PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA 1 de 8 PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA
Ciclo Lectivo: 2014 Curso: Tercer año
Espacio Curricular: GEOMETRÍA III Régimen de cursado: Anual
Formato: Módulo
Carga horaria: 4 hs cátedra. 2 hs de Gestión Profesor: BOITEUX, Yanina Anabel
1- OBJETIVOS
Profundizar el estudio de la Geometría en sus tres dimensiones: como objeto matemático, en su dimensión útil con respecto a otras áreas de la Matemática, y apelando a su utilidad para la modelización problemas extramatemáticos.
Recuperar los significados geométricos previamente construidos y desarrollar un lenguaje con niveles crecientes de formalización.
Trabajar en el nivel más alto de razonamiento geométrico según Van Hiele mediante el análisis de los distintos modelos de geometrías no euclideanas.
[Los niveles de razonamiento geométrico de Van Hiele reciben el nombre de:
Nivel 0 (visualización), Nivel 1 (análisis), Nivel 2 (deducción informal), Nivel 3 (deducción formal), Nivel 4 (rigor)].
Afianzar las habilidades argumentativas construidas en los distintos espacios de formación matemática.
Partir del dibujo de figuras geométricas para su reconocimiento como un conjunto de relaciones geométricas, reflexionando sobre sus limitaciones conceptuales y la necesidad e importancia de un trabajo argumentativo y un conocimiento organizado.
Desarrollar la capacidad de argumentar deductivamente la validez de propiedades de los objetos geométricos..
El estudio de las transformaciones del plano para caracterizar objetos geométricos y propiedades invariantes, simetrías y semejanzas.
Reconocer las vinculaciones entre las distintas Geometrías y sus condiciones histórico-sociales de emergencia.
Ampliar los horizontes formativos en Matemática mediante el estudio de Geometrías no euclidianas y de elementos de la Topología.
El uso de recursos y aplicaciones informáticas (software educativo) que incluye simulaciones y/o su diseño, sobre el desarrollo de procesos de modelización matemática.
Manejar los fundamentos disciplinarios en el eje Geometría que permitan el desarrollo de recursos pedagógicos para mejorar el proceso de enseñanza- aprendizaje.
PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA 2 de 8 2- ORGANIZACIÓN DE LOS EJES TEMÁTICOS:
EJE I GEOMETRÍA FINITA: El número de oro- Geometría fractal.
I.1. Introducción axiomática de la geometría en el plano. Construcción de geometrías finitas a partir de un cuerpo.
I.2. El número de oro en el arte, en la naturaleza, arquitectura. La sucesión Fibonacci. El número de oro y la geometría: rectángulo áureo., pentágonos, decágonos.
I.3. Fractal. Definición. La dimensión Fractal. Fractales especiales: La criba de Sierpinski. El conjunto de Cantor. El peine de Cantor. La curva de Von Koch. La curva de Levy. Espirales y árboles. El espiral de Arquímedes. El espiral de crecimiento. La espiral loxodrómica. El árbol de Pitágoras. Los fractures estrellados.
Fractales estocásticos. El método de Montecarlo. Movimiento Browniano. Sistemas dinámicos caóticos. Los fractales de Julia y Mendelbrot.
EJE II: GEOMETRIA PROYECTIVA – GEOMETRIA DE INVERSIÓN
II.1. Teorema de Menelao, Pappus y Desargues. Resolución de problemas.
II.2. Introducción a la Geometría de inversión. Resolución de problemas.
II.3. Geometría Proyectiva.Ejes y centros de perspectiva. Aplicaciones. Dualidad.
Principio de dualidad. Plano proyectivo. axiomas de incidenca y axiomas del plano proyectivo.Recta proyectiva. Puntos.Puntos alineados. Resolución de problemas.
EJE III: GEOMETRÍA NO EUCLIDEANAS: Hiperbólica – Elíptica.
III.1. Revisión de nociones acerca de los números complejos Transformaciones de Möebius.
III.2. El modelo de Poincaré - Klein. El disco unitario y su Geometría. Grupo de transformaciones de Möebius. Estudio geométrico de la aplicación Inversión. El plano complejo extendido y la esfera de Riemann.
III.3. El semiplano de Poincaré. Versión hiperbólica del Quinto postulado de Euclides. Equivalencia del Semiplano de Poincaré con el disco unitario.
III.4. Geometría elíptica. Versión elíptica del quinto postulado. Los triángulos esféricos. Teoremas. Resolución de triángulos esféricos.
EJE IV: SISITEMTIZACIÓN DE LA GEOMETRÍA
IV.1. La axiomática de Euclides. La axiomática de Hilbert. Propiedades afines.
Paralelismo. Operaciones lineales con vectores. Propiedades métricas. La perpendicularidad y la congruencia en geometría plana.
PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA 3 de 8 IV.2. Espacios métricos y topológicos en General. Propiedades proyectivas y topológicas. El programa de Erlangen. Geometría computacional. Curvas clásicas especiales.
3- METODOLOGÍA
Como indica Grappin1 un método pedagógico puede definirse como «un conjunto de reglas y de principios normativos sobre los cuales descansa la enseñanza».
En otras palabras, un método pedagógico consiste en una forma de ordenar la actividad docente para conseguir los objetivos que se han definido.
Desde diferentes perspectivas pedagógicas, al docente se le han asignado diversos roles: el de transmisor de conocimientos, el de animador, el de supervisor o guía del proceso de aprendizaje, e incluso el de investigador educativo. El maestro se puede reducir solo a transmitir información pero desde este escenario no logrará aprendizajes significativos en sus alumnos, sino tiene que éste tiene que mediar el encuentro de sus alumnos con el conocimiento en el sentido de guiar y orientar la actividad constructiva de los mismos.
El papel de los formadores de docentes es el de proporcionar el ajuste de ayuda pedagógica, asumiendo el rol de profesor constructivos y reflexivos. La formación del docente debe abarcar los planos conceptuales, reflexivos y prácticos.
A partir de lo anterior cada profesor, en función de sus características, del perfil de los alumnos y de los objetivos del programa, debe seleccionar una combinación de metodologías de enseñanza que incremente la probabilidad de que se alcancen los objetivos de aprendizaje. Donde el Profesor debe estar al día en lo que a métodos docentes se refiere, es decir los debe conocer, y ser lo suficientemente flexible para poder seleccionar en cada momento la combinación más adecuada de acuerdo con los objetivos pedagógicos, el perfil de los alumnos y los medios disponibles.
El profesor se debe convertir en un agente orientador, estimulador y favorecedor del aprendizaje, enfatizando el saber, el saber hacer y el saber ser.
PROPUESTA DE ACTIVIDADES
Ampliar los conocimientos geométricos adquiridos en las asignaturas de Geometría I y II en el marco de la Geometría del espacio euclidiano.
1Grappin, J.P.: Claves para la formación en la empresa; Ceac, Barcelona, 1990, pág. 71.
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Desafiar la intuición para poder incursionar en diversos ejemplos de Geometrías no euclidianas, relativizando la validez del V postulado.
Abordar ejemplos y problemáticas de la Geometría proyectiva, hiperbólica, esférica, entre otras; sin pretender un estudio exhaustivo de las teorías matemáticas que las sustentan.
Incursionar en conceptos básicos de la Topología mediante análisis y estudio de propiedades cualitativas, en algún sentido invariantes, de los objetos geométricos
Lectura de las distintas bibliografías, mediante el empleo de estrategias de comprensión lectora.
Trabajos individuales y grupales.
Resolución de Guías de Actividades.
Discusiones grupales sobre los aportes de trabajos de investigación realizados en el ámbito de la Geometría.
Exposición de los tópicos centrales del programa y de las conclusiones elaboradas.
RECURSOS
Proyección de presentaciones en PowerPoint.
Material bibliográfico.
Material digitalizado.
Sitios Web.
Las clases serán teórico-prácticas con activa participación de los alumnos y se abordarán los contenidos medulares de cada unidad de forma tal que el alumno pueda abordar el resto de los contenidos por si solos.
Las clases eminentemente teóricas serán de carácter expositivo. En las mismas, además de la transmisión verbal de los conocimientos se estimulara el espíritu crítico, analítico, reflexivo de los alumnos.
Se exigirá permanentemente a los alumnos la profundización de los contenidos a través de la lectura de los autores presentados en la bibliografía. Para el manejo del material bibliográfico y la verificación de la adquisición de esta competencia, se estipularán trabajos prácticos grupales por unidad.
Cada tema será ejemplificado con ejercicios y problemas de aplicación con descripción y discusión de situaciones específicas de la asignatura.
Los alumnos resolverán los trabajos prácticos con la finalidad de afianzar los conceptos y entrenarse en la resolución calculatoria.
4- EVALUACIÓN
El objetivo principal de la evaluación es el de retroalimentar el proceso enseñanza- aprendizaje; esto significa que los datos obtenidos en la evaluación servirán a los que
PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA 5 de 8 intervienen en dicho proceso (docentes- alumnos) en forma directa para mejorar las deficiencias que se presenten en la realización del proceso e incidir en el mejoramiento de la calidad y en consecuencia el rendimiento en el Proceso Enseñanza-Aprendizaje.
Por tal motivo la evaluación será continua, a través de la participación de los estudiantes, el cumplimiento de los trabajos solicitados por el docente, evaluando presentación, prolijidad, contenido, y los tiempos estipulados en su presentación.
Se evaluará el proceso con una planilla de control atendiendo a los siguientes puntos:
Compromiso con el trabajo.
Reconocimiento del objeto matemático.
Resolución calculatoria.
Validación del resultado.
Uso de la Bibliografía.
Asistencia.
Participación.
Elaboración de secuencias didácticas.
Exposición y defensa de dichas secuencias.
Regularidad: La regularidad de la materia será otorgada si el alumno alcanza el 60% de la asistencia, aprueba los exámenes parciales o sus respectivos recuperatorios orales y escritos sobre los contenidos disciplinares; en caso de desaprobar uno o más reuperatorios deberá aprobar un examen global escrito sobre todos los contenidos trabajados durante el ciclo lectivo.
Acreditación Final: Para la acreditación de la materia el alumno deberá rendir una examen escrito frente a un tribunal de acuerdo a las reglamentaciones vigentes.
Examen libre: Para la acreditación de la materia para el alumno en condición de libre, deberá rendir un examen escrito y oral frente a un tribunal de acuerdo a las reglamentaciones vigentes de mayor complejidad a programa abierto.
5- BIBLIOGRAFÍA
BIBLIOGRAFÍA OBLIGATORIA
EJE I GEOMETRÍA FINITA: El número de oro- Geometría fractal.
ALSINA, Claudí ."Viaje al país de los rectángulos"- O.M.A. Red Olímpica.-Buenos Aires-1995.
L .A. Santaló - Geometría en la formación de Profesores -Red Olímpica - Buenos Aires - 1993.
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AGUILERA NESTOR-" Un paseo por el jardín de los fractales". Néstor Aguilera.
Red Olímpica . O.M.A.-Buenos Aires.1994
EJE II: GEOMETRIA PROYECTIVA – GEOMETRIA DE INVERSIÓN
L .A. Santaló - Geometría en la formación de Profesores -Red Olímpica - Buenos Aires - 1993.
L.A. Santaló - Geometría Proyectiva - E.U.DE.BA - Buenos Aires -1955.
L.A. Santaló - Matemática 2, Iniciación a la Creatividad -Kapelusz – Buenos Aires - 1993.
Matemática elemental moderna. Estructura y método. Lógica y conjuntos.
Aritmética. Algebra. Geometría. 2º Ed.
PROJECTIVE GEOMETRY, H.S.M. Coxeter, Berlín: Springer-Verlag 1987.
EJE III: GEOMETRÍA NO EUCLIDEANAS: Hiperbólica – Elíptica.
L .A. Santaló - Geometría en la formación de Profesores -Red Olímpica - Buenos Aires - 1993.
L. A. Santaló Geometrías no-euclideanas , , EUDEBA. Buenos Aires -1955
RECHT LÁZARO-" GEOMETRÍA HIPERBÓLICA y relatividad especial". RED OLÍMPICA .O.M.A. S.
H.S.M.Coxeter. NON EUCLIDEAN GEOMETRY-Mathematical Association of
EJE IV: SISITEMTIZACIÓN DE LA GEOMETRÍA
L .A. Santaló - Geometría en la formación de Profesores -Red Olímpica - Buenos Aires - 1993.
SPINADEL VERA W. DE PERERA JORGE G. , PERERA JORGE H. Editorial NUEVA LIBRERIA- BENOS AIRES - .Edición 1994
BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA
B.L.Van der Waerden - Geometry and Algebra in Ancient Civilizations -Springer - Berlin.Heidelberg - 1983.
C.Boyer - Historia de la matemática - Alianza - Madrid - 1985.
Hernández Eugenio - Álgebra y Geometría – - Universidad Autónoma de Madrid. Editorial Addison Wesley.-España.1998.
H.S.M.Coxeter - Introduction to Geometry Second Edition- J.Wiley - 1989.
6- CRONOGRAMA
I.1. Introducción axiomática de la geometría en el plano. Construcción de geometrías finitas a partir de un cuerpo.
09/04/14 al 16/04/14
I.2. El número de oro en el arte, en la naturaleza, arquitectura. La sucesión Fibonacci. El número de oro y la
23/04/14 al 07/05/14
PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA 7 de 8 EJE I geometría: rectángulo áureo., pentágonos,
decágonos.
I.3. Fractal. Definición. La dimensión Fractal. Fractales especiales: La criba de Sierpinski. El conjunto de Cantor. El peine de Cantor. La curva de Von Koch. La curva de Levy. Espirales y árboles. El espiral de Arquímedes. El espiral de crecimiento. La espiral loxodrómica. El árbol de Pitágoras.
Los fractures estrellados. Fractales estocásticos. El método de Montecarlo.
Movimiento Browniano. Sistemas dinámicos caóticos. Los fractales de Julia y Mendelbrot.
14/05/14 al 28/05/14
Primer Parcial 04/06/14
RECESO INVERNAL 07/07/14 al 18/07/14
EJE II
II.1. Teorema de Menelao, Pappus y Desargues. Resolución de problemas.
06/08/14 al 13/08/14 II.2. Introducción a la Geometría de
inversión. Resolución de problemas.
20/08/14 al 27/08/14 II.3. Geometría Proyectiva.Ejes y centros de
perspectiva. Aplicaciones. Dualidad.
Principio de dualidad. Plano proyectivo.
axiomas de incidenca y axiomas del plano proyectivo.Recta proyectiva. Puntos.Puntos alineados. Resolución de problemas.
03/09/14 al 10/09/14
Segundo Parcial 08/10/14
EJE III
III.1. Revisión de nociones acerca de los números complejos Transformaciones de Möebius.
17/09/14 al 17/09/14
III.2. El modelo de Poincaré - Klein. El disco unitario y su Geometría. Grupo de transformaciones de Möebius. Estudio geométrico de la aplicación Inversión. El plano complejo extendido y la esfera de Riemann.
24/09/14 al 01/10/14
III.3. El semiplano de Poincaré. Versión hiperbólica del Quinto postulado de Euclides. Equivalencia del Semiplano de Poincaré con el disco unitario.
08/10/14 al 15/10/14
III.4. Geometría elíptica. Versión elíptica del quinto postulado. Los triángulos
22/10/14 al 22/10/14
PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA 8 de 8 esféricos. Teoremas. Resolución de
triángulos esféricos.
EJE IV
IV.1. La axiomática de Euclides. La axiomática de Hilbert. Propiedades afines.
Paralelismo. Operaciones lineales con vectores. Propiedades métricas. La perpendicularidad y la congruencia en geometría plana.
29/10/14 al 29/10/14
IV.2. Espacios métricos y topológicos en General. Propiedades proyectivas y topológicas. El programa de Erlangen.
Geometría computacional. Curvas clásicas especiales.
05/11/14 al 12/11/14
Tercer Parcial 19/11/14
Examen Global 26/11/14
……….
Prof. Boiteux Yanina
