Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña
Febrero 2009, versión 1.2
1 Introducción
En este tema preliminar, repasaremos algunos conceptos matemáticos que necesitaremos en temas posteriores y que suelen presentar dificultades para la mayoría de los estudiantes. En concreto, repasaremos la definición y propiedades de
• Desigualdades: propiedades, resolución, cálculo de acotaciones.
• Funciones monótonas: definiciones, propiedades, aplicación en la ma- nipulación de desigualdades.
• Valor absoluto: definición y propiedades, cálculo de cotas superiores.
• Cálculo de extremos sobre intervalos cerrados.
También aprenderemos los elementos fundamentales en el uso del programa de cálculo matemático Maple. Como primera aplicación, usaremos Maple para estimar gráficamente el valor de cotas superiores del tipo
M = max
x∈[a,b]
¯¯
¯f(n)(x)¯¯¯.
2 Objetivos
2.1 Teóricos
Al finalizar el tema, el alumno debe se capaz de:
• Definir las desigualdades y aplicar sus principales propiedades.
• Definir valor absoluto y aplicar sus propiedades.
• Definir las funciones monótonas y aplicar sus propiedades.
• Enunciar el teorema de Weierstrass y aplicarlo para decidir la existen- cia de extremos.
• Distinguir claramente la función objetivo en un problema de optimi- zación.
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2.2 Cálculo manual
Al finalizar el tema, el alumno debe se capaz de:
• Resolver desigualdades de primer y segundo grado.
• Determinar la monotonía de funciones sencillas usando la derivada.
• Aplicar logaritmos y otras funciones monótonas en la resolución de inecuaciones.
• Aplicar las propiedades de las desigualdades y del valor absoluto en el cálculo de cotas superiores.
• Determinar los extremos absolutos sobre un intervalo cerrado de fun- ciones del tipo h(x) =¯¯¯f(n)(x)¯¯¯, donde f(n) es la derivada n-ésima de una función sencilla.
2.3 Cálculo con ordenador
Al finalizar el tema, el alumno debe se capaz de realizar con Maple las siguientes tareas
• Asignar y borrar variables.
• Crear grupos de ejecución que realicen tareas complejas.
• Evaluar expresiones en forma exacta con subs y eval.
• Evaluar expresiones en forma decimal con evalf.
• Usar correctamente π y el número e.
• Usar las funciones usuales: polinómicas, trigonométricas, exponencia- les, etc.
• Variar el número de dígitos con Digits.
• Manipular expresiones con expand y factor.
• Definir funciones de usuario: distinguir claramente entre expresiones y funciones.
• Definir una función a partir de una expresión mediante unapply.
• Diferenciar entre variable globales y locales. Usar restart.
• Calcular derivadas de expresiones con diff.
• Calcular funciones derivadas con el operador D.
• Calcular primitivas y integrales definidas con int.
• Calcular límites con limit.
• Representar gráficamente expresiones con plot, determinando el in- tervalo adecuado.
• Representar gráficamente funciones con plot, distinguir entre la repre- sentación de funciones y de expresiones.
• Representar conjuntamente varias funciones y/o expresiones, asignar colores a los gráficos con color.
• Estimar gráficamente la solución de ecuaciones del tipo f(x) = 0.
• Estimar gráficamente la solución de ecuaciones del tipo f(x) = g(x).
• Resolver ecuaciones en forma exacta con solve.
• Resolver ecuaciones en forma aproximada con fsolve.
• Estimar gráficamente la solución de inecuaciones del tipo f(x) ≤ 0.
• Resolver inecuaciones en forma exacta con solve, interpretar correc- tamente el resultado.
• Descomponer una función racional en fracciones simples con convert.
• Estimar gráficamente un valor aproximado para M = max
x∈[a,b]
¯¯
¯f(n)(x)¯¯¯
donde la función f , el intervalo [a, b] y el valor n son conocidos.
3 Orientaciones para el estudio
• Además de esta guía de estudio, el material de la asignatura incluye:
— Resumen.
— Enunciados de problemas.
— Resolución de los problemas.
— Resolución de los problemas con Maple.
— Prácticas.
• Mi recomendación es que leas la Guía de estudio y des una ojeada rápida al Resumen de clase y los Enunciados de problemas antes de asistir a clase.
— Durante la primera revisión, encontrarás algunas cosas que en- tiendes y otras (seguramente muchas) que te sonarán a chino ( o algo peor), marca con lápiz los partes que no comprendes.
— En una segunda lectura, después de la clase, podrás comprobar que las cosas han mejorado notablemente.
— En una tercera revisión, después de realizar todas las actividades y ejercicios del tema, debieras entender con claridad el Resumen de clase y verificar que has alcanzado prácticamente todos los objetivos que se especifican en la Guía de estudio.
— Marca en rojo las partes que no comprendes y los objetivos no alcanzados y consulta con el profesor.
• Resuelve con papel y lápiz los ejercicios 1,2,3,4,6,7,9. Aprovecha estos ejercicios para repasar la derivación de funciones, las derivadas que has de calcular manualmente en el curso son de ese grado de dificultad..
• Si no sabes como empezar un ejercicio o te quedas encallado, da una ojeada a las soluciones y procura continuar sin mirar.
• Después de asistir a la clase práctica, imprime la practica y vuelve a hacerla tú solo.
• En este tema, el material nuevo corresponde el manejo del programa Maple. Es muy importante que te asegures de dominar bien los elementos básicos de Mapledesde un principio, esto te simplificará mucho la asignatura y aumentará tu rendimiento.
• Resuelve con Maple los ejercicios 1,2,3 y 4.
4 Temporalización
Aproximadamente, el tiempo necesario para cubrir el tema es el siguiente:
Actividad Tipo Duración
Explicación teórica, ejemplos Clase teoría 2h Ejemplos, problemas Clase prácticas 1h
Prácticas ordenador Clase prácticas 3h 6h Leer guia estudio, resumen Trabajo personal 0,75h
Problemas a mano Trabajo personal 2,0h Hacer práctica Trabajo personal 0,75h Poblemas con Maple Trabajo personal 0,75h
Cuestionario Trabajo personal 0,25 4.5h
• El tiempo indicado para las actividades de trabajo personal es orienta- tivo, y puede variar considerablemente de un estudiante a otro depen- diendo de las características personales, del nivel matemático previo o de la experiencia y destreza en el manejo de herramientas informáti- cas; no obstante, si necesitas mucho más tiempo del indicado, sería recomendable que hablaras con el profesor.
5 Asistencia a clase
Debido a las características de esta asignatura, es muy recomendable que procures asistir a todas las clases. La asistencia regular a clase te proporcionará una mejor comprensión de la materia y te pue- de ahorrar mucho trabajo. Si por motivos laborales o cualquier otra circunstancia no puedes asistir a alguna clase, puedes estudiar la materia por tu cuenta, pero asegúrate que dedicas un tiempo adicional de estudio personal que sea como mínimo equivalente al tiempo de clase perdido.
6 Actividades complementarias
Si dispones de tiempo, puedes realizar alguna de las siguientes actividades.
• Descarga el libro de Métodos numéricos de Albina-Gilibets-Puente y da una ojeada al apéndice A sobre Maple.
• Busca dos o tres problemas de otra asignatura que contengan cálculos o gráficos y resuélvelos con Maple.
• Resuelve alguno de los problemas restantes de la lista de problemas.
• Ve a la biblioteca del Campus y da una ojeada a los libros de Métodos Numéricos y de Análisis Numérico.
Cuestionario
Alumno: _____________________________________
1. Asistencia a clase. Indica si has asistido a todas las clases de teoría y prácticas correspondientes al tema, en caso de no asistencia indica si has dedicado un tiempo equivalente de estudio personal. Finalmente, indica (si procede) el número de horas de clase perdidas que no hayas recuperado mediante estudio personal.
Asistencia Recuperado
Si No Si No En parte Horas perdidas Clases de teoria
Clases de práctica
2. Tiempo de estudio personal
Tiempo Lectura de guía de estudio y resumen
Hacer problemas a mano Hacer práctica
Hacer problemas con Maple
3. Puntúa la utilidad de los documentos de estudio entre 1 (= es una pér- dida de tiempo) y 5 (=muy útiles). Si no has descargado el documento, deja la casilla en blanco.
Puntuación Guía de estudio
Resumen Problemas
Problemas resueltos
Problemas resueltos con Maple Práctica
4. Revisa la lista de objetivos y escribe dos o tres tópicos que te gustaría que se volvieran a explicar en clase.
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5. Revisa la lista de objetivos y da una estimación intuitiva entre 1 y 5 de tu grado de cumplimiento de esos objetivos. ____________
6. Sugerencias:
