VIBRACIONES LIBRES DE MICROVIGA TIMOSHENKO EMBEBIDA EN FUNDACIÓN ELÁSTICA POR LA TEORÍA MODIFICADA DEL SEGUNDO GRADIENTE Y EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
FREE VIBRATIONS OF TIMOSHENKO MICROBEAMS EMBEDDED ON ELASTIC FOUNDATION BY THE MODIFIED THEORY OF THE SECOND GRADIENT AND
THE FINITE ELEMENTS METHOD
Daniel H. Felixa, Graciela I. Guerreroa y Diana V. Bambilla,b
aDepartamento de Ingeniería, Instituto de Ingeniería (II-UNS)-CIC, Universidad Nacional del Sur, Bahía Blanca, Argentina, [email protected], [email protected]:// www.uns.edu.ar
bConsejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET), [email protected], http:// www.uns.edu.ar
Palabras clave: microviga, medio elástico, Timoshenko, frecuencias, elementos finitos.
Resumen.Se presenta un análisis de micro-componentes estructurales utilizados en dispositivos micro y nano-electro-mecánicos embebidos en una fundación elástica. Se considera la incidencia del tamaño mínimo de partícula del material. El desarrollo se basa en la Teoría Modificada del Segundo Gradiente.
En ella se toman en cuenta tres nuevas constantes de material, definidas como parámetros de longitud de escala. Se analiza una microviga Timoshenko vibrante embebida en una fundación elástica y con condi- ciones de borde clásicas en los extremos de la misma. Las ecuaciones gobernantes se obtienen mediante la aplicación del principio variacional de Hamilton, en tanto que la resolución de las mismas, se alcanza mediante la utilización del método de elementos finitos. En cada elemento se extiende el número de gra- dos de libertad, para satisfacer la teoría elástica de orden superior utilizada aquí. Se presentan resultados de frecuencias naturales para el modelo planteado, con distintas condiciones de vinculación y diferentes relaciones adimensionales del parámetro de longitud de escala, establecidas con respecto a la altura de la microviga.
Keywords: microbeam, elastic medium, Timoshenko, frequencies, finite elements.
Abstract. An analysis of structural micro-components used in micro and nano-electro-mechanical devi- ces, embedded in an elastic foundation is presented in this paper. The effects of the minimum material particle size is considered. The development is based on the Modified Second Gradient Theory. It takes into account, three new constants of material, defined as the scale length parameters. A vibranting Ti- moshenko microbeam, embedded on an elastic foundation, with classic boundary conditions at the ends, is analyzed. The governing equations are obtained through the application of Hamilton’s variational prin- ciple, while the resolution of them is achieved by means of the finite element method. It is necessary to extend the number of degrees of freedom in each element to satisfy the higher order elastic equations used here. Results of natural frequencies of the model, are presented, for different boundary conditions and for different ratios defined between the scale length parameters and the microbeam height.
Santa Fe, 5-7 Noviembre 2019
1. INTRODUCCIÓN
La primera contribución sobre teoría del continuo generalizado aplicada a sólidos elásticos, denominada elasticidad micropolar, se remonta a los comienzos del siglo XX, época en que apa- rece el primer trabajo completo, que considera al cuerpo deformable conformado por partículas de tamaño finito y con grados de libertad independiente. El mismo fue publicado por los her- manos Cosserat en 1909, y reeditado cien años después,Cosserat y Cosserat(2009). Luego de transcurrir varias décadas sin nuevos aportes, surgieron a comienzos de los sesenta, un número muy significativo de contribuciones, junto con un mayor interés en su aplicación. Entre los tra- bajos relevantes del tema, se destacan: las contribuciones de Eringen con la denominada teoría de elasticidad no local,Eringen y Suhubi(1964);Eringen(1966) y los trabajos publicados por Mindlin y sus colaboradores,Mindlin(1965);Mindlin y Eshel(1968), destacando que Mindlin fue quien acuñó el concepto de microestructura, proporcionando los fundamentos requeridos en el desarrollo de diferentes variantes actuales, Lam et al.(2003);Ma et al. (2008), entre las que se encuentra la teoría modificada del segundo gradiente,Kong et al.(2009), utilizada en el presente trabajo.
Dentro de dichas teorías, aplicamos aquí la denominada teoría modificada del segunto gra- diente de desplazamientos, conocida por su sigla en Inglés, MSGT. Si bien pueden encontrarse en la literatura numerosos trabajos basados en teorías microestructurales, son escasos los estu- dios que contemplan adicionalmente al modelo embebido en una fundación elástica.
Con el objeto de enriquecer trabajos presentados anteriormente por los autores,Felix et al.
(2016);Guerrero et al.(2016,2018), se propone en el presente estudio, el desarrollo y aplicación de un algoritmo basado en elementos finitos, que permite resolver un modelo de microviga embebida en una fundación elástica del tipo Pasternak.
2. CARACTERÍSTCAS DEL MODELO ANALIZADO
El modelo analizado consiste de una microviga Timoshenko con condiciones de contorno clásicas, embebida en una fundación elástica del tipo Pasternak.
A diferencia del modelo Winkler, en el que la deformación de cada resorte es independiente y en consecuencia, no afecta a los resortes restantes, el modelo Pasternak introduce una placa entre la viga embebida y los resortes, que se deforma por solicitaciones de corte puro. Dicha placa permite vincular los resortes entre si. La cinemática de los desplazamientos es descrita entonces mediante dos parámetros independientes, el giro y el desplazamiento transversal.
De esta manera, el modelo propuesto, contempla: deformación por corte, inercia rotatoria, incidencia de los parámetros que definen la longitud de escala del material y la posibilidad de embeber la microviga en un medio elástico del tipo Pasternak.
3. OBTENCIÓN DE LAS ECUACIONES GOBERNANTES
La forma débil de las ecuaciones gobernantes es obtenida mediante la aplicación del prin- cipio de Hamilton, que permite establecer que cuando la microviga embebida en la fundación elástica vibra transversalmente, se cumple,Jam et al.(2017):
Z t2 t1
δ(T − U + W ) dt = 0 (1)
con lo cual debemos evaluar, la variación de la energía cinética y la variación de la energía de deformación de la microviga.
La variación de la energía de deformación, δU puede ser expresada en función del despla- zamiento transversal w y del giro de la sección transversal δϕ, ambos correspondientes a la microviga Timoshenko, como sigue,Felix et al.(2017),Abohadima(2015):
δU = Z L
0
[c1∂2ϕ
∂x2
∂2δϕ
∂x2 −
c4∂2w
∂x2 − c2∂ϕ
∂x
∂δϕ
∂x − c3 ∂w
∂x − ϕ
δϕ +
c5∂2w
∂x2 − c4∂ϕ
∂x
∂2δw
∂x2 + c3 ∂w
∂x − ϕ ∂δϕ
∂x ] dx
(2)
donde lascison constantes que tienen en cuenta las propiedades mecánicas y geométricas de la microviga:
c1 = µ Iy
4
5l12+ 2 l02
(3a) c2 =
µ A 32 15l12+1
4l22+ 2 l02
+ Iy (λ + 2 µ)
(3b)
c3 = µ A κ (3c)
c4 = µ A 16 15l21− 1
4l22
(3d) c5 = µ A 1
4l22+ 8 15l21
(3e) siendo λ y µ, las constantes elásticas de Lamé utilizadas en las ecuaciones constitutivas de materiales isótropos;l0,l1yl2, los parámetros de longitud de escala del material;A e Iy, el área y el momento de inercia de la sección transversal de la microviga, mientras queκ es el factor de corrección de corte.
La variación del trabajo realizado por la fundación elástica δW , es función del desplaza- miento transversal w y de la pendiente ∂w/∂x, ambos de la viga,Morfidis(2010) resultando:
δW = − Z L
0
kww δw + kp
∂w
∂x
δw
dx (4)
siendokw, el coeficiente de rigidez al desplazamiento transversal ykp, el coeficiente de fricción horizontal, ambos correspondientes a la fundación. En función de los respectivos coeficientes adimensionales, los mismos resultan expresados en la forma:
kw = kwL4 E Iy
(5)
kp = kpL2 E Iy
(6) y la variación de la energía cinética de la microviga resulta:
δT = −ρ ω2 Z L
0
(A w δw + Iyϕ δϕ) dx (7)
siendoρ, la densidad del material, y ω, las frecuencias naturales de vibración transversal de la microviga.
4. RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES CON ELEMENTOS FINITOS
Se propone resolver numéricamente la ecuación variacional planteada, mediante la aplica- ción del método de elementos finitos. Para ello se utiliza, como base, un elemento de orden superior, propuesto por Zhang y sus colaboradores,Zhang et al.(2014), que contiene grados de libertad adicionales, que permiten garantizar la continuidad tanto en C0 como enC1 del des- plazamiento w y del giro ϕ buscados. A modo de contribución original, a dicho elemento se le adiciona la incidencia del medio elástico embebido. Se trata de un elemento para micoviga Timoshenko, de 2 nodos con 4 grados de libertad por nodo. La Figura1muestra esquemática- mente el elemento utilizado.
Figura 1: Elemento de microviga utilizado en el algoritmo de elementos finitos
El vector de desplazamientos nodales del elemento queda formado del siguiente modo:
{Ue} = {W1, Wx1, φ1, φx1, W2, Wx2, φ2, φx2}t (8) siendo W1, W2, φ1 y φ2, los desplazamiento y giros nodales, mientras que Wx1, Wx2, φx1 y Wx2sus respectivas derivadas.
Las funciones de forma correspondientes resultan:
N1(ξ) = 1 − 3 ξ2+ 2 ξ3 (9a)
N2(ξ) = ξ − 2 ξ2+ ξ3 a (9b)
N3(ξ) = 3 ξ2− 2 ξ3 (9c)
N4(ξ) = ξ3− ξ2 a (9d)
siendoξ, la variable local, adimensional de posición en el elemento. Con las funciones de forma establecidas pueden expresarse, la forma aproximada del desplazamiento transversal w y del giroϕ de la microviga como sigue:
w(ξ) = N1(ξ) W1+ N2(ξ) Wx1+ N3(ξ) W2+ N4(ξ) Wx2 (10a) ϕ(ξ) = N1(ξ) φ1+ N2(ξ) φx1+ N3(ξ) φ2+ N4(ξ) φx2 (10b) o bien en forma matricial, resultando en la forma:
w(ξ) = [Nw] {Ue} (11a)
ϕ(ξ) = [Nϕ] {Ue} (11b)
resultando para las matrices que contienen las funciones de forma:
[Nw] = [N1(ξ), N2(ξ), 0, 0, N3(ξ), N4(ξ), 0, 0] (12a) [Nϕ] = [0, 0, N1(ξ), N2(ξ), 0, 0, N3(ξ), N4(ξ)] (12b) Reemplazando la forma aproximada del desplazamiento transversal w y del giro de la sec- ción transversal ϕ en las expresión variacional (1), se obtiene la forma discreta de la ecuación gobernante, dada por la expresión matricial:
[K] − ω2[M ] = 0 (13)
En la que[K], es la matriz de rigidez de la microviga embebida en la fundación elástica y [M ], la correspondiente matriz de masa. Como es sabido, ambas se obtienen mediante el ensamblado de las correspondientes matrices de cada elemento. La matriz de rigidez del elemento,[ke] resulta:
[ke] =c1 a3
Z 1
0
∂2[Nϕ]
∂ξ2
t
∂2[Nϕ]
∂ξ2
dξ − c4 a2
Z 1
0
∂2[Nw]
∂ξ2
t
∂[Nϕ]
∂ξ
dξ +c2
a Z 1
0
∂[Nϕ]
∂ξ
t
∂[Nϕ]
∂ξ
dξ − c3 Z 1
0
∂[Nw]
∂ξ
t
([Nϕ]) dξ + c3a
Z 1
0
([Nϕ])t([Nϕ]) dξ + c5 a3
Z 1
0
∂2[Nw]
∂ξ2
t
∂2[Nw]
∂ξ2
dξ
− c4 a2
Z 1
0
∂[Nϕ]
∂ξ
t
∂2[Nw]
∂ξ2
dξ + c3 a
Z 1
0
∂[Nw]
∂ξ
t
∂[Nϕ]
∂ξ
dξ
− c3 Z 1
0
([Nϕ])t ∂[Nϕ]
∂ξ
dξ + kw
Z 1
0
([Nw])t([Nw]) dξ + kp
Z 1
0
∂[Nw]
∂ξ
t
([Nw]) dξ
(14)
mientras que la matriz de masa del elemento[me] toma la forma:
[me] = ρ a A Z 1
0
([Nw])t([Nw]) dξ + ρ a Iy
Z 1
0
([Nϕ])t([Nϕ]) dξ (15) 5. RESULTADOS NUMÉRICOS
Los modelos resueltos consistieron en microvigas Timoshenko con condiciones de borde clásicas, embebidas en una fundación elástica del tipo Pasternak. Se adoptaron para los pará- metros de longitud de escala: l0 = l1 = l2 = l. Con el algoritmo desarrollado en elementos finitos descripto anteriormente. Se obtuvieron los primeros dos coeficientes de frecuenciaΩ1y Ω2, definidos en la forma:
Ωi =r ρ A
E I L2ωi con i = 1, 2 (16)
Se definieron una serie de dichos modelos, haciendo variar: el parámetro de longitud de escala l, los coeficientes de rigidez de la fundación elástica kw y kp, la esbeltez de la viga L/h y las condiciones de borde de la microviga, con el fin de apreciar la incidencia de cada parámetro de configuración mencionado y de establecer valores que puedan servir de referencia para futuros trabajos. En todos los casos se adopta sección rectangular,κ = 5/6.
Las Tablas 1 y2 contienen los valores del coeficiente de frecuencia fundamental y del se- gundo coeficiente de frecuencia respectivamente, de la microviga simplemente apoyada. Puede apreciarse en todos los casos el incremento de los coeficientes de frecuencia, conforme se elevan los valores dekw y kp, por un lado y la disminución de los mismos cuando crece el espesorh de la microviga. Las Tablas3y4contienen los valores del coeficiente de frecuencia fundamen- tal y del segundo coeficiente de frecuencia respectivamente, de la microviga empotrada-libre.
Las Tablas5y6contienen los valores del coeficiente de frecuencia fundamental y del segundo coeficiente de frecuencia, respectivamente de la microviga empotrada-empotrada.
En la primer columna, se tiene la esbeltezL/h de la microviga. Como puede apreciarse, se ha considerado un valor de esbeltez alto (L/h = 100), para el cual se tienen resultados similares al que arrojaría el modelo de microviga Euler; y un valor de esbeltez bajo (L/h = 10), en el cual se requiere el modelo de microviga Timoshenko para obtener valores de mayor precisión.
De este modo se pueden comparar los resultados de ambos modelos.
La segunda columna tiene en cuenta la rigidez traslacional de los resortes a través del coefi- ciente adimensionalkw, siendo este coeficiente el correspondiente a la teoría de Winkler.
La tercer columna corresponde al efecto Pasternak, mencionado anteriormente, el cual se cuantifica mediante el coeficiente adimensionalkp. Cuandokp = 0 significa que el efecto Pas- ternak no es tenido en cuenta.
las columnas restantes corresponden a diferentes valores de la relación h/l, siendo h el es- pesor de la microviga yl el parámetro de escala mencionado anteriormente. La última columna de cada tabla indicada con "TC", contiene los coeficientes de frecuencia correspondientes a la teoría clásica, es decir cuando h >> l. Estos valores permiten comparar los resultados que provienen de aplicar la teoría de microvigas con los resultados de la teoría clásica.
h/l
L/h kw kp 1 2 4 8 TC
0 34.1755 21.9293 15.9622 13.9011 13.1232 0 10 35.5846 24.0620 18.7828 17.0650 16.4373 50 40.7366 31.1662 27.2909 26.1364 25.7302 0 35.6028 24.0889 18.8172 17.1029 16.4766 10 100 10 36.9576 26.0454 21.2623 19.7607 19.2209 50 41.9412 32.7218 29.0531 27.9710 27.5917 0 46.5184 38.4022 35.3232 34.4372 34.1292 1000 10 47.5632 39.6587 36.6842 35.8314 35.5354 50 51.5311 44.3301 41.6859 40.9362 40.6770 0 40.8750 23.5703 16.6025 14.3386 13.4996 0 10 42.0649 25.5782 19.3477 17.4437 16.7609 50 46.5211 32.3882 27.7324 26.4393 25.9938 0 42.0804 25.6037 19.3813 17.4811 16.7998 100 100 10 43.2371 27.4634 21.7790 20.1066 19.5172 50 47.5836 33.8968 29.4801 28.2671 27.8509 0 51.6787 39.4395 35.7150 34.7205 34.3825 1000 10 52.6249 40.6714 37.0709 36.1137 35.7889 50 56.2506 45.2650 42.0595 41.2184 40.9341
Tabla 1: Coeficiente de frecuencia fundamental Ω1, de una microviga Timoshenko Articulada-Articulada, embebi- da en un medio elástico Winkler-Pasternak, para diferentes valores deh/l, con: ν = 0,38, κ = 5/6.
h/l
L/h kw kp 1 2 4 8 TC
0 106.111 75.0270 57.8170 51.2495 48.6751 0 10 107.945 77.5798 61.0739 54.8890 52.4901 50 114.987 87.0452 72.6551 67.5118 65.5655 0 106.579 75.6818 58.6591 52.1954 49.6692 10 100 10 108.404 78.2132 61.8716 55.7732 53.4131 50 115.419 87.6102 73.3269 68.2325 66.3067 0 110.697 81.3378 65.7541 60.0414 57.8519 1000 10 112.456 83.6983 68.6352 63.1762 61.0962 50 119.232 92.5396 79.1165 74.4053 72.6377 0 162.347 94.0544 66.3271 57.2985 53.9507 0 10 163.558 96.1295 69.2383 60.6447 57.4920 50 168.315 104.017 79.8283 72.5010 69.8853 0 162.655 94.5843 67.0764 58.1643 54.8693 100 100 10 163.863 96.6481 69.9564 61.4634 58.3549 50 168.612 104.496 80.4520 73.1872 70.5969 0 165.397 99.2265 73.4776 65.4431 62.5328 1000 10 166.586 101.196 76.1158 68.3919 65.6125 50 171.259 108.716 85.8617 79.0953 76.7048
Tabla 2: Segundo coeficiente de frecuencia Ω2, de una microviga Timoshenko Articulada-Articulada, embebida en un medio elástico Winkler-Pasternak, para diferentes valores deh/l, con: ν = 0,38, κ = 5/6.
h/l
L/h kw kp 1 2 4 8 TC
0 13.2152 8.10623 5.80481 5.03344 4.74504 0 10 14.6111 10.3487 8.64567 8.11249 7.91737 50 18.8044 15.6706 14.3230 13.8620 13.6872 0 16.5645 12.8598 11.5471 11.1790 11.0520 10 100 10 17.6986 14.3805 13.2078 12.8654 12.7433 50 21.2933 18.5834 17.4621 17.0861 16.9446 0 34.2351 32.5934 32.0945 31.9628 31.9183 1000 10 34.8001 33.2279 32.7372 32.6012 32.5536 50 36.7642 35.2604 34.6830 34.4955 34.4258 0 14.5802 8.40045 5.91591 5.10897 4.80995 0 10 16.0709 10.7269 8.82657 8.25186 8.04390 50 20.7201 16.3814 14.7204 14.1784 13.9773 0 17.6799 13.0600 11.6187 11.2293 11.0965 100 100 10 18.9280 14.6650 13.3381 12.9650 12.8336 50 23.0069 19.1923 17.7957 17.3500 17.1861 0 34.8216 32.7189 32.1708 32.0322 31.9859 1000 10 35.4716 33.3921 32.8310 32.6812 32.6293 50 37.8059 35.6135 34.8807 34.6555 34.5737
Tabla 3: Coeficiente de frecuencia fundamental Ω1, de una microviga Timoshenko Empotrada-Libre, embebida en un medio elástico Winkler-Pasternak, para diferentes valores deh/l, con: ν = 0,38, κ = 5/6.
h/l
L/h kw kp 1 2 4 8 TC
0 59.2227 42.8269 32.8854 29.0786 27.5916 0 10 61.3480 45.9233 36.9978 33.7134 32.4563 50 69.0999 56.2918 49.4710 47.0392 46.1121 0 60.0517 43.9603 34.3433 30.7157 29.3110 10 100 10 62.1487 46.9823 38.3002 35.1362 33.9314 50 69.8120 57.1600 50.4546 48.0719 47.1649 0 67.0535 53.0828 45.4037 42.7124 41.7087 1000 10 68.9381 55.6133 48.4711 46.0016 45.0844 50 75.9205 64.4499 58.5677 56.5234 55.7527 0 90.7690 52.5264 37.0310 31.9881 30.1184 0 10 92.5227 55.5068 41.1350 36.6470 35.0190 50 99.1777 65.8475 53.9329 50.3622 49.0807 0 91.3180 53.4696 38.3571 33.5143 31.7347 100 100 10 93.0614 56.4002 42.3327 37.9865 36.4185 50 99.6805 66.6023 54.8519 51.3452 50.0888 0 96.1184 61.3087 48.6932 44.9774 43.6675 1000 10 97.7762 63.8807 51.8828 48.4018 47.1813 50 104.096 73.0455 62.5181 59.4653 58.3839
Tabla 4: Segundo coeficiente de frecuencia Ω2, de una microviga Timoshenko Empotrada-Libre, embebida en un medio elástico Winkler-Pasternak, para diferentes valores deh/l, con: ν = 0,38, κ = 5/6.
h/l
L/h kw kp 1 2 4 8 TC
0 52.1416 40.3360 32.0009 28.5837 27.2165 0 10 53.1029 41.6362 33.6916 30.4911 29.2228 50 56.7786 46.4302 39.6372 37.0134 35.9935 0 53.0910 41.5532 33.5191 30.2724 28.9843 10 100 10 54.0354 42.8165 35.1369 32.0797 30.8762 50 57.6517 47.4916 40.8730 38.3330 37.3487 0 60.9736 51.2228 44.9306 42.5545 41.6445 1000 10 61.7977 52.2531 46.1508 43.8595 42.9838 50 64.9836 56.1488 50.6567 48.6233 47.8485 0 91.8102 53.2691 37.5792 32.4667 30.5706 0 10 92.4721 54.4072 39.1763 34.3019 32.5125 50 95.0687 58.7174 44.9469 40.7487 39.2440 0 92.3531 54.1995 38.8869 33.9717 32.1644 100 100 10 93.0112 55.3185 40.4323 35.7297 34.0155 50 95.5931 59.5628 46.0457 41.9576 40.4979 0 97.1031 61.9475 49.1131 45.3209 43.9825 1000 10 97.7292 62.9289 50.3456 46.6532 45.3538 50 100.190 66.6906 54.9556 51.5786 50.3983
Tabla 5: Coeficiente de frecuencia fundamental Ω1, de una microviga Timoshenko Empotrada-Empotrada, embe- bida en un medio elástico Winkler-Pasternak, para diferentes valores deh/l, con: ν = 0,38, κ = 5/6.
h/l
L/h kw kp 1 2 4 8 TC
0 116.257 91.6824 76.3900 69.6388 66.8123 0 10 117.938 93.8332 79.0117 72.5340 69.8361 50 124.436 101.969 88.6747 83.0309 80.7122 0 116.684 92.2213 77.0326 70.3412 67.5432 10 100 10 118.359 94.3597 79.6332 73.2086 70.5358 50 124.835 102.453 89.2290 83.6210 81.3185 0 120.458 96.9358 82.5914 76.3724 73.7962 1000 10 122.081 98.9724 85.0224 79.0217 76.5452 50 128.369 106.717 94.0706 88.7559 86.5842 0 249.642 146.155 103.341 89.3310 84.1285 0 10 250.551 147.714 105.538 91.8645 86.8142 50 254.149 153.780 113.874 101.323 96.7625 0 249.842 146.496 103.824 89.8887 84.7205 100 100 10 250.750 148.052 106.011 92.4070 87.3880 50 254.345 154.104 114.312 101.815 97.2776 0 251.636 149.536 108.070 94.7610 89.8734 1000 10 252.538 151.060 110.173 97.1530 92.3922 50 256.108 156.996 118.182 106.141 101.797
Tabla 6: Segundo coeficiente de frecuencia Ω2, de una microviga Timoshenko Empotrada-Empotrada, embebida en un medio elástico Winkler-Pasternak, para diferentes valores deh/l, con: ν = 0,38, κ = 5/6.
6. CONCLUSIONES
El análisis numérico de los resultados precedentes permite obtener las siguientes conclusio- nes:
1. Se comprueba numéricamente que cuando la altura o espesorh de la microviga embebida en un medio elástico, está en el orden del parámetro de longitud de escala del material l, la teoría clásica del continuo resulta insuficiente para obtener resultados con buena precisión.
2. En todos los casos analizados, los resultados obtenidos muestran, que para una relación de h/l = 8, los coeficientes de frecuencias naturales resultan próximos a los obtenidos con la teoría clásica, independientemente de la influencia del medio elástico embebido. Puede decirse entonces que la viga comienza a dejar de tener dimensión micro-estructural.
3. Se aprecia en los resultados obtenidos, que el efecto Pasternak es muy significativo con lo que, la aplicación del modelo Winkler unicamente resultaría insuficiente, tal como ocurre en el caso clásico.
4. Al igual que sucede en la formulación del elemento viga basado en la teoría clásica de elasticidad, la incorporación dentro de la formulación del elemento, de la influencia del medio elástico sobre la microviga, ha resultado ser muy conveniente desde el punto de vista práctico, ya que evita colocar vínculos elásticos en los nodos.
Agradecimientos: Los autores agradecen al Departamento de Ingeniería, a la Secretaría Ge- neral de Ciencia y Tecnología de la Universidad Nacional del Sur (UNS), al Consejo Nacional
de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET) y a la Comisión de Investigaciones Cien- tíficas de la Provincia de Buenos Aires (CIC), bajo cuyos auspicios se desarrolló el presente trabajo.
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