Sesión 2.c MODELIZACIÓN DEL TIEMPO DE VIDA

U P C

I.O.E. Diplomatura de Estadística ^{U P C}

I.O.E. Diplomatura de Estadística

Sesión 2.c

MODELIZACIÓN DEL TIEMPO DE VIDA

1. Definición de proceso de Renovación.

Función de renovación. Caso exponencial. Distribución k-Erlang 2. Teorema Elemental de Renovación.

3. Función de Fiabilidad y función de tasa de fallos.

Distribuciones importantes.

4. Concepto de Vida Residual y Condicional.

Caso exponencial. Ausencia de memoria.

Cap. 3 O’connor P.D.T. “Practical Reliability Engineering”. Third Edition. John Wiley & Sons Inc. 1991.

Cap. 4 Trivedi K.S. “Probability and Statistics with Reliability, Queueing and Computer Science Applications”

John Wiley and Sons. 2002.

76 CAP´ITULO 3. PROYECTO DOCENTE PARA LAS ASIGNATURAS DE I.O. EN LA D.E.

1-CADENAS DE MARKOV Y MODELOS DE REEMPLAZAMIENTO

Semana 1

1. Sesi´on de teor´ıa. 2h.

- (1.a) El Concepto de Investigaci´on Operativa. Presentaci´on y desarrollo del curso. Nor- mas de evaluaci´on de la asignatura. Introducci´on a la I.O. y ciclo metodol´ogico. Presentaci´on de un caso de estudio.

2. Sesi´on de teor´ıa y problemas. 1+1h.

- 1^a hora. (2.a) Cadenas de Markov. Introducci´on. Procesos estoc´asticos discretos y propiedad Markoviana. Cadenas homog´eneas y cadenas finitas. Matriz de probabilidades de transici´on y diagrama de estados.

- 2^ahora. Sesi´on de problemas. Obtenci´on de la matriz de probabilidades de transici´on para un modelo de inventario con demanda semanal poissoniana sin retenci´on de demanda. Verificaci´on de las hip´otesis markoviana y de homogeneidad.

Semana 2

1. Sesi´on de teor´ıa. 2h.

- (2.b) Clasificaci´on de cadenas. Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov. Clases de una cadena de Markov y periodicidad. Tiempos de 1^er paso. Probabilidades de absorci´on.

2. Sesi´on de problemas + laboratorio 1+1h.

- 1^a hora. Para el problema de la sesi´on anterior se calculan tiempos de primer paso.

- 2^a hora. Introducci´on al uso del paquete CdM de an´alisis de cadenas de Markov.

Semana 3

1. Sesi´on de teor´ıa. 2h.

- (2.b) Estado estacionario en cadenas de Markov. Esperanza del n´umero de visitas a un estado en un n´umero fijo de transiciones. Cadenas irreducibles y aperi´odicas. Probabilidades de estado estacionario. Coste medio por per´ıodo en estado estacionario.

2. Sesi´on de problemas. 2h.

- Se desarrollar´an y se resolver´an cadenas de Markov mediante enunciados que obliguen a la modelizaci´on de sistemas de inventario y modelos de tiempos de vida.

Semana 4

1. Sesi´on de teor´ıa. 2h.

- (2.c) Modelizaci´on del tiempo de vida. Procesos de renovaci´on. Teorema elemental.

Vida residual y disponibilidad. Funci´on de fiabilidad y funci´on de intensidad o tasa de fallos instant´anea de un componente. Distribuciones importantes de probabilidad del tiempo de vida: exponencial, hipoexponencial, hiperexponencial, k-Erlang, Weibull. Funci´on emp´ırica de intensidad de tasa de fallos y fases de la vida de un componente: adaptaci´on, vida ´util, deceso.

Tiempo de vida exponencial: consecuencias de la ausencia de memoria.

2. Sesi´on de laboratorio. 2h. Entrega de cuestionario

- Pr´actica 1. Utilizaci´on del software CdM para modelizar el tiempo de vida de un componente y determinaci´on de la funci´on de fiabilidad.

Semana 5

1. Sesi´on de teor´ıa. 2h.

- (2.d) Estrategias de reemplazamiento. Sistemas en serie, paralelo y redundantes. Mode- lo con una unidad en reserva. Tipos de costes asociados a los fallos: coste de reemplazamiento, costes de aver´ıa. Reemplazamiento preventivo seg´un optimizaci´on de costes econ´omicos. Otros criterios: disponibilidad y fiabilidad. Modelos de tiempo de vida discretos y modelos de reem- plazamientos mediante cadenas de Markov.

2. Sesi´on de problemas. 2h.

U P C

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I.O.E. Diplomatura de Estadística Estado Estacionario en C. de M. SEMANA 3

ESTADO ESTACIONARIO

Definición: Se presenta estado estacionario cuando para cualquier estado j:

( ) ( n ) j

j n P X j n

p     → π

∞

= →

=

independientemente de les probabilidades de estado inicial p j (0) ^.

Si el e.e. existe para la cadena, el vector π ^T = [ π 1 L π M ] se denomina distribución de probabilidades de los estados en régimen estacionario.

Verifican:

1 , 0

1 = ≥

∑ = i M

i π i π

.

 







 







=



 →

 _{→ ∞} ^∞

M M n

n π π

π π

L

M M

L

1 1

P ⁽ P

No depende de i

j n

ij n

p   →   π

∞

→

(

Equivalentemente:

U P C

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I.O.E. Diplomatura de Estadística Estado Estacionario en C. de M. SEMANA 3

CADENAS ERGÓDICAS (ejemplo)

 

 

 

 







 

 

 

 







=

 

 

 

 







 

 

 

 







 

 

 

 







 

 

 

 







−

−

π π π π

π π π π

k k k

k

p p

p

q q

q q q

M M M M

M M

L L

M O L L

M O O M

M M

M O

O M M M

L L L L

2 1 0

2 1 0

1 1

0

1 3

2 1 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0

0 0

0 0

1

→

 

 

 

 







 

 

 

 







=

 

 

 

 







 

 

 

 







 

 

 

 







 

 

 

 







−

−

−

−

−

0

0 0 1

1 0

0 0

1 0

0

0 0

0 1 0

0 0

0 1

1 1 1

1 1 1

2 1 0

1 1

0

M M M M

M M

L L

M L

L

M O O M

M M

M O

O M M M

L L L L

π π π π

k k

p p

p

p p

p p

p

k k k k

0 0 1

0 0 2

1 0 0 1

L L L

−

− −

=

=

=

π π

π π

π π

^π

₀

( 1 + ^p

₀

+ ^p

₀

^p

₁

+ ^p

₀

^p

₁

^p

₂

+ ^L + Π

^kj=−1₀

^p

^j

) = 1 ^{, =} _ ^{ + ∑}

= =⁻

^Π _ ^

1 −

0 0 1

0

1

^k

i j

i

j

p

π

ⁱ p _j i k

j

i ¹ , 1 , 2 , L

0

0 =

= ^π Π ⁻ ₌

π

0 1 2 3 k-1 k k+1

Avería segura

3

k-

1

kk

… kk

q

0

0 1 2

p

0

p

1

p

2

p

k-1

(p

_k

=0)

q

1

q

2

q

3

q

k-1

q

k

=1

FUNCIÓN DE FIABILIDAD. FUNCIÓN DE TASA DE FALLOS

U P C

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I.O.E. Diplomatura de Estadística Cadenas de Markov. Introducción

Definición de proceso estocástico.

Es una colección indexada de variables aleatories { ^{X t t ∈ T} } ^,

t pertenece a un conjunto T conocido.

Espacio de Estados I : Conjunto de valores que puede tomar cada X _t

Conjunto de Índices T

Discreto Continuo

Discreto Cadena de

parámetro discreto

Cadena de

parámetro continuo Espacio

Estados de I

Continuo Proceso estocástico de parámetro discreto y de estados continuo

Proceso estocástico de paràmetre continuo y estados continuo

Clasificación de los procesos estocásticos

U P C

I.O.E. Diplomatura de Estadística

^{U P C}

I.O.E. Diplomatura de Estadística Definición de Proceso de Renovación Sesión 2.c MODELIZACIÓN DEL TIEMPO DE VIDA Proceso de Renovación.

Definición: Colección de variables aleatorias { τ

n

} (discretas o continuas) con índice discreto. Indep. Mútuamente Función de densidad f

_τ

Función de distribución F

_τ

Idénticamente distrib.

Variables aleatorias importantes: Tiempo hasta el suceso k :

Número de renovaciones N ( t ) Función de renovación:

τ

1

τ

2

τ

3

… … τ

k-1

τ

k

t

U P C

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I.O.E. Diplomatura de Estadística Proceso de Renovación. Caso exponencial

Caso τ

n

~ exp de par. α , E[ τ

n

] = 1/ α

( )

 



<

≥

= ⋅

⁻

0 0

0 t t t e

f

αt

τ

α

( ) ( ) ( )

 



<

≥

= −

⋅

=

≤

=

⁻

∞

−

∫

0 0

0 1

t t dt e

t f t

T P t

F

t αt

τ τ

^E [ ] ^{T =} _∫

₋⁺_∞^∞

^{t ⋅ f}

^T

( ) ^{t ⋅ dt =} _∫

₀^+∞

^{t ⋅} ( ^{α ⋅ e}

⁻

^α

^t

) ^{⋅ dt = L =} _α ¹

[ ] ⁼ _∫

₋⁺_∞^∞

( ⁻ [ ] ) ^⋅ ( ) ^{⋅ =} [ ] ^{− [ ] =} _∫

₀^+∞

^⋅ ( ^⋅

⁻

) ^{⋅ −}

2

^{= =}

2

2 2

2 2

1 1

α α ^e

^α

^dt α _L t

T E T

E dt t f T

E t T

Var

_T ^t

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I.O.E. Diplomatura de Estadística Proceso de Renovación. Caso exponencial

Número de renovaciones en [0,t] Distribución de Poisson.

Función de renovación:

Tiempo hasta el suceso k : T _k

Define una variable k-Erlang

[ ] [ ] τ [ ] τ _α 1 _α 1 _{α µ} 1

1

+ + = + + = =

= k

E T E

E

_k

L

_k

L

[ ] [ ]

1

[ ]

^{2 2} _{2 2}

1 1

1

τ µ

τ + + = α + + α = α = ⋅

= ^ _ ^{ } _ ^{ } _ ^{ } _ ^

k Var k

T Var

Var

_k

L

_k

L

[ ]

( )

[ ]

^/

⁾

/

1 1 1

2 1 2

1

= < >

= (k

E T T

k Var k

k

θ

µ = 1, k = 1, 2, 5, 20

PROPIEDAD 1

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I.O.E. Diplomatura de Estadística Proceso de Renovación. Teorema elemental de Renovación TEOREMA ELEMENTAL DE RENOVACIÓN

• Caso τ k-Erlang

Se define un nuevo proceso de renovación { τ '

_n

} con τ ' = T _k ^para k ^fijado.

• ^Caso τ Weibull F

_τ

( t ) = 1 − exp ( ) − ( ) t b

^a

τ τ τ … τ τ

t τ

τ '

1

τ'

2

τ'

k

m(t)

m(t)

t

d m(t) dt

k=2 etapas,

E[τ ]= ²⁰

1/E[ τ ']=0,028

d m(t) dt

m(t)

m(t) t

a=2 , b=40

E[ τ ]= 35,4

Máquina 1

Máquina 2 τ 1

τ 2

τ

N=2 N=3 N=5

N=20 N=50

Palm

(1943)

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I.O.E. Diplomatura de Estadística FUNCIÓN DE FIABILIDAD. FUNCIÓN DE TASA DE FALLOS

FUNCIÓN DE FIABILIDAD. FUNCIÓN DE TASA DE FALLOS

FUNCIÓN DE FIABILIDAD. FUNCIÓN DE TASA DE FALLOS

U P C

I.O.E. Diplomatura de Estadística ^{U P C}

I.O.E. Diplomatura de Estadística FUNCIÓN DE FIABILIDAD. FUNCIÓN DE TASA DE FALLOS

Distribución exponencial. τ

n

~ exp de par. α

( )   

<

≥

= ⋅

⁻

0 0

0 t t t e

f

αt

τ

α

E[ τ

n

] = 1/α, Var[ τ

n

] = 1/α

²

Función empírica de tasa de fallos.

a) Etapa de muerte precoz. Fallos ocasionados por defectos de fabricación. El componente es más vulnerable a las solicitaciones exteriores.

b) Etapa de vida útil. Fallos debidos a causas exteriores. Las solicitaciones que no ocasionan fallo del componente no ocasionan envejecimiento.

c) Etapa de desgaste. Las solicitaciones exteriores ocasionan envejecimiento. Cada vez más, el componente es más vulnerable.

Tasa constante. Las solicitaciones que no ocasionan fallo del componente no ocasionan envejecimiento.

a) b) c)

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Distribución Hipoexponencial

λ

1

=1, λ

2

=5

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I.O.E. Diplomatura de Estadística

exp λ

1

exp λ

2

exp λ

k

. . . α

1

α

2

α

k

Distribución Hiperexponencial

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Distribución Weibull

a=1/2, 1, 2, 3 b=2

a=1/2

a=1

a=2

a=3

U P C

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Distribución Lognormal

f _τ (t)

F _τ (t)

h _τ (t)

(m=1)

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CONCEPTO DE VIDA RESIDUAL.

θ r

τ i-1 τ i

w v.a. tiempo entre sucesos

observado al escoger

instante al azar.

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CONCEPTO DE VIDA RESIDUAL.

θ r

τ i 1 τ i

U P C

I.O.E. Diplomatura de Estadística ^{U P C}

I.O.E. Diplomatura de Estadística

U P C

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CONSECUENCIAS: ES INÚTIL REEMPLAZAR UNIDADES "VIEJAS":

TIENEN IGUAL TIEMPO RESIDUAL DE VIDA QUE LAS NUEVAS.

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TIEMPO DE VIDA CONDICIONAL

PROPIEDAD 2. Caso exponencial. Ausencia de memoria

θ s

τ i-1 τ i

Práctica 1. Aproximación del tiempo de vida mediante cadenas de Markov.

El objetivo de la práctica es la evaluación de la distribución de probabilidades para el tiempo de vida residual y la esperanza del tiempo de vida residual para una distribución de tiempo de vida Weibull, con parámetros especificados.

Para la realización de la práctica se utilizan las macros Pm1_1.mtb, P1m_2.mtb y el programa CdM.exe

Se supone una función de distribución de probabilidad del tipo:

( ) ( ) t b

^a

t

F ( ) = 1 − exp −

Se proporcionarán los parámetros a, b.

Preparación inicial: (por ejemplo para a=2, b=40)

1. Copiar en el directorio de trabajo el fichero

sample_IOEP1.MPJ

y abrirlo.

2. Guardar en las constantes K5 y K6 los parámetros a,b:

MTB> let K5 = 2 MTB> let K6 =40,0

3. Con la ayuda de

MINITAB

, calcular el tiempo T tal que: P(t ≤ T)=0.998

MTB > InvCDF 0,998;

SUBC> Weibull 2 40.

4. Tomar como longitud del subintervalo de tiempo T/20 (para una cadena de Markov con 21 estados del 0 al 20); almacenar T/20 en la constante K4:

MTB> let K4 = T/20,0

5. Fijar un número de componentes iniciales determinado (p.ej. 1000) y almacenarlo en la constante K1:

MTB> let K1 = 1000,0

EJECUCIÓN de la PRÁCTICA Tras la preparación inicial:

Editar convenientemente la macro

^P1m_1.mtb

indicar el "path" del fichero de con las probabilidades de la matriz de probabilidades de transición.

Ejecutar la macro

^P1m_1.mtb

mediante:

MTB > exec "P1m_1.mtb"

Tras la acción de esta macro se llenarán las columnas de la hoja de cálculo MINITAB y:

a) Se mostrará por terminal la esperanza E[t] (valor aproximado) b) Se creará el fichero trans_mat.dat:

1 1 : 0.01600 2 : 0.984000 2 1 : 0.04573 3 : 0.954268 3 1 : 0.07455 4 : 0.925453 4 1 : 0.10357 5 : 0.896433 5 1 : 0.13094 6 : 0.869063 6 1 : 0.15805 7 : 0.841950 7 1 : 0.18421 8 : 0.815789 8 1 : 0.20860 9 : 0.791398 9 1 : 0.23370 10 : 0.766304 10 1 : 0.25532 11 : 0.744681

11 1 : 0.28095 12 : 0.719048 12 1 : 0.30464 13 : 0.695364 13 1 : 0.32381 14 : 0.676190 14 1 : 0.33803 15 : 0.661972 15 1 : 0.36170 16 : 0.638298 16 1 : 0.40000 17 : 0.600000 17 1 : 0.38889 18 : 0.611111 18 1 : 0.45455 19 : 0.545455 19 1 : 0.33333 20 : 0.666667 20 1 : 0.50000 21 : 0.500000 21 1 : 1.00000 22 : 0.000000

Añadir a este fichero la cabecera y el carácter de final de fichero en la última linea:

C

C Matriu de probabilitats. de transicio. 21 estats C

21

1 1 : 0.01600 2 : 0.984000 2 1 : 0.04573 3 : 0.954268 3 1 : 0.07455 4 : 0.925453 4 1 : 0.10357 5 : 0.896433 5 1 : 0.13094 6 : 0.869063 6 1 : 0.15805 7 : 0.841950 7 1 : 0.18421 8 : 0.815789 8 1 : 0.20860 9 : 0.791398 9 1 : 0.23370 10 : 0.766304 10 1 : 0.25532 11 : 0.744681 11 1 : 0.28095 12 : 0.719048 12 1 : 0.30464 13 : 0.695364 13 1 : 0.32381 14 : 0.676190 14 1 : 0.33803 15 : 0.661972 15 1 : 0.36170 16 : 0.638298 16 1 : 0.40000 17 : 0.600000 17 1 : 0.38889 18 : 0.611111 18 1 : 0.45455 19 : 0.545455 19 1 : 0.33333 20 : 0.666667 20 1 : 0.50000 21 : 0.500000 21 1 : 1.00000

#

Utilizad este fichero como matriz de probabilidades de transición para el programa CdM.exe, el cual os proporcionará las probabilidades de estado estacionario de la cadena de Markov que modeliza el tiempo de vida.

Entrad en la columna 'pi(i)' las probabilidades de estado estacionario proporcionadas por CdM.exe y ejecutad entonces la macro P1m_2.mtb

MTB > exec "P1m_2.mtb"

En la columna C25 os aparecerán las probabilidades aproximadas del tiempo de vida residual y la

diferencia entre éstas y las que aparecen en la columna C17, 'p(t)' ,

Descripción de la Macro P1m_1.mtb

Objetivo:

Calcula en una hoja de cálculo MINITAB la función de densidad, de probabilidad acumulada y de tasa de fallos para una distribución del tiempo de vida.

Genera la matriz de probabilidades de transición de una cadena de Markov de 21 estados (20 periodos) que aproxima esta distribución del tiempo de vida:

Parámetros de entrada:

K1 = Número de componentes inicial M0 K4 = Longitud del Intervalo de tiempo.

K5 , K6 = parámetros de la distribución del tiempo de vida.

Resultados:

K2 = Aproximación de E[t]

Densidad de probabilidad: Probabilidad acumulada: Función de tasa de fallos:

En la hoja de cálculo MINITAB aparecen:

't' Instante de tiempo

'f(t)' Valores de la función densidad de probablidad

'Fdis(t)' Valores de la función de probablidad acumulada F(t) 'h(t)' Valores de la función de tasa de fallos

'R(t)' Valores de la función de fiabilidad R(t) = 1-F(t) 'plteo' Probabilidades p_l de la Cadena de Markov sin redondear 'qlteo' Probabilidades q_l de la Cadena de Markov " "

'Mlteo' Número de componentes supervivientes " "

'Ml' Id. Pero redondeado.

'Mlmenos1'

'pl' Probabilidades p_l de la Cadena de Markov 'ql' Probabilidades q_l de la Cadena de Markov

'ql-hdt' Diferencias C13-C5 'tf(t)' Valores t*f(t)

'p(t)' Valores para la densidad de prob. Del tiempo de vida residual

Resultado de la ejecución del programa CdM.exe:

pi(1) = 0.131787 pi(2) = 0.129678 pi(3) = 0.123748 pi(4) = 0.114523 pi(5) = 0.102662 pi(6) = 0.089220 pi(7) = 0.075119 pi(8) = 0.061281 pi(9) = 0.048498 pi(10) = 0.037164 pi(11) = 0.027675 pi(12) = 0.019900 pi(13) = 0.013838 pi(14) = 0.009357 pi(15) = 0.006194 pi(16) = 0.003954 pi(17) = 0.002372 pi(18) = 0.001450 pi(19) = 0.000791 pi(20) = 0.000527 pi(21) = 0.000264

Tiempo de vida residual obtenido mediante la cadena de Markov:

Error entre el tiempo de vida residual (CdM.exe) y el teórico:

UPC I.O.E. Diplomatura de Estadística UPC I.O.E. Diplomatura de Estadística

(3.c) ESTRATEGIAS DE REEMPLAZAMIENTO • SISTEMAS SERIE, PARALELO Y REDUNDANCIA. • MODELO DE TIEMPO DE VIDA TRUNCADO DE UN COMPONENTE.

• TIPOS DE COSTES ASOCIADOS Fallo, reemplazamient o. • REMPLAZAMIENTO PREVENTIVO. Criterios: Económico, Disponibilidad y fiabilidad Políticas de Barlow & Hunter: reemplazamie nto por Bloques, reemplazamiento por unidades.

Dis p . (com p onente ) Nºmedio fallos=m(t) Tiempo de vida Dm(t)/dt Coste Total (T Reemplz.) Coste (T Reemplz.) P2 Nºmedio fallos (t )/t Disp. Sistema. Pol. Repl.1 Coste (T Reemplz.) P1