Parte II: Cálculo integral. Análisis.

Análisis.

Parte II:

Cálculo integral.

©PCRdeG v.3

9.- La integral.

Supongamos que tenemos una función f :[a,b]R positiva. Se nos plantea el problema de determinar la superficie del trozo de plano comprendido por la gráfica de la curva, el eje de abcisas y las rectas x=a, x=b.

Salvo que la función describa una curva muy conocida para nosotros, por ejemplo una recta o una semicircunferencia, nos vería nos obligados a calcular esa superficie de una manera aproximada.

La manera más sencilla de hacerlo es dividir el intervalo [a,b] en un número suficiente de subintervalos (en el dibujo aparece dividido en ocho ) y trazar sobre dichos subintervalos rectángulos que acoten de forma aproximada a la superficie. Si sumamos la superficie total de esos rectángulos, tenemos una

aproximación razonable de la superficie.

La idea genial de Arquímedes y sus antecesores griegos, retomada posteriormente, entre otros, por Newton y Leibnitz, es hacer crecer el número de subintervalos hacia el infinito y suponer que en el límite la suma de las áreas de los rectángulos coincidiría con el área real de la figura.

Concretemos un poco la idea expuesta, siempre fijándonos en la figura: elegimos nueve números x₀,x₁,...,x₈ tales que a x₀ x₁ ... x₇  x₈ b. En cada intervalo

[ x

_i1

, x

_i

]

elegimos un c_i[x_i1,x_i]. La superficie de cada rectangulito sería

( x

_i

 x

_i1

)· f ( c

_i

)

por lo que la aproximación a la superficie será



  

8

1

1)· ( ) (

i

i i

i x f c

x .

Las siguientes definiciones no son más que una formalización del concepto aquí expuesto.

Definición.- Sea [a, b] un intervalo. Una partición P del intervalo {a,b] es un conjunto }

,..., ,

{x₀ x₁ x_n

P tal que a x₀  x₁...x_n1 x_n b

Ejemplo 9.1.- P={3, 3’1, 3’7, 4’1, 4’5, 5} es una partición del intervalo [3, 5]

Definición.- Sea P{x₀,x₁,...,x_n} una partición del intervalo [a,b]. Una elección E de la partición P es un conjunto E {c₁,...,c_n} tal que x_i1c_i x_i i1,2,..,n

Ejemplo 9.2.-

E= {3’07, 3’6, 4, 4’43, 4’56} es una elección de la partición P={3, 3’1, 3’7, 4’1, 4’5, 5}

Definición.- Sean P y P’ particiones de [a, b]. P’ se dice más fina que P si

P  P '

. Ejemplo 9.3.- La partición P’={3, 3’1, 3’7, 3’9, 4’1, 4’5, 4’7, 5} es más fina que la partición P={3, 3’1, 3’7, 4’1, 4’5, 5}.

Definición.-

Sea f :[a,b]R. La suma de Riemann de la función f correspondiente a la elección }

,..., {c₁ c_n

E  de la particiónP{x₀,x₁,...,x_n} es



  

 ⁿ

i

i i

i x f c

x E

P f S

1

1)· ( ) (

) , , (

Ejemplo 9.4.- Vamos a calcular una suma de Riemann de la función ) 2

(  

x x x

f en el

intervalo [3, 5]. Usaremos 10 subintervalos de la misma longitud por lo que la longitud de los intervalos será 0'2

10 3 5 

. Recordando como se obtienen los términos de una progresión aritmética tenemos que x_i  x₀ 0'2·i i0,1,..10. La elección E corresponderá a los puntos medios de los subintervalos, es decir 1,2,..10

2

1  

 x^ x i

c_i ^{i i} ´

Afortunadamente, una hoja de cálculo nos facilita el trabajo:

i x(i) c(i) f(c(i)) (x(i)-x(i-1))·f(c(i))

0,000 3,000

1,000 3,200 3,100 0,608 0,122

2,000 3,400 3,300 0,623 0,125

3,000 3,600 3,500 0,636 0,127

4,000 3,800 3,700 0,649 0,130

5,000 4,000 3,900 0,661 0,132

6,000 4,200 4,100 0,672 0,134

7,000 4,400 4,300 0,683 0,137

8,000 4,600 4,500 0,692 0,138

9,000 4,800 4,700 0,701 0,140

10,000 5,000 4,900 0,710 0,142

1,327 Por tanto, S(f,P,E)=1’327

La idea clave del proceso es considerar que si aumentamos el número de elementos de la partición, la suma de Riemann se aproxima hacia un número que es el verdadero valor de la superficie que nos interesa calcular.

No todas las funciones tienen un comportamiento suficientemente aceptable para que el proceso de las sumas de Riemann llegue a buen puerto. Las funciones que sí lo tienen se llaman integrables. La siguiente definición aúna lo que consideramos una función aceptable para la integración con lo que es el valor de la integral.

Definición.-

a. Sea una función f :[a,b]R. f es una función integrable si existe un número



cumpliendo lo siguiente: Para todo



0 existe una partición P de [a,b] tal que si P’ es más fina que P y E’ es una elección cualquiera de P’ se cumple

S ( f , P ' , E ' )    

b. Si f es integrable el número



se le llama valor de la integral de f en el intervalo [a,b] y se denota por



a^b

f

o bien por



a^b

f ( x ) dx

Básicamente lo que la definición quiere decir es que una función es integrable si existe una partición tal que las particiones más finas que ella (es decir, las particiones que aseguran mayor número de rectángulos) se aproximan al valor de la integral tanto como queramos.

Es muy importante observar que en la definición de función integrable no exigimos que f sea positiva. Si f es negativa o cambia varias veces de signo en el intervalo [a, b] la noción de integral como área se pierde pero el concepto de integral sigue teniendo validez para otros propósitos.

El siguiente teorema lo damos sin demostración pues requiere un detalle técnico (la continuidad uniforme de una función) que alargaría excesivamente el tema.

Proposición 9.1.- Si f :[a,b]R es continua, es integrable.

Hay funciones que no son continuas pero sí son integrables. Por ejemplo, una función que es continua excepto en un número finito de puntos donde presenta discontinuidades evitables o de salto finito es integrable.

Ejemplo 9.5.- Vamos a calcular usando sumas de Riemann



^{5 }

3

dx ) 1 x 2

( . Hacemos una partición de n subintervalos de a misma longitud. Por tanto

n i

n i n i

a x b

x

_i

2 0 , 1 ,..

3

·

0

 ·    





. Hacemos c_i x_i i1,2,..n Entonces







   

 



 

  



 



 

  







ⁿ

i n

i n

i

i i

i

i n

n i n

x n x c f E

P f S

1 1

1

1

· 2 7 4

)· 2 2 1

3

· 2 ( ) )·(

( )

, , (











    







 



 

 

 ⁿ

i n

i n

i n

i n

i

n i i n

n n

i n

n 1 1

2 1

2 1

1

8 · 14 1

8 14

·2 7 4

· .

En el ejercicio 5 se ha visto que

2 1 n n n 3

2

1 ·( )

....  





 Luego

n 1 n 14 4 2

1 n n n n 8 n i 14 n

1 8 n E 14 P f

S ₂

n

1 i n

1 i

2

)

·(

)

· ·(

·

· )

, ,

( 







     





Puesto que sabemos que la función es integrable, si hacemos crecer el número de subintervalos de la partición entonces las sumas de Riemann se aproximan al valor de la

integral. Por tanto

18

n 1 n 14 4 dx

1 x 2

5

3

 



 



  



 ⁽  ^{) lim ·( )}

Ejemplo 9.6.- Vamos a calcular ahora



^{5 }

3

dx ) 1 x 2

( de una manera geométrica, interpretándola como una superficie. Representando la

función, observamos que la superficie determinada es la de un trapecio de longitud de bases f(3) y f(5) y de altura 5-3. Por tanto,

18 2 2

7 dx 11

1 x 2

5

3

 



 ⁽  ^{) ·}

^.

 Lo que debe resultar evidente a estas alturas es que muy pocas funciones pueden integrarse de una manera satisfactoria y exacta como en el ejemplo anterior o los ejercicios 9.9 o 9.10. Todavía queda algo lejos que sepamos calcular integrales de aspecto tan formidable como



⁵

3

x

dx 7

senx ·

^cos .

10.- Propiedades de la integral.

En este capítulo daremos las propiedades más importantes de la integral. Cuando la demostración sea sencilla la daremos; cuando la demostración tenga alguna complicación haremos un esquema de demostración que indicará la manera en que se puede llegar a demostrar el resultado enunciado.

Proposición 10.1.- Si f es una función constante con f(x)=m entonces

f m ·( b a )

b

a



 

Demostración.- Sea E {c₁,...,c_n} una elección de la particiónP{x₀,x₁,...,x_n}. Se tiene que







 

 

       

 ⁿ

i

i i n

i

i i n

i

i i

i x x m x x m x x

c f E

P f S

1

1 1

1 1

1) ·( ) · ·( )

)·(

( )

, , (

)

·(

)

·(

) ...

·(x₁ x₀ x₂ x₁ x x ₁ m x x₀ m b a

m      _n  _n  _n   

 _

Como todas las sumas de Riemann son iguales, concluimos que

f m ·( b a )

b

a



 

Proposición 10.2.-



^a

 0

a

f

Demostración.- En el intervalo [a, a] la función f, sea la que sea, es constante (pues se reduce al valor en un punto) luego, aplicando la proposición anterior



^a

^f  ^m ·( ^a  ^a )  0

a

Proposición 10.3.-

 ^{ }  ^ 

^b

a b

a b

a

g f g

f )

(

Esquema de demostración.- Sea E {c₁,...,c_n} una elección de la particiónP{x₀,x₁,...,x_n}. Se tiene que





 

       



 ⁿ

i

i i i i

n

i

i i

i x x f c g c x x

c g f E

P g f S

1

1 1

1) ( ( ) ( ))·( )

)·(

)(

( ) , , (





 

      

 ⁿ

i

i i i n

i

i i

i x x g c x x S f P E S g P E

c f

1

1 1

1) ( )·( ) ( , , ) ( , , )

)·(

(

En resumen, S(f+g, P,E)=S(f,P,E)+S(g, P, E). Por tanto, si afinamos la partición P en el límite las tres sumas convergen a las integrales correspondientes y se tiene que

 ^{ }  ^ 

^b

a b

a b

a

g f g

f )

(

Proposición 10.4.- Si k es un número se tiene que

 ^ 

^b

a b

a

f k f k · ·

Esquema de demostración.- Sea E {c₁,...,c_n} una elección de la particiónP{x₀,x₁,...,x_n}. Se tiene que





 







  



ⁿ

i

i i i n

i

i i

i

x x k f c x x k S f P E

c f k E

P f k S

1

1 1

1

) · ( )·( ) · ( , , )

)·(

(

· )

, ,

·

(

.

Luego S(k·f, P,E)=k·S(f,P,E). Si afinamos la partición P en el límite las dos sumas convergen a las integrales correspondientes y se tiene que

 ^ 

^b

a b

a

f k f k · ·

Proposición 10.5.- Si f(x)g(x)x[a,b] entonces

 ^ 

^b

a b

a

g f

Esquema de demostración.- .- Sea E {c₁,...,c_n} una elección de la particiónP{x₀,x₁,...,x_n}. Se tiene que





 

     

 ⁿ

1 i

1 i i i n

1 i

1 i i

i x x gc x x S gP E

c f E

P f

S( , , ) ( )·( ) ( )·( ) ( , , ). De

) , , ( ) , ,

(f PE SgPE

S  se tiene, afinando las particiones y en el límite, que

 ^ 

^b

a b

a

g

f

.

Proposición 10-6.- Si a<b<c se tiene que

 ^  ^ 

^c

b b

a c

a

f f

f

.

Esquema de demostración.- Si P es una partición de [a, b] y E una elección de P y si P’ es una partición de [b,c] y E’ una elección de P’ de tiene que PP' es una partición de [a,c] y

E'

E es una elecciòn de PP'.

Además, se cumple que S(f,Pp',EE')S(f,P,E)S(f,P',E').

Afinando las particiones P y P’ y llegando al límite se obtiene que

 ^  ^ 

^c

b b

a c

a

f f f

 En la definición de



^b

a

f

se considera siempre el intervalo [a, b], es decir, consideramos

siempre que ab. A veces interesa considerar el símbolo



^b

a

f

cuando ba. Para

tal fin se define

 ^{ } 

^a

b b

a

f

f

para el caso en que ba.

 Con la anterior definición todas las propiedades anteriores excepto la proposición 10.5, siguen siendo ciertas.

El siguiente teorema es de bonito enunciado y más bonita interpretación geométrica:

Teorema del valor medio para la integral definida.- Sea f:[a,b]R continua con a<b.

Entonces existe c[ ba, ] tal que

a b

f c

f

b

a

   ) (

Demostración.- Por ser f continua en [a,b], el teorema de Weierstrass asegura que existen p,q[a,b] tales que f(p)f(x)f(q)x[a,b]. Considerando f(p) y f(q) como funciones constantes y aplicando la proposición 10.5 tenemos que





 ^{ }

^b

a b

a b

a

dx q f dx x f dx p

f ( ) ( ) ( )

. Aplicando la proposición 10.1 a las integrales de funciones

constantes se tiene que

( )·( ) ( )·( ) ( ) f ( q )

a b

f p

f a b q f f a b p f

b

a b

a

 











 



^{. Por}

tanto,

a b

f

b

a





es un valor intermedio entre f(p) y f(q). Aplicando el teorema de los valores

intermedios se tiene que existe c[ ba, ] tal que

a b

f c

f

b

a

   ) (

Definición.-

a b

f

b

a





se llama la media de la función f en el intervalo [a,b]-

 Por tanto, el teorema del valor medio para integrales afirma en una función continua en [a,b] existe un c tal que f(c) es la media de la función en [a,b].

El Teorema del valor medio para integrales admite una interpretación geométrica. La expresión

a b

f c

f

b

a

   )

(

se puede escribir de la forma







^b

a

f a b c

f ( )·( )

. Es decir, la superficie del

rectángulo de base b-a y altura f(c) es la misma que la superficie que determina la curva entre x=a y x=b (Véase la figura)

11.- Teorema fundamental del cálculo. Regla de Barrow.

Definición.- Sea f :[a,b]R integrable en [a, b] Se defina le función integral como





^x

a

f x F ) (

Ejemplo 11.1.- En el ejercicio 9.10 se ha visto que

4 dx b x

b 4

0

3





. Por tanto, si

f ( x )  x

³ su función integral es

) 4 (

4

0

3

x

dt t x F

x



 

 Obsérvese que si

^ 

^x

a

f x

F ) (

se cumple que

f f f F ( q ) F ( p )

q

a q

a q

p







  



^.

Juguemos un poco con la función integral del ejemplo anterior. Hemos visto que si f(x)x³ su función integral es

) 4 (

x

4

x

F 

. Si ahora derivamos F obtenemos que F'(x) x³  f(x).

¿Es coincidencia que si F es la función integral de F se tiene que F’=f? El Teorema

fundamental del cálculo nos resolverá esta duda y la Regla de Barrow nos dará un método sencillo de obtener integrales sin usar sumas de Riemann, límites ni ninguna de esas complicaciones.

Definición.- Una función G es función primitiva de la función f si G’=f.

Ejemplo 11.2.- G(x)3x² es primitiva de f(x)x³ pues G’=f.

Ejemplo 11.3.- Sea f(x)sen2x y sean G(x)sen²x y H(x)11cos²x. Se tiene que

)

(

·cos

· ) (

' x 2 senx x sen 2 x f x

G   

y que

H ' ( x )   2 ·cos x ·(  senx )  sen 2 x  f ( x )

. Es decir, G y H son primitivas de f lo que muestra que la primitiva de una función no es única.

La siguiente proposición aclara la situación:

Proposición 11.1.- Sea f:[a,b]R y sean G,H:[a,b]R primitivas de f. Entonces existe una constante K tal que H(x)=G(x)+K

Demostración.- Se cumple que G’=f=H’. El corolario 6.2 afirma que si G’=H’ entonces existe un número K tal que H(x)=G(x)+K

 De manera obvia también se cumple que si G es primitiva de f entonces G(x)+K es primitiva de f.

Teorema fundamental del cálculo.- Sea f:[a,b]R continua. Entonces si

^ 

^x

a

f x F ) (

cumple que F’=f

Demostración.-

Para probar que F’(p)=f(p) tenemos que demostrar que

( ) ( ) ( )

lim f p

p x

p F x F

p

x







 .

Lo haremos aplicando directamente la definición de límite.

Como f es continua en p para todo 0 existe un 0 tal que





























 x p f ( x ) f ( p ) f ( p ) f ( x ) f ( p ) 0

Si x>p tenemos, por la proposición 10.5 que

























  

 ^{( f ( p )  ) dt f ( t ) dt}

^x

^{( f ( p )  ) dt ( x p )·( f ( p )  ) F ( x ) F ( p ) ( x p )·( f ( p )  )}

p x

p x

p



 

 



 

 



 ( ) ( ) ( )

) ) ( ( ) ) (

( f p

p x

p F x p F

p f x

p F x p F

f  

Si x<p tenemos, por la proposición 10.5 que

























  

 ^{( f ( p )  ) dt f ( t ) dt}

^p

^{( f ( p )  ) dt ( p x )·( f ( p )  ) F ( p ) F ( x ) ( p x )·( f ( p )  )}

x p

x p

x



 

 



 

 



 ( ) ( ) ( )

) ) ( ( ) ) (

( f p

p x

p F x p F

x f p

x F p p F

f  

En definitiva, se cumple, sea x>p o bien p>x que

  



 ( ) ( ) | )

| ( f p

p x

p F x

F

siempre que







 x p

0

luego

( ) ( ) ( )

lim f p

p x

p F x F

p

x







 , es decir, F'(p) f(p)

Regla de Barrow.- Sea f:[a,b]R continua. Sea G primitiva de f. Entonces

)

( ) ( b G a G

f

b

a



 

Demostración.- Sea

^ 

^x

a

f x

F ) (

. Según el teorema fundamental del cálculo F es primitiva de f y como G también es primitiva de f se tiene, por la proposición 11.1, que existe un número K tal que F(x)=G(x)+K. Por tanto

) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ( 0 ) ( )

( b F b F b F a G b K G a K G b G a

F f

b

a





















 

La importancia del Teorema fundamental, y de su corolario, la Regla de Barrow, es enorme pues implica que si conocemos la primitiva de una función, calcular una integral es muy sencilla.

Ejemplo 11.4.- Calculemos



²

^

1

2

4

3 )

10

( x x dx

Como G(x)2x⁵ x³ es una primitiva de

2

4 3

10 )

(x x x

f   se tiene que

( 10 3 ) ( 2 ) ( 1 ) 56 1 55

2

1

2

4

     

 ^{x x dx G G}

Por tanto, salvo que no exista la forma de hallar una primitiva de una función, el método adecuado para calcular una integral será mediante primitivas. De ahí la importancia que el saber calcular primitivas tiene y a eso dedicaremos los próximos capítulos.

12.- Cálculo de primitivas: métodos elementales.

En los próximos capítulos trataremos de encontrar primitivas de funciones. Antes de empezar hay que hacer notar que no todas las funciones tienen primitivas expresables en términos de funciones elementales. La más conocida de tales funciones, por su importancia en estadística y probabilidad, es

f ( x )  e

^x2.

Ya hemos visto que si I es un intervalo y f:IR, la primitiva de una función no es única y que sus primitivas difieren en una constante.

Por ejemplo, si

f ( x )  2 x

son primitivas

G ( x )  x

²

 6

y

H ( x )  x ²  3

son primitivas.

A una primitiva cualquiera de la función f se la denota por

 ^f

^{o por}

 ^{f ( x ) dx}

^.

Una expresión de la forma



^{2xdx x2 6} se debe leer como una primitiva de la función x

2 x

f( ) es la función

x

²

 6

. Es decir, las dos expresiones siguientes son ciertas pero no pueden tomarse conjuntamente como igualdad porque llegaríamos a un absurdo:



^{2xdx x26 y}



^{2xdx x23.}

Para evitar (en parte) estas ambigüedades se escribe

 ^{2 xdx  x}

²

^{ K}

donde la K es un número genérico llamado constante de integración.

En principio no debería haber problemas con la notación pero debe recordarse que



^{2xdx x2K} no es una igualdad estricta sino que, como hemos dicho, debe interpretarse como que una primitiva de

f ( x )  2 x

es de la forma

x

²

 K

.

Tras este largo prólogo, empecemos a calcular primitivas de funciones sencillas. Como una primitiva no es más que una derivada al revés (de ahí su otro nombre: antiderivada) basta darle la vuelta a la tabla de derivadas para tener una tabla de primitivas.

Por ejemplo, sabemos que si f(x)xⁿ entonces f'(x)n·x^n1 por lo que

 ^{n · x}

^n1

^{dx  x}

ⁿ

^{ K}

. Y arreglando un poco la expresión, tenemos que

 ^x

ⁿ

^{dx } _n ^x _

^n1

₁ ^{ K}

^.

Sin más dilación, damos la tabla de primitivas elementales:



^xndx_n^x_1^{n1K si n1}

^

x^{dx x K}

1 ln

 ^a

^x

^{dx } _ln ^a

^x

_a ^{ K}

^{si a0}

^

^{exdxex K}

K x dx

senx  



^cos



^{cosxdxsenxK}

K arcsenx x

1 dx

2

 

  ^{dx x K}

x 1

1

2

 



  ^arccos

K x ctgx

sen dx

2  

 

_cos^dx2_x ^tgxK

K arctgx x

1 dx

2

 

 

 Como se puede observar, hay funciones elementales cuya primitiva no figura en la lista. Más adelante calcularemos, usando métodos más sofisticados, primitivas de logaritmos, tangentes, arcosenos, arcotangentes.

 La partícula dx que aparece en las expresiones no tiene ningún significado. Se lee diferencial de x y puede considerarse como un cierre de paréntesis. No obstante más adelante la usaremos para abreviar cierto método de integración.

 dx se usa en notación multiplicativa pero siempre como último término de la

expresión. Por tanto,



^{(dx· x)} es una expresión carente de sentido. Sin embargo, a veces colocaremos dx como seudo numerador. Por ejemplo,

K arcsenx x

1 dx

2

 

 

Las dos siguientes proposiciones son tan sencillas como útiles:

Proposición 12.1.-

 ^{( f  g ) }  ^{f }  ^g

Demostración.- La expresión



^(fg)



^f



^g debe interpretarse, lo recordamos, no como una igualdad sino de la manera siguiente: la suma de una primitiva de f y una primitiva de g es una primitiva de f+g. La demostración, pues, no puede ser más sencilla:

g f g f g

f











 



^{)' ( )' ( )'}

( luego



^f



^g es primitiva de f+g.

Proposición 12.2.-



^(c·f)c·



^f

Demostración.-

^{( c ·}  ^{f )'  c ·(}  ^{f )'  c · f}

Ejemplo 12.1.-

a)



^{(3x5 7·senx)dx}



^3x5dx



^7.senxdx3



^x5dx7



^senxdx

K x 2 7

K x x 6 7

3x

6

6      

 · ·( cos ) cos

b)

3 x K

2 K 2 3 5 5 x 2 dx 2 x 5 dx 2 dx x 5

2

^{5 3}

x 3

5 x

3 2 x

3

x

          

 ^{( )}

^/

_{ln /}

^/

_ln ^·

^/

Muchas veces el artificio que usaremos será el de ajustar coeficientes mediante oportunos cálculos mentales. Por ejemplo, si queremos calcular

 sen ⁽ 5 x ^ 17 ⁾ dx

parece razonable suponer que será casi -cos(5x-17). Pero la derivada de -cos(5x+17) nos hace aparecer un indeseable factor 5 por lo que mentalmente dividimos por él. Es decir,

5 K 17 x dx 5

17 x 5

sen  







⁽  ^{) cos( )} . Y, para asegurarnos, lo mejor es derivar 5

17 x

5 )

cos( 

 y comprobar que, en efecto, el resultado es

sen ( 5 x  17 )

. Las primeras veces que se usa este método puede parecer lioso pero es una impresión que desaparece tras los primeros 1000 ejercicios.

Ejemplo 12.2.- Algo más de sofisticación requiere el siguiente cálculo:



^{sen2x·5cos2xdx.}

Observamos que sen2x es casi la derivada de cos2x. Por lo que podríamos aventurar que

 ^{sen 2 x · 5}

^cos2x

^dx

^{es casi}

⁵ _ln

^cos

₅

^2x . Oportunos ajustes de coeficientes nos dan el resultado

verdadero:

K

5 2 dx 5 5

x 2 sen

x 2 x

2

 

 ^·

^cos

 _·ln

^cos . A quienes esta primitiva les resulte dura de roer les quedará el consuelo de que en el próximo capítulo usando una sustitución, podrá solucionarla con más facilidad.

En cualquier caso, en muchos libros se adjunta la siguiente tabla de primitivas, en lugar de la originalmente propuesta, para indicar que estos cambios mentales son bastante frecuentes:

 ^{f ( x )}

ⁿ

^{f ' ( x ) dx } _n ^{f (} _ ^x ₁ ⁾

^n1

^{ K}

^{si n1}

 ^f _f ^' ₍ ⁽ _x ^x ₎ ^{) dx  ln f ( x )  K}

 ^a

^f(x)

^{f ' ( x ) dx  a} _ln

^f(

_a

^x)

^{ K}

^{si a0}

^

^{ef(x)f'(x)dxef(x)K}

K x f dx

x f x

senf  



^{( )·'( ) cos ( )}



^{cosf(x)·f'(x)dxsenf(x)K}

K x arcsenf dx

x f

x

f  

  ^{( )}

) ( 1

) ( '

2

dx f x K

x f 1

x f

2

 



  ^{arccos ( )}

) (

) ( '

K x ctgf x dx

f sen

x

f  



^2'( ₍⁾ ₎ ^{( )}



_cos^f2'(_f^x₍⁾_x)^{dxtgf(x)K}

K x arctgf x dx

f x

f  

 ₁  ^{' (} ₍ ⁾ ₎

²

^{( )}

No conviene olvidar que algunas primitivas se solucionan mejor si previamente simplificamos o desarrollamos su expresión:

Ejemplo 12.3.- Para calcular



³

^x

⁵

^ _x

⁴

^{x dx}

realizamos la siguiente transformación:

 







 ^x

5

^ _x ^{x dx  x}

^1/3

_x ^

^1/5

^x

^1/4

^{dx } _x ^x

^11//53

^{dx } _x ^x

^11//54

^{dx  x}

^2/15

^{dx  x}

^1/20

^{dx }

4

3

K x

x  

 ^{17/15 21/20} 21

` 20 17

15

Para terminar este capítulo introduciremos una notación que simplifica el cálculo de integrales.

Supongamos que queremos calcular ²⁵



16

dx

x

. La regla de Barrow nos dice que tenemos que

encontrar una primitiva G de f(x) x y entonces

x dx G ( 25 ) G ( 16 )

25

16



 

. Podemos

elegir x^{3 2}

3 x 2

G( ) ^/ luego ^{3 2 3 2}

25

16

3 16 25 2

3 dx 2

x 

^/



^/



. Veamos como simplificar algo

este procedimiento.

Dada una función G(x) denotamos

 G ( x ) 

^b_a

 G ( b )  G ( a )

con lo que el proceso a seguir sería

3

64 122 3 125 2 3 16 2

3 25 2

3 x 2

3 dx 2

x

^{3 2 3 2}

25

16 2 3 25

16

 



 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 

 

^{/ / /}

13.- Cálculo de primitivas: integración por partes.

Proposición 13.1.-



^{u·v'u·v}



^u'.v

Demostración.- Tenemos que comprobar que

^{u · v }  ^{u '. v}

es primitiva de u·v'. Pero esto es muy sencillo:

( u · v   u '· v )'  ( u · v )'  (  u '. v )'  ( u '· v  u · v ' )  u '· v  u · v '

Ejemplo 13.1.- Calculemos



^x·e2xdx.

































 





^xe2xdx _{v x}^{u x} _e^2xx _v^u_x^x _e^{2x x·}₂^{1e2x 1·}₂^{1e2xdx x·}₂^1e2x ₄^{1e2x K}

2 ) 1 ( )

( '

1 ) ( ' )

(

·

K e

^x

x





 ·( 2 1 ) 4

2

Ejemplo 13.2.-

Calculemos

 ^x

²

^{· sen 2 x dx}

dx x x x

x x

x v x sen x v

x x u x x u dx

x sen

x 

 ^{  }



 





 















  ·cos 2

2 2

·cos 2

2 cos ) 1

( 2 )

( '

2 ) ( ' )

( 2

·

2 2

2 .

Ahora calculamos por separado, nuevamente por partes,



x^·cos2xdx^.

x x sen dx x

x x sen

sen x x sen x

v x x

v

x u x x u dx

x

x cos2

4 1 2

2 2 ·

2 1 2

2

· 2 2

) 1 ( 2 cos ) ( '

1 ) ( ' )

( 2

·cos    























 





Luego x x xsen x x x x xsen x K

dx x sen

x        



^{2· 2 2·cos}₂ ² ₂^{2 cos}₄^{2 (1 2 ²)·cos}₄^{2 · 2}

En ocasiones es necesario utilizar un pequeño truco algebraico.

Ejemplo 13.3.- Calculemos



^{senx·e3xdx}

dx e 3 x

1 3

e senx 3e

x 1 v e

x v

x x

u senx x

u dx e

senx ^3x

x 3 x

3 x

3 x

3





^{       }

























  · cos ·

) ( )

( '

cos ) ( ' )

(

· .

Procedemos a calcular



^cosx^·e^3xdx

dx e 3 senx 1 3

e x 3e

x 1 v e

x v

senx x

u x x

u dx e

x ^3x

x 3 x

3 x

3 x

3





^{       }



























  cos · ·

) ( )

( '

) ( ' cos ) (

· cos

Por tanto

· )

3 1 3

·

·( cos 3 1 3

· ·

³

3 3

3

senx e x e senx e dx

dx e

senx

^x

x x

x





^

^{ }

^

^{ }

^

^

^

Aparentemente estamos en un callejón sin salida porque volvemos a la primitiva del principio.

Pero, llamando, por comodidad, ^J



^{senx·e3xdx} tenemos que

· )

·( cos

· ´

3 J 1 3

e x 3

1 3

e J senx

x 3 x

3

 

 



^{ } lo que no es más que una sencilla ecuación.

Despejando J resolvemos el ejercicio:

e senx x K

dx e senx

x

x

 

^

 

 ^·

³

₁₀

³

^{10 ·( 3 cos )}

Ejemplo 13.4.- Vamos a encontrar lo que se llama una fórmula de reducción para una integral.

Queremos calcular



^/2

0 10



dx x

sen

. Llamemos

^ 

^/2

0



dx x sen

I

_n ⁿ . Hagamos la integral por partes:

 

 

 

















 

  ^{sen x dx u x sen} _{v x}

^

^x _senx ^{u x} _{v x} ^{n sen} _x

^

^{x x}

I

n n

n

n

' ( ) ( ) cos

·cos )·

1 ( ) ( ' )

(

^{1 2}

2 /

0



 ^  ^ _ ^{  } _ ^{  }



^{  }

2 /

0

2 2

2 /

0

2 2 2

/ 0

1

·cos ( 1 )· ·cos 0 ( 1 )· ·( 1 )



 

dx x sen x

sen n

dx x x sen n

x x

sen

^{n n n}

 

 ^{         }



^{ } _

2 /

0

2 2

/

0 2

2 /

0

2

2

·( 1 ) ( 1 ) · ( 1 ) · ( 1 ) ( 1 )

)·

1 (

´

 



n n

n n

n

x sen x dx n sen x dx n sen x dx n I n I

sen n

Es decir _{2 2} 1 ₂

) 1 ( )

1 ( ) 1

(  _      _    _

 _{n n n n n n}

n I

n I n I

n nI I n I n

I . Por tanto

0 6

8

10 10·8·6·4·2

1

· 3

· 5

· 7

· .... 9 8

·7 10

9 10

9 I I I

I     . Como

/ 2

2 /

0 0



^

 ^dx  

I

concluimos que

· 2 2

· 4

· 6

· 8

· 10

1

· 3

· 5

· 7

· 9

10

  I

14.- Cálculo de primitivas: Cambio de variable.

El método de sustitución o de cambio de variable es el más versátil que disponemos para calcular primitivas e integrales. Aunque existe un teorema que justifica el método lo omitiremos para ir directamente a su aplicación.

Ejemplo 14.1.- Calculemos

 _{x } ^dx _x

. Probamos con la sustitución

t  x

, es decir xt². Derivamos la expresión xt² de una forma especial: dx2t·dt. Aquí dx y dt en realidad no significan nada pero nos servirán de ayuda en la posterior sustitución. Ahora realizamos la correspondiente sustitución:

 _{x } ^dx _x ^  _t ²

²

^{t ·} _ ^dt _t ^  _t ^dt _{ 1} ^{ ln t  1  K}

. Por último, no debemos olvidar deshacer el cambio:

K 1 x K

1 x K

1 x t

x

dx         

  ^{ln ln ln( )}

Ejemplo 14.2.- Calculemos



^{x·(2x1)100dx} En principio, es la primitiva de un polinomio por lo que si lo desarrolláramos (lo que nos puede llevar varios días) podríamos obtener la

primitiva sin más problemas que el tener que escribir un polinomio de grado 102 y coeficientes enormes. Usando una sustitución, el proceso es mucho más corto:

2 dx dt 2

1 x t

1 x 2

t        . Luego











^{x·(2x1)100dx (t}₂^1)·t100·₂^1dt ₄^{1 (t1)·t100 dt}₄^{1 t·t100 dt}₄^{1 1·t100 dt}

















 ₄¹



^t101dt ₄¹



^{t100 dt} ₄^1·₁₀₂^{1 t102} ₄^1·₁₀₁^{1 ·t101 K} ₄^1·t101·(₁₀₂^t ₁₀₁^{1 ) K}

 2 x 1  202 x 203 K 101

102 4 K 1 102 t 101 101 t

102 4 K 1 101

1 102 t t

4

1

101

  

101

   

101

 

 · ·( · )

· ) ·

·

·(

· · ) ·

·(

·