CINEMÁTICA DE MECANISMOS

Ejercicios resueltos de autoevaluación

Itziar Martija López

Maider Loizaga Garmendia

Departamento de Ingeniería Mecánica

Mekanika Ingeniaritza Saila

ÍNDICE

1.

Ejercicio 1

2.

Ejercicio 2

3.

Ejercicio 3

Ejercicio 1

En el mecanismo de la figura y para la posición

indicada realiza un análisis estructural, indicando

tipos de elementos, pares, y calcula los grados

de libertad.

El mecanismo está accionado por la barra 2,

que gira con velocidad angular constante, y

en el punto B hay rodadura pura

Se pide obtener:

o Los polos de todos los elementos respecto al

fijo

o Las velocidades de todos los puntos y

elementos indicados, empleando los CIR.

A B C D E O 2 3 4 5 6 s rad k / 5 , 0 2   = ω OA=7m

Ejercicio 1: tipos de elementos

A B C D E O 2 3 4 5 6

Elto.

Nº pares

Movimiento

1

Ternario (Unido a 2, 4 y 6) Elemento fijo

2

Binario (1 y 3)

Manivela

3

Ternario (2, 4 y 5)

Biela

4

Binario (1 y 3)

Manivela ( o balancín)

5

Binario (3 y 6)

Biela

Ejercicio 1: tipos de pares

A B C D E O 2 3 4 5 6

Par Nº elementos

Clase

Movimiento

O

Binario (Une a 1 y 2)

I

Rotación

A

Binario (2 y 3)

I

Rotación

B

Binario (3 y 4)

II

Leva

C

Binario (1 y 4)

I

Rotación

D

Binario (3 y 5)

I

Rotación

E

Binario(5 y 6)

I

Prismático

E

Binario (1 y 6)

I

Rotación

Ejercicio 1: Grados de libertad

A B C D E O 2 3 4 5 6

Para determinar el número de grados de libertad

aplicaremos el criterio de Grübler:

o

Elementos N=6

o

Pares P

_I

=6



Pares de rotación: 2 (en O); 2-3 (en A);

1-4 (en C); 3-5 (en D); y 1-6 (en E) .



Pares prismáticos: 5-6 (en E)

o

Pares P

_II

=1



Pares de leva: 3-4 (en B);



Dos condiciones de rodadura pura

(restringido el deslizamiento)

G=3(N-1)-2*P

_I

-P

_II

-1rod=3*5-2*6-1-1=

=15-12-1-1=1 gdl

Ejercicio 1: Cálculo de los polos

2 3 4 5 6

Localizamos los polos primarios:

Los pares de rotación:

 P12 (O); P23 (A); P14 (C); P35 (D); P16(E);

Los puntos del infinito en los pares prismáticos:

 P

∞

₅₆

Los pares de leva, por haber rodadura pura :

 P34 (B)

∞ 56 P 12 P    P34 P14, P23 P12, P13    P56 P16, P35 P13, P15 1 2 3 4 5 6 23 P 14 P P34 35 P 16 P

P

₁₃

P

₁₅

Ejercicio 1: Cálculo de velocidades

2 3 4 5 6 34 P

P

₁₃

P

₁₅ A _B C D E O 6 5 6 5

=

ω

;

v

E

≠

v

E

ω

2

ω

s rad k / 5 , 0 2   = ω OA=7m

s

rad

k

s

rad

A

P

v

s

m

OA

v

A A

/

52

,

0

;

/

52

,

0

75

,

6

5

,

3

/

5

,

3

7

5

,

0

3 13 3 2





₌

₋

=

=

=

=

⋅

=

⋅

=

ω

ω

ω

s

rad

k

s

rad

CB

v

v

v

s

m

B

P

v

B B B B

/

3

,

2

;

/

3

,

2

45

,

1

32

,

3

/

32

,

3

4

,

6

52

,

0

4 4 4 4 3 13 3 3





₌

₋

=

=

=

=

=

⋅

=

⋅

=

ω

ω

ω

s

m

E

P

v

s

rad

k

s

rad

D

P

v

s

m

D

P

v

E D D

/

5

,

4

2

,

5

86

,

0

/

86

.

0

;

/

86

,

0

4

,

6

54

,

5

/

54

,

5

7

,

10

52

,

0

15 5 5 6 5 15 5 13 3

=

⋅

=

⋅

=

=

=

=

=

=

=

⋅

=

⋅

=

ω

ω

ω

ω

ω







A v

3

ω

vB D v

5

ω

6

ω

vE5 4

ω

Ejercicio 2

En el mecanismo de la figura, en el punto F

hay rodadura pura. Explicando en qué

construcción o teorema te basas, se pide

obtener para la barra AB:

o El polo, la velocidad de A y la velocidad de

B.

o El centro de curvatura de la trayectoria de

B y la tangente polar

o La velocidad de sucesión, las

circunferencias de inflexiones y de Bresse,

y el polo de aceleraciones.

o Obtener las aceleraciones de los puntos A, B

y F. A R 2R ω₄=1 rad/s α4= 0 x y B F O 2 3 4 R

Ejercicio 2 : obtención del polo P, de v

_A

y de v

_B

•Sabiendo que el punto A describe una trayectoria

circular de centro conocido, conocemos el centro de curvatura de su trayectoria OA, y la normal del punto,

n_A.

•El centro de curvatura de la trayectoria de B es O, ya que B pertenece a la barra 2 y O es un punto fijo. Así tenemos la normal en B, n_B.

•En la intersección de n_A y n_B se encuentra el CIR (P) de la biela AB del mecanismo.

ω 4 =1 rad/s α 4 = 0 x y B F 2 3 4

P

A

s

rad

k

s

rad

R

R

s

m

R

R

R

v

_A

/

,

;

/

,

/





5

0

5

0

2

1

3 3 4

=

=

=

=

⋅

=

⋅

=

ω

ω

ω

O

_A

n

_B

n

_A

O

_B

s

rad

k

s

rad

R

R

s

m

R

R

PB

v

_B

/

;

/

/

,





12

2

12

2

2

2

3

3

3

2

5

0

4 4 3

−

=

=

=

=

⋅

=

⋅

=

ω

ω

ω

v

_A

v

_B

Ejercicio 2 : obtención de la tangente polar

•Mediante la construcción gráfica basada en el teorema

de Hartmann obtenemos el punto Q_AB, que unido a P nos proporciona el eje de colineación.

•Basándonos en el teorema de Bobillier obtenemos la tangente polar. ω 4 =1 rad/s α 4 = 0 x y B F 2 3 4

P

A OA n_B n_A

O

_B

v

_A

v

_B Q_AB EjeCol_AB α tP α

Ejercicio 2 : obtención de las circunferencias

•Mediante la construcción gráfica basada en la fórmula

de Euler-Savary obtenemos W_A y W_B, puntos de la circunferencia de inflexiones.

•Con P, WA y WB dibujamos la circunferencia de

inflexiones

•Sabiendo que ω₄ es constante y, por tanto, que A es un punto de la circunferencia de Bresse, que P pertenece a dicha circunferencia y que su centro está en la

tangente polar, podemos dibujar la circunferencia.

•En la intersección de ambas circunferencias se encuentra el Polo de Aceleraciones (Q).

ω 4 =1 rad/s α 4 = 0 x y B F 2 4

P

A O_A nB nA

O

_B

v

_A

v

_B QAB EjeCol_AB tP W_B W_A Circunferencia de inflexiones Circunferencia de Breese

Q

Ejercicio 2 :

obtención de la velocidad de sucesión

•Por el teorema de Hartmann sabemos que el extremo de la velocidad de A, el centro de curvatura de la

trayectoria de A y el extremo de la componente paralela a la velocidad de A de la velocidad de sucesión, están alineados.

•Así hallamos

•Desproyectando esta componente sobre la tangente polar, hallamos la velocidad de sucesión

ω 4 =1 rad/s α 4 = 0 B F 4

P

A O_A nB nA

O

_B

v

_A

v

_B EjeCol_AB tP W_B W_A Circunferencia de inflexiones Circunferencia de Breese

Q

U’

_A

U

A

u'

u

Ejercicio 2 : obtención de las aceleraciones

•El punto A describe una trayectoria circular con

velocidad angular constante por pertenecer al rodillo 4.

ω 4 =1 rad/s α 4 = 0 B F 2 3 4 A 2 0 // ? ? / 2 4 s m R a T A N A A A AF R AF

a

a

a

= + = ⊥ ω

O

_A

n

_B

n

_A

O

v

_A

v

_B 2 2 2 2 ? // ? // ? ? / 5 , 0 2 5 , 0 / 47 , 0 3 2 2 2 12 2 2 3 2 2 s m R R a s m R R R a T BA N BA N A T B N B B N BA N B AB AB AB M D OB R OB

a

a

a

a

a

a

= = = =       = + + = + = ⊥ ⊥ ω ω A

a

a

B A

a

N B

a

AB ⊥ OB ⊥ N BA

a

T BA

a

T B

a

⊗ = ⊗ = OB a AB aT_{BA B}T 2 3 ;α α T N N F

a

a

a

a

AF M 0 ? 42 + + == ω A

a

N FA

a

F

a

a

_B

a

_A

a

_F4

Ejercicio 3

3 4 A D E 2 6 5 C O B

o

En el mecanismo de la figura calcula los grados de libertad.

o

Calcula las velocidades y aceleraciones de los puntos A, C, D y E, así como las

velocidades y aceleraciones angulares de los elementos, sabiendo que hay rodadura

pura en el contacto entre el rodillo 5 y la barra 6, en el punto E.

2

ω



α

2

Ejercicio 3: Grados de libertad

3 4 A D E 2 6 5 C O B

o

Grados de libertad: G=3(N-1)-2P

_I

-P

_II

= 3(6-1)-2.6-1-1(rod)=15-12-1-1=1 grado de libertad

o N=6

o P_I=5r+1p=6. Pares r: O, A (3-4), B, C, D; par p: A (2-3) o P_II=1 en E; y 1 condición de rodadura pura

2

ω



α

2

o En A tenemos A₃ y A₄ con la misma velocidad

y aceleración, A2 tendrá diferente velocidad y

diferente aceleración que A₃ y A₄ . Las barras 2 y 3 giran con las mismas velocidad y

aceleración angulares. ω₂₌ ω₃, α₂₌ α_3.

o Para analizar el movimiento del casquillo 3

utilizaremos un sistema de referencia con el origen en O y girando con 2 : SR_O (ω₂, α₂). Con él planteamos el movimiento de A4.

o Para el análisis de la barra 6 emplearemos

SR_D (ω₆, α₆) y plantearemos el movimiento

Ejercicio 3: velocidades

3 4 A D E 2 6 5 C O B

2

ω



α

2

; 2 2 A

v

OA OA ω ⊥ SRO (ω2, α2) • = + = = ⊥ AB v r A A A A OA M D AB

v

v

v

v

3 4 ? // ? 2 2 3 4

ω

VA2 //OA AB ⊥ V2 r VA3=VA4 VA2 VA3=VA4 V2 r D

v

OD OD 2 ω ⊥ V_D 4

ω



• = + + = ⊥ ⊥ DC v r D C D C D C DE DC M D BC BC

v

v

v

v

6 6 ? // ? 6 6 4 ω ω VC VC SRD (ω6, α6) VD VC6D V6 r V6 r 6

ω



D E D E

v

v

v

DE DE M D 5 5 2 6 ? ? ω ⊥ + = _V D VE5D VE5 =VE6 V_E5 =V_E6 6 5 E E

v

v

=

Rodadura pura M M ? +

=

DC ⊥ //ED V_C VEC VEC 5

ω



Ejercicio 3: aceleraciones

3 4 A D E 2 6 5 C O _B

2

ω



α

2

T D N D D T A N A A

a

a

a

a

a

a

OD OD OD OD OA OA OA OA 2 2 2 2 2 2 // ? ? // ? ? ; 2 2 2 α ω α ω ⊥ ⊥ + = + = SRO (ω2, α2)

⊗

=

+

+

=

+

=

=

× ⊥ ⊥

AB

a

cor

r

A

T

A

N

A

A

A

T A v OA OA M D AB AB AB

a

a

a

a

a

a

a

r 3 4 2 ? // ? // 2 2 2 4

2

2

3

3

3

4

α

ω ω aT A2 4

α

aN A2 aA2 a_A2 aD aT D aN D aD aA2 aN A3 aT A3 a2 r a2 r aA3 aA3

Ejercicio 3: aceleraciones

3 4 A D E 2 6 5 C O _B

2

ω



α

2

T

C

N

C

C

a

a

a

BC BA BC BA 4 2 4 // ? ? α ω ⊥

+

=

4

α

V6 r aA2 aD aN C aT C a 2 r aC aA4=aA3 • = + + + + = × ⊥ DC a cor r T D C N D C D C T D C v CE DE DC CD DC M D M D

a

a

a

a

a

a

r 6 6 2 // ? // ? // 6 6 2 6 6 6 6

α

ω ω SRD (ω6, α6) aC a_C aD aN C6D acor DC ⊥ //ED a6 r _aT C6D 6

α

Ejercicio 3: aceleraciones

3 4 A D E 2 6 5 C O _B

2

ω



α

2

4

α

V6 r aA2 aD a2 r aA4=aA3

( ) ( )

DE E DE E a a 6 // // 5 = aC aC a_D //ED aN EC 6

α

Rodadura pura T EC N EC C E T ED N ED D E

a

a

a

a

a

a

a

a

DC CE DC M D M D ED DC ED DC M D M D ? // // 2 6 6 2 6 5 6 ⊥ ⊥ + + = + + = ω α ω aT ED a N ED

a

_E6 aT EC

a

_E5

a

_E5

a

_E6 • = EC aT_EC 5

α

5

α