GUÍ A PRÁCTI CA: N 2

SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS 1. Proporcionalmente iguales...

En Geometr´ıa, diremos que dos figuras son semejantes (∼) si y s´olo si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tama˜no, es decir, una corresponde a una ”ampliaci´on”de la otra.

Ojo 1 Si dos pol´ıgonos regulares tienen igual n´umero de lados, entonces son semejantes.

Ojo 2 Toda circunferencia es semejante a otra circunferencia.

Ojo 3 La congruencia es un caso particular de la semejanza.

Para la PSU, nos interesa en particular la semejanza de tri´angulos. Di- remos que dos tri´angulos son semejantes cuando los ´angulos de uno de ellos sean respectivamente congruentes con los ´angulos del otro y adem´as, tengan sus lados hom´ologos proporcionales.

A B

C

P Q

R △ABC ∼ △P QR

m

∢A = ∢P, ∢B = ∢Q, ∢C = ∢R AB

P Q = BC

QR = CA RP

GUÍ A PRÁCTI CA: N ° 2

2. Teoremas de Semejanza

Sin embargo, parar probar que dos tri´angulos son semejantes no es ne- cesario probar estas seis propiedades.

Seg´un el teorema fundamental de la semejanza de tri´angulos, para que dos tri´angulos sean semejantes, basta que cada uno posea dos ´angulos congruentes.

A B

C

P Q

R

△ABC ∼ △P QR m

∢A = ∢P y ∢B = ∢Q,

´ o

∢A = ∢P y ∢C = ∢R,

´ o

∢B = ∢Q y ∢C = ∢R.

Ojo 4 Una consecuencia de esto es que cualquier paralela a un lado del tri´angulo genera otro tri´angulo semejante al original.

D E

A B

C

AB//DE⇒ △ABC ∼ △DEC

Tambi´en existen otros teoremas que nos ahorran el tener que probar estas seis propiedades:

1. Para que dos tri´angulos sean semejantes, basta que tengan un ´angulo congruente comprendido entre lados proporcionales.

A B

C

c b

P Q

R

k· c k· b

∢A = ∢P y AB P Q = AC

P R

⇓

△ABC ∼ △P QR

2. Para que dos tri´angulos sean semejantes, basta que tengan sus lados proporcionales.

A B

C

c a b

P Q

R

k· c k· a

k· b AB

P Q = BC

QR = AC

P R ⇒ △ABC ∼ △P QR

3. Para que dos tri´angulos sean semejantes, basta que tengan dos de sus lados respectivamente proporcionales, y los ´angulos opuestos a los mayores de estos lados, congruentes.

A B

C

k· r k· q

AB > AC

P Q

R

r q

P Q > P R

∢C ∼= ∢R y AC

P R = AB

P Q ⇒ △ABC ∼ △P QR

Ojo 5 Si dos tri´angulos son semejantes entonces sus transversales de gra- vedad, alturas, per´ımetros, etc. se encuentran en la misma raz´on que sus lados.

Ojo 6 Si dos tri´angulos son semejantes entonces la raz´on entre sus ´areas es igual al cuadrado de la raz´on entre sus lados.

3. Teorema de Thales

Si dos rectas se cortan por tres o m´as paralelas, los segmentos determi- nados en una de ellas son, respectivamente, proporcionales a los segmentos determinados en la otra.

L2

L1

F E D

C B

A

←→AD//←→

BE//←→

CF ⇒ AB

BC = DE EF

Ojo 7 La igualdad tambi´en se puede escribir como AB

DE = BC EF. Ojo 8 Si en la igualdad anterior sumamos un 1 a cada lado

AB

BC + 1 = DE

EF + 1⇒ AB + BC

BC = DE + EF

EF .

PeroAB + BC = AC y DE + EF = DF , por lo tanto AC

DF = BC

EF = AB DE

4. Divisi´ on de un Trazo

Diremos que un punto P ∈ AB lo divide en la raz´on m : n, si AP : P B = m : n.

A P B

AP P B = m

n

Si al dividir el trazo se cumple que la raz´on entre el trazo entero y el segmento mayor es igual a la raz´on entre el segmento mayor y el menor, entonces diremos que se encuentra en raz´on ´aurea o divina.

A P B

AP > P B

AB AP = AP

P B

Ojo 9 El valor num´erico de la raz´on ´aurea es el n´umero irracional conocido como n´umero ´aureo. Su valor corresponde a

φ =

√5 + 1

2 ≈ 1,618034.

5. Proporcionalidad en la Circunferencia

5.1. Teorema de las Cuerdas

Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan en el interior de ella, el producto de los segmentos determinados en una de ellas es igual al producto de segmentos determinados en la otra

AP · P B = CP · P D. A

B

D C

P

5.2. Teorema de las secantes

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de una de ellas por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior

P A· P C = P B · P D.

A

B

C D

P

5.3. Teorema de la tangente y la secante Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una tangente y una secante, la longitud de la tangente es el producto entre la longitud de la secante y su segmento exterior.

P A· P B = P T².

A

B

P T

Ojo 10 El teorema de la tangente y la secante puede ser visto como el teo- rema de las secantes cuando BD = 0.

5.4. Teorema de las tangentes

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos tangentes, las longitudes de ambas tangentes son iguales.

P R = P T .

P T

R Ojo 11 Una consecuencia del teorema de las tangentes es que al inscribir una circunferencia dentro de cualquier pol´ıgono los segmentos que concurren a un mismo v´ertice son iguales.

6. Ejercicios

Sin calculadora. Marcar s´olo 1 alternativa.

1. Si en la figura,△ABC ∼ △A^′B^′C^′, entonces α es a) igual a α^′.

b) un cuarto de α^′. c) un tercio de α^′. d) el doble de α^′.

e) el triple de α^′ A B

C

2

3 4

α

A^′ B^′

C^′

6

9

α^′

2. Los lados de un tri´angulo miden 30 cm, 50 cm y 60 cm. ¿Cu´anto mide el lado m´as largo de un tri´angulo semejante con ´el y cuyo lado menor mide 20 cm?

a) 30 cm b) 40 cm c) 50 cm d) 60 cm e) 70 cm

3. En la figura, el trazo DE es paralelo al lado AB del tri´angulo ABC.

Entonces, el tri´angulo CDE es semejante al tri´angulo ABC en su orden

a) BAC b) CBA c) CAB d) BCA

e) ABC A B

C

D E

4. Las rectas L¹ y L² de la figura, son paralelas y los trazos DB y AE se cortan en C. Entonces, el tri´angulo ABC es semejante al tri´angulo DEC en su orden

a) DCE b) EDC c) DEC d) ECD e) CED

L1

L2

D E

A B

C

5. Sea△ABC ∼ △DEF y las longitudes de los lados sean las indicadas en la figura. ¿Cu´al es la longitud de (x + y)?

a) ²¹4

b) ²⁷₄ c) ³⁰₄ d) ⁵¹₄

e) ⁶¹4 A B

C

7

10 12

D E

F

x 9 y

6. Seg´un los datos dados en la figura, ¿cu´al es la longitud de AC si AB

BC = P R P Q? a) 10

b) 8 c) 6 d) 3,9 e) 1,3

B

C

A 7

3x − 6 3

P

Q R

14 3x 6

7. En la figura, el trazo DE//AB, CB = 16, AC = 8 y DC = 6. ¿Cu´al es el per´ımetro del△CDE?

a) 36 b) 32 c) 27 d) 21

e) 18 A B

C

D E

12

8. Los tri´angulos ABC y A^′B^′C^′ de la figura, son semejantes. S y S^′ representan las ´areas del primer y segundo tri´angulo respectivamente.

Si S : S^′ = 1 : 4, ¿cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)?

I) a : a^′ = 1 : 2 II) h^c : h^′c = 1 : 4 III) hc : h^′c = tc : t^′c

a) S´olo I b) S´olo II c) S´olo III d) S´olo I y III e) I, II y III

A B

C

t^c a h^c

A^′ B^′

C^′

a^′ t^′c

h^′c

9. En la figura, L¹//L²//L³, entonces x =

a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

L3

L2

L¹ 4

x + 2

2

x− 1

10. Si en la figura, L1//L2//L3, entonces x + y = a) 24

b) 11 c) 8 d) 5 e) 3

L3

L2

L¹ 6 x

8

y 4

16

11. Un punto P divide interiormente a un segmento AB en la raz´on 5 : 3.

Si P B = 36 cm, ¿cu´anto mide AB?

a) 12 cm b) 48 cm c) 60 cm d) 72 cm e) 96 cm

12. Un punto Q divide en raz´on ´aurea a un trazo CD, con CQ > QD. Si CD = 10 cm y CQ = x, entonces la ecuaci´on para determinar x es

a) x²+ 10x− 100 = 0 b) x²− 10x + 100 = 0 c) x²− 10x − 100 = 0