Investigacion Operativa II

(1)

(2)

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Prefacio:

sta asignatura de desarrollo teórico practico y de carácter obligatorio, tiene el propósito poner a disposición de los estudiantes una explicación conceptual del papel que desempeña la investigación de operaciones en la toma de decisiones.

Describe el diseño y análisis de modelos matemáticos, para analizar situaciones en las que se

requiere optimizar el uso de recursos aplicando técnicas matemáticas de optimización en el análisis económico, así como mostrar cómo puede un ingeniero utilizar la optimización, a través de tópicos de programación matemática y optimización dinámica.

Comprende cuatro Unidades de Aprendizaje:

Unidad I: Líneas de espera.

Unidad II: Modelo de Inventario.

Unidad III: Programación de proyectos.

Unidad IV: Simulación dinámica.

(3)

Estructura de los Contenidos

La competencia que el estudiante debe lograr al final de la asignatura es:

“Aplicar con destreza y seguridad los conocimientos matemáticos explicados en el texto para lograr eficiencia y la automatización de los resultados”.

Líneas de Espera _InventarioModelo de Programación

de Proyectos Simulación Dinámica Líneas de espera de un solo canal. Líneas de espera con múltiples canales. Líneas de espera con tiempo de servicios arbitrarios. Otros modelos de líneas de espera. Modelo de cantidad económica a pedir. Modelo de tamaño de lote económico de producción. Modelo de inventario con escasez planeada. Descuento por cantidad para el modelo EOQ. Programación de proyectos con tiempos de actividad conocido. Programación de proyectos con tiempos inciertos.

Uso del software WIN QSB para programación de proyectos. Simulación. Método Montecarlo. Simulación de sistema de colas. Teoría de inventario con WINQSB Consideración de los intercambios de tiempo y costo.

(4)

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Índice del Contenido

I. PREFACIO 02

II. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS 03 - 136

UNIDAD DE APRENDIZAJE 1: LINEAS DE ESPERA 05-31

1. Introducción

a. Presentación y contextualización b. Competencia

c. Capacidades d. Actitudes

e. Ideas básicas y contenido

2. Desarrollo de los temas

a. Tema 01: Líneas de espera de un solo canal.

b. Tema 02: Líneas de espera con múltiples canales.

c. Tema 03: Líneas de espera con tiempo de servicios arbitrarios.

d. Tema 04: Otros modelos de líneas de espera. 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen 06 06 06 06 06 06 07-27 07 13 19 23 28 28 29 31

UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: MODELO DE INVENTARIO 32-58

a. Tema 01: Modelo de la cantidad económico a pedir.

b. Tema 02: Modelo de tamaño de lote económico de producción.

c. Tema 03: Modelo de inventario con escasez planeada.

d. Tema 04: Descuento por cantidad para el modelo EOQ. 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen 33 33 33 33 33 33 34-54 34 40 45 49 55 55 56 58

UNIDAD DE APRENDIZAJE 3:PROGRAMACION DE PROYECTOS 59-100

a. Tema 01:Programación de proyectos con tiempos de actividad conocido.

b. Tema 02: Programación de proyectos con tiempos inciertos.

c. Tema 03: Consideración de los intercambios de tiempo y costo.

d. Tema 04: Uso del software WIN QSB para programación de proyectos. 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen 60 60 60 60 60 60 61-91 61 74 82 86 92 92 95 100

UNIDAD DE APRENDIZAJE 4:SIMULACION DINAMICA 101-131

a. Tema 01: Simulación.

b. Tema 02: Método Montecarlo.

c. Tema 03: Simulación de sistema de colas.

d. Tema 04: Teoría de inventario con WINQSB. 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen 102 102 102 102 102 102 103-127 103 110 116 121 128 128 129 131 III. GLOSARIO 132

IV. FUENTES DE INFORMACIÓN 133

(5)

(6)

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Introducción

a) Presentación y contextualización

La teoría de líneas de espera es el estudio de la espera en las distintas modalidades. Estudiaremos los tipos de sistemas de líneas de espera (sistemas que involucran colas de algún tipo) que surgen en la práctica. Las formulas para cada modelo indican cual debe ser el desempeño del sistema del sistema correspondiente y señalan la cantidad promedio de espera que ocurrirá en diversas circunstancias.

b) Competencia

Conoce los diferentes tipos de línea de espera y su correcta aplicación para lograr un eficiente desarrollo.

c) Capacidades

1. Identifica y comprende el modelo de línea de espera de un solo canal.

2. Analiza las características del modelo de múltiples canales.

3. Reconoce las características de líneas de espera con tiempos de servicio arbitrarios.

4. Relaciona y compara los resultados obtenidos con otro tipo de modelos.

d) Actitudes

 Valora la utilidad del modelo de línea de espera para dar solución a problemas de casos reales.

 Tiene una actitud positiva sobre las líneas de espera para realizar el análisis económico e interpretar los resultados.

 Toma una actitud positiva al momento de investigar más temas sobre los modelos de líneas de espera.

e) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad:

La Unidad de Aprendizaje 01: Líneas de espera, comprende el desarrollo de los

siguientes temas:

TEMA 01: Líneas de espera de un solo canal. TEMA 02: Líneas de espera con múltiples canales.

TEMA 03: Líneas de espera con tiempo de servicios arbitrarios TEMA 04: Otros modelos de líneas de espera.

(7)

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TEMA 1

Identificar y comprender el modelo de línea

de espera de un solo canal.

Competencia:

de un

Solo

_Canal

de

(8)

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Desarrollo de los Temas

Tema 01: Líneas de Espera de un solo Canal

MODELO DE LINEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL, CON LLEGADAS

POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIAL

Para determinar las características de operación de estado estable para una línea de espera de un solo canal. Las formulas deberán utilizarse sólo si las

hipótesis siguientes son razonables.

1) La línea de espera tiene un solo canal.

2) Las llegadas siguen una distribución de

probabilidad Poisson.

3) Los tiempos de servicio siguen una distribución de

probabilidad exponencial.

4) La disciplina en la cola es primera llegada, primer servicio.

Características de operación

Se pueden usar las siguientes formulas para desarrollar las características de operación en estado estable de una línea de espera de un solo canal, con

llegadas tipo Poisson y tiempos de servicio exponencial, donde:





Promedio de llegadas por periodo (tasa media de llegadas).





Promedio de servicios en el periodo (tasa media de servicio).

1. probabilidad de que no exista unidades en el sistema:

0

1 P





 

(1.4)

2. Número promedio de unidades en la línea de espera:

2

(

)

q

L



  





(1.5)

3. Número promedio de unidades en el sistema:

q

L





(9)

4. Tiempo promedio que utiliza la unidad en la línea de espera: q q

L

W





(1.7)

5. Tiempo promedio que una unidad ocupa en el sistema:

1

q

W W



 

(1.8)

6. probabilidad de que una unidad que llega tiene que esperar servicio:

w

P







(1.9)

7. probabilidad de n unidades en el sistema:

0 n n P  P         (1.10)

Los valores de la tasa media de llegada



y la tasa media de servicios



claramente son componentes de importancia en la determinación de las características de operación. La ecuación (1.9) muestra la que la relación de la tasa media de llegadas a la tasa media de servicios,

/

 

, nos da la probabilidad de que una unidad tenga que esperar al llegar, debido a que la instalación de servicio esté ocupada, por lo que

 

/ a menudo se conoce como el factor de utilización de la instalación de servicio.

Las características de operación que se presentan en las ecuaciones (1.4) a (1.10) son sólo aplicables cuando la tasa media de servicio



es superior a la tasa media de llegada



, en otras palabras, cuando

 

/ 1. De no ser así, la línea de

espera continuara creciendo sin límite, porque la instalación de servicio no tiene capacidad suficiente para atender las unidades que llegan, por lo que para utilizar las ecuaciones (1.4) a (1.10) debemos tener

 



Ejemplo:

Para ilustrar las características básicas de un modelo de línea de espera, veamos la línea de espera en un restaurante Burger Dome. Burger Dome vende hamburguesas, papas fritas, refrescos y malteadas, así como un limitado número de productos especiales y postres.

(10)

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Aunque Burger Dome desearía poder servir a cada uno de los clientes de manera inmediata, hay veces que llegan más clientes de los que puede manejar el personal de servicio de alimentos de Burger Dome, por lo que los clientes esperan en fila, para colocar y recibir su pedido. Burger Dome está preocupado pues los métodos que utiliza para atender a los clientes están dando como resultado tiempos de espera excesivos. La administración ha pedido que se haga un estudio de líneas de espera para ayudar a determinar cuál es el mejor procedimiento para reducir los tiempos de espera y mejorar el servicio.

 Suponga que Burger Dome ha analizado los datos referentes a la llegada de clientes y ha concluido que la tasa media de llegadas es de 45 clientes por hora. Para un lapso de un minuto, el número medio de llegadas sería

45/ 60 0.75





llegadas por minuto, por lo que podemos utilizar la siguiente función de probabilidad de Poisson para calcular la probabilidad de x llegadas durante un periodo de un minuto.

 Suponga que Burger Dome ha estudiado el proceso de toma y surtido de pedidos y que ha llegado a la conclusión de que el único empleado de alimentos puede procesar un promedio de 60 pedidos de clientes por hora. Con base en un minuto, la tasa promedio de servicio, es decir la media, seria



60 / 601

cliente por minuto. Por ejemplo , con



1, podemos utilizar la ecuación (1.3) para calcular probabilidades , como la probabilidad de que

procese un pedido en medio minuto o menos, en minuto o menos o en dos minutos o menos.

Solución.

Recuerde que para el problema de Burger Dome tenemos una tasa media de llegada





0.75

clientes por minuto y una tasa de servicio de



1cliente por minuto, por lo cual, ya que

 

 , se pueden utilizar las ecuaciones (1.4) a (1.10) para obtener las características de operación de la línea de espera de un solo canal de Burger Dome:

(11)

0 2 2

0.75

1

0.25

1

0.75

2.25 (

)

1(1 0.75)

0.75

2.25

3

1

2.25 3 min

0.75

1

3 4 min

1

0.75

1

q q q q q w

P

L

clientes

L

clientes

L

W

utos

W

utos

P







  









   















   



La ecuación (1.10) se puede usar para determinar la probabilidad de cualquier número de clientes dentro del sistema.

Su aplicación nos la información de probabilidades que se resume en la tabla siguiente:

Probabilidad de n clientes en el sistema para el problema de la línea de espera de Burger Dome

Número de clientes Probabilidad

0 0.25 1 0.1875 2 0.1406 3 0.1055 4 0.0791 5 0.0593 6 0.0445 7 o más 0.1335

Los resultados de la línea de espera de un solo canal para Burger Dome muestran varios elementos importantes sobre su operación.

(12)

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En particular, los clientes esperan un promedio de tres minutos antes de empezar a colocar su pedido, lo que parecería algo largo para un negocio basado en servicio rápido. Además, el hecho de que el número promedio de clientes esperando en la cola sea de 2.25 y que 75% de los clientes que llegan tengan que esperar para que les dé servicio, son indicadores de que algo debería hacerse para mejorar la operación de la línea de espera. la tabla anterior muestra una probabilidad de 0.1335 de que siete o más clientes estén en el sistema de Burger Dome a la vez. Esta situación indica una probabilidad razonable elevada de que si continua utilizando la operación de un solo canal, Burger Dome experimentara algunas líneas de esperas largas.

MEJORA EN LA OPERACIÓN DE LA LINEA DE ESPERA

Después de revisar las características de operación obtenidas con el modelo de la línea de espera, la administración de Burger Dome concluyo que era deseable hacer mejoras diseñadas para reducir los tiempos de espera. Muy a menudo, las mejoras en la operación de la línea de espera se enfocan a maneras de mejorar la tasa de servicio. Generalmente, las mejoras de servicio se hacen mediante lo siguiente:

1) Incrementar la tasa media de servicio



mediante algún cambio creativo en el diseño o utilizando nueva tecnología

2) Agregar canales de servicio, de manera que se puedan servir más unidades de

(13)

TEMA 2

Analizar las características del modelo de

múltiples canales.

Competencia:

con

Múltiples

Canales

de

Espera

Líneas

(14)

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Tema 02: Líneas de espera con Múltiples

Canales

MODELO DE LINEAS DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES CON

LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES.

Una línea de espera de canal múltiple está formada de dos o más canales o localizaciones de servicio, que se suponen idénticos en función de su capacidad de servicio. En el sistema de canales múltiples, las unidades de llegada esperan en una sola línea de espera y a continuación pasan al primer canal disponible para ser atendidas.

Las formulas que se pueden utilizar para determinar las características de operación en estado estable para una línea de espera de canal múltiple. Estas formulas serán aplicables siempre que:

1. la línea de espera tenga dos o más canales,

2. las llegadas sigan la distribución de probabilidad de Poisson, 3. el tiempo de servicio de cada canal siga una distribución de

probabilidad exponencial,

4. la tasa media de servicio



es la misma para cada uno de los canales,

5. las llegadas esperan en una sola línea de espera y

entonces pasan al primer canal abierto para su servicio, y

6. la disciplina de la cola es primeras llegadas, primeros

servicios.

Las características de operación

Para calcular las características de operación en estado estable de las líneas de espera de canal múltiple, se pueden utilizar las siguientes formulas,

donde





Tasa media de llegadas del sistema

(15)

k



Número de canales

1. probabilidad de ninguna unidad en el sistema:



 



0 1 0 1 / / ! ! n k k n P k n k k

 



 

      _ _   



(1.11)

2. Número promedio de unidades en la línea de espera:







 



2 0

/

1 !

k q

L

P

k

  

 





(1.12)

3. Número promedio de unidades en el sistema:

q

L





 

(1.13)

4. Tiempo promedio que ocupa una unidad en la línea de espera:

q q

L

W





(1.14)

5. tiempo promedio que una unidad ocupa en todo el sistema:

1

q

W W



 

(1.15)

6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por servicio:

0 1 ! k w k P P k k           _ _{ } _      (1.16)

7. Probabilidad de que existan n unidades en el sistema:





0

/

,

!

n n

P

para n

k

n

 





(1.17)





0 ( )

/

,

!

n n n k

P

para n

k

k k

 







(1.18)

Dado que



es la tasa media de servicio de cada canal, k



es la tasa media de servicio para el sistema de canales múltiples. Como en el caso de un modelo de línea de espera de un solo canal, las formulas para las características de operación de las líneas de espera de canal múltiple sólo pueden aplicarse en situaciones en las que la tasa media de servicio para el sistema sea superior a la tasa

(16)

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media de llegadas del sistema; en otras palabras, las formulas sólo son aplicables si

k



es mayor que



.

Ejemplo.

Para ilustrar el modelo de líneas de espera de canal múltiple, regresamos al problema de la línea de espera del restaurante de comidas rápida Burger Dome. Suponga que la administración desea evaluar la conveniencia de abrir una segunda estación de procesamiento de pedidos, de manera que se pueda atender simultáneamente a dos clientes. Suponga que solo habrá una línea de espera y el siguiente cliente en la cola pasando al primer servidor disponible, con lo que tenemos una línea de espera de dos canales para Burger Dome. Evaluemos las características de operación de este sistema de dos canales.

Utilizando las ecuaciones (1.12) a (1.18) para el sistema de k= 2 canales. Para una tasa media de llegadas





0.75

clientes por minuto y una tasa media de servicio

1



 cliente por minuto para cada uno de los canales, obtenemos las características de operación: 0 0.4545, / 0.75 P  con  





2 2 (0.75 /1) (0.75)(1) (0.4545) 0.1227 (2 1)! 2(1) 0.75 q L   cliente  

0.75 0.1227

0.8727

1

q

L



cliente



  





0.1227

0.16 min

0.75

q q

L

W

uto





1

0.16 1.16 min

1

q

W W

utos





 

2 1 0.75 2(1) (04545) 0.2045 2! 1 2(1) 0.75 w P  _ _{ } _      

Utilizando las ecuaciones (1.17) y (1.18) , podemos calcular las probabilidades de n clientes en el sistema.

(17)

Los resultados de estos cálculos se resumen en la siguiente tabla:

Probabilidad de n clientes en el sistema para el

problema de la línea de espera de dos canales de

Burger Dome

Número de clientes Probabilidad

0 0.4545 1 0.3409 2 0.1278 3 0.0479 4 0.0180 5 o más 0.0109

Ahora podemos comparar las características de operación en estado estable del sistema de dos canales con las características de operación del sistema original de un solo canal, que se analizo anteriormente.

1. El tiempo promedio que utiliza un cliente en el sistema (tiempo de servicio +

tiempo de espera) se reduce de W = 4 minutos a W = 1.16 minutos.

2. El número promedio de clientes en la línea de espera se reduce de

2.25 0.1227

q q

L



a L



clientes.

3. El tiempo promedio que utiliza un cliente en la línea de espera se reduce de

3

0.16

q q

W



a W



minutos.

4. La probabilidad de que un cliente tenga que esperar su servicio se reduce de 0.75 0.2045

w w

P  a P 

ANÁLISIS ECONÓMICO DE LAS LINEAS DE ESPERA.

En las secciones anteriores presentamos formulas para calcular las características de operación de líneas de espera de un solo canal y de canal múltiple, con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales. Las características operativas de interés incluían

q

(18)

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L



Número promedio de unidades en el sistema

q

W

=tiempo promedio que utiliza una unidad en la línea de espera W = tiempo promedio que utiliza una unidad en el sistema

John D. C. Little demostró que entre estas cuatro características existen varias relaciones y que pueden aplicarse a toda la diversidad de los sistemas de líneas de espera. Dos de estas relaciones, conocidas como las ecuaciones de flujo de Little, son

L





W

(1.19)

q q

L





W

(1.20)

ANALISIS ECONOMICO DE LAS LINEAS DE ESPERA

Para desarrollar un modelo de costo total de una línea de espera, empezaremos por definir las notaciones que se emplearan:

w

c Costo de espera por periodo de cada unidad

L



Número promedio de unidades en el sistema

s

c Costo de servicio por periodo de cada canal

k



Número de canales

TC



Costo total por periodo

El costo total es la suma del costo tanto de espera como de servicio; esto es,

w s

CTc Lc k (1.21)

Ejemplo:

Para demostrar el uso de la ecuación (1.21), suponemos que Burger Dome está dispuesto a asignar un costo de 10 dólares por hora al tiempo de espera del cliente. Para obtener el costo total por hora para el sistema de un solo canal y de dos canales utilizaremos el número promedio de unidades en el sistema L, según se calculo en las secciones anteriores:

Sistema de un solo canal (L = 3 clientes)

$10(3) $7(1)

$37.00

w s

CT

c L c k

TC

por hora











(19)

$10(0.8727) $7(2)

$22.73

w s

CT

c L c k

TC

por hora











Por lo que, con base en los datos de costo proporcionados por Burger Dome, el sistema de dos canales ofrece la solución más económica.

TEMA 3

Reconocer las características de líneas de

espera con tiempos de servicio arbitrarios.

Competencia:

con

Tiempo

Servicios

de

Espera

Líneas

de

Arbitrarios

(20)

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Tema 03: Líneas de Espera con Tiempo de

Servicios Arbitrarios

EL MODELO DE LINEA DE ESPERA DE UN SOLO CANAL, CON LLEGADAS

TIPO POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS

Volvamos al modelo de línea de espera de un solo canal, en el que las llegadas se describen mediante una distribución de probabilidad Poisson. Sin embargo, ahora supondremos que la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio no es exponencial, por lo que, utilizando la notación de Kendall, el modelo de línea de espera apropiado es M/G/1, donde G indica una distribución de probabilidad general o no especificada.

Características de operación para el modelo

m/g/1

La notación utilizada para describir las características de operación del modelo M/G/1 es:





Tasa media de llegada





Tasa media de servicios

1 



Tiempo promedio o medio de servicio





Desviación estándar del tiempo de servicio

A continuación aparecen algunas de las características de operación en estado estable del modelo de línea de espera M/G/1

(21)

1. Probabilidad de que no existan unidades en el sistema:

0

1 P





 

(1.22)

2 2 2

( / )

2(1

/ )

q

L

 

 







(1.23)

q

L









(1.24)

4. Tiempo promedio que utiliza una unidad en la línea de espera:

q q

L

W





(1.25)

5. Tiempo promedio que utiliza una unidad en el sistema:

1

q

W W







(1.26)

6. Probabilidad de que una unidad de llegada tenga que esperar servicio:

w

P







(1.27)

Note que las relaciones para L,

W

q y W son las mismas que las que se utilizaron para

los modelos de líneas de espera de las secciones anteriores. También están basadas en las ecuaciones de flujo de Little.

Ejemplo

Un empleado maneja las ventas al menudeo en Hartlage. Las llegadas de los clientes son aleatorias y la tasa promedio de llegadas es

(22)

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21/ 60 0.35





clientes por minuto. Un estudio del proceso de servicio muestra que el tiempo promedio o medio del servicio es de dos minutos por cliente, con una desviación estándar





1.2

minutos.

El tiempo medio de dos minutos por cliente muestra que el empleado tiene una tasa de servicio media de 1/ 20.5 clientes por minuto. Las características de operación de este sistema de línea de espera M/G/1, son:

0 2 2 2 2 2 2

0.35

1

0.30

0.50 ( / )

(0.35) (1.2)

(0.35 / 0.50)

1.11 2(1

/ )

2(1 0.35 / 0.50)

0.35

1.11

1.81

0.50

1.11 3.17 min

0.35

1

3.17 5.17 min

0.50

0.35

q q q q q w

P

L

clientes

L

clientes

L

W

utos

W

utos

P





 

 













   



























0.70

0.50 

El administrador de Hantlage puede estudiar estas características de operación para determinar si merece la pena programar un segundo empleado.

(23)

TEMA 4

Relacionar y comparar los resultados

obtenidos con otro tipo de modelos.

Competencia:

de

Líneas

Espera

de

Modelos

Otros

(24)

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Tema 04: Otros Modelos de Líneas de

Espera

LÍNEAS DE ESPERA CON TIEMPOS DE SERVICIO CONSTANTES

Deseamos comentar brevemente a un modelo de línea de espera de un solo canal que supone llegadas aleatorias, pero con tiempos de servicio constante. Esta línea de espera puede ocurrir en entornos de producción y manufactura, en los que los tiempos de servicio controlados por las maquinas son constantes. Esta línea de espera se describe como un

modelo M/D/1, refiriéndose la D a tiempos de servicio deterministicos.

En el caso del modelo M/D/1, puede determinarse el número promedio de unidades en

la línea de espera,

L

_q, utilizando la ecuación (1.23) , con la condición de que la desviación estándar del tiempo constante de servicio sea





0

, por lo que la expresión para el numero promedio de unidades de la línea de espera M/D/1 se convierta en: 2

( / )

2(1

/ )

q

L

 





(1.28)

MODELO DE CANAL MULTIPLE CON LLEGADA POISSON, TIEMPOS DE

SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN LINEAS DE ESPERA.

(25)

El sistema específico considerado en esta sección se basa en las siguientes hipótesis.

1. El sistema tiene k canales.

2. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson , con una tasa

media de llegada



3. Los tiempos de servicio de cada canal pueden tener cualquier distribución de probabilidad.

4. La tasa media de servicio



es la misma para cada canal.

5. Las llegadas entran al sistema únicamente si por lo

menos uno de los k canales está disponible, Las llegadas que ocurran cuanto todos los canales estén ocupados

quedaran bloqueadas, esto es, se les negara el servicio y no se les permitirá la entrada al sistema.

Cuando G indica una distribución de probabilidad general o no especificada parea los tiempos de servicio, el modelo apropiado para esta situación se conoce como modelo M/G/k con “clientes bloqueados y eliminados”, la pregunta que se hace en este tipo de situación es ¿Cuántos canales o servidores debe utilizarse?

Características de operación para un modelo m/g/k, con clientes

bloqueados y eliminados.

Nos enfrentaremos al problema de seleccionar el número más apropiado de canales para calcular las probabilidades de estado estable de que j de los canales estén ocupadas. Estas probabilidades son:









0

/

/ !

/

/ !

j j k i i

j

P

i

 





(1.29) Donde:

(26)

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

: Tasa media de servicio de cada canal

k

: Número de canales

j

P

: Probabilidad de que j de los k canales estén ocupados para j = 0,1,2,3,…k El valor más importante de la probabilidad es

k

P , que es la probabilidad de que todos

los k canales estén ocupados. En una base porcentual,

k

P es el porcentaje de

llegadas que se bloquearan y a las que se les negara acceso al sistema.

Otras características de operación de interés es el número promedio de unidades en el sistema; note que esto equivale al número promedio de canales en uso. Haciendo que L represente el número promedio de unidades en el sistema, tenemos:

(1

P

_k

)

L









(1.30)

MODELO DE LINEA DE ESPERA CON POBLACIONES DE SOLICITANTES

FINITAS.

El modelo de población de solicitantes finito que se analizara en esta sección se basa en las siguientes hipótesis.

1. La línea de espera tiene un solo canal

2. La población de unidades que pudieran solicitar servicio es finita.

3. Las llegadas de cada unidad siguen una distribución de probabilidad Poisson,

con una tasa media de llegada



4. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial, con

una tasa media de servicio



.

5. La disciplina de la línea es primeras llegadas, primeros servicios.

El modelo de línea de espera apropiado en estos casos se conoce como modelo M/M/1, con una población de solicitantes finita.

Las características de operación para el modelo m/m/1, con una población

de solitantes finita

(27)

Las formulas siguientes se utilizan para determinar las características de operación en estado estable para el modelo M/M/1 con una población

de solicitantes finita, donde:



: Tasa media de llegada de cada unidad



: Tasa media de servicio N : Tamaño de la población.

1. Probabilidad de que no existan unidades en el sistema:





0 1

1 !

!

n N n

P

N

n







 

 



_{ }



(1.31)



1 0



q L N

 

P



    (1.32)



1

0



q

L L

  

P

(1.33)

4. Tiempo promedio que ocupa una unidad en la línea de espera:



q



q

L

W

N

L







(1.34)

5. Tiempo promedio que una unidad ocupa en el sistema:

1

q

W W







(1.35)

6. Probabilidad de n unidades en el sistema:





0 ! ; 0,1,.... ! n n N P P n N N n      _{ }   _{ } (1.36)

(28)

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28 Lecturas Recomendadas

1) Ingresa al link “Línea de Espera” lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio.

En un supermercado local, con sólo una caja de salida. Suponga que los compradores llegan al carril de salida de acuerdo con una distribución de probabilidad Poisson, con una tasa media de llegadas de 15 clientes por hora. Los tiempos de servicios de caja siguen una distribución de probabilidad exponencial, con una tasa media de servicio de 30 clientes por hora.

a) Calcule las características de operación de esta línea de espera.

b) Si la meta de servicio del administrador es limitar el tiempo de espera antes de iniciarse el proceso de cobrar a no más de 5 minutos, ¿qué recomendaciones haría usted en relación con el sistema de caja actual?

2) Ingresa al link “Línea de Espera 2” lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio.

La compañía Toyota ha decidido contratar un nuevo mecánico para manejar todos los cambios de llantas de clientes que ordenan juegos nuevos de llantas. Dos mecánicos han solicitado trabajo. Uno de ellos tiene poca experiencia, puede contratarse por 14 dólares la hora y darle servicio a un promedio de 3 clientes en ese lapso. El otro tiene varios años de experiencia, puede dar servicio a un promedio de 4 clientes por hora, pero se le tendría que pagar 20 dólares la hora. Suponga que los clientes llegan



TEORÍA DE COLAS

http://www.angelfire.com/planet/recursamiento_invo2/clase22.pdf



TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA:

http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/garduno_a_f/capitulo2.pdf



LÍNEAS DE ESPERA: TEORÍA DE COLAS:

http://oromeroio.blogcindario.com/ficheros/Lineasdeespera.pdf

(29)

Autoevaluaciones

1) En el modelo de líneas de espera con tiempos de servicio constante se considera la desviación estándar:

a.





1

b.





1

c.





0

d.





0

e.





0

2) Los tiempos de servicio en una línea de espera de un solo canal tiene distribución: a. Exponencial. b. Poison. c. Normal. d. Uniforme. e. Binomial.

3) Los modelos de líneas de espera estudian: a. Las unidades en almacén.

b. Los clientes en cola.

c. Los proyectos en una empresa.

d. Las características de un proyecto para tomar decisiones.

e. Los costos en inventario.

4) Para hallar el costo total de un análisis de sistema de líneas de espera se usa una de las características lo cual es:

a. El tiempo promedio en cola.

b. El tiempo promedio en el sistema.

c. El número promedio de clientes en cola .

d. El número promedio de clientes en el sistema.

(30)

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5) Investigó las características de las líneas de espera: a. Platón.

b. Erlang.

c. Arquímedes.

d. Poisson.

e. Newton.

6) Las características de operación de un modelo de línea de espera de un solo canal se puede usar si:

a.

 

 b.

 

 c.

 



d.



1

e.





1

7) Debido a un reciente incremento en el negocio una secretaria de una cierta empresa tiene que mecanografiar 20 cartas por día en promedio (asuma una distribución de Poisson). A ella le toma aproximadamente 20 minutos mecanografiar cada carta (asuma una distribución exponencial).Suponiendo que la secretaria trabaja ocho horas diarias. Calcular el número promedio de cartas que están esperando en cola.

a. 1.

b. 4.17.

c. 2.

d. 3.4.

e. 5.2.

8) Sam el veterinario maneja una clínica de vacunación antirrábica para perros, en la preparatoria local. Sam puede vacunar un perro cada tres minutos. Se estima que los perros llegarán en forma independiente y aleatoriamente en el transcurso del día, en un rango de un perro cada seis minutos, de acuerdo con la distribución de Poisson. También suponga que los tiempos de vacunación de Sam están distribuidos exponencialmente. Determinar la probabilidad de que Sam este ocioso.

a. 0.99.

b. 0.25.

c. 0.33.

d. 0.5.

e. 0.35.

9) Las llamadas llegan al conmutador de una oficina a una tasa de dos por minuto, él tiempo promedio para manejar cada una de estas es de 20 segundos. Actualmente solo hay un operador del conmutador. Las distribuciones de Poisson y exponencial parecen ser relevantes en esta situación. Calcular el tiempo promedio que debe de esperar una llamada antes de ser tomada por él operador

a. 0.67 seg.

b. 1.25 seg.

c. 3.5 seg.

(31)

Resumen

e. 1.5 seg.

10) Las llegadas en una línea de espera de un solo canal tienen una distribución: a. Exponencial. b. Poisson. c. Normal. d. Uniforme. e. Binomial.

U

N

I

D

A

D

E

A

P

R

E

N

D

I

Z

A

J

E

I

:

Para determinar las características de operación de estado estable para una línea de espera de un solo canal. Las formulas deberán utilizarse sólo si las hipótesis siguientes son razonables. La línea de espera tiene un solo canal. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad Poisson. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial. La disciplina en la cola es primera llegada, primer servicio. Después de revisar las características de operación obtenidas con el modelo de la línea de espera, la administración de Burger Dome concluyo que era deseable hacer mejoras diseñadas para reducir los tiempos de espera. Muy a menudo, las mejoras en la operación de la línea de espera se enfocan a maneras de mejorar la tasa de servicio. Generalmente, las mejoras de servicio se hacen mediante lo siguiente: Incrementar la tasa media de servicio



mediante algún cambio creativo en el diseño o utilizando nueva tecnología. Agregar canales de servicio, de manera que se puedan servir más unidades de manera simultánea.

Una línea de espera de canal múltiple está formada de dos o más canales o localizaciones de servicio, que se suponen idénticos en función de su capacidad de servicio. En el sistema de canales múltiples, las unidades de llegada esperan en una sola línea de espera y a continuación pasan al primer canal disponible para ser atendidas. Las formulas que se pueden utilizar para determinar las características de operación en estado estable para una línea de espera de canal múltiple. Estas formulas serán aplicables siempre que la línea de espera tenga dos o mas canales, las llegadas sigan la distribución de probabilidad de Poisson, el tiempo de servicio de cada canal siga una distribución de probabilidad exponencial, la tasa media de servicio



es la misma para cada uno de los canales, las llegadas esperan en una sola línea de espera y entonces pasan al primer canal abierto para su servicio, y la disciplina de la cola es primeras llegadas, primeros servicios.

Volvamos al modelo de línea de espera de un solo canal, en el que las llegadas se describen mediante una distribución de probabilidad Poisson. Sin embargo, ahora supondremos que la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio no es exponencial, por lo que, utilizando la notación de Kendall, el modelo de línea de espera apropiado es M/G/1, donde G indica una distribución de probabilidad general o no especificada.

Deseamos comentar brevemente a un modelo de línea de espera de un solo canal que supone llegadas aleatorias, pero con tiempos de servicio constante. Esta línea de espera

(32)

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controlados por las maquinas son constantes. Esta línea de espera se describe como un modelo M/D/1, refiriéndose la D a tiempos de servicio deterministicos. En el caso del modelo M/D/1, puede determinarse el número promedio de unidades en la línea de espera,

L

_q, utilizando la ecuación (1.23) , con la condición de que la desviación estándar del tiempo constante de servicio sea





0

, por lo que la expresión para el numero promedio de unidades de la línea de espera M/D/1 se convierta en 2

( / ) 2(1 / ) q L      

(33)

Introducción

a) Presentación y contextualización

En esta sección veremos modelos de inventarios de elementos que tienen una demanda independiente. Esto es, la demanda del elemento no depende de la demanda de otros productos o elementos. Muy frecuentemente, la demanda independiente se genera por los clientes al colocar pedidos de productos terminados. La demanda dependiente está caracterizada por ser una demanda de elementos, como componentes y subensambles, directamente relacionada con la demanda de otros elementos producidos por la firma.

b) Competencia

Aprende la correcta toma de decisiones teniendo en cuenta los modelos de inventarios.

c) Capacidades

1. Identifica el modelo de la cantidad económica a pedir.

2. Reconoce las características del modelo de tamaño de lote de producción para la toma de decisiones.

3. Comprende el modelo de inventario con escasez planeada y analiza sus características.

4. Determina la correcta planeación de los descuentos por cantidad para el modelo EOQ.

d) Actitudes

 Valora los modelos de inventario para la toma de decisiones.

 Toma una actitud positiva con respecto a la economía de producción.

 Tiene iniciativa para poder investigar temas relacionados al modelo EOQ.

(34)

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La Unidad de Aprendizaje 02: Modelo de Inventario, comprende el desarrollo

de los siguientes temas:

TEMA 01: Modelo de cantidad económica a pedir.

TEMA 02: Modelo de tamaño de lote económico de producción. TEMA 03: Modelo de inventario con escasez planeada.

TEMA 04: Descuento por cantidad para el modelo EOQ.

TEMA 1

Identificar el modelo de la cantidad

económica a pedir.

Competencia:

a

Económico

Pedir

de

Cantidad

Modelo

(35)

Desarrollo de los Temas

Tema 01: Modelo de Cantidad Económico a Pedir

Un problema de inventario existe cuando es necesario guardar bienes físicos o mercancías con el propósito de satisfacer la demanda sobre un horizonte de tiempo especificado (finito o infinito). Casi cada empresa debe almacenar bienes para asegurar un trabajo uniforme y eficiente en sus operaciones. Las decisiones considerando cuándo hacer pedidos y en qué cantidad, son típicas de cada problema de inventario. La demanda requerida puede satisfacerse almacenando una vez según todo el horizonte de tiempo o almacenando separadamente cada unidad de tiempo durante el horizonte. Los dos casos que pueden considerarse son sobre-almacenamiento (con respecto a una unidad de tiempo) o sub-almacenamiento (con respecto al horizonte completo).

Un sobre-almacenamiento requeriría un capital invertido superior por unidad de tiempo pero menos ocurrencias frecuentes de escasez y de colocación de pedidos. Un sub-almacenamiento por otra parte disminuiría el capital invertido por unidad de tiempo pero aumentaría la frecuencia de los pedidos así como el tiempo de estar sin mercancía. Los dos extremos son costosos. Las decisiones considerando la cantidad ordenada y el tiempo en el cual se ordena pueden, por consiguiente, estar basadas sobre la minimización de una función de costo apropiada la cual balancea los costos totales resultantes de sobre-almacenamiento y sub-almacenamiento.

Antes de comentar acerca de los sistemas de inventarios se presentan primero características básicas de un sistema de inventarios:

(36)

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Parámetros económicos:

estos parámetros incluyen los tipos siguientes:

a.

Costo fijo.

Esto implica el costo fijo asociado a la colocación de un pedido o con la preparación inicial de una instalación de producción. El costo fijo usualmente se supone independiente de la cantidad ordenada o producida.

b.

Precios de compra o costo de producción.

Este parámetro de especial

interés cuando pueden obtenerse descuentos por mayoreo o rebajas en precio o cuando grandes corridas de producción pueden dar como resultado una disminución en el costo de la misma. En estas condiciones la cantidad ordenada debe ajustarse para aprovechar de estos cambios en el precio.

c.

Precio de venta.

En algunas situaciones de inventarío la demanda puede ser afectada por la cantidad almacenada. En tales casos el modelo de decisión está basado en un criterio de maximización de beneficios el cual comprende el ingreso de venta de la mercancía. El precio de venta unitario puede ser constante o variable dependiendo, por ejemplo, de si se permite un descuento o no en la cantidad.

d.

Costo de mantenimiento del inventario.

Esto representa el costo de tener

el inventario en el almacén. Incluye el interés sobre capital invertido, costos de almacenamiento, costos de manejo, costos de depreciación, etc. Los costos de llevar el inventario usualmente se supone que varían directamente con el nivel de inventario, así como con el tiempo que el artículo se tiene en almacén.

LA DEMANDA

El modelo de demanda de una mercancía puede ser determinista o probabilista. En el caso del determinista se supone que se conocen con certeza las cantidades necesarias sobre períodos subsecuentes. Esto puede expresarse según períodos iguales en términos de demandas constantes conocidas, o en función de demandas variables conocidas. Los dos casos se denominan demandas estática y dinámica, respectivamente:

La demanda probabilísticas ocurre cuando los requisitos durante un cierto período no se conocen con certeza si no que su modelo puede describirse por una distribución

(37)

conocida de probabilidad. En este caso, se dice que la distribución de probabilidad es estacionaria o no estacionaria en el tiempo. (Estos términos son equivalentes a demandas estática y dinámica en el caso determinista).

La demanda para un período dado puede satisfacerse instantáneamente al inicio del período o uniformemente durante dicho lapso. El efecto de demandas instantáneas y uniformes deberá reflejarse directamente en el costo total de llevar el inventario.

Ciclo para ordenar.

Consiste en la medida de tiempo de la situación de inventario. Un ciclo de órdenes o pedidos puede identificarse por el período entre dos órdenes sucesivas. Lo último puede iniciarse en una de dos formas:

a. Revisión continua donde un registro del nivel de inventario se actual9iza

continuamente hasta que se alcanza un cierto límite inferior, en cuyo punto se coloca un nuevo pedido. Esto se conoce algunas veces como el sistema de "dos depósitos".

b. Revisión periódica donde los pedidos se hacen usualmente

a intervalos igualmente espaciados.

 Demoras en la entrega:

Cuando se coloca un pedido,

puede entregarse inmediatamente o puede requerir algún tiempo antes de que la entrega se efectúe. El tiempo entre la colocación de un pedido y su surtido se conoce como demora en la entrega. En general, las holguras de entrega pueden ser deterministas o probabilista.

 Reabasto del almacén:

aunque un sistema de inventario puede operar con

demora en las entregas, el abastecimiento real del almacén puede ser instantáneo o uniforme. El instantáneo ocurre cuando el almacén compra de fuentes externas. El uniforme puede ocurrir cuando el producto se fabrica localmente dentro de la

(38)

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organización. En general, un sistema puede operar con demora positiva en la entrega y también con reaprovisionamiento de almacén.

 Horizonte de Tiempo:

el horizonte define el período sobre el cual el nivel de

inventarios estará controlado. Este horizonte puede ser finito o infinito, dependiendo de la naturaleza o la demanda.

 Abastecimiento múltiple:

Un sistema de inventario puede tener puede tener varios puntos de almacenamiento (en lugar de uno). En algunos casos estos puntos de almacenamiento están organizados de tal manera que un punto actúa como una fuente de abastecimiento para algunos otros puntos. Este tipo de operación puede repetirse a diferentes niveles de tal manera que un punto de demanda pueda llegar a ser un nuevo punto de abastecimiento. La situación usualmente se denomina sistema de abastecimiento múltiple.

 Número de artículos:

Un sistema de inventarios puede comprender más de

un artículo (mercancías). Este caso es de interés, principalmente si existe una clase de interacción entre los diferentes artículos. Por ejemplo, estos pueden competir en espacio o capital total limitados.

MODELO DE LA CANTIDAD ECONOMICA A PEDIR (EOQ)

El modelo de la cantidad económica a pedir (EOQ, por sus siglas en ingles) es aplicable cuando la demanda de un elemento tiene una tasa constante o prácticamente constante, o cuando la totalidad de la cantidad pedida llega al inventario en un momento en el tiempo. La hipótesis de la tasa de demanda constante significa que en cada periodo de tiempo se extrae del inventario un mismo número de unidades, por ejemplo, 5 unidades todos los días, 25 unidades todas las semanas, 100 unidades en cada periodo de 4 semanas, y así sucesivamente.

Supongamos que:

I = tasa del costo de posesión anual.

C = Costo unitario de un elemento del inventario.

h

C

= costo anual de posesión de una unidad en inventario.

(39)

La ecuación general para el costo anual de posesión para el inventario promedio de 1/2Q unidades es como sigue:

1

2 h

Nivel Costo anual Costo anual

promedio del de posesión de posesión

inventario por unidad QC     _{ } _ _   _{ } _ _   _ _ _ 

Para completar el modelo de costo total debemos incluir el costo anual de pedir.

D es la demanda anual para el producto. Sabemos que pidiendo Q unidades cada vez que ordenamos, tendremos que colocar D/Q pedidos al año. Si

C

₀ es el costo de colocar un pedido, la ecuación general para el costo anual de pedir es como sigue:

0

Costo anual

Número de

Costo por

de pedir

pedidos por año

pedido

D

C

Q



 









 







 





 

  

 

Por lo que el costo anual total, representado por CT, se puede expresar como sigue:

0

1

2

h

Costo

anual

anual de

total

posesión

pedir

D

CT

QC

C

Q



 





 

_

 

_





 





 





 







La cantidad a pedir con mínimo costo total queda identificada con un tamaño de

pedido Q*. Utilizando calculo diferencial, puede demostrarse que el valor Q* queda minimiza el costo anual de pedir está dado por la formula:

0

2 *

h

DC

Q

C



La decisión de cuándo pedir se expresa en función de un punto de reorden: la posición del inventario en la que debe colocarse un nuevo pedido.

(40)

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La expresión general del punto de reorden es como sigue:

r



dm

Donde:

r = punto de reorden d = demanda por día

m = tiempo de entrega para un pedido nuevo en días.

Tiempo del ciclo: T 250 *Q D



TEMA 2

Reconocer las características del modelo de

tamaño de lote de producción para la toma

de decisiones.

Competencia:

de

Lote

Económico

de

Tamaño

Modelo

de

Producción

(41)

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Tema 02: Modelo de Tamaño de Lote

Económico de Producción

Lote Económico de Producción (conocido en inglés como Economic Production Quantity o por sus siglas EPQ) es un modelo matemático para control de inventarios que extiende el modelo de Cantidad Económica de Pedido a una tasa finita de producción. Así, en este modelo la recepción de pedidos de inventario y la producción y venta de productos finales ocurrirán de forma

simultánea, lo que lo diferencia del modelo de cantidad económica de pedido. Su finalidad es encontrar el lote de producción de un único producto para el cual los costos por emitir la orden de producción y los costos por mantenerlo en inventario

se igualan. El modelo fue formulado inicialmente por E. W. Taft en 1918.

VENTAJAS E INCONVENIENTES

A diferencia del modelo de cantidad económica de pedido, este modelo es menos estático que el anterior, adaptándose más a la realidad. Al considerar que el reabastecimiento de inventario no se produce instantáneamente y que el inventario se construye progresivamente a medida que se produce y se vende, el modelo logra recoger situaciones del mundo real. Así mismo, la consideración de tasas de producción y demandas diarias permite ajustar más eficazmente el modelo a la realidad, obteniendo cantidades por pedido óptimas que lograrán minimizar costes totales teniendo en cuenta costes de mantenimiento de inventario más realistas.

(42)

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Por otro lado, el modelo, aunque más dinámico que el de cantidad económica de pedido, sigue presentando diversas limitaciones derivadas de sus supuestos. Así, la demanda será nuevamente constante, fenómeno que no ocurrirá en el mundo real donde encontraremos demandas variables que podrán presentar estacionalidad o irregularidad derivada de pocos y periódicos compradores de grandes volúmenes, etc. Suponiendo que la demanda permanecerá constante a lo largo del año y tomando decisiones sobre la cantidad por pedido basándonos en ello estamos expuestos al riesgo de cambios en la demanda que anulen la validez de nuestras predicciones. No sólo a nivel anual, la demanda también podrá estar expuesta a variaciones durante el leadtime que podrán conducir a stockouts, lo que supondrá el fracaso de nuestra política de gestión de inventarios. En este último caso, tendremos que recurrir al uso de modelos probabilísticos para la estimación de niveles de demanda, costes de stockout, etc.

Por último, poniendo en comparación el modelo de lote económico de producción con el modelo de cantidad económica de pedido, observamos que el primero presenta una reducción en costes totales de mantener inventario

respecto al segundo. Así, el hecho de que en el modelo que hemos analizado en este artículo el nivel medio anual de inventario sea menor que en el modelo de cantidad económica de pedido debido a la producción y simultánea venta, hace que los costes totales de mantener inventario sean menores.

Para este modelo Supongamos que:

d = tasa diaria de demanda del producto p = tasa diaria de producción del producto t = número de días de una corrida de producción

Entonces:Nivel máximo de inventarios = p-d t

 

Si sabemos que estamos produciendo un tamaño del lote de producción de Q unidades a una tasa diaria de producción de p unidades, entonces Q pt, y la duración

(43)

Q

t

días

p



Por lo que:

d

Nivel máximo de inventarios =

1-p

Q













El nivel promedio del inventario, que es la mitad del nivel máximo de inventarios, está dado por:

1 Nivel máximo del inventario =

1

2 d

Q

p



_











Con un costo de posesión anual por unidad de

C

_h, la ecuación general para el costo de posesión anual es:

1

2

h

Nivel

Costo

Costo anual

promedio del

anual por

de posesión

inventario

unidad

d

QC

p









_{ }

_

_





_{ }

_

_



_{ }

_



_



_







_



_





Si D es la demanda anual del producto y

C

₀es el costo de preparación de una corrida de producción, entonces el costo anual de preparación, que sustituye el costo anual