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SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA 110

Los cuantificadores verbales al comienzo de la Educación Primaria Arantza Iztueta

LOS CUANTIFICADORES VERBALES AL COMIENZO

DE LA EDUCACIÓN PRIMARIA

Arantza Iztueta (*)

En las matemáticas escolares se trabajan tanto los aspectos prácticos e instrumentales como los de construcción lógica de estructuras matemáticas, pero siempre utilizando un lenguaje sim-bólico específico que se construye gradualmente.

En los primeros niveles, este lenguaje simbólico matemático se construye a partir del lenguaje verbal habitual en el entorno infantil y, más adelante, se podrá ampliar utilizando exclusiva-mente elementos propios del lenguaje matemático.

En este artículo analizaré cómo se va introduciendo la expresión verbal de la terminología cuantitativa en el primer nivel de Primaria –que será el soporte de la expresión simbólica correspondiente–, y me fijaré en la presencia de ciertas expresiones simbólicas o gráficas matemáticas.

Para ello parto del análisis del libro MATEMATIKA BAGA-BIGA, 1. Maila(1)_{y haré un recuento}

de los términos cuantitativos bajo la hipótesis de que las actividades que aparecen en el libro guían o sugieren las actividades de clase(2)_.

1. INTRODUCCIÓN TEORICA Y PLAN DE TRABAJO

La palabra conjunto (colección de objetos), designa a una construcción mental que puede con-siderarse como objeto matemático –y puede ilustrarse físicamente o gráficamente– y como tal, podemos determinar sus propiedades y establecer relaciones con otros conjuntos.

Entre las relaciones posibles que podemos establecer entre los conjuntos tenemos la relación de equipotencia (definida en términos de biyecciones entre conjuntos). La propieded de ser equipotentes se nombra diciendo que tienen el mismo cardinal. Limitándonos a los conjun-tos finiconjun-tos, es habitual que en lugar de denominarlo cardinal lo hagamos diciendo número de

elementos.

Por tanto, el número (de elementos) o cardinal, es una propiedad que caracteriza a los con-juntos equipotentes, aunque también se utiliza la palabra número para designar el valor de la propiedad en un conjunto particular. Recordemos que el valor de la propiedad está definido por una clase de conjuntos iguales respecto a la propiedad número y que N es el conjunto ordenado de todos los valores posibles que puede tomar tal propiedad.

Una vez introducido N, hemos ascendido en el nivel de abstracción, y nos movemos en el nivel del conjunto de los representantes de las clases de conjuntos.

Además, al ser N un conjunto ordenado, nos permite utilizarlo como una herramienta para la determinación del número de elementos o cardinal de un conjunto finito cualquiera; este pro-cedimiento llamado conteo requiere del conocimiento de los nombres de la serie numérica y la capacidad para establecer una biyección entre el conjunto particular y N .

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HITZEZKO KUANTIFIKATZAILEAK LEHEN

HEZIKETAREN HASIERAN

Arantza Iztueta (*)

Eskola-matematiketan, matematikaren alderdi praktiko eta erabilerazkoak ezezik, egitura matematikoen eraikuntza logikoei lotutako eremuak lantzen dira. Bainan beti ere, mailaka-mailaka sortzen eta eraikitzen joaten den hizkuntza sinboliko bereizia erabiliz.

Lehen mailetan, matematikako hizkuntza sinboliko bereizia, haurren giroko ohizko aho hiz-kuntzan oinarrituz eraikitzen da, aurrerago hizkuntza matematikoan soilik oinarrituz osatuko bada ere.

Txosten honetan, egungo eskola liburuak, ohizko hizkuntzan oinarrituz gelako jardueren gida gisa erabiltzen direneko hipotesiaren pean, Lehen Heziketako (L.H.) 1.go mailan hitzezko

zen-batzaile terminoen adierazpenak nola agertzen diren analizatuko dut -hau izango baita lehen

adierazpen sinboliko matematikoen oinarria- eta, aldi berean, ager daitezken zenbait adieraz-pen edo grafiko matematikoetan ere fijatuko naiz.

Horretarako, Lehen Heziketako MATEMATIKA BAGA-BIGA, 1. Maila(1)_{liburuko zenbatzaileak}

diren hitz-adierazpenak kontatu eta aztertuko ditut(2)_.

1. SARRERA TEORIKOA ETA LAN ANTOLAKETA

Multzo hitzak (objetu bilduma) objetu matematiko bat adierazten du, grafikoki edo fisikoki

ilustratu daiteken eta sinbolikoko errepresenta daiteken eraikuntza mental bat. Beste objetu matematikoen gisa, multzoen propietateak finkatu daitezke eta beste multzoekiko erlazioak ezarri ere bai.

Multzoen artean ezarri daitezken ezlazioen artean, ekipotentzi erlazioak dauzkagu (multzoen arteko bijekzioetan oinarritutakoak). Ekipotenteak diren multzoak kardinala izeneko propieta-tearen balio berdinekoak direla esanez adierazten d(it)ugu eta multzo finituetara mugatuz, kar-dinal hitza erabili ordez elementu kopuru erabiltzea da ohizkoena.

Zenbakia(3) _{hitza, (elementu) kopurua edo kardinal berdina duten multzoen propietatearen}

balio partikularra adierazteko erabiltzen da. Gogora dezagun, zenbakia (kardinala propietate-aren balio partikular bat alegia, multzo klase baten ordezkaria dela, eta N zenbaki guztien mul-tzo ordenatua.

Orain, N, zenbakien multzoa definitu ondoren, abstrakzio mailan igo eta multzoen sailkapen-klaseen ordezkarien multzoan mugitzen gara. Gainera, N multzo ordenatua denez gero, edo-zein multzo finituren kardinala edo elementu kopurua jakiteko herramienta bezela erabili dezakegu; kontaketa deitzen diogun prozedura honen erabilpen zuzenerako, ezinbestekoa da zenbakien izenen segida ezagutzea eta, N eta multzo partikular baten arteko bijekzioa egiteko gaitasuna izatea.

(*) Profesora de la E. de Magisterio de Donostia.

Hitzezko kuantifikatzaileak lehen heziketaren hasieran Arantza Iztueta

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Lo expresado hasta ahora es la base teórica de los conocimientos aritméticos de los niños en la etapa de educación infantil, que se limitan al conocimiento de los diez primeros elementos de la serie numérica; estos conocimientos los construyen tanto en la escuela como en el ambiente familiar y social mediante actividades específicas, que están soportados por térmi-nos cuantitativos del lenguaje habitual fundamentales en la construcción del concepto de número.

Entre las actividades que realizan los niños en la construcción del lenguaje matemático en niveles de Educación Infantil (E.I.), y por tanto previos al nivel del libro que voy a analizar, son:

• Correspondencias entre conjuntos de objetos.

• Clasificaciones de los conjuntos según el número de elementos, asignándoles el correspondiente símbolo numérico.

• Seriaciones de los conjuntos según el número de elementos.

• La escritura de los primeros diez elementos de N y a la memorización oral secuencial de los veinte primeros.

• Utilización de los elementos de N, a modo de herramienta, para conocer el número de elementos de los conjuntos pequeños o, actividades de conteo.

En 1º de Educación Primaria (E.P.) se supondrá por tanto que ya está construido el lenguaje básico que corresponde a estas actividades, lenguaje que está disponible para su uso y posi-ble ampliación.

Para averiguar cuáles son los términos verbales propios de la terminología numérica y cuan-titativa en 1º de E.P. voy a seguir los siguientes pasos:

• Determinación de la terminología cuantitativa de referencia.

• Análisis del libro, expresión en tablas de frecuencias de los términos cuantitativos de referencia y registro de expresiones simbólicas.

• Comentarios sobre los datos y comentario general.

2. DETERMINACIÓN DE LA TERMINOLOGÍA DE REFERENCIA

Los términos cuantitativos de referencia que tomaré, son los que aparecen en Euskal

Gramatika Osoa y Elhuyar Hiztegia. Según se indica en estos textos, los términos de nuestro

interés responden a la pregunta Zenbat?, Zenbatgarrena?. Observamos que los términos cuan-titativos expresan características relacionadas con el tamaño de los conjuntos, en sus aspec-tos cardinal u ordinal, determinado o indeterminado.

Se consideran tres tipos de cuantificadores: 2.1. Zenbatzaile zehaztuak.

2.2. Zenbatzaile zehaztugabeak. 2.3. Zenbatzaile orokorrak.

2.1 Zenbatzaile zehaztuak

Expresan cantidades exactas. Estos términos cuantitativos determinados se pueden agrupar en seis conjuntos:

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Orain arte esandakoak, Haur Heziketako (H.H.) etapan haurrek lantzen duten aritmetikaren (lehen hamar zenbakien segidara batipat mugatzen dena) oinarri teorikoak dira; ezagutza hoiek familia, gizarte eta eskola giroko jarduera eta ekintza bereziekin eraikitzen dituzte bai-nan, hori bai, ohizko hizkuntzan erabiltzen diren hitz zenbatzaileak dira, zenbaki kontzeptua eraikitzeko oinarrizko bitartekoak.

Hizkuntza matematikoaren eraikuntzan lehen urratsak Haur Heziketan ematen direnez eta, nik aztertu behar dudan liburuaren mailaren aurretik landuak daudenez, zein edukin landu dituzten adieraztea komeniko litzateke:

• Objetu-multzoen arteko korrespondentziak.

• Elementu kopuruekiko multzoen sailkapenak, dagozkien zenbakien sinboloak erabiliz. • Elementu kopuruekiko multzoen segidak.

• N multzolko lehen hamar elementuen idazkera sinbolikoa eta lehen hogeiren ahozko segidaren memorizazioa.

• Multzoen elementu kopurua jakiteko, N-ren erabilpen praktikoa edo, kontaketa pro-zedurak.

Beraz, haurrak Lehen Heziketara iristean aurreko edukinei lotutako hitzak ezagunak dituztela suposatuko dut eta bertatik zabaltzea izango da eginkizuna.

Lehen Heziketako (L.H.) 1. ikasturtean kopuruari eta zenbakiari lotuak ze hitz agertzen diren jakiteko, ondoko pausoak jarraituko ditut:

• Erreferentzizko hitz zenbatzaileen determinazioa.

• Liburuaren(4)_{analisia, adierazpen sinbolikoen erregistroa eta erreferentzizko hitz}

zen-batzaileen maiztasuna taularen bidez adieraztea.

• Datueei buruzko komentarioak eta komentario orokorra.

2. ERREFERENTZIZKO TERMONOLOGIAREN DETERMINAZIOA

Hartuko ditudan erreferentzizko hitz zenbatzaileak, Euskal Gramatika Osoa eta Elhuyar

Hiztegia-tik jaso ditut. Liburu hauetan adierazten denez, gure intereseko terminoak Zenbat?,

Zenbatgarrena? galderei erantzuten dietenak dira. Zenbatzaileak izeneko termino hoiek,

mul-tzoen tamainari lotutako ezaugarriak adierazten dituzte: Kardinal edo ordinal alderdiei daoz-kienak eta, mugatu edo mugagabeei dagozdaoz-kienak.

Hiru motatako zenbatzaileak ditugu: 2.1. Zenbatzaile zehaztuak. 2.2. Zenbatzaile zehaztugabeak. 2.3. Zenbatzaile orokorrak.

2.1 Zenbatzaile zehaztuak

Kopuru edo kantitate zehatza adierazten dute. Zenbatzaile zehaztuen artean sei multzo bereizi daitezke:

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Kardinalak:

zenbakien izenak (bat, hamabost, laurogei, …).

Ordinalak:

lehen, azken, lehenengo, azkenengo, Xgarren (bigarren, hirugarren,...).

Zatikiak:

Erdia, herena, laurdena, ...

Ehunekoak:

Ehuneko bost, ehuneko hamar, …

Banatzaileak:

Bakoitza, bana, bina, erdi bana, ...

Zenbait esapide:

gutxi gorabehera

XXX inguru (hamar inguru). XXXtik gora/behera (seitik gora).

XXXtik XXXra bitartean (hamartik hogeira bitartean).

2.2 Zenbatzaile zehaztugabeak

Se refieren a los términos cuantitavos indeterminados: batzuk zenbait asko anitz franko gutxi ugari nahiko aski hainbat, hainbeste

apur bat, pare bat, pittin bat pilo bat,makina bat, mordo bat gehiago, gehiegi, gehien (Elhuyar) gutxiago, gutxiegi, gutxien (Elhuyar)

2.3 Zenbatzaile orokorrak

En lugar de cantidades, estos términos expresan totalidad: dena

guztia oro oso bete

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Kardinalak:

zenbakien izenak (bat, hamabost, laurogei, …).

Ordinalak:

lehen, azken, lehenengo, azkenengo, Xgarren (bigarren, hirugarren,...).

Zatikiak:

Erdia, herena, laurdena,…

Ehunekoak:

Ehuneko bost, ehuneko hamar,…

Banatzaileak:

Bakoitza, bana, bina, erdi bana

Zenbait esapide:

gutxi gorabehera

XXX inguru (hamar inguru). XXXtik gora/behera (seitik gora).

XXXtik XXXra bitartean (hamartik hogeira bitartean).

2.2 Zenbatzaile zehaztugabeak

Zehaztu gabeko kantitatea edo kopurua adierazten dutenak. batzuk zenbait asko anitz franko gutxi ugari nahiko aski hainbat, hainbeste

apur bat, pare bat, pittin bat pilo bat,makina bat, mordo bat gehiago, gehiegi, gehien (Elhuyar) gutxiago, gutxiegi, gutxien (Elhuyar)

2.3 Zenbatzaile orokorrak

Kantitate edo kopurua adierazi beharrean, osotasuna adierazten dute: dena

guztia oro oso bete

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3. TABLAS DE FRECUENCIAS DE LOS TÉRMINOS CUANTITATIVOS

DE REFERENCIA

El resultado del recuento de los términos cuantitativos del libro en cuestión, se presenta en las siguientes tablas:

3.1 Zenbatzaile zehaztuak

3.1.1 Kardinalak

Tabla 1.1.a

Tabla 1.1.b

Hogeita bat-etik gora (ehunarte) antzeko maiztasunak agertzen dira: 2 –3 aldiz

3.1.2 Ordinalak

Tabla 1.2

Bat, bateko, bakar 24 Sei 0

Bi 5 Zazpi 2

Hiru 3 Zortzi 0

Lau 3 Bederatzi 2

Bost 2 Hamar, hamarrekoa 25

Término (o palabra) Frecuencia Término (o palabra) Frecuencia

Hamaika 1 Hamasei 2

Hamabi 2 Hamazazpi 3

Hamairu 1 Hemezortzi 3

Hamalau 1 Hameretzi 1

Hamabost 1 Hogei 1

Término (o palabra) Frecuencia Término (o palabra) Frecuencia

Lehen , lehenengo, lehenbizi, aurrenengo 14

Bigarren 5

Hirugarren 2

Lehen hamar 1

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3. ERREFERENTZIZKO HITZ ZENBATZAILEEN

MAIZTASUN TAULAK

Aipatutako liburuko zenbatzaileen kontaketaren emaitzak, ondoko tauletan agertzen dira:

3.1. Zenbatzaile zehaztuak

3.1.1 Kardinalak

1.1.a Taula

1.1.b Taula

Hogeita bat-etik gora (ehunarte) antzeko maiztasunak agertzen dira: 2 –3 aldiz

3.1.2 Ordinalak

1.2 Taula

Bat, bateko, bakar 24 Sei 0

Bi 5 Zazpi 2

Hiru 3 Zortzi 0

Lau 3 Bederatzi 2

Bost 2 Hamar, hamarrekoa 25

zenbatzailearen izena Maiztasuna zenbatzailearen izena Maiztasuna

Hamaika 1 Hamasei 2

Hamabi 2 Hamazazpi 3

Hamairu 1 Hemezortzi 3

Hamalau 1 Hameretzi 1

Hamabost 1 Hogei 1

zenbatzailearen izena Maiztasuna zenbatzailearen izena Maiztasuna

Lehen , lehenengo, lehenbizi, aurrenengo 14

Bigarren 5

Hirugarren 2

Lehen hamar 1

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3.1.3 Zatikiak

Osotasuna eta zatikia kontrajartzen dira: ordubete (2 aldiz) - ordu erdia (9 aldiz).

3.1.4 Banatzaileak

Tabla 1.4

3.1.5 Zenbait esapide

Gutxi gorabehera (3 aldiz).

3.2 Zenbatzaile zehaztugabeak

Tabla 2.1

Las expresiones del tipo “ A, B baino pisuagoa da” o “A pisuena da”, equivalentes a “A-k B

baino gehiago pisatzen du” o “A-k gehien pisatzen du” que aparecen al tratar las magnitudes,

no han sido incluidas en la tabla anterior; los datos registrados son : “X, Y baino ...” 40 veces

“X, ....” 18 veces

3.3 Zenbatzaile orokorrak

Tabla 3.1

Bakoitza 35

Bana, banatu, banan-bana 9 Término (o palabra) Frecuencia

Guztia 6

Orotara 2 Bete 7

Término (o palabra) Frecuencia

Batzuk, batzuetan 15

Asko 2

Ugaria 1

Hainbat 1

Nahiko 2

Gehiago, gehiegi, gehien 19 Gutxiago, gutxiegi, gutxien 7

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3.1.3 Zatikiak

Osotasuna eta zatikia kontrajartzen dira: ordubete (2 aldiz) - ordu erdia (9 aldiz)

3.1.4 Banatzaileak

1.4 Taula

3.1.5 Zenbait esapide

Gutxi gorabehera (3 aldiz)

3.2 Zenbatzaile zehaztugabeak

2.1 Taula

Oharra: Magnitudeak lantzerakoan, liburuan agertzen diren “A, B baino pisuagoa da” edo “A

pisuena da” moduko adierazpenak, “A-k B baino gehiago pisatzen du ” edo “ A-k gehien pisa-tzen du” modukoen baliokideak dira; bainan, nik ez ditut tauletan sartu. Kasu hoien kontaketa:

“X, Y baino ...” 40 aldiz “X, ...” 18 aldiz

3.3 Zenbatzaile orokorrak

3.1 Taula

Bakoitza 35

Bana, banatu, banan-bana 9 zenbatzailearen izena Maiztasuna

Guztia 6

Orotara 2 Bete 7 zenbatzailearen izena Maiztasuna

Batzuk, batzuetan 15

Asko 2

Ugaria 1

Hainbat 1

Nahiko 2

Gehiago, gehiegi, gehien 19 Gutxiago, gutxiegi, gutxien 7 zenbatzailearen izena Maiztasuna

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Como aclaración complementaria a estas tablas se puede señalar:

En la tabla de datos de los términos cardinales, la elevada frecuencia relativa de bat,

bateko, hamar, hamarreko se explica atendiendo a que son categorías asociadas a la

escritura posicional de los números, que se introduce en este nivel.

El término fraccionario erdi, excepto en un caso, se refiere a la magnitud tiempo. El término distributivo bakoitza aparece en dos contextos diferentes: como una indica-ción al alumno para la realizaindica-ción de las actividades que se proponen en el texto y como contenido de la actividad. En la tabla no he considerado tal diferencia.

En la Tabla 2.1 aparecen diferenciadas las comparaciones de cantidad de número de

ele-mentos y de magnitud física. Observamos, como era de esperar, mucho más frecuente

esta última (40 + 18 veces frente a 19+7 veces).

En el texto nos encontramos con palabras que se refieren a procedimientos con núme-ros, que se comienzan a tratar en este nivel escolar: cálculo y ordenación; y otros tér-minos que no siendo estrictamente tértér-minos cuantitativos, sí que pertenecen al mismo campo semántico y pueden ser de interés. Todos ellos aparecen en la tabla siguiente:

Tabla 3.2

Respecto a las expresiones simbólicas que aparecen en el texto, nos encontramos con expre-siones matemáticas y símbolos de unidades de magnitudes físicas y del euro; ésta es la rela-ción cualitativa encontrada:

Balio berdin 2 Batu 2 Batuketa 11 Emaitza berdina 4 Eragiketa 1 Falta 7 Gehitu, gehi 6

Handia, txikia (zenbakia) 2 Handiena, txikiena.(zenbakia) 2 Hutsa 1 Kalkutatu 7 Kendu 2 Kenketa. 5 Kontatu 4 Kopurua 3 Ordenatu (zenbakiak) 6 Soberan 1

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Taula hoietako informazioaren osagarri gisa, zera aipatu nahi nuke:

Kardinalen taulan (1.1) bat, bateko, hamar, hamarreko hitzen mahitasun erelatibo han-diaren esplikazioa, ikasketa maila honetan lantzen hasten den zenbakikuntza sistema posizional hamartarrari lotua egon daiteke.

Erdi zatiki hitza, kasu batean ez beste guzietan denborarri lotua agertzen da.

Bakoitza termino banatzailea, bi eremu desberdinetan agertzen zaigu: liburuan agertzen

diren jarduerak egiteko ikasleari proposatzen zaion indikazio moduan batetik eta, jar-dueraren edukin bezela bestetik. Kontaketan bereizketarik gabe batu ditut.

2.1 taulan ikusten denez, bereizita daude elementu kopurua eta magnitude fisiko kanti-tateen konparaketak. Espero genezakeen bezela, azken hauek ugariagoak dira (40+18 bigarrenean eta 19+7 lehenengoan).

Liburuan, ikasturte honetan lantzen hasten diren edukinei lotutako beste termino batzuk ere agertzen dira: zenbakien arteko kalkulua eta ordenaketari buruzkoak alegia. Baita ere zehazki zenbatzaileak ez izan arren, eremu semantiko berean egonik interesa izan deza-ketenak. Guzti hoiek ondoko taulan jartzen ditut:

3.2 Taula

Testuan topa daitezken adierazpen sinbolikoei dagokienez, zenbait adierazpen matematiko eta magnitude fisikoen unitateak aurkitzen dira (baita euroa ere); hau da topatutako zerrenda kualitatiboa:

Hitzezko kuantifikatzaileak lehen heziketaren hasieran Arantza Iztueta Balio berdin 2 Batu 2 Batuketa 11 Emaitza berdina 4 Eragiketa 1 Falta 7 Gehitu, gehi 6

Handia, txikia (zenbakia) 2 Handiena, txikiena.(zenbakia) 2 Hutsa 1 Kalkutatu 7 Kendu 2 Kenketa. 5 Kontatu 4 Kopurua 3 Ordenatu (zenbakiak) 6 Soberan 1

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las cifras indo-arábicas y romanas notación posicional de los números notación decimal del dinero unidades: €, c, m, cm, kg, º, l, la notación analógica y digital horaria el signo de la adición: +

el signo de la sustracción: -el signo =

la expresión estándar del cálculo de la suma

la expresión lineal del cálculo de la suma y de la resta la flecha sustitutiva del signo =

Además de éstas, encontramos un tipo de expresiones simbólicas muy frecuentes en contex-tos matemáticos cuantitativos, las configuraciones gráficas de dacontex-tos (ver tipología en Sanz Lerma, I. 1995) de las que hay gran variedad en el texto escolar analizado:

cuerda numérica recta numérica

representaciones lineales de temperaturas y volumen de líquidos tablas simples

tablas de doble entrada: calendario gráficos cartesianos

4. CONCLUSIONES

En primer lugar y aunque no es el objetivo de este trabajo atender a esta cuestión, hay que decir que este libro responde, a las expectativas sobre el tratamiento de los contenidos mate-máticos recomendados en el DCB.

Respecto a lo que nos interesa, es decir, al análisis de cómo y con qué frecuencia aparece la terminología cuantitativa en el texto escolar, y que es de esperar que en niveles superiores irá sustituyéndose paulatinamente por las correspondientes términos simbólicos específicos, podemos sacar las siguientes conclusiones:

1. La elevada frecuencia de la pregunta ZENBAT? (42 veces) y de la palabra ZENBAKIA

(60 veces) está en consonancia con las investigaciones de Van Oers (2002), que nos indica que una de las actividades principales de los niños en niveles de Infantil y comienzo de Primaria es el conteo; según este investigador, los niños de 5-6 años saben que contar es hallar contestación a ZENBAT? y además, todos los niños rela-cionan el contar y los números con el trabajo escolar.

2. Según observamos en la tabla 1.1a, la secuencia numérica verbal de los diez

prime-ros númeprime-ros no aparece completa, cuando sí lo está (o a rellenar)(3)_{la secuencia}

sim-bólica. Se puede pensar que se dan por bien conocidas y es más importante aprender a leer y a escribir los números a partir del diez, como vemos en la tabla 1.1b.

3. Respecto a la otra pregunta: ZENBATGARRENA?, que se refiere a la característica

ordinal del número, aparece en dos ocasiones. Cuando la respuesta a zenbatgarrena? es el primer elemento (lehen, lehenengo, aurrenengo), lo vemos escrito con mucha frecuencia y a partir del segundo muy pocas veces (ver tabla 1.2); esto puede expli-carse considerando que a partir del segundo se aplica la construcción estándar para todos los ordinales bigarren, hirugarren, laugarren,... Tengo que indicar que estas pala-bras aparecen en el ámbito de ordenación de magnitudes; fuera de este contexto,

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Erromatar eta indo-arabiar ikurrak Zenbakien notazio posizionala Diruaren notazio hamartarra €, c, m, cm, kg, ∞, eta l unitateak Orduaren notazio digitala eta analogikoa Batuketaren + ikurra

Kenketaren - ikurra = sinboloa

Batuketaren eta kenketaren adierazpen estandarra Batuketaren eta kenketaren adierazpen lineala = ikurra ordezkatzen duen gezia

Hauetaz aparte, aztertutako liburu honetan, eremu kuantitatiboetan ohizkoak diren zenbait adierazpen sinboliko ugari aurki daitezke, datu-konfigurazio grafikoak deitutakoak (ikus tipo-logia Sanz Lerma, I. 1995):

Zenbaki korda Zenbaki zuzena

Tenperaturen errepresentazio lineala

Likidoen bolumenen errepresentazio lineala Taula soilak

Bi sarrerako taulak: egutegia Grafika kartesiarrak

4. KONKLUSIOAK

Lehenik, (lan honen helburua honetaz aritzea ez izan arren) liburu honetan, O.K.D.an gomen-datzen diren edukinen trataera ongi eta zabal betetzen dela esango nuke.

Hasieran adierazitako helburuari dagokionez, hots, L.H.ko 1. mailan terminologia kuantitati-boa nola eta zein maiztasunekin agertzen denaren analisia(5) _{, ondoko konklusiok atera}

di-tzazket:

1. ZENBAT? galderaren eta ZENBAKIA hitzaren maiztasun altuak (42 aldiz eta 60 aldiz)

Van Oers -en ikerketekin bat datoz, zeren, ikertzaile honek baitio, Haur Heziketako eta Lehen Heziketako lehenengo urteetan, haurren jarduera gehienak kontaketakin lotuak daudela: “5-6 urteko haurrek badakite ZENBAT? galderari erantzuteak,

zeriku-sia duela kontaketarekin eta jarduera mota hauek eskolako lanak direla” (6)_.

2. 1.1 a taulan ikusten denez, lehen hamar zenbakien ahozko sekuentzia idatzia ez da

osorik agertzen, bainan bai (osorik edo betetzeke) sekuentzia sinbolikoa(7)_{; honen}

arra-zoia 1.1 taulan agertzen da: hamarretik gorakoak direla bereziki idatzi eta irakurtzen ikasi beharrekoak, besteak jakintzat jotzen baitira.

3. ZENBATGARRENA? galderari dagokionez, zenbakiaren alderdi ordinala bi egoeratan

agertzen zaigu. Batean, zenbatgarrena?-ren erantzuna lehengo elementua denean

(lehen, lehenengo, aurrenengo), oso maiz eta, ondorengo beste edozein denean

gu-txitan, (ikusi 1.2 taula); honen arrazoia bigarrnetik aurrera ordinalen eraikuntzak modu estandarra hartzen duelako izan daiteke, bigarren, hirugarren, laugarren,... Esan beha-rra dago, gainera, hitz hauek magnitudeen ordenazioen eremuan bakarrik agertzen zaizkigula; eremu honetatik kanpo, ez dirudi zenbakiaren alderdi ordinala lantzea oso egokia jotzen denik. Hau bera dio Van Oers-ek: "haurrek, lau eta laugarren hitzak,

adi-bidez, bereizi arren, ez dute beren arteko erlazioa eta esanahi desberdina ulertzen"(8)_.

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parece que no se considera pertinente el estudio del aspecto ordinal del número, lo que está de acuerdo con lo que dice Van Oers: ”aunque los niños distinguen las

pala-bras lau – laugarren (p.e.), no comprenden el significado diferente ni su relación” (Van

Oers, 2002, pg 46).

4. Gehiago, gehien, .... es más frecuente que gutxiago, gutxien, ... (tabla 2.1); quizás

por-que se trabaja más la serie ascendente por-que la descendente.

5. Un aspecto a destacar en este libro es la variedad de representaciones gráficas de

datos que encontramos. El maestro deberá juzgar si son representaciones adecuadas a todos o algunos niños.

6. Una novedad respecto a los textos de las últimas décadas es la presencia decimal en

referencia al dinero (céntimos de euro). Supongo que en adelante será habitual en los textos de este nivel.

BIBLIOGRAFÍA

Azcarate, M., Kintana X. eta Mendiguren X. (zuzendariak) (1996). Elhuyar Hiztegia.

Usurbil.

Goñi, J.M. (2002). Matemática. BAGA-BIGA, 1. Maila. Elkar. Donostia.

Sanz Lerma, I. (1995). La construcción del lenguaje matemático a través de libros

esco-lares de Matemáticas. Las configuraciones gráficas de datos. Servicio Editorial de la

UPV/EHU.

Van Oers, B. (2002). “The mathematization of young children´s language”. Symbolizing,

Modeling and Tool use in Mathematics Education. Kliwer, 29-57.

Zubiri, I. eta Zubiri, E. (2000). Euskal Gramática Osoa. Didaktiker. Bilbo.

NOTAS

(1) MATEMATIKA, BAGA BIGA 1. Maila. ELKAR. Donostia 2002. (2) Texto que podemos considerarlo estándar para este nivel. (3) La paginación está en los dos modos, verbal y simbólico.

(17)

4. Gehiago, gehien,.. hitzak .gutxiago, gutxien,...baino maizago agertzen dira (2.1 taula);

itxura denez, zenbakien segida hazkorra beherakorra bainan gehiago lantzen da.

5. Liburu honi buruz aipatu beharreko beste zerbait: datuen errepresentazio grafikoen

ugaritasun aberatsa; irakasleak erabakiko du haur guztientzat edo batzuentzat bakarrik diren egokiak.

6. Azken hamarkadetako eskola liburuekin konparatuz, berrikuntza nabarmen bat aurki

daiteke: diruari buruzko adierazpen hamartarra, eurozentimoak, aurrerantzean, segu-ruenik, maila honetako liburuetan ohizkoa izango dena.

BIBLIOGRAFÍA

Azcarate, M., Kintana X. eta Mendiguren X. (zuzendariak) (1996). Elhuyar Hiztegia.

Usurbil.

Goñi, J.M. (2002). Matemática. BAGA-BIGA, 1. Maila. Elkar. Donostia.

Sanz Lerma, I. (1995). La construcción del lenguaje matemático a través de libros

esco-lares de Matemáticas. Las configuraciones gráficas de datos. Servicio Editorial de la

UPV/EHU.

Van Oers, B. (2002). “The mathematization of young children´s language”. Symbolizing,

Modeling and Tool use in Mathematics Education. Kliwer, 29-57.

Zubiri, I. eta Zubiri, E. (2000). Euskal Gramática Osoa. Didaktiker. Bilbo.

NOTAK

(1) Goñi, J.M. (2002). Matematika, BAGA BIGA 1. Maila. Elkar. Donostia 2002. (128 pp.; 28 x 21 cm). (2) Liburu hau maila honetako estandar moduan hartu dezakegu eta.

(3) Lehenengo kategoriko zenbakietaz ari gara, arruntak deitutakoetaz. (4) Goñi, J.M.,o.c.

(5) Ondorengo ikasturteetan dagozkien sinbolo matematikoekin ordezkatuko direla jakinaz.

(6) Van Oers, B. (2002). “The mathematization of young children´s language”. Symbolizing, Modeling and Tool use in Mathematics

Education. Kliwer, 29-57.

(7) Orrien zenbaketa bi modutan agertzen da: hitzezkoa eta sinbolikoa. (8) Van Oers, B., o.c., 46. or.

(18)

EUCLIDES:

“Los seis primeros libros”

(Sevilla, 1576)

(19)

¿Existe un método científico?

¿EXISTE UN MÉTODO CIENTÍFICO?

Mª Elvira González Aguado (*)

(“Lo importante es no dejar de hacerse preguntas”. Albert Einstein)

En la actualidad una percepción muy generalizada sobre la ciencia, aunque errónea, es que la ciencia define “la verdad”, que la ciencia es objetiva y que el conocimiento científico es conocimiento fiable porque es conocimiento objetivamente probado. Así cuando a algún hecho, afirmación o investigación se le pone el calificativo de “científico” se pretende darle una clase especial de fiabilidad. Por ello, toda forma de conocimiento pretende ser “científico” y es utilizado incluso por astrólogos o quiromantes que pretenden de esta forma dar a su conocimiento la categoría de ciencia. La creencia generalizada es que hay algo especial en la ciencia y los métodos que utiliza.

¿Pero que hay de especial, si es que hay algo? Resulta muy difícil intentar definir “ciencia”, aunque tal como nos indica Bunge (1979) podría caracterizarse como ”un cuerpo de ideas” o sistema de conocimientos que tienen la peculariedad de ser el resultado de la aplicación de un conjunto de procedimientos racionales y críticos que es lo que se denomina de manera genérica como “método científico”. Es decir, el conocimiento científico se caracteriza por el método adoptado y no tanto por el objeto de estudio. En dicho método se establecen una serie de momentos y reglas que deben seguirse en cada caso y especifican cómo se puede profundizar en un problema, concretándose en un proceso sistemático que comprende actividades y tareas.

Fue Francis Bacon (1561-1626), considerado como el padre de los empíricos, uno de los primeros filósofos en acotar el significado del método científico. Bacon defendía que la ciencia avanzaba gracias a la capacidad del hombre de hacer observaciones objetivas. El empirismo antepone la observación y la experimentación como pasos previos a la generalización y elaboración de teorías (método inductivo).

Sin embargo, el método deductivo, heredado de los racionalistas con Descartes (1596-1650) como máximo representante, formula hipótesis a partir de leyes generales y las contrasta con la realidad, es decir, consiste en el pase de lo general a lo particular, de la teoría a los datos. Las dos formas por las que se adquiere el conocimiento científico (empirismo-inducción y racionalismo-deducción) se sintetizan en el método hipotético-deductivo, si bien cabría distinguir, por un lado, un método general que sirve de guía a todas aquellas disciplinas que aspiren a la categoría de científicas y, por otro, unos métodos particulares diferenciados en función del objeto y complejidad de estudio.

(*) Asesora de Ciencias de la Naturaleza del Berritzegune de Abando.

R. Descartes F. Bacon

(20)

Cada área del conocimiento plantea y requiere un método particular, según sea la naturaleza de los hechos que estudia. Efectivamente, hoy día no todos los fenómenos naturales son reducibles a expresiones matemáticas ni todos los hechos que constituyen la realidad pueden ser analizados experimentalmente. Al determinismo y mecanicismo propio de los siglos XVI al XIX, cuando la física y la astronomía eran consideradas los paradigmas de la ciencia, se agrega ahora la organización jerárquica de gran parte de la naturaleza, la emergencia de propiedades no anticipables en sistemas complejos (como pueden ser los sistemas biológicos) y otros aspectos más derivados no sólo de las ciencias biológicas sino también de las sociales. No hay un camino lineal para la investigación científica. Cada problema puede ser abordado desde una gran variedad de direcciones e incluso el orden de los pasos depende de la naturaleza del problema y el camino escogido para llevar a cabo la investigación. Sin embargo, existen pautas, normalmente satisfactorias, de plantear problemas y poner a prueba hipótesis. La investigación no es errática sino metódica. El método general, hipotético-deductivo, consiste básicamente en proponer una hipótesis (de ahí que se llame “hipotético”), luego deducir de ella consecuencias directamente verificables en la realidad (de ahí el nombre de “deductivo”), y finalmente confrontar esas consecuencias con los hechos para ver si la hipótesis es o no sostenible. La esencia del método reside, precisamente, en la posibilidad de anticipar los conocimientos. Esta es la función de las hipótesis formalmente deducidas de un cuerpo teórico, que posteriormente se tratarán de confirmar o refutar con datos de la realidad. Los conocimientos científicos así adquiridos se distinguen porque se manifiestan a dos niveles bien interconectados. Por un lado, un conjunto de conocimientos presentados mediante conceptos (elementos de las leyes y teorías) y, por otro, una integración lógica de dichos conceptos (teorías) que nos permiten la obtención de nuevos conocimientos científicos. La integración lógica aplicada a la totalidad de los conocimientos produce un sistema teórico que supera a la suma de los conocimientos aislados. A su vez, dicho sistema permite sacar nuevas conclusiones sobre la realidad. Respecto de una investigación podríamos decir que se considera científica cuando siguiendo las reglas del método presenta los hechos en forma de enunciados, conceptos, teorías explicativas, y a partir de estas reglas se pueden deducir nuevas consecuencias (hipótesis) cuya comprobación nos permitirán consolidar o reformular las teorías de las que se parte. Dicho de otro modo, las etapas, a grandes líneas, correspondientes a una investigación científica serían:

1. Identificación y formulación del problema que motiva el comienzo de la investigación. 2. Enunciado de la o las hipótesis.

3. Experimentación (diseño del experimento, control de variables, recogida de datos). 4. Análisis e interpretación de datos a la luz del modelo teórico y elaboración de

conclusiones.

5. Comunicación de los resultados obtenidos.

El proceso de investigación se inicia partir de un problema del que no conocemos la solución. Comienza entonces la fase de documentación, con la búsqueda y recopilación de información sobre el conocimiento ya existente respecto a ese tema, información que se deberá analizar para que pueda servir de soporte al trabajo que se va a desarrollar. Efectivamente, no todas las preguntas se pueden resolver por el método experimental, por ello, es necesario acotar el problema de forma que se pueda formular en términos de una hipótesis que pueda ser probada. Para ello es necesario seleccionar los factores pertinentes, es decir, inventar suposiciones plausibles relativas a las variables que probablemente son pertinentes, seguidamente, inventar las hipótesis centrales y las auxiliares y finalmente,

(21)

cuando sea posible, hacer una traducción matemática de las hipótesis o de parte de ellas a alguno de los lenguajes matemáticos. No hay una manera de sugerir hipótesis, sino muchas maneras. Algunas hipótesis se formulan por vía inductiva, esto es, como generalizaciones sobre la base de la observación de unos cuantos casos particulares, otras veces, las hipótesis surgen por analogía con otros fenómenos y en otras ocasiones las hipótesis surgirán de la deducción de suposiciones (no científicas) que proveen puntos de partida que deben ser elaborados y probados.

La etapa de experimentación abarca el diseño experimental, que incluye medios e instrumentos para poner a prueba las predicciones, diseño de observaciones, mediciones, experimentos y demás operaciones instrumentales, seguidamente, la realización del experimento y por último la recogida, clasificación, análisis e interpretación de los datos obtenidos a la luz del modelo teórico. Para diseñar el experimento de forma conveniente es necesario hacer un control adecuado de las variables que afectan al sistema a investigar. A medida que se van realizando experimentos se van registrando datos para medir el efecto de las distintas variables. Con el tratamiento de estos datos se pueden ir calculando resultados y estos resultados pueden presentarse en forma de tablas o de gráficos. Los resultados muestran las tendencias relacionadas con la manera en que las variables afectan al sistema en el que se está investigando. La interpretación de estos resultados permitirán corroborar o refutar la hipótesis de partida. Los resultados de las comprobaciones experimentales son las que determinan de modo muy sencillo las decisiones de mantener o rechazar una hipótesis. Además, los resultados obtenidos usando el método científico son repetibles.

Es en esta etapa de experimentación donde los diferentes campos del saber utilizan técnicas propias. Las ciencias físicas, como la física y la química, utilizan experimentos para recopilar los datos numéricos de los cuales se derivan relaciones, y se extraen conclusiones. Las ciencias más descriptivas, como la zoología o la antropología, pueden utilizar una forma del método que implica la recopilación de la información mediante la observación o por medio de entrevistas. No todos los fenómenos naturales son reducibles a expresiones matemáticas, ni todos los hechos que constituyen la realidad son analizables experimentalmente. Así, por ejemplo, al estudiar el cosmos no podemos realizar experimentos; toda la información se obtiene de observaciones y de medidas. Las teorías entonces son ideadas extrayendo una cierta regularidad en las observaciones y cifrando esto en leyes físicas. Ahora bien, lo que constituye el denominador común de todas las ciencias es el uso del “método científico”, entendido este no como una lista de recetas para dar con las respuestas correctas a las preguntas científicas, sino como el conjunto de procedimientos por los cuales se plantean problemas científicos y se elaboran hipótesis científicas para explicar las observaciones, la recogida de datos y una vez obtenidos estos y analizados, la extracción de conclusiones que confirman o refutan la hipótesis inicial. La diferencia está en qué es lo que se considera datos válidos en cada disciplina, y cómo se recolectan y se procesan estos datos.

Los resultados de algunos experimentos a veces no pueden explicarse con las teorías existentes. En este caso, los científicos elaboran nuevas teorías que sustituyen a las viejas teorías. Una nueva teoría debe explicar todas las observaciones y experimentos que explicaban las viejas teorías y además los nuevos hechos que han conducido al desarrollo de esa teoría. Esto no significa que la vieja teoría sea “incorrecta” o “falsa”, sino que tiene una aplicabilidad limitada y no puede explicar todos los datos actuales.

Cuando en 1666 Newton propuso la teoría de la gravitación, esta teoría explicó todos los hechos observados e hizo predicciones que se cumplieron posteriormente dentro de la exactitud de los instrumentos que se utilizaron. Por lo que cualquier persona podía ver,

(22)

la teoría de Newton era la “verdad”. En el siglo XIX, se utilizaron instrumentos más exactos para probar la teoría de Newton y estas nuevas observaciones mostraron algunas leves discrepancias. Albert Einstein propuso su teoría de la relatividad que explicaba los nuevos hechos y que hizo más predicciones. Esas predicciones se probaron y eran correctas dentro de la exactitud de los instrumentos utilizados. Por lo tanto, cualquier persona puede ver que la teoría de Einstein es “la verdad”.

Pero, ¿cómo puede “la verdad” cambiar? Una teoría no es más que una interpretación de unos hechos. Constituye el marco conceptual que explica observaciones existentes y predice otras nuevas. Cuando una teoría no puede explicar unos datos nuevos, se construye una nueva teoría. Las teorías se contrastan con los hechos y con otras teorías. La nueva teoría no debe explicar solamente los nuevos datos, sino también todo lo que explicaban las teorías precursoras. Las discusiones entre la comunidad científica a favor de una u otra teoría pueden ser muy fuertes, pero la réplica de resultados es una práctica rutinaria del método científico y cualquier descubrimiento importante será repetido muchas veces hasta que, finalmente, se acepte una teoría que explique todos los datos conocidos hasta ese momento y que haga una serie de predicciones que podrán ser verificadas.

Cuando se analiza cualquier teoría, debemos estudiar la fiabilidad y validez de su propuesta teórica y de su método. La validez y fiabilidad teórica vienen determinadas por su coherencia interna y su posibilidad de explicar y predecir los acontecimientos. Por tanto esta fiabilidad y validez hacen referencia al propio contenido del que trata la disciplina. Por ejemplo, la fundamentación teórica de la física no está en las matemáticas, ni siquiera en la posibilidad de su traducción a un lenguaje matemático, sino en el propio discurso físico, con sus modelos, teorías y maneras de ver la realidad. La física avanza gracias a que se hace preguntas relevantes desde el punto de vista físico. Lo mismo ocurre para cualquier otra área de conocimiento.

Por otro lado, la fiabilidad y la validez del método utilizado depende de si son métodos pertinentes para contestar las preguntas de la disciplina y si permiten ser contrastados de alguna manera. El método científico se define por contrastar las hipótesis, no por verificarlas, y para contrastar una hipótesis hay que tratar de falsarla. En otras palabras, la única forma de mostrar que una hipótesis es verdadera es demostrando que no es falsa. O al menos, eso es lo que nos indica el pensamiento lógico formal y el matemático, distinto de la forma de pensar cotidiana, no científica, que nos lleva a creer que cuantas más veces se repite un hecho mejor se confirma su verdad o se verifica. Hace ya muchas décadas que Popper (1973) dejo claro que la demarcación de la ciencia frente a lo que no lo es consiste precisamente en la posibilidad de que ésta fuese falsada. Por tanto, se formulan unas hipótesis acerca de la realidad, se derivan deductivamente una serie de consecuencias observacionales y se someten a contrastación en el plano empírico. Si dichas consecuencias resultan verificadas, la hipótesis se mantiene, en caso contrario se deben revisar bien los datos obtenidos o bien las hipótesis de partida para encontrar las razones por las que se produce la refutación. Si no hay o se producen reiteradas refutaciones de las consecuencias observacionales asociadas a la hipótesis de partida, esta se descarta.

Una teoría es potencialmente una teoría científica si y solo si existen posibles observaciones que puedan falsarla (refutarla). Popper mantenía que una verificación definitiva resultaba imposible como método para certificar un enunciado pero bastaba encontrar un solo caso en que éste resultaba falsado para desecharla. Pero ¿qué pasa si no lo encontramos? Entonces es

Mª Elvira González Aguado

(23)

probable que la teoría sea cierta pero nunca estaremos seguros que esa sea la verdad. Ahora bien, como dice Chalmers (1991), no siempre los científicos se han atenido estrictamente a esta metodología del falsacionismo. Si lo hubieran hecho, algunas de las teorías que se consideran como ejemplos de teorías científicas nunca habrían sido desarrolladas, porque habrían sido rechazadas en sus inicios. Y es que si tomamos cualquier ejemplo de una teoría científica clásica, ya sea en el momento de su formulación o en una fecha posterior, es posible encontrar afirmaciones observacionales que fueron generalmente aceptadas en esa época y que se consideraron incompatibles con la teoría. No obstante, estas teorías no fueron rechazadas y esa fue una suerte para la ciencia.

Para terminar, indicar que el método científico es característico de la ciencia, tanto de la pura como de la aplicada. Donde no hay método científico, no hay ciencia. Tiene como punto de partida el descubrimiento de la realidad de los hechos a partir de la cual se formulan los problemas de investigación. No es infalible ni autosuficiente, no opera en un vacío de conocimientos pero es un método progresivo por ser autocorrectivo: exige la continua comprobación de los puntos de partida, y requiere que todo resultado sea considerado como fuente de nuevas preguntas.

REFERENCIAS

Bunge, M. (1979). La ciencia. Su método y su filosofía. Siglo Veinte. Buenos Aires. Chalmers, A. (1991). ¿Qué es esa cosa llamada ciencia?. Siglo Veintiuno. Buenos Aires. Popper, K. (1973). La lógica de la investigación científica. Tecnos. Madrid.

(24)

Claudio PT

OLOMEO:

“Almagestum”

(1528)

(25)

La Olimpiada Matemática Española

LA OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA PARA

ALUMNADO DE BACHILLERATO

Javier Duoandikoetxea - Jesús de la Cal - Francisco Luquín

Todos los años, hacia el mes de diciembre, los centros de la Comunidad Autónoma Vasca que imparten enseñanza secundaria reciben una invitación para enviar a sus alumnos a participar en la fase local de la Olimpiada Matemática Española (OME). Para participar en ésta hay que estar cursando alguno de los dos cursos de Bachillerato. La OME, que la Real Sociedad Matemática Española organiza desde 1964, celebrará en el curso 2003-04 su cuadragésima edición. Desde sus inicios, la OME ha mantenido una estructura con dos fases: una fase local o de dis-trito y una fase final en la que participan los tres primeros clasificados de cada disdis-trito. Desde 1984, España participa en la Olimpiada Matemática Internacional (que existía desde 1959) a la que acuden los seis primeros clasificados en la fase final, y desde 1985 se celebra la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas para la que la representación española se selec-ciona también a partir de los resultados en la OME.

LA FASE LOCAL DE LA XXXIX OME

En el curso 2002-03 la fase local de la Comunidad Autónoma del País Vasco se celebró el 17 de enero de 2003 en la Facultad de Ciencias de la UPV/EHU en Leioa. En dos sesiones – mañana y tarde –, los participantes tuvieron que resolver tres problemas por sesión. En esta fase local se pueden realizar los ejercicios en euskera o castellano, a elección del estudiante. Se presentaron 65 estudiantes procedentes de 18 centros.

Primera sesión

1. ¿Cuántas ternas ordenadas de números enteros y positivos (a,b,c) distintos de la unidad

hay tales que abc=739_?

2. Dibuja una semicircunferencia con centro en O y diámetro AB, y en su interior, otra con

diámetro OA. Traza por un punto C de OA una recta perpendicular a dicho segmento

OA, que cortará a la semicircunferencia pequeña en D y a la grande en E, y, finalmente,

la recta AD que cortará al semicírculo grande en F.

Demuestra que la circunferencia circunscrita al triángulo DEF es tangente a la cuerda

AE en E.

3. ¿Cuál es el número máximo de vértices que podemos elegir de un polígono regular

de 21 lados para que al trazar los segmentos que los unen entre sí, no haya dos con la misma longitud.

(26)

Segunda sesión

4. Determina los dos valores de x más próximos (por defecto y por exceso) a 2003º que

cumplen la siguiente ecuación trigonométrica:

5. Un cuadrado de papel ABCD se dobla de modo que el vértice A toque en un punto

arbitrario E del lado CD. Así se obtienen tres triángulos rectos formados por una sola capa de papel.

Determinar la longitud de sus lados en función de x = DE, para demostrar que el perí-metro del triángulo mayor es la suma de los períperí-metros de los otros dos, y vale la mitad del perímetro del cuadrado. (Teorema de Haga).

6. Dado el polinomio p(x) = x3_+Bx2_{+Cx+D, prueba que si el cuadrado de una de sus}

raíces es igual al producto de las otras dos, entonces B3_{D = C}3_.

Los tres primeros clasificados de la fase local fueron:

1. Lander Esteban Cuesta, del Colegio A. Urdaneta de Loiu (Bizkaia); 2. Ibon Arregui Bilbao, del Colegio Calasancio de Bilbao; y

3. Gonzalo Esteban Alonso, del Colegio A. Urdaneta de Loiu.

Además del derecho a participar en la fase final, recibieron premios de 380 euros, 285 euros y 220 euros, respectivamente.

LA FASE FINAL DE LA XXXIX OME

Los tres estudiantes mencionados, acompañados por el profesor Pedro Alegría, de la UPV/EHU, acudieron a la fase final, que tuvo lugar del 2 al 6 de marzo de 2003 en las islas Canarias: las pruebas se celebraron los días 3 y 4 de marzo por la mañana en La Laguna (Tenerife) y el acto de clausura con la entrega de premios tuvo lugar en Las Palmas de Gran Canaria. Hubo además otros actos oficiales y excursiones. Como en los últimos años, los gas-tos de desplazamiento de los estudiantes finalistas correspondientes al distrito de la Comunidad Autónoma Vasca y el profesor acompañante fueron cubiertos por el Departamento de Educación, Universidades e Investigación del Gobierno Vasco, mientras que los gastos de estancia corrieron a cargo de la organización local.

En la fase final participaron 114 estudiantes, quienes también tuvieron que resolver seis pro-blemas en dos sesiones.

(27)

Primera sesión

1. Probar que para cualquier primo p distinto de 2 y 5 existe un múltiplo de p cuyas

cifras son todas nueves. Por ejemplo si p = 13, 999999 = 13 x 76923.

2. ¿Existe algún conjunto finito de números reales M que contenga al menos dos

ele-mentos distintos y que cumpla la propiedad de que para dos números a, b cuales-quiera de M, el número 2a - b2 _{sea también un elemento de M?}

3. Las alturas del triángulo ABC se cortan en el punto H. Se sabe que AB = CH.

Determinar el valor del ángulo <BCA.

Segunda sesión

4. Sea x un número real tal que x3_{+ 2x}2_{+10x = 20. Demostrar que tanto x como x}2_son

irracionales.

5. ¿Cuáles son las posibles áreas de un hexágono con todos los ángulos iguales y cuyos

lados miden 1, 2, 3, 4, 5 y 6 en algún orden?

6. Ensartamos 2n bolas blancas y 2n bolas negras formando una cadena abierta.

Demuestra que, se haga en el orden que se haga, siempre es posible cortar un segmento de cadena exactamente con n bolas blancas y n bolas negras.

Los premios de la fase final son: medalla de oro, 750 euros y derecho a formar parte del equipo español en la Olimpiada Matemática Internacional para los seis primeros clasificados; medalla de plata para los clasificados de los puestos 7 a 18; y medalla de bronce para los cla-sificados entre los puestos 19 y 36.

Ibón Arregui, del Colegio Calasancio de Bilbao, obtuvo un destacado octavo puesto (medalla de plata) y su solución al problema número 3 fue seleccionada por el jurado e incorporada a la memoria de la fase final (se puede ver en “La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española”, vol. 6, número 2).

UNA REFLEXIÓN

Los problemas se califican sobre 7 puntos. El promedio de los estudiantes participantes en la fase final no llegó a 1 punto por problema, y no olvidemos que participaban los estudiantes con mejores resultados en las fases locales. Esto debería servir para convencernos de que la OME no es un test para decidir la aptitud del estudiante para las matemáticas. Igualmente cabe señalar que destacados matemáticos actuales pasaron en su juventud por la OME sin ningún éxito, lo que no les ha impedido hacer una brillante carrera posterior.

Los ejercicios propuestos no corresponden al material con que están acostumbrados a traba-jar los estudiantes y esto hace que se lleven una sorpresa con ciertos problemas. A veces salen adelante con una mezcla de conocimientos, ingenio y suerte, y quienes han recibido una pre-paración específica parten con ventaja. Pero debe quedar claro que el no obtener un buen resultado en la resolución de los seis problemas de la Olimpiada no significa que el partici-pante carezca de capacidad para aprender matemáticas. Creemos que es importante que los profesores de enseñanza secundaria, que son quienes mejor conocen a sus estudiantes, invi-ten a presentarse a los estudiantes que encuentren capacitados para ello, pero siempre dejando claro que no se presentan a medir sus posibilidades futuras. No vayamos a utilizar una prueba que tiene como objetivo estimular el estudio y la afición por las matemáticas para todo lo contrario.

(28)

LA XL OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA

Cuando este número de SIGMA salga publicado, la XL Olimpiada Matemática Española estará en marcha. Los jefes de seminario de los centros recibirán o habrán recibido la información correspondiente a las fechas y lugares de celebración de las distintas fases y olimpiadas internacionales. La fase local será en enero de 2004 y para participar en ella, aunque reco-mendamos llenar previamente el boletín de inscripción, también es suficiente con presentarse en la fecha y lugar establecidos y rellenar allí mismo el boletín. Consideramos que el número de centros de la CAV participantes en la fase local es demasiado pequeño y nos agradaría verlo aumentado en esta próxima edición.

La fase final tendrá lugar en Ciudad Real, la Olimpiada Matemática Internacional se celebrará en Grecia en julio de 2004 y la Iberoamericana, en Castellón.

MÁS INFORMACIÓN

Se puede encontrar en internet abundante información sobre las olimpiadas matemáticas de distintos tipos y países; una buena puerta de entrada puede ser http://www.berrikuntza.net/ y seguir desde allí los enlaces de Matemáticas. La OME tiene una página propia en la que se pueden encontrar los problemas propuestos en los últimos años, así como material de prepa-ración; su dirección de internet es http://platea.pntic.mec.es/~csanchez/olimmain.htm. Para solicitar más información o enviar sugerencias sobre la fase local pueden dirigirse por teléfono o correo electrónico a los profesores encargados de la organización:

Jesús de la Cal (tfno. 946012654; [email protected]), Javier Duoandikoetxea (tfno. 946012648; [email protected]), Francisco Luquin (tfno. 946012658; [email protected]).

(29)

Extremos de funciones reales de variable entera

EXTREMOS DE FUNCIONES REALES

DE VARIABLE ENTERA

José Mª Eguzkitza Arrizabalaga (*)

Una de las aplicaciones más comunes del Cálculo Infinitesimal es la búsqueda de máximos y mínimos. Este problema es ampliamente tratado en los manuales de Enseñanza Secundaria en el ámbito de las funciones reales de una variable real. En ese contexto, si la función es deriva-ble, basta igualar a cero la primera derivada para obtener los puntos críticos, que son los can-didatos a máximo o mínimo relativo. Después, mediante el criterio de la segunda derivada o el de variación de la primera derivada se puede determinar si el punto crítico es extremo o no. Pero no todas las funciones que se presentan en las aplicaciones prácticas tienen por dominio de definición un intervalo de R, y así se echa en falta en los programas de matemáticas de bachillerato una alusión, aunque sea somera, a aquellos casos en los que la función, por estar definida en un conjunto como N o Z, no puede derivarse. Con objeto de presentar al alumno un panorama más amplio sobre el problema de la obtención de extremos, parece conveniente exponer algunos casos en los que la función que se maneja está definida en un conjunto discreto. Más adelante se presentan tres ejemplos.

Un máximo o un mínimo relativo es un punto en el que la función alcanza un valor mayor o menor, respectivamente, que el que toma en los puntos de alguna vecindad. En el caso de fun-ciones cuyo dominio es N la vecindad de un punto n está constituida por los puntos n -1 y n +1, por lo que se puede establecer la siguiente definición:

Sea f(n) una función f: N→R. Se dice que esta función tiene un máximo relativo (en sentido amplio) en n₀

N, n₀>1si se verifican simultáneamente las desigualdades:

f(n₀) ≥ f(n₀-1) y f(n₀) ≥ f(n₀+1)

De modo análogo, f(n) presenta en n0 un mínimo relativo si se cumplen:

f(n0) ≤ f(n0-1) y f(n0) ≤ f(n0+1)

Ejemplo 1: Un libro de 500 páginas contiene 1475 erratas repartidas al azar. Calcular el

número de erratas por página que tiene mayor probabilidad de aparición.

Se puede considerar que el número de erratas por página X sigue una distribución de Poisson (ley de los sucesos raros) debido a los hechos siguientes:

• El número de erratas en una línea es independiente del número de erratas en otra línea diferente.

• La probabilidad de que haya una errata en una línea es aproximadamente proporcio-nal a su longitud y no depende del número de erratas que haya fuera de ella.

• La probabilidad de que haya dos o más erratas en una línea (intervalo de espacio corto) es prácticamente despreciable.

(30)

El número medio de erratas por página es:

= = 2,95

La distribución de probabilidad de la variable aleatoria X viene dada por la siguiente función de masa:

P (X = n) = , n = 0,1,2,...

El parámetro que se busca es la moda de la distribución; es decir el valor n₀que hace máxima la probabilidad anterior. Por tanto, se ha de verificar:

P (X = n₀) ≥ P (X = n₀-1) y P (X = n₀) ≥ P (X = n₀+1)

Es decir,

≥ y ≥ ≥ 1 y 1 ≥

n0 ≤ 2,95 y n0 + 1 ≥ 2,95

El único entero que cumple estas dos desigualdades es 2.

El método anterior se basa en la manipulación de dos desigualdades de modo simultáneo, lo que puede resultar tedioso en muchos casos. Esta dificultad es fácilmente salvable en algunas ocasiones, cuando es posible encontrar una función real definida en un intervalo real cuya restricción a N sea la función dada, cosa que no ocurre en el ejemplo expuesto. En tales casos, el extremo de la función de variable real (si existe) definirá el correspondiente extremo de la función restringida a N, como se muestra en la siguiente proposición.

Proposición: Sea una función f: R→R estrictamente convexa (estrictamente cóncava) en R+

alcanzando un único mínimo relativo (máximo relativo) en el punto x₀

R+_{. Entonces, la}

res-tricción de f(x) a N, f(n), tiene un mínimo relativo (máximo relativo) en p, en q, o en ambos puntos a la vez siendo

p = Parte entera {x₀}; q = Parte entera {x₀} +1

Demostración: Sea

p = máx {xi

N|xi ≤ x0} = Parte entera {x0} y q = mín {xi

N|xi>x0} = Parte entera {x0} +1.

• Sea f(p) < f(q). Al ser f(x) estrictamente convexa y con mínimo en x₀, será decreciente a la izquierda de ese punto y se cumplirá

f(x_i) > f(p), x_i

N, x_i < p Así mismo, f(x) será creciente a la derecha de x0 por lo que

f(x_i) > f(q), x_i

N, x_i > q

Por tanto, f(p) < f(xi) para todo xi entero, lo que significa que f(n), n

N, alcanza un mínimo

relativo en el punto p.

• Sea f(p) > f(q). Razonando de igual manera se deduce que la función f(n), n

N, tiene un mínimo relativo en q.

• Si f(p) = f(q) el mínimo relativo de f(n) se alcanza en p y en q.

José Mª Eguzkitza Arrizabalaga

1475 500 n_e– n! 2,95 n0 2,95 n0+1 2,95n0e– 2,95 n0! 2,95n0– 1e– 2,95 (n0 –1)! 2,95n0e– 2,95 n0! 2,95n0+ 1e– 2,95 (n0 +1)!

(31)

Análogamente se procedería si se trata de un máximo.

Ejemplo 2: Calcular dos números enteros positivos que sumen 125 y cuyo producto sea

máximo.

La función a optimizar es

f(n) = n(125-n)

Sea f(x) la función de R→R tal que su restricción a N es f(n):

f(x) = x (125 - x) = 125x - x2

f’(x) = 125 - 2x = 0 ⇒ x = 125/2 = 62,5 f´´(x) = -2 < 0 ⇒ Máximo

El máximo de f(n) se alcanza para los valores 62 y 63. En efecto:

f ( 62) = 3906; f ( 63) = 3906

Los números pedidos son, pues, 62 y 63.

Ejemplo 3: Una industria necesita disponer de una cierta componente al día para su proceso de

producción, por lo que cada n días debe realizar un pedido de tamaño n, que es recibido al instante. Calcular el valor de n que minimiza el costo total por unidad de tiempo, sabiendo que cada vez que se hace un pedido se incurre en un gasto fijo de 6700 euros y en uno variable de 300 euros por unidad. El costo de almacenamiento es de 120 euros por unidad y por día. Un período es el lapso de tiempo entre dos sucesivos pedidos cuya longitud es, en este caso, n. El costo de adquisición por pedido es

6700 + 300n El costo de almacenamiento a lo largo de un período es

120n + 120(n-1) +...+ 120·1 = 120·1/2·(n+1)·n = 60n2_{+ 60n}

El costo total por período resulta, por tanto,

6700 + 300n + 60n2_{+ 60n}

Para obtener el costo total por unidad de tiempo, que será la función a optimizar, habrá que dividir el valor anterior por la longitud de un período (n días):

C(n) = (6700 + 300n + 60n2 _{+ 60n) / n = 60n +360 + 6700/n}

Sea f(x) la función de R→R tal que su restricción a N es C(n):

C(x) = 60x + 360 + 6700/x

C´(x) = 60 – 6700/x2 = 0 ⇒ x2 _{= 6700/60 = 111,67}

x =

111,67 = 10,57

C ’’(x) = ; C ’’(10,57) > 0 ⇒ Mínimo

Por tanto, el valor que hace mínima la función C(n) será, de acuerdo a la proposición anterior,

n = 10 ó n = 11:

C(10) = 60·10 + 360 + 6700/10 = 1630 C(11) = 60·11 + 360 + 6700/11 = 1629,09 El tamaño de pedido óptimo es, en consecuencia, 11 unidades.

Extremos de funciones reales de variable entera

13400

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CAVALIERI:

“Geometría”

(Edición Bolonia 1635)

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Zergatik eta nola ikertzen da matematikan

ZERGATIK ETA NOLA IKERTZEN DA MATEMATIKAN?

(*)

Yves Meyer

YVES MEYER matematikari frantsesa Pariseko Zientzia Akademiako kide da. Punta-puntako ikertzailea analisi matematikoan, goi-mailako hainbat zentrutan aritu da irakasle modura: Paris-Sud Unibertsitatean, École Polytechnique-n, Paris-Dauphine Unibertsitatean eta Cachan-go École Normale Supérieure-n; gainera, zenbait liburu eta artikulu ugari idatzi ditu, eta irakasle bisitari eta hizlari izan da munduan zehar.

Hurrengo testu autobiografikoa Madrilen eman zuen hitzaldi bati dagokio: 2001eko irailean, Matematikarako Adimen Aurreratua Antzemateko eta Bultzatzeko Egitasmoa-n parte hartu zuten neska-mutikoen aurrean emandakoari, hain zuzen. Entzuleak, beraz, 13-15 urte bitarteko ikasle hautatuak izan ziren. Meyer irakasleak bere ibilbide matematikoan landu dituen zenbait arlo agertzen dira testuan, bai teorikoak eta bai aplikatuak. Gaztelaniazko bertsioa La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española aldizkarian argitaratu zen (vol. 5 (2002), nº 1, 57-61). Eskerrak ematen dizkiegu egileari eta aldizkariari euskaratuta ateratzeko baimenagatik.

1. MATEMATIKA, ERREBOLTAK ETA ASKATASUNAK (1952-1956)

Bost urte nituen Bigarren Mundu Gerla amaitu zenean, eta hamabost Aljeriako gerla piztean. Aljeriakoak zazpi urte iraun zuen.

Hamahiru urte inguru nituela hasi nintzen matematika maitatzen; Tunisian izan zen, bertan pasatu bainuen haurtzaroa.

Artean, Ipar Afrika frantses kolonia zen, baina orduko garaian hasi ziren Maroko, Tunisia eta Aljeria beren independentziaren aldeko borrokan. Gehienetan, errepresio basatiz erantzuten zien Frantziak nazionalisten eskariei, eta noizean behin bakarrik bideratzen zuen elkarrizketa. Ume erreboltatua nintzen, eta neure baitan sentitzen nuen kolonialismoari eusteko argudioak gezur hutsak baino ez zirela. Jende heldu askok onartzen zituzten bidegabekeriak eta ezarritako ordena. Ez nien sinesten eta, orduan, erabaki nuen besteei entzunez ezin daitekeela egia aurkitu.

Egia neure aldetik aurkitzea bilakatu zitzaidan premiazkoa. Artean, ez nekien hori ezinezkoa dela matematikaren esparru mugatutik kanpo.

Hona uste nuena:

Gaur egun problema bat zailegia egiten bazait ere, azkenean lortuko dut ebaztea, egiarenganako maitasun zintzo, zuhur eta gogotsu batek beti baitarama jakinduriara.

Geometriako problemek atsegin bikoitza eskaintzen zidaten. Lehendabizi, egiazta nezakeen, irudi eder bat eginez, marraztuz, eraiki beharreko bederatzi puntuak zirkunferentzia baten gainean zeudela, iragarri bezala. Ondoren, frogatu egin behar zen hala gertatzen zela. Frogapen dotore bat asmatzeak sortzen zidan zorion intelektuala irudiaren edertasunak emandakoarekin nahasten zitzaidan.

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Fisikako edo zientzia esperimentaletako jakintzari sineskeria baten antzekoa neritzon: ezin nuen neure kabuz kontrolatu eta egiaztatu irakasleak esaten zuena. Behin eta berriz erabiltzen zituen autoritatezko argudioak, eta nik gorrotatu egiten nituen. Esaten zuen, adibidez, Michelson-ek eta Morley-k halako esperimentua egin eta halako emaitza lortu zutela. Norberak ezin zezakeen esperimentua berregin, eta Michelsoni sinestea sorginetan sinistea bezain zozoa iruditzen zitzaidan.

Matematikan, ostera, berdintasun osoa dago maisuaren eta ikaslearen artean: froga nezake, neure argudioaren indar eta zehaztasunaren bitartez, irakaslea okertu egin dela.

Beraz, matematikak (neure gisara pentsatzeko) askatasuna dakar, eta (irakaslearekiko)

berdintasuna.

Ikertzaileen arteko haurridetasunari dagokionez, urteak beharko nituen antzemateko.

2. IKERKETA MATEMATIKAN

Haurrek irakasleak jarritako problemak ebazten dituzte. Hori egitean, haurrak ikertzaile bihurtzen dira. Baina ez diote harri berririk jartzen matematikaren etxeari, irakasleak aldez aurretik baitaki problemen erantzuna. Ikertzailearen egitekoa da beste inork ez dakiena aurkitzea. Haur horiek, behin helduz gero, umekeria dirudien eginkizun horretara dedikatzeko eskubidea dute? Nork esango die zein problema ebatzi? Matematikako ikertzailea zahartu nahi ez duen haurra baino ez da?

Egia bada matematikan norberaren bitartekoekin bereiz daitezkeela egiazkoa eta gezurrezkoa, hona hemen hurrengo galdera: norantz bideratu behar dira ahaleginak?

André Weil Jean Delsarte-ren adiskidea zen. Delsarte hil zenean, André Weilek adiskidearen lan zientifikoaren gorazarrea egin zuen. André Weilek dioskunez, Delsartek berak erabakitzen zituen askatasun osoz ikerketa-gaiak.

Gauza bera egin nuen neuk ere: inori kontsultatu gabe aukeratu nuen zein izango zen nire tesiaren gaia. Garai haietan, bost urteko ahaleginen eta aurkikuntzen emaitza izaten zen tesia; gaur egun ere, ikertzaile baten bizitzako lehen borroka eta lehen garaipena izaten da. Montaigne-k (1533-1592), aldiz, behin eta berriz nabarmendu zuen ikertzaileen arteko elkartasuna, eta “Entseiuak” bere liburuan zientzia aurrera daroan giza katea deskribatu zuen.

Neure indarrak edireten ahal ez duena ez dut ikertze eta entseiatzetik uzten; eta, gai berri hau eskuztatuz eta oratuz, irekitzen diot darraidanari erraztasun zerbait bere oldera hobeki goza dezan, eta arin eta erabilgarriago egiten diot.

Beste hainbeste eginen dio bigarrenak hirugarrenari: horregatik nekeak ez nau etsitu behar, ez neure ezintasunak… (1)

Gaur egun, talde-lana iruditzen zait matematikako ikerketa. Nire ahaleginek, nire aurkikuntzek ez dute zentzurik beste matematikari baten lana zabaltzen edo osatzen ez badute. Badirudi halako orkestra-zuzendari misteriotsu bat dagoela “zeru goietatik” ikertzaileon lana bideratzen. Jean Pierre Serre-k Zientzia Akademiako hitzaldi batean tristuraz adierazten zuen legez, talde finitu sinpleen zerrenda osoa biltzen duen teorema 6000 orrialdetik gorako talde-lana da, eta ez da egongo inoiz oso-osorik irakurtzeko gauza izango den matematikaririk (G talde finitua sinplea dela esaten da ez badu H azpitalderik non G/H bera ere taldea den). Lan horretan orkestra-zuzendari misteriotsua Daniel Gorenstein izan zen.