:

H A fin de no recurrir al concepto de derivada, procedemos directamente por diferenciales. Debemos recordar que la diferencial de una función y D f .x/ se define mediante:

dyD f ⁰.x/ dx;

de lo cual se desprende que las reglas de derivación son idénticas para diferenciales cambiando únicamente la palabra derivada por diferencial. Así, tenemos:

d.xy/D x dy C y dx:

(7)

Para este ejemplo, calculamos la diferencial de ambos miembros de la solución general. Hallamos

d x³

3 C x Cy² 2 2y

D d.C / ) 1

3 3x²dxC dx C1

2 2y dy 2dyD 0 ) ) x²dxC dx C y dy 2 dyD 0 ) .x²C 1/ dx C .y 2/ dyD 0

que es la ED propuesta.

1.3.3 Tipos de soluciones de ecuaciones diferenciales

Al resolver una ecuación diferencial se encuentran comúnmente dos tipos de soluciones:

1. Unasolución particulares la que representa una solución específica de la ecuación diferencial.

a. En el ejemplo1:3:6hemos visto que y1D x³es una solución particular de la ecuación diferencial, x²y⁰⁰ xy⁰ 3yD 0

para todo x 2 R.

b. Análogamente, en el ejemplo1:3:5vemos que y2D e ^3xes una solución particular de y⁰⁰C 7y⁰C 12y D 0:

2. Unasolución general representa a una familia de funciones que satisfacen la ecuación diferencial.

Esta representación de la familia necesariamente incluye una o varias constantes arbitrarias, como se ve en los siguientes ejemplos:

a. La familia de funciones y D x³C4x²C2x CC .C 2 R/ es solución general de y⁰D 3x²C 8x C 2, como se aprecia de inmediato al derivar.

b. Podemos decir, ampliando el anterior ejemplo, que si Z

f .x/dxD F.x/ C C;

entonces se tiene que

yD F.x/ C C

es solución general de la ecuación diferencial y⁰ D f .x/. En cierta forma la infinidad de soluciones de las ecuaciones diferenciales proviene de este hecho.

c. Las funciones y1.x/ D A cos 3x & y².x/ D B sen 3x, para cualesquiera valores de A & B, son ambas soluciones de

y⁰⁰C 9y D 0;

como se comprueba de inmediato al derivar pues y₁⁰⁰ D 9A cos 3x & y2⁰⁰D 9B sen 3x, de modo que al sustituir en la ecuación diferencial resulta

y₁⁰⁰C 9y¹D 9A cos 3x C 9A cos 3x D 0 y similarmente y₂⁰⁰C 9y²D 9B sen 3x C 9B sen 3x D 0I

y3D A cos 3x C B sen 3x es solución general de la misma ecuación diferencial.

(8)

y⁰D 2.x p

x² y/:

Cuya solución general es

yD 2px p²;

donde p es una constante arbitraria. Por otra parte, si consideramos la función y D x², nos encontramos con que es otra solución de y⁰D 2.x px² y/. Lo interesante de este ejemplo es que y D x²no es una solución particular obtenida de la solución general y D 2px p²; por tal motivo a y D x²se le llama una solución singular.

Ejercicios 1.3.1 Soluciones de ecuaciones diferenciales.

En cada uno de los siguientes ejercicios se presenta una ecuación diferencial y una función. Verificar que la función es solución de la ED. En cualquier caso, las C (con subíndice o sin él) que aparecen son constantes.

1. xy⁰C y D cos xI y D sen x x . 2. y⁰ .tan x/y D 0I y D C

cos x. 3. Ld i

dt C Ri D EI i D E

R C Ce ^R^L^t; donde L ¤ 0; R ¤ 0 & E son constantes dadas y C es una constante arbitraria.

4. yy⁰D x 2x³I y D xp 1 x². 5. y⁰D 3y²I y D 1

3xC C. 6. xsen xdy

dx C .sen x C x cos x/y D xe^xI y D e^x.x 1/C C xsen x . 7. y⁰C y cos x D1

2sen 2xI y D sen x 1 C Ce ^{sen x}. 8. xdy

dx C y

p1 x² D 1 Cp 1 x²

e^xI y D

1Cp 1 x² x

.e^xC C /.

9. y

dy dx

2

C 2xdy

dx yD 0I y²D 2Cx C C². 10. y⁰D e^{.x y/}I y D ln.C C e^x/.

11. xy

"

1

dy dx

2#

D .x² y² a²/dy

dxI y² D Cx² a²C 1C C. 12. .x²C y²/dx 2xydyD 0I y Dp

x² Cx.

13. .x y/dxC xdy D 0I y D x.C ln x/.

14. xy⁰D y tan.ln y/I yD e^arcsen.Cx/. 15. d³y

dx³ C 3 x

d²y

dx² D 0I y D C¹xCC2

x C C³. 16. d²y

dx² 2kdy

dx C k²yD e^xI y D .C¹C C²x/e^kxC e^x

.k 1/², con k D constante.

(9)

17. .1 x²/d²y dx² xdy

dx A²yD 0I y D C¹e^A^{arcsen x}C C²e ^A^{arcsen x}, donde A es una constante.

18. y⁰ yD e^x^Cx²I y D e^x Z x

0

e^t²dtC Ce^x.

19. dx

dy D 1C x²

1C y²I x D yC C 1 Cy.

20. .xy²/⁰D xy³.x²C 1/I y D 5 x³C 5x Cp

x.

1.4 Condiciones iniciales

De las definiciones y ejemplos de la sección anterior se ve que en general las ecuaciones diferenciales pueden tener una infinidad de soluciones. Entonces podemos preguntarnos: ¿cómo escoger alguna de las soluciones en particular? Las ecuaciones diferenciales servirán para modelar diversas situaciones en ingeniería y ciencias, de modo que la pregunta anterior tiene mucho sentido, pues si para resolver algún problema aplicado se requiere de sólo una respuesta del modelo y en lugar de esto encontramos una infinidad de posibles respuestas, aún faltará decidir cuál de ellas resuelve el problema; así pues, se necesita más información para decidir.

Por ejemplo, en un problema de caída libre, si un objeto parte desde una altura de 100 m sobre el suelo, en la sección 1:1 hemos visto que su altura estará dada en cada momento t por

s.t /D 1

2gt²C v⁰t C s⁰;

donde la información dada nos permite ver que s0 D 100 m, pero no se conoce la velocidad inicial v⁰. La expresión “parte desde una altura de 100 m” nos da la idea de que puede haber un empuje o velocidad al iniciar el experimento pero no nos da su valor. Así que lo más que podemos decir es que la altura del móvil al tiempo t será s.t/ D 4:9t²C v⁰t C 100, y para una respuesta a cualquier pregunta concreta sobre el movimiento necesariamente dependerá del valor v0. Esta cantidad, que debería conocerse para determinar una única solución, es lo que se conoce como unacondición inicial.

Dada una solución y.t/ de una ecuación diferencial F.t; y; y⁰/D 0, unacondición inicialse especifica como y.t0/D y⁰. Es decir, la solución y.t/ toma el valor y0para t D t⁰.

Si una ecuación diferencial puede resolverse para obtener una solución general que contiene una constante arbitraria, bastará con una condición inicial para determinar una solución particular; en casos en que la solución general de una ecuación diferencial contenga dos o más constantes arbitrarias, es de esperarse que se necesiten dos o más condiciones, aunque éstas se pueden dar de varias formas, que revisaremos en su oportunidad.

Ejemplo 1.4.1 Una solución general de la ecuación diferencial yy⁰ 4xD 0 puede escribirse como 4x² y²D C . Determinar la solución particular que satisface a la condición y.2/ Dp

7.

H Basta con sustituir los valores x0 D 2, y⁰Dp

7en la solución general para definir un valor de C : C D 4.2/² .p

7/²D 16 7 D 9:

Por tanto, la solución particular buscada es 4x² y² D 9 o bien y² D 4x² 9, de donde y D p

4x² 9.

Observe que al despejar y hemos hecho una elección en el signo positivo del radical, para que se cumpla efectivamente la condición inicial.