Libro de Ingeco

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CAPÍTULO 1

EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

1.1 EL CONCEPTO DEL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Se define como la capacidad o poder que tiene el dinero para generar más dinero en el transcurso del tiempo y con cierta tasa de interés (tasa de rentabilidad), siempre bajo el supuesto que el agente económico intenta tomar decisiones racionales: incrementar sus ganancias y reducir sus costos.

Analice lo siguiente, si a usted le ofrecen S/. 1 000 el día de hoy y el mismo monto dentro de un año, ¿cuál sería su elección ahora? Lo más racional en este caso es recibir los S/. 1 000 el día de hoy (piense por qué y debe convencerse de esto). Si bien los S/. 1 000 hoy y dentro de un año es la misma cifra (y si usted desea hasta los mismo billetes), definitivamente no tienen el mismo valor económico, ¿por qué?, basta con explorar su entorno y verá que los bancos y otras instituciones de ahorro ofrecen el pago de intereses por el dinero depositado. Quizá usted esté dispuesto a renunciar a esos S/. 1 000 el día de hoy con la esperanza de obtener dentro de un año los mismos S/. 1 000 más un monto adicional que son los intereses. Si por ejemplo la tasa de interés es 5% anual entonces el importe adicional serán S/. 50 sumando un total de S/. 1 050. Si usted acepta o no esta oferta del pago diferido de S/. 1 050 dentro de un año en vez de recibir los S/. 1 000 el día de hoy depende de varios aspectos, entre otras de cuál es su expectativa de rentabilidad anual, la cual mide en términos porcentuales cuánto desea ganar con su dinero.

Finalmente, a menudo se afirma que la inflación es la variable que provoca la capacidad del dinero de generar más dinero, sin embargo, si bien la inflación podría ser un incentivo para que usted busque alternativas que lo protejan del efecto de la pérdida de poder adquisitivo por efecto de la subida de los precios de los bienes y servicios, no es esta variable la que genera esa capacidad al dinero sino la posibilidad de invertirlo en alternativas que están disponibles ya sea que haya inflación o deflación en la economía.

Esto nos ayuda a comprender el valor del dinero en el tiempo y a resaltar lo siguiente:

“Cantidades de dinero en distintos puntos del tiempo pueden tener diferente valor económico, por tanto, no es adecuado efectuar sumas o restas de flujos de efectivo ubicados en diferentes momentos del tiempo para efectuar evaluaciones económicas”

1.2 DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA

Un diagrama de flujo de caja es una técnica descriptiva que permite representar los flujos de efectivo, ya sean entradas o salidas de efectivo, que se originan en cualquier instante del tiempo.

Para su representación considere lo siguiente:

1 La escala del tiempo se representa con una línea horizontal y el avance del tiempo es de izquierda a derecha.

2 El período de tiempo t corresponde al inicio del período t -1 y t es el final de este período.

3 Representación y dirección de los flujos: las flechas representan los flujos, así por ejemplo, las entradas de efectivo tales como ventas efectuadas al contado y otros ingresos en efectivo recibidos se representan con una flecha hacia arriba lo que indica un flujo de caja positivo. Las salidas de efectivo tales como pagos de cuotas bancarias, Publicación para el 2011-1

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remuneraciones o pago de deudas a proveedores, entre otros, se representan con una flecha hacia abajo lo que indica un flujo de caja negativo.

4 El criterio del final del período: debido a que una entrada o salida de efectivo puede ocurrir en cualquier punto dentro de un período de tiempo, la convención asume que ocurren al final de cada período.

5 Las entradas y salidas de dinero pueden expresarse en forma bruta (entrada y salida) o en forma neta (entrada-salida).

6 Los diagramas de flujos de caja pueden referirse al punto de vista del prestamista o del prestatario, según las características del problema.

Ejemplo 1

Elabore un diagrama de flujo de caja desde el punto de vista de una empresa cuya cuenta corriente muestra los siguientes movimientos:

Durante el sexto mes se recibe un ingreso por ventas de S/. 4 500. El pago de mano de obra del segundo mes equivale a S/. 15 500. El pago del alquiler del cuarto mes es S/. 1 700 por mes adelantado. El segundo mes se efectúa una cobranza por S/. 3 500.

Ejemplo 2

La entidad A presta al señor B un monto de S/. 1 000 a una tasa de interés de 8% mensual y con plazo de pago a 30 días. Elabore el flujo de caja desde el punto de vista de la entidad A y B.

1.3 INTERÉS

Al vincular los montos presentes y futuros podemos observar de la expresión Fn = P + In que

la cantidad In, que es el interés, es el incremento del valor inicial P a lo largo de n períodos y que al final de este se ha transformado en un valor Fn, esto se puede interpretar así, el

interés es la retribución monetaria adicional que se le hace al prestamista del capital por usar su dinero durante un período de tiempo determinado.

De la ecuación Fn = P + In es sencillo notar que el interés también es la diferencia entre el

capital final y el capital inicial que lo produjo: In = Fn - P.

Se indicó que el monto inicial P se transforma durante n períodos en un monto Fn, la tasa de

cambio a lo largo de un período es la tasa de interés que se calcula fácilmente expresando el importe del interés como un porcentaje del capital inicial:

i% = In / P

i% = (Fn - P) / P

Donde:

P: es el capital inicial.

In: es el capital final luego de n períodos.

i%: es la tasa de interés en el período [0 , n].

En este curso de ingeniería económica se usará los siguientes términos:

• Tasa de costo efectivo (costo financiero): es la tasa de interés cuando se solicita un financiamiento y expresa en términos porcentuales el costo del financiamiento.

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a. El interés simple

Una operación financiera se pacta a interés simple cuando el interés generado por un capital en un determinado período se calcula como un porcentaje siempre del mismo capital inicial al margen de la cantidad de períodos que el capital permanezca prestado o invertido. En este tipo de interés, como el capital es el mismo para el cálculo del importe del interés en cada período, el importe total de los intereses es proporcional a la cantidad de períodos de tiempo durante el cual ha estado prestado el capital inicial.

Fórmula para el interés simple:

Para deducir una fórmula que calcule el interés simple, sea un préstamo de S/. 1 000 con tasa de interés simple del 4% mensual.

Por concepto de interés simple se calculan los intereses “siempre sobre el capital inicial y proporcional a la cantidad de períodos de tiempo”.

Al final del primer mes, el interés generado por el capital inicial será:

Interés = 1000 * 4% * 1 = 40

Al final del segundo mes, el interés generado por el capital inicial será: Interés = 1000 * 4% * 2 = 80

Al final del tercer mes, el interés generado por el capital inicial será:

Interés = 1000 * 4% * 3 = 120

Al final del n-ésimo mes, el interés generado por el capital inicial será: Interés = 1000 * 4% * n

Generalizando:

In = P*i*n

El capital final obtenido en el período n es la suma del capital inicial más los intereses: Fn = P + In ; pero In = P*i*n, reemplazando tenemos:

Fn = P + P*i*n ; luego factorizando P:

Fn = P(1 + i*n)

Donde:

P: monto del préstamo, principal, capital inicial, valor monetario hoy (t=0). i%: tasa de interés simple por período.

n: cantidad de períodos.

Importante: para aplicar las fórmulas anteriores es necesario respetar la correspondencia de tiempo entre las tasas y los períodos de tiempo, así por ejemplo:

Si “i” es una tasa mensual, entonces, n es la cantidad de meses. Si “i” es una tasa trimestral, entonces, n es la cantidad de trimestres. Si “i” es una tasa anual, entonces, n es la cantidad de años.

Ejemplo 3

¿Cuál es el interés y el capital final obtenido por S/. 100 prestados durante tres meses con una tasa de interés simple de 17% mensual?

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b. El interés compuesto

Una operación financiera se pacta a interés compuesto cuando el interés generado por un capital en un período se capitaliza, es decir, se suma al capital inicial del período, formando un nuevo capital, que será el capital inicial del siguiente período y que en este período generará un nuevo interés. Este proceso se repite sucesivamente durante cada período hasta llegar al plazo pactado.

Capitalización:

Se denomina capitalización al proceso de transformar el interés calculado en cada período en capital al final de cada período de capitalización, en otras palabras:

“El interés generado en un período se suma al capital inicial en dicho período para formar el nuevo capital inicial del siguiente período”

Ejemplo 4

¿Cuál es el interés y el capital final obtenido por S/. 100 prestados durante tres meses con una tasa de interés compuesta de 17% mensual?

De la definición se puede inferir que el interés al final de un determinado período ya no es proporcional a la cantidad de períodos transcurridos, entonces, cómo se calcula este interés en el régimen de interés compuesto.

Fórmula para el interés compuesto:

En general: 0 1 2 3 . . . n Fn P En el primer período [0 , 1]: F = P + intereses F = P + P*t*i t=1 F1 F1 = P(1 + i) 0 1 P

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En el segundo período [1 , 2]: F = P + intereses F = P_t=1 + P_t=1*t*i t=1 F2 = Pt=1(1 + i) F2 = P(1 + i) (1 + i) F₂ = P(1 + i)2 0 1 2 1 2 P F2 F2 Pt=1 = P(1 + i)1 En el tercer período [2 , 3]: F = P + intereses F = P_t=2 + P_t=2*t*i t=1 F3 = Pt=2(1 + i) F₃ = P(1 + i)2 (1 + i) F3 F3 F3 = P(1 + i)3 0 1 2 3 2 3 P Pt=2 = P(1 + i) 2

Al final del n-ésimo período:

Fn = P(1 + i)n

Expresión fundamental

Donde:

P: monto del préstamo, principal, capital inicial, valor monetario hoy (t=0). i%: tasa de interés compuesto por período.

Fn: valor monetario o capital final al final del n-ésimo período.

1.4 EL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA

El concepto de equivalencia en Ingeniería Económica indica que dos montos son equivalentes si al evaluar esos flujos de caja en una fecha común, todos muestran el mismo valor. Es importante resaltar que el cálculo de dicha valor en esa fecha común debe considerar el concepto del valor del dinero en el tiempo. El concepto de equivalencia también se entiende como indiferencia entre un pago futuro o una serie de pagos futuros en vez de una suma de dinero el día de hoy.

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Así por ejemplo:

Si la tasa de interés es 2% mensual y se deposita un capital inicial de S/. 1 000 durante un mes entonces:

Si el monto en F1 es igual a S/. 1020. ¿El capital inicial de S/. 1 000 es equivalente a F1 = S/. 1020?

Para el primer caso: Fn = P(1 + i)n

F1 = 1000(1 + 2%)1 = S/. 1020

Sea la fecha común t=1 vemos que los valores S/. 1 020 ; S/. 1 030 y S/. 1 050 no son iguales, entonces por definición S/. 1 020 es equivalente a S/. 1 000 en t=0 a la tasa de interés de 2% mensual, pero S/. 1 000 no es equivalente a S/. 1 030 en t=1 ni a S/. 1 050 en t=1 a la tasa de interés del 2% mensual.

Ahora usted responda:

¿Los S/. 1 000 a qué tasa de interés será equivalente a S/. 1 030 en t=1? ¿Los S/. 1 000 a qué tasa de interés será equivalente a S/. 1 050 en t=1?

De los ejemplos anteriores se concluye que el monto de dinero M hoy es equivalente a M más intereses, dada cierta tasa de interés en un período de tiempo determinado, es decir, para otros valores de tasa de interés no podemos afirmar que dichos importes sean equivalentes.

En términos prácticos, equivalencia es tener igual valor o comparar en condiciones similares un monto, esto se aplicará definiendo primero un punto del tiempo (fecha de evaluación) y se trasladará los importes de dinero hasta esa fecha usando una tasa de interés, en otras palabras:

“Lo que está arriba es igual a lo que está abajo, comparado en un mismo punto de tiempo”

Ejemplo 5

El día de hoy se otorga un préstamo por un valor de S/. 5 000 a una tasa de interés compuesta del 15% mensual. Las cuotas a desembolsar por el crédito recibido serán tres. El primer pago se realiza en el primer mes por un valor de S/. 1 000. El segundo pago se realiza el segundo mes y el monto es S/. 2 000.

¿Cuál es el valor de la tercera cuota por pagar en el cuarto mes para cancelar el préstamo? Ejemplo 6

Determine el importe de X que usted deberá cobrar en el quinto mes para un préstamo que hizo por un monto de S/. 15 000 si la tasa es 3% compuesta mensual. La primera cuota que se cobrará el primer mes será de S/. 4 800, en el tercer mes S/. 5 100, y S/. 3 000 en el cuarto mes.

El problema lo resolverá de la siguiente manera:

a) De forma detallada usando el concepto de capitalización y sin usar la expresión fundamental.

b) Utilizando concepto de equivalencia y la expresión fundamental Fn = P(1 + i)n.

c) Compare sus resultados con lo calculado en a) y además interprete económicamente el valor de X.

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Si ahora la tasa es 2.8% efectiva mensual y con el valor de X antes calculado y las mismas cuotas del primer, tercer y cuarto mes se pide lo siguiente:

d) Determine el valor equivalente en t=0 e interprete económicamente sus resultados. e) Calcule el valor equivalente en t=3 y en t=4.

Si ahora la tasa es 3.5% efectiva mensual y con el valor de X antes calculado y las mismas cuotas del primer, tercer y cuarto mes se pide lo siguiente:

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CAPÍTULO 2

FACTORES DE EQUIVALENCIA

Los factores de equivalencia que se mostrarán en este capítulo sólo utilizan tasas de interés compuesto porque sus deducciones usan la expresión fundamental Fn = P(1 + i)n la cual

incorpora en su demostración el concepto de capitalización.

2.1 FACTORES DE PAGO ÚNICO (PAGOS SIMPLES)

2.1.1 Valor presente de un pago simple (P/F)

Fn 0 1 2 3 4 … n-1 n P = ? i Donde: P=?: valor presente. Fn: valor futuro.

i: tasa de interés compuesta en cada período. n: cantidad de períodos.

Despejando P de la expresión fundamental Fn = P(1 + i)n tenemos la expresión para

calcular el valor presente de un monto único Fn en el futuro:

P = Fn (1 + i)n Notación: (P/F , i , n) = 1 (1 + i)n

(P/F , i , n) es el factor de actualización de un pago único y se lee “P dado F”.

A la operación de calcular el valor presente P a partir de Fn se le denomina “actualización

del monto Fn o descuento del monto Fn “.

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2.1.2 Valor futuro de un pago simple (F/P) 0 1 2 3 4 … n-1 n P i Fn = ? Donde: P: valor presente. Fn=?: valor futuro.

i: tasa de interés compuesta en cada período. n: cantidad de períodos.

De la expresión fundamental Fn = P(1 + i)n

Notación:

(F/P , i , n) = (1 + i)n

(F/P , i , n) es el factor de capitalización de un pago único y se lee “F dado P”.

A la operación de calcular el valor presente Fn a partir de P se le denomina “capitalización

del monto P “.

Luego: Fn = P(F/P , i , n)

2.2 SERIE DE PAGOS UNIFORME (ANUALIDAD)

2.2.1 Valor presente de una serie de pagos uniforme

i

0 1 2 3 4 … n-1 n

P_t=0 = ?

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Donde:

P=?: valor presente de la serie de pagos uniforme. A: monto constante desembolsado cada período. i: tasa de interés compuesta en cada período. n: cantidad de períodos.

A continuación, se presenta la deducción del factor para calcular el monto “P” en el tiempo t=0, dados “n” montos iguales a “A”, una tasa de interés compuesta “i%” en cada período y “n” períodos de tiempo iguales.

El valor presente de cada uno de los montos “A” en t=0:

P = A(P/F , i , 1) + A(P/F , i , 2) + A(P/F , i , 3) + … + A(P/F , i , n-1) + A(P/F , i , n)

A A A A A

(1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)n-1 (1 + i)n

+ + … + + …(1)

P = +

Multiplicando la expresión (1) por (1 + i):

A A A A (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)n-2 (1 + i)n-1 …(2) P(1 + i) = A + + + … + + Luego restando (2) - (1): A(1 + i)n - A (1 + i)n P(1 + i) P = A -Pi = A (1 + i )n Finalmente: P A (1 + i) n - 1 (1 + i)ni = Notación: (P/A , i , n) = (1 + i) n - 1 (1 + i )ni

(P/A , i , n) es el factor de actualización de una serie de pagos uniforme y se lee “P

dado A”.

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2.2.2 Valor presente de una serie de pagos uniforme infinita

En este caso la serie de pagos uniforme es infinita, es decir, la cantidad de pagos n →

∞

.

i

0 1 2 3 4 …

∞

P_t=0 = ?

A

Para calcular el valor presente de esta serie se calcula el límite de la expresión (P/A , i , n) cuando n →

_∞.

∞ ∞ ; (1 + i)n - 1 (1 + i)ni P = lim n →

∞

A

Al dividir el numerador y denominador entre (1 + i)n para levantar la indeterminación:

(1 + i)n 1 - 0 i P = A lim n →

∞

P = lim n →

∞

A 1 (1 + i)n _{(1 + i)}n (1 + i)n i (1 + i)n -Finalmente: A i P =

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2.2.3 Valor futuro de una serie de pagos uniforme

i

0 1 2 3 4 … n-1 n

Fn = ?

A

Sabemos que el valor presente de una serie de pagos uniforme es:

Además: Fn = P(F/P , i , n) …(1) P = A (1 + i) n - 1 (1 + i)ni Reemplazando P en la expresión (1): (F/P , i , n) (1 + i)ni Fn = A (1 + i)n - 1 Finalmente: (1 + i)n (1 + i)n i Fn = A (1 + i)n - 1 Fn = A (1 + i)n - 1 i Notación: (F/A , i , n) = (1 + i) n - 1 i

(F/A , i , n) es el factor de capitalización de un serie uniforme de pagos y se lee “F dado A”.

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2.3 SERIE DE PAGOS CON GRADIENTE LINEAL

Los flujos de efectivo pueden aumentar o disminuir de un período a otro según un monto constante; a este importe se le denomina la gradiente lineal o aritmética y su flujo de caja se muestra a continuación: A + G A … 2G G 0 0 1 2 3 … n-1 n 0 1 2 3 … n-1 n 0 1 2 3 … n-1 n i i i … … A + (n-1)G Pt=0 = ? A + (n-2)G A + 2G (n-1)G A (n-2)G = + <> Serie de pagos con gradiente lineal

Serie de pagos uniforme

Serie triángulo de pagos

Del gráfico se observa que la serie de pagos con gradiente lineal se puede expresar como la suma de un flujo uniforme de pagos y una serie triángulo, asimismo, su valor presente es:

Pt=0 = P t=0serie de pagos uniforme + P t=0serie triángulo de pagos

Pt=0 = A(P/A , i , n) + P t=0serie triángulo de pagos

2.3.1 Valor presente de una serie triángulo de pagos

P_t=0 = ? 2G G 0 0 1 2 3 … n-1 n i <> (n-1)G (n-2)G Donde:

P=?: valor presente de la serie triángulo de pagos.

G: cambio aritmético constante del monto de un período al siguiente. (También llamada la gradiente lineal o gradiente aritmética). i: tasa de interés compuesta en cada período.

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A continuación, se presenta la deducción de la expresión para calcular el monto “P” en el tiempo t=0, dados la gradiente lineal G, una tasa de interés compuesta “i%” en cada período y “n” períodos de tiempo iguales.

El valor presente de cada uno de los montos en t=0:

P = G(P/F , i , 2) + 2G(P/F , i , 3) + 3G(P/F , i , 4) + … + (n-2)G(P/F , i , n-1) + (n-1)G(P/F , i , n) P = G + 2G + 3G + … + (n-2)G (n-1)G …(1) (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)4 (1 + i)n-1 (1 + i)n +

Multiplicando la expresión (1) por (1 + i):

= G + (1 + i)1 P(1 + i) 2G + 3G + … + (1 + i)2 (1 + i)3 (n-2)G + (n-1)G …(2) (1 + i)n-2 (1 + i)n-1 Luego restando (2) - (1): + + 1 G Pi = G 1 (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)n-1 + … + 1 -G + … + nG (1 + i)2 (1 + i)n-1 (1 + i)n (1 + i)n G + Pi = G + (1 + i)1 (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)n-1 + + G - (n-1)G (1 + i)n G P(1 + i) - P 1 (1 + i)n nG (1 + i)n -G + … + = G

Observe que la expresión entre corchetes es el factor (P/A , i , n):

Finalmente: También: G i P = (P/A , i , n) - n (P/F , i , n) - n (1 + i)ni2 (1 + i)ni P = G (1 + i) n - 1 - nG (1 + i)ni (1 + i)n Pi = G (1 + i) n - 1 Notación: (P/G , i , n) = (1 + i) n - 1 - n (1 + i)ni2 (1 + i)ni

(P/G , i , n) es el factor de actualización de un serie triángulo de pagos y se lee “P dado G”.

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2.3.2 Valor presente de una serie de pagos con gradiente lineal

Reemplazando P = G(P/G , i , n) en la expresión:

Pt=0 = A(P/A , i , n) + P t=0serie triángulo de pagos

Pt=0 = A(P/A , i , n) + G(P/G , i , n)

2.4 SERIE DE PAGOS CON GRADIENTE GEOMÉTRICA

A menudo los flujos de efectivo aumentan o disminuyen de un período a otro según un porcentaje constante; esta tasa de cambio define la llamada serie de pagos con gradiente geométrica y su flujo de caja se muestra a continuación:

A*(1+g)2 A*(1+g) A* … <> 0 0 1 2 3 … n-1 n i P_t=0 = ? A*(1+g)n-2 A*(1+g)n-1 Donde:

P=?: valor presente de la serie de pagos con gradiente geométrica. A*: monto inicial en el primer período.

g: porcentaje de aumento o disminución de un período al siguiente. i: tasa de interés compuesta en cada período.

2.4.1 Valor presente de una serie de pagos con gradiente geométrica

A continuación, se presenta la deducción de la expresión para calcular el monto “P” en el tiempo t=0, dados la gradiente geométrica “g%”, una tasa de interés compuesta “i%” en cada período y “n” períodos de tiempo iguales.

El valor presente de cada uno de los montos en t=0:

P ₌ + A*(1 + g)n-2(P/F , i , n-1) + A*(1 + g)n-2 + A*(1 + g) n-1 …(1) (1 + i)n-1 (1 + i)n A*(1 + g)1 + A*(1 + g) 2 + … + (1 + i)2 (1 + i)3 P = A* + (1 + i)1

A*(P/F , i , 1) A*(1 + g)1(P/F , i , 2) + … + A*(1 + g)n-1(P/F , i , n)

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Multiplicando la expresión (1 + g) / (1 + i): = A*(1 + g) 1 + (1 + i)2 P(1 + g) (1 + i) A*(1 + g)2 + A*(1 + g) 3 + … + (1 + i)3 (1 + i)4 A*(1 + g)n-1 + A*(1 + g) n …(2) (1 + i)n (1 + i)n+1 Luego restando (2) - (1): - (1 + g) n (1 + i) (1 + i)1 (1 + i)n 1 P(g - i) = -A* A* + A*(1 + g) n (1 + i) (1 + i)1 (1 + i)n+1 P(1 + g) - P = -Finalmente: (αααα) ; i ≠ ≠ ≠ ≠ g (1 + g)n (1 + i)n i - g -P = A* 1 Notación: ; i ≠ ≠ ≠ ≠ g - (1 + g) n (1 + i)n i - g (P/A* , i , g, n ) = 1

(P/A* , i , g , n) es el factor de actualización de un serie de pagos con gradiente geométrica

y se lee “P dado “g” geométrico”.

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CAPÍTULO 3

TASA DE INTERÉS NOMINAL Y TASA DE INTERÉS EFECTIVA

3.1 TASA NOMINAL

Es una tasa de tipo referencial a partir de la cual se definen las tasas de interés efectivas usando períodos de capitalización. La tasa de interés nominal no es la que se usa para el proceso de capitalización de intereses.

La proporcionalidad de la tasa nominal in puede efectuarse directamente a través de una regla de tres simple considerando las siguientes equivalencias de tiempo según el sistema bancario: 1 año = 360 días. 1 mes = 30 días. 1 mes = (30/7) semanas. 1 mes = 2 quincenas. Ejemplo 1

¿Cuál será la tasa nominal diaria y nominal mensual correspondiente a una tasa nominal anual del 24%?

inominal diaria*360 = inominal anual

inominal diaria = 24%/360

inominal diaria = 0.066%

inominal mensual*12 = inominal anual

inominal mensual = 24%/12

inominal mensual = 2%

Ejemplo 2 Calcule:

La tasa nominal cuatrimestral a partir de una tasa nominal anual del 24%. La tasa nominal trimestral a partir de una tasa nominal semestral del 12%. La tasa nominal de 22 días a partir de una tasa nominal trimestral del 15%.

3.2 TASA EFECTIVA

Es la tasa de interés que sí considera el proceso de capitalización. A menudo una tasa nominal anual capitaliza en períodos de tiempo menores o iguales a un año, estos períodos de tiempo son los períodos de capitalización.

1) in TASA NOMINAL en un período base (con frecuencia el período base es anual)

2) Período de capitalización

in N Tasa efectiva en el

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Ejemplo 3

in = 50% nominal anual

Capitalización trimestral P = S/. 100 (capital inicial)

¿Cuál es el valor dentro de un año?

F 0 1 2 3 P 12.5% efectiva trimestral 1 año 4 trimestres Ejemplo 4 in = 50% nominal anual Capitalización mensual. P = S/. 100 (capital inicial)

¿Cuál es el valor dentro de un año?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 meses P F 4.166% efectiva mensual

…

1 año Ejemplo 5 in = 30% nominal semestral Capitalización trimestral

Hallar la tasa efectiva trimestral

Primera forma: Segunda forma:

i_nominal N 30% 2 i_ef = 15% efectiva trimestral ief = i_ef =

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3.2.1 Cálculo de la tasa efectiva anual a partir de la tasa nominal anual

Tasa efectiva F F

en cada período

de capitalización _i_E_{efectiva anual}

0 1 año 1 año N P Períodos de capitalización P = i_nnominal anual N 0 F = F

(el mismo valor futuro en ambos flujos)

in N N i_n N N … β - 1 i_E = 1 + P 1 + i_E P 1 + =

iE: tasa de interés efectiva anual.

in: tasa de interés nominal anual.

N: cantidad de períodos de capitalización comprendidos en un año. Ejemplo 6

Determine la tasa de interés efectiva anual si la tasa de interés nominal anual es 20% y la capitalización trimestral.

Importante:

La tasa de interés efectiva siempre es mayor o igual a la tasa de interés nominal comparadas sobre la misma base de tiempo. Verifiquemos esto examinando los ejemplos 3 y 4 anteriores (ver página 18).

Cuando el período base es igual al período de capitalización entonces: inominal = iefectiva

Ejemplo 7

Determine la tasa de interés efectiva anual si la tasa de interés nominal anual es 50% y la capitalización anual.

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3.2.2 Cálculo de tasas de interés efectivas con capitalización continua

A medida que el período de capitalización se hace más corto, el valor de N aumenta; cuando N tiende al infinito la capitalización de intereses ocurre en forma continua y en este caso la expresión

β

(ver página 19) se transforma en:

-

1 i

_n

i

E =

e

Demostración: Recordemos que:

3.2.3 Cálculo de tasas de interés efectivas a. Tasas efectivas equivalentes

Son tasas que generan el mismo monto final si se deposita el mismo capital inicial, durante el mismo período de tiempo.

Ejemplo 8

in = 30% nominal anual

Capitalización cuatrimestral P = S/. 200 (capital inicial)

¿Cuál es el valor futuro en el segundo año?

0 1 2 3 4 5 6 cuatrimestres 0 0 <> 2 años 1 año P P P F F 2 años 2 años

i = 10% efectiva i = 77.156% efectiva i = 33.100% efectiva

cuatrimestral en dos años anual

(23)

b. Determinación de una tasa efectiva a partir de otra tasa efectiva

Tasas efectivas equivalentes cuando:

b1. El período requerido es mayor que el período de capitalización

Ejemplo 9

Para la tasa nominal anual de 40% capitalizable mensualmente, calcular la tasa efectiva equivalente trimestral, la tasa efectiva equivalente cuatrimestral y la tasa efectiva equivalente anual. in = 40% nominal anual Capitalización mensual También: i = 3.333% efectiva mensual 0 1 2 3 meses 0 3 meses <> 1 trimestre F F i = ? efectiva trimestral 100 100

(24)

b2. El período requerido es menor que el período de capitalización

Ejemplo 10

Para la tasa nominal trimestral de 18% capitalizable mensualmente, calcule la tasa efectiva equivalente diaria y la tasa efectiva equivalente quincenal.

in = 18% nominal trimestral Capitalización mensual También: i = 6% efectiva mensual 0 1 mes 0 1 2 3 30 días F … … i = ? efectiva diaria 100 100 F

(25)

Ejemplo 11

Para la tasa de interés efectiva semestral de 60%, determine la tasa de interés efectiva semanal equivalente, la tasa efectiva para un período de 45 días, la tasa efectiva anual equivalente y la tasa efectiva diaria equivalente.

Ejemplo 12

Hallar la tasa de interés efectiva anual, si la tasa nominal es 17% anual y la capitalización continua. in=17% nominal anual Capitalización continua iE = e in - 1 iE = e0.17 - 1 iE = 18.530% efectiva anual Ejemplo 13

Hallar la tasa de interés efectiva anual equivalente, si la tasa nominal es 12% trimestral y la capitalización continua.

Primera forma: Segunda forma:

in=12% nominal trimestral Capitalización continua iE = e in - 1 iE = e0.12 - 1 iE = 12.749% efectiva trimestral

ianual = (1 + 12.749%)4 - 1 = 61.603% efectiva anual

Ejemplo 14

Un banco paga por ahorros una tasa del 18% efectiva anual con capitalización bimestral. ¿Cuál es la tasa de interés nominal anual?

(26)

3.3 INTERESES PAGADOS POR ADELANTADO

En el sistema financiero algunas operaciones se calculan con el interés pagado por adelantado, es decir, el interés se calcula a la fecha de vencimiento pero el pago se exige no en esa fecha sino en el momento del desembolso del préstamo.

Sea: P = S/. 100 (préstamo) iv = 15% efectiva mensual Plazo = un mes P = 100 0 1 mes (intereses) (devolución) P = 100 I = i_v*P = 15

Tasa de costo efectivo = 15% efectiva mensual

Si el prestamista exige que el pago de los intereses sea por adelantado: Flujo de caja del prestatario:

0 1 mes 0 1 mes 100 15 100 85 100

Tasa de costo efectivo, o costo financiero: 85 = 100(P/F , i , 1)

i = 17.647% efectiva mensual

Efectos en el prestatario:

1. En t=0 la disponibilidad de dinero en el momento inicial disminuye debido al pago adelantado de los intereses: (S/. 100 > S/. 85).

2. El costo del préstamo, con el interés pagado por adelantado, aumenta: 17.647% efectiva mensual > 15% efectiva mensual. A la tasa del 17.647% se le denomina tasa efectiva adelantada.

A continuación se demostrará una fórmula que a partir de la tasa de interés efectiva al vencimiento permita calcular la tasa de interés efectiva adelantada.

(27)

En general:

Sea P el monto prestado con plazo igual a un período y una tasa de interés al vencimiento de iv% efectiva en dicho período.

P P 0 0 P P iv*P 1 1 iv*P Flujo de caja con intereses

al vencimiento:

Flujo de caja con intereses adelantados:

i_v: tasa de interés efectiva al vencimiento

i_ad: tasa de interés efectiva adelantada

En el flujo de caja con intereses adelantados:

Ejemplo 15

Qué ocurre si usted pide un préstamo de S/. 100 con las siguientes condiciones:

P = S/. 100 (préstamo) P = S/. 100 (préstamo)

iv = 15% efectiva mensual iv = 17.647% efectiva mensual

interés pagado por adelantado interés pagado al vencimiento

Plazo = un mes Plazo = un mes

0 1 mes 0 1 mes

100 + 100*17.647% = 117.647

85 100

100

Tasa de costo efectivo:

Como no hay comisión de apertura:

i_v = 17.647% efectiva mensual al vencimiento i= 15% 1 - 15% efectiva mensual adelantada 17.647% i_ad =

(28)

Conclusión:

El préstamo de P = S/. 100 con tasa de interés de 15% efectiva mensual e intereses pagados por adelantado tiene el mismo costo financiero que un préstamo de P = S/. 100 con tasa de interés de 17.647% efectiva mensual con intereses pagados al vencimiento, sin embargo, en este caso la disponibilidad de dinero no disminuye en t=0 como sí ocurre en el con el interés por adelantado.

Ejemplo 16

Qué ocurre si usted pide un préstamo con las siguientes condiciones:

P = S/. 100 (préstamo) P = S/. 85 (préstamo)

iv = 15% efectiva mensual iv = 17.647% efectiva mensual

interés pagado por adelantado interés pagado al vencimiento

Plazo = un mes Plazo = un mes

0 1 mes 0 1 mes

85 + 85*17.647% = 100

85 85

100

Tasa de costo efectivo:

Como no hay comisión de apertura: i= 15% 1 - 15% efectiva mensual al vencimiento efectiva mensual adelantada 17.647% i_ad = i_v = 17.647% Conclusión:

En este caso, el préstamo de P = S/. 100 con tasa de interés de 15% efectiva mensual al vencimiento y con intereses pagados por adelantado tiene el mismo costo financiero que un préstamo de P = S/. 85 con tasa de interés de 17.647% efectiva mensual con intereses pagados al vencimiento, asimismo, el flujo de caja es similar, sin embargo, en el caso de interés por adelantado la disponibilidad del dinero disminuye en t=0.

Ejemplo 17

Calcule la tasa mensual y bimestral adelantada si la tasa es 90% nominal anual y la capitalización cuatrimestral e intereses pagados por adelantado.

(29)

3.3.1 Comparaciones de las tasas de interés efectivas al vencimiento y las tasas de interés efectivas adelantadas

TASA NOMINAL ANUAL PERIODO DE CAPITALIZACIÓN N TASA ANUAL EFECTIVA VENCIDA TASA ANUAL EFECTIVA ADELANTADA

40% Anual 1 40% Anual 40.000% 66.667% Anual 66.667%

40% Semestral 2 20% Semestral 44.000% 25.000% Semestral 56.250%

40% Trimestral 4 10% Trimestral 46.410% 11.111% Trimestral 52.416%

40% Bimestral 6 6.667% Bimestral 47.290% 7.143% Bimestral 51.279%

40% Mensual 12 3.333% Mensual 48.213% 3.448% Mensual 50.203%

40% Diaria 12*30 0.111% Diaria 49.149% 0.111% Diaria 49.216%

40% Horaria 24*12*30 0.0046% Horaria 49.181% 0.0046% Horaria 49.184% 40% Por minuto 60*24*360 7.716 x 10-5% Por minuto 49.182% 7.716 x 10-5% Por minuto 49.183%

.

40% Continua 49.182% 49.182% TASA EFECTIVA VENCIDA DEL PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN

TASA EFECTIVA ADELANTADA DEL

PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN

Graficando:

iE: tasa anual efectiva al vencimiento y tasa anual efectiva adelantada.

N: cantidad de períodos de capitalización

1

N

e

i

n -1

i

_n =

i

_ef

i

E

Tasa anual efectiva adelantada

(30)

Del gráfico se obtiene las siguientes conclusiones para quien evalúa el crédito:

1. Si se solicita un crédito con interés pagado al vencimiento, entonces, procurar que el período de capitalización sea lo mayor posible, es decir, que el valor de N sea lo menor posible.

2. Si se solicita un crédito con interés pagado por adelantado al inicio de cada período de capitalización, entonces, procurar que el período de capitalización sea lo menor posible, es decir, que el valor de N sea lo mayor posible.

3. Para un período de capitalización dado, siempre preferir el crédito con interés efectivo al vencimiento en vez del crédito con intereses pagados por adelantado.

(31)

4. CAPÍTULO 4

OPERACIONES DE CRÉDITO

4.1 DEFINICIONES

Monto del préstamo o principal (P).

Amortización (A): pago gradual del préstamo en cada cuota de pago y que se efectúa en una o más períodos según las condiciones definidas por el prestamista.

Intereses (I): es la ganancia del prestamista en cada período y que es pagada por el prestatario al cancelar la cuota de pago. Esta es la renta periódica del prestamista por el dinero que otorgó en préstamo.

Cuota de pago (C): es el monto total que el prestatario paga cada período. Tiene dos componentes: amortización e intereses y se calcula así:

Cuota = Amortización + Intereses

La ecuación indica que en cada cuota el prestatario devuelve al prestamista una parte del préstamo que es la amortización, más el interés que es la ganancia.

Saldo deudor (SD): es la cantidad del préstamo que aún está pendiente de pago en un determinado período y no incluye los intereses. En un período dado, el monto del saldo deudor más los intereses correspondientes del período es el monto total de la deuda.

Modalidad de pagos: características de las cuotas de pago, tales como periodicidad y comportamiento de la amortización y las cuotas de pago.

Calendario de pagos: en este cronograma, se presenta para cada período de pago, el saldo deudor inicial, amortización, intereses, cuota de pago, saldo deudor final y cualquier otro concepto desembolsado, tales como, comisión de apertura, portes, seguro de desgravamen, entre otros.

Flujo de caja del crédito: es el diagrama que resume las obligaciones de pagos del prestatario en el plazo establecido y según la modalidad de pago definida por el prestamista.

Tasa de interés efectiva del préstamo (iP): tasa pactada para el cálculo del importe de los

intereses.

Costo financiero, costo del crédito o tasa de costo efectivo (icf): es la tasa de interés efectiva

que representa en términos porcentuales el costo del crédito para el prestatario ya que incluye todos los pagos que efectuará. Se obtiene aplicando equivalencia enfrentando el préstamos y los pagos expresados en un período de tiempo que a menudo es t=0.

Período de gracia: períodos de tiempo en los cuales el prestatario sólo desembolsa el pago de intereses del período sin amortizar parte del principal.

(32)

4.2 CRÉDITO CON CUOTAS IGUALES

En este tipo de crédito la amortización más los intereses suman en cada período una cantidad constante que es la cuota de pago y se cumple que las amortizaciones son crecientes y los intereses decrecientes.

Ejemplo Principal:

Plazo: 1 año

Cuotas: bimestrales iguales

Cálculo de la cuota: P = Cuota(P/A , i , n)

10000 = Cuota(P/A , 5% , 6) Cuota =

Calendario de pagos:

Período Amortización Intereses Cuota Saldo

deudor final 1 1470.17 500.00 1970.17 8529.83 2 1543.68 426.49 1970.17 6986.14 3 1620.87 349.31 1970.17 5365.27 4 1701.91 268.26 1970.17 3663.36 5 1787.01 183.17 1970.17 1876.36 6 1876.36 93.82 1970.17 0 10000 10000 Saldo deudor inicial 1970.175

Tasa de interés: 5% efectiva bimestral

3663.36 1876.36 10000 8529.83 6986.14 5365.27

Para esta modalidad de crédito el calendario de pagos se elabora de la siguiente manera: 1. Coloque el monto de la cuota, previamente calculado, en cada período.

2. Calcule los intereses multiplicando la tasa de interés efectiva del préstamo en el período de pago por el saldo deudor inicial del período:

Interesesi = iP* Saldo deudor iniciali

3. Calcule la amortización con la siguiente expresión:

Amortización = Cuota - Intereses

4. El saldo deudor final en cada período se calcula así:

Saldo deudor finali = Saldo deudor iniciali - Amortizacióni

5. El saldo deudor inicial en cada período se calcula así:

Saldo deudor iniciali = Saldo deudor finali-1

Donde:

(33)

4.3 CRÉDITO CON AMORTIZACIÓN CONSTANTE (CUOTAS DECRECIENTES)

En esta modalidad el prestatario amortiza la deuda en partes iguales durante los períodos del plazo pactado y se cumple que los intereses y las cuotas de pago decrecen cada período según una gradiente lineal.

Ejemplo Principal:

Plazo: 1 año

Cuotas: bimestrales con amortización constante

Cálculo de la amortización: A = P / n

A = 10000 / 6 A =

deudor final 1 1666.67 500.00 2166.67 8333.33 2 1666.67 416.67 2083.33 6666.67 3 1666.67 333.33 2000.00 5000.00 4 1666.67 250.00 1916.67 3333.33 5 1666.67 166.67 1833.33 1666.67 6 1666.67 83.33 1750.00 0 10000 10000 1666.667

Saldo deudor inicial 10000 8333.33 6666.67 5000.00 3333.33 1666.67

Para esta modalidad de crédito el calendario de pagos se elabora de la siguiente manera:

1. Coloque el monto de la amortización, previamente calculado, en cada período.

3. Calcule la cuota con la siguiente expresión:

Cuota = Amortización + Intereses 4. El saldo deudor final en cada período se calcula así:

Donde:

(34)

4.4 CRÉDITO CON CUOTAS CRECIENTES (SUMA DE DÍGITOS)

Con esta modalidad de crédito las cuotas de pago crecen conforme transcurre el tiempo y la amortización se calcula con el método de la “suma de dígitos” que a continuación se expone:

Ejemplo Principal:

Plazo: 1 año

Cuotas: crecientes bimestrales por suma de dígitos

S = n(n+1)/2

Factor de amortización = ft = t / S ; ft<1

Amortización = f_t * P La amortización es una proporción del principal

deudor final 1 476.19 500.00 976.19 9523.81 2 952.38 476.19 1428.57 8571.43 3 1428.57 428.57 1857.14 7142.86 4 1904.76 357.14 2261.90 5238.10 5 2380.95 261.90 2642.86 2857.14 6 2857.14 142.86 3000 0 10000 2857.14 9523.81 8571.43 7142.86 5238.10

S = Suma de dígitos anuales

S = 6(6+1)/2 = 21

Saldo deudor inicial

10000 10000

Cálculo de las amortizaciones:

Para esta modalidad de crédito el calendario de pagos se elabora de la siguiente manera: 1. Coloque el monto de la amortización, previamente calculado, en cada período.

3. Calcule la cuota con la siguiente expresión:

Cuota = Amortización + Intereses 4. El saldo deudor final en cada período se calcula así:

Donde:

(35)

Calculando la tasa de costo efectivo icf: 1 2 3 4 5 6 bimestres 3000 Equivalencia en t=0: 10000 = 976.19(P/F , i_cf , 1) + 1428.57(P/F , i_cf , 2) + 1857.14(P/F , i_cf , 3) + + 2261.90(P/F , icf , 4) + 2642.86(P/F , icf , 5) + 3000(P/F , icf , 6) i_cf = 5% efectiva bimestral

Si hay comisión de apertura de 1%:

1 2 3 4 5 6 bimestres

3000 Equivalencia en t=0:

10000 - 100 = 976.19(P/F , icf , 1) + 1428.57(P/F , icf , 2) + 1857.14(P/F , icf , 3) +

+ 2261.90(P/F , i_cf , 4) + 2642.86(P/F , i_cf , 5) + 3000(P/F , i_cf , 6) i_cf = 5.267% efectiva bimestral > 5% efectiva bimestral

10000 0 976.19 1428.57 1857.14 2261.90 2642.86 10000 1857.14 2261.90 2642.86 0 100 976.19 1428.57

(36)

4.5 CRÉDITO CON CUOTAS IGUALES Y PERÍODOS DE GRACIA

Ejemplo Principal:

Plazo: 6 trimestres

Cuotas: trimestrales iguales 2 trimestres

Cálculo de la cuota:

P = Cuota*(P/A , i , n) Cantidad de períodos en los que se amortiza la

10000 = Cuota*(P/A , 7% , 4) deuda

Cuota = 6 - 2 = 4

Interes en el período de gracia = 10000*7% = 700

Estos intereses son iguales en los períodos de gracia porque en ellos no se amortiza el principal (amortización igual a cero).

deudor final 1 0 700.00 700.00 10000 2 0 700.00 700.00 10000 3 2252.28 700.00 2952.28 7747.72 4 2409.94 542.34 2952.28 5337.78 5 2578.64 373.64 2952.28 2759.14 6 2759.14 193.14 2952.28 0 10000 7% efectiva trimestral 10000 Período de gracia: Tasa de interés: 2952.281 Saldo deudor inicial 10000 10000 10000 7747.72 5337.78 2759.14

Para esta modalidad de crédito el calendario de pagos se elabora de la siguiente manera: 1. Coloque el monto de la cuota, previamente calculado, en cada período, excepto en los

períodos de gracia.

Cuota = Amortización + Intereses

En los períodos de gracia, la cuota es igual a los intereses porque la amortización es cero.

Donde:

(37)

Calculando la tasa de costo efectivo icf:

0 1 2 3 4 5 6 trimestres

Equivalencia en t=0:

10000 = 700(P/A , i_cf , 2) + 2952.28(P/A , i_cf , 4)(P/F , i_cf , 2) i_cf = 7% efectiva trimestral

Si hay comisión de apertura de 1%:

0 1 2 3 4 5 6 trimestres

Equivalencia en t=0:

10000 -1%*1000 = 700(P/A , icf , 2) + 2952.28(P/A , icf , 4)(P/F , icf , 2)

i_cf = 7.266% efectiva trimestral > 7% efectiva trimestral 100 700 2952.28 10000 700 2952.28 10000

(38)

4.6 CRÉDITO CON CUOTAS IGUALES E INTERESES PAGADOS POR ADELANTADO

Ejemplo Principal: Plazo:

Cuotas: mensuales iguales

intereses pagados por adelantado

C = ( P - i_v*P ) * (A/P , i_adelantado , n)

Con los datos:

i_adelantado = 0.02 / (1 - 0.02) i_adelantado= i_v*P = 2%*10000 i_v*P = C = (10000 - 200)(A/P , 2.041% , 4) Calendario de pagos:

deudor final 0 200.00 10000 1 2424.76 151.50 2576.26 7575.24 2 2474.24 102.02 2576.26 5101.00 3 2524.74 51.53 2576.26 2576.26 4 2576.26 0 2576.26 0 10000 5101.00 2576.26 Saldo deudor inicial 10000 10000 7575.24

interés pagado por adelantado

2.041% efectiva mensual adelantada

C = 2576.26 200

i_adelantado = iv ; i_v: tasa de interés al vencimiento 1 - i_v

10000 4 meses

Tasa de interés: 2% efectiva mensual

Para esta modalidad de crédito el calendario de pagos se elabora de la siguiente manera: 1. Coloque el monto de la cuota, previamente calculado, en cada período.

2. Coloque un monto igual a cero para los intereses del último período de pago del préstamo, porque los intereses se pagan en el período anterior ya que la modalidad es con intereses pagados por adelantado.

3. Coloque un monto igual a cero para el saldo deudor final del último período de pago del préstamo.

(39)

Saldo deudor iniciali = Saldo deudor finali + Amortizacióni

Saldo deudor finali = Saldo deudor iniciali+1

7. Los intereses se calculan con la tasa de interés efectiva del préstamo al vencimiento de la siguiente manera:

Interesesi = iv1*Saldo deudor iniciali+1

Donde:

i representa el período

4.7 CRÉDITO CON CUOTAS IGUALES, PERÍODOS DE GRACIA E INTERESES PAGADOS POR ADELANTADO

Ejemplo Principal: Plazo:

Cuotas: mensuales iguales

intereses pagados por adelantado

C = ( P - i_v*P ) * (A/P , i_adelantado , n)

Con los datos:

i_adelantado = 0.02 / (1 - 0.02) i_adelantado= i_v*P = 2%*10000 i_v*P = C = (10000 - 200)(A/P , 2.041% , 5) 7 - 2 = 5 10000 7 meses

Tasa de interés: 2% efectiva mensual

Cantidad de períodos en los que se amortiza la deuda

interés pagado por adelantado

2.041% efectiva mensual adelantada Períodos de gracia: 2 meses

i_adelantado = iv ; i_v: tasa de interés al vencimiento 1 - i_v

C = 2081.62 200

1

(40)

deudor final 0 200.00 10000 1 0 200.00 200.00 10000 2 0 200.00 200.00 10000 3 1920.02 161.60 2081.62 8079.98 4 1959.20 122.42 2081.62 6120.78 5 1999.18 82.43 2081.62 4121.60 6 2039.98 41.63 2081.62 2081.62 7 2081.62 0 2081.62 0 10000 4121.60 2081.62 10000 10000 8079.98 6120.78 Saldo deudor inicial 10000 10000

Para esta modalidad de crédito el calendario de pagos se elabora de la siguiente manera: 1. Coloque el monto de la cuota, previamente calculado, en cada período, excepto en los

períodos de gracia.

2. Coloque un monto igual a cero para los intereses del último período de pago del préstamo, porque los intereses se pagan en el período anterior ya que la modalidad es con intereses pagados por adelantado.

3. Coloque un monto igual a cero para el saldo deudor final del último período de pago del préstamo.

Amortización = Cuota - Intereses

En los períodos de gracia, la cuota es igual a los intereses porque la amortización es cero.

Saldo deudor iniciali = Saldo deudor finali + Amortizacióni

Saldo deudor finali = Saldo deudor iniciali+1

7. Los intereses se calculan con la tasa de interés efectiva del préstamo al vencimiento de la siguiente manera:

Interesesi = iv*Saldo deudor iniciali+1

Donde:

(41)

4.8 CAMBIOS EN LAS MODALIDADES DE CRÉDITOS

Los cambios que se presentarán en este acápite son válidos para las modalidades de crédito con cuotas iguales, con amortización constante, cuotas crecientes y créditos con períodos de gracia vistos anteriormente, y en general, para cualquier otra modalidad de crédito con intereses al rebatir, excepto, las modalidades de crédito con intereses pagados por adelantado.

4.8.1 Monto de la deuda en un período dado

Para la modalidad de crédito con cuotas iguales, se desea cancelar la deuda en el cuarto bimestre. ¿Cuál es el monto total por desembolsar?

Primera forma: con el flujo de caja y usando el concepto de equivalencia. Flujo de caja:

Equivalencia t=0:

10000 = 1970.17(P/A , 5% , 3) + X(P/F , 5% , 4) X = 5633.55

Saldo deudor inicial del bimestre 4 + Intereses del bimestre 4

5365.27 + 268.26 = 5633.55

Segunda forma: con el calendario de pagos.

deudor final

4 5365.27 1701.91 268.26 1970.17 3663.36

Saldo deudor inicial

Saldo deudor inicial (SDI) + Intereses = 5365.27 + 268.56 = 5633.55

(42)

La deuda no es: 1970.17 + 1970.17 + 1970.17 = 5910.51 > 5633.55

Cuota del Cuota del Cuota del bimestre 4 bimestre 5 bimestre 6

4.8.2 Saldo deudor inicial de un período dado

¿Cómo hallar el SDI en un período dado sin usar el calendario de pagos? Hallar el SDI del período 4 para la modalidad de crédito con cuotas iguales. Flujo de caja: 3 <> 3 4 5 6 bimestres SDI4 1970.17 SDI4 = 1970.17(P/A , 5% , 3) SDI4 = 5365.27 También: Flujo de caja: SDI4 = 10000(F/P , 5% , 3) - 1970.17(F/A , 5% , 3) SDI4 = 5365.27

4.8.3 Cambio en la tasa de interés en un período dado

Para la modalidad de crédito con cuotas iguales, si la tasa de interés se incrementa a 7% efectiva bimestral, 35 días después de haber pagado la cuarta cuota.

¿Cuál es el valor de la quinta y sexta cuota si también son uniformes? ¿Cómo varía el calendario de pagos?

¿Cuál es el costo financiero del crédito incluida la variación de la tasa de interés?

0 1 2 3 4 5 6

35d 25d

(43)

Calculemos los intereses en el quinto bimestre: 4 5 Primera forma:

SDI5 = 3663.36

(3663.36)*(1+5%)(35/60) = 3769.12 ; 3769.12 - 3663.36 = 105.76 (3769.12)*(1+7%)(25/60) = 3876.88 ; 3876.88 - 3769.12 = 107.76

Interés del quinto bimestre 213.52

Segunda forma: Composición de tasas:

i = (1+5%)(35/60)*(1+7%)(25/60) - 1

i = 5.828 % efectiva en el quinto bimestre Interés del quinto bimestre = 5.828%*3663.36 Interés del quinto bimestre = 213.52

¿Cuál es el valor de la quinta y sexta cuota si también son uniformes?

Flujo de caja: 0 1 2 3 4 5 6 bimestres 7% efectiva bimestral 10000 1970.17 5% efectiva bimestral C Equivalencia en t=0: 10000 = 1970.17(P/A , 5% , 4) + C(P/F , 7% , 25/60)( P/F , 5% , 35/60)(P/F , 5% , 4) + + C(P/F , 7% , 1)( P/F , 7% , 25/60)( P/F , 5% , 35/60)(P/F , 5% , 4) C = 2004

¿Cómo varía el calendario de pagos con la tasa modificada?

Calendario de pagos con tasa modificada:

Tasa1-4 = 5.000%

Tasa4-5 = 5.828% (1+5%)(35/60)*(1+7%)(25/60) - 1

(44)

Período Saldo

deudor inicial Amortización Intereses Cuota

Saldo deudor final 1 10000 1470.17 500.00 1970.17 8529.83 2 8529.83 1543.68 426.49 1970.17 6986.14 3 6986.14 1620.87 349.31 1970.17 5365.27 4 5365.27 1701.91 268.26 1970.17 3663.36 5 3663.36 1790.47 213.52 2004.00 1872.89 6 1872.89 1872.89 131.10 2004.00 0 10000

¿Cuál es el costo financiero del crédito incluida la variación de la tasa de interés?

Sea icf el costo financiero por determinar:

Flujo de caja: 0 1 2 3 4 5 6 bimestres 10000 1970.17 2004 Equivalencia en t=0: 10000 = 1970.17(P/A , icf , 4) + 2004.00(P/A , icf , 2)(P/F , icf , 4)

i = 5.161% efectiva bimestral ∈ [5% , 7%] > 5% efectiva bimestral Ejemplos

(45)

4.9 CRÉDITO COMERCIAL O CRÉDITO FLAT

En el crédito comercial el cálculo de los intereses se efectúa con una tasa de interés simple llamada tasa FLAT que da la sensación de ser un “crédito barato” así como más transparente porque el cálculo del interés es sencillo, sin embargo, estos créditos suelen ser los más caros del mercado.

En caso el cliente compre el equipo tomando el crédito comercial tenemos:

Monto a financiar: D

D = Precio de lista - Cuota inicial

La cuota inicial es un pago exigido por la casa comercial y que el cliente debe hacer en el momento que recibe el equipo. Este pago es parte del valor del equipo o precio de lista, por tanto, lo que se financia con el crédito comercial es la diferencia D y lo pagará en “n” cuotas FLAT más los intereses.

Cuota FLAT = C D n C = D(1 + iFLAT*n) n C = + i_FLAT*D

En caso el adquiriente compre al contado el equipo, pagará un monto en la casa comercial que ofrezca el menor precio al contado, éste es menor al precio de lista:

Precio al contado = (1 - descuento%)*Precio de lista. Ejemplo

(46)

4.10 CRÉDITO EN MONEDA EXTRANJERA

Así como en los créditos anteriormente vistos en soles la tasa de costo efectivo se expresó en soles, así también en los créditos en dólares dicha tasa debe expresarse en dólares. En general, la tasa de costo efectivo de un crédito en cualquier moneda, debe expresarse en esa moneda.

El objetivo de este acápite es determinar una tasa de interés efectiva en soles que sea equivalente a la tasa de interés efectiva en dólares -u otra moneda- del crédito pactado.

4.10.1 Tipo de cambio (TC)

El tipo de cambio es el precio de la moneda extranjera en términos de la moneda local. Este índice mide una equivalencia relativa entre dos monedas, la moneda débil y la moneda fuerte, por ejemplo, el sol y el dólar respectivamente.

Ejemplo

Cuando nos preguntan ¿cuál es el tipo de cambio del dólar?, respondemos ¿compra o venta?

TC = 3.26 venta; significa que para comprar un dólar pagamos 3.26 nuevos soles. TC = 3.24 compra; significa que para vender un dólar nos pagan 3.24 nuevos soles.

4.10.2 Devaluación (

Ψ

)

En las economías con tipo de cambio variable éste no permanece constante en el tiempo; si el tipo de cambio sube, se genera la llamada devaluación (o depreciación) de la moneda débil respecto de la moneda fuerte. La devaluación se puede interpretar como la pérdida de valor de la moneda débil con respecto a la moneda fuerte. Por ejemplo, si el tipo de cambio es 2.86 S/. / US$ y al día siguiente sube a 2.88 S/. / US$ entonces el sol se devaluó con respecto al dólar.

La devaluación desde “0” hasta “t” se calcula y expresa en términos porcentuales así:

Ψ

0→→→→ t = TC_t- TC₀ *100% TC₀

Hay devaluación si: TCt > TC0

Ejemplo

TC₀= 3.48 S/. / US$ TC₁= 3.50 S/. / US$ TC₂= 3.51 S/. / US$ TC₃= 3.53 S/. / US$ días

0 1 2 3

(3.50 - 3.48)*100% (3.51 - 3.50)*100% (3.53 - 3.51)*100%

3.48 3.50 3.51

en un día en un día en un día

0.570% >0

Ψ

0→1 =

Ψ

1→2 =

Ψ

2→3 =

Ψ

0→1= 0.575% >0

Ψ

1→2 = 0.286% >0

Ψ

2→3 =

¿Y la devaluación acumulada?

Ψ

0→2 =

Ψ

0→2 = (1 + 0.575%)*(1 + 0.286%) - 1

Ψ

0→2 = en dos días

(1 +

Ψ

0→1)*(1 +

Ψ

1→2) - 1

(47)

Y no es correcto:

Ψ

0_→3 =

Ψ

0_→3 = (1 + 0.575%)*(1 + 0.286%)*(1 + 0.570%) - 1

Ψ

0→3 = en tres días En general:

Ψ

0_→t =

¡Similar a una tasa efectiva! 1.438%

Ψ

0→2 = 0.575%*0.286% 3.48 (1 +

Ψ

0_→1)*(1 +

Ψ

1_→2)*(1 +

Ψ

2_→3) - 1 (1 +

Ψ

0_→1)*(1 +

Ψ

1_→2)*(1 +

Ψ

2_→3)*…*(1 +

Ψ

t-1_→ t) - 1 Que es lo mismo:

Ψ

0→2 = (3.51 - 3.48)*100% = 0.863%

Apliquemos la devaluación a los tipos de cambio:

TC0 = 3.48 3.48*(1 + 0.575%) = 3.50 = TC1 TC1 = 3.50 3.50*(1 + 0.286%) = 3.51 = TC2 TC2 = 3.51 3.51*(1 + 0.570%) = 3.53 = TC3 En general si

Ψ

no es constante: TCt = TCt-1*(1 +

Ψ

t-1→ t) Si

Ψ

es constante:

TC0 = 3.50 S/. / US$ TC1 = 3.514 S/. / US$ TC2 = 3.528 S/. / US$

días 0 1 2 (3.514 - 3.50)*100% (3.528 - 3.514)*100% 3.50 3.514 en un día en un día

Ψ

0→1=

Ψ

1→2 =

Ψ

0_→1= 0.400% >0

Ψ

1_→2 = 0.400% >0

La devaluación es constante e igual a 0.4% por día. TC₁ = TC₀*(1 +

Ψ

₀_→₁) TC2 = TC1*(1 +

Ψ

1 →2) Entonces: TC₂ = TC₀*(1 +

Ψ

₀_→₁)(1 +

Ψ

₁_→₂)

Ψ

TC₂ = TC₀*(1 +

Ψ

)*(1 +

Ψ

) TC₂ = TC₀*(1 +

Ψ

)2

Como

Ψ

es constante entonces:

Ψ

0→1 =

Ψ

1→2 = luego:

Entonces, en general si la

Ψ

es constante:

(48)

4.10.3 Conversión de un flujo de caja en dólares a un flujo de caja en soles

Flujo de caja en dólares Flujo de caja en soles

(moneda fuerte) (moneda débil)

Caso 1: la devaluación

Ψ

no es constante

US$ 1000*3.45= US$ 1000 S/. 3450 0 1 2 3 0 1 2 3 meses meses US$ 200 S/. 694 US$ 500*3.5= S/. 1750 US$ 700*3.51= S/. 2457

TC₁=3.47 S/. / US$ ; TC₂=3.5 S/. / US$ ; TC₃=3.51 S/. / US$ TC0=3.45 S/. / US$

US$ 200*3.47=

US$ 500

US$ 700

Ψ

0→1

≠

Ψ

1→2

≠

Ψ

2→3 ; la devaluación en cada período no es constante.

En el flujo de caja en dólares, equivalencia en t=0:

1000 = 200(P/F , icf , 1) + 500(P/F , icf , 2) + 700(P/F , icf , 3)

icf = 15.615% efectiva mensual en dólares

En el flujo de caja en soles, equivalencia en t=0:

icf = 16.337% efectiva mensual en soles

De los cálculos anteriores se observa que si bien la tasa de 15.615% efectiva mensual en dólares es diferente a la tasa de 16.337% efectiva mensual en soles, estas son tasas equivalentes pero expresadas en diferente moneda.

(49)

Si la devaluación

Ψ

no es constante aplicar la metodología siguiente:

1. Transformar los montos en US$ a S/. (moneda fuerte a moneda débil) con el tipo de cambio S/. / US$ en cada período.

2. Con el concepto de equivalencia, calcule la tasa de interés efectiva para el flujo de caja en dólares (moneda fuerte) y para el flujo de caja en soles (moneda débil).

3. Las tasas de interés efectivas obtenidas son equivalentes.

Caso 2: la devaluación

Ψ

es constante

TC0=3.45 S/. / US$ US$ 1000*3.45= US$ 1000 S/. 3450 0 1 2 3 0 1 2 3 meses meses US$ 200 S/. 703.8 US$ 500*3.59= S/. 1795 US$ 700*3.662= S/. 2562.7

TC₁=3.519 S/. / US$ ; TC₂=3.59 S/. / US$ ; TC₃=3.662 S/. / US$ US$ 200*3.519=

US$ 500

US$ 700

Ψ

0→1=2% =

Ψ

1→2=2% =

Ψ

2→3=2%; la devaluación en cada período es constante.

En el flujo de caja en dólares, equivalencia en t=0:

icf = 15.615% efectiva mensual en dólares

En el flujo de caja en soles, equivalencia en t=0:

3450 = 703.80(P/F , icf , 1) + 1794.50(P/F , icf , 2) + 2562.7(P/F , icf , 3)

icf = 17.927% efectiva mensual en soles

En este caso cuando la devaluación es constante, se puede simplificar este procedimiento aplicando la siguiente ecuación:

i

S/. = (1 + iUS$

**)*(1 +**

Ψ

S/. / US$

) - 1

iS/. = (1 + 15.615%)*(1 + 2%) - 1

iS/. = 17.927% efectiva mensual en soles. ¡Se obtiene el mismo resultado!

De los cálculos anteriores se observa que si bien la tasa de 15.615% efectiva mensual en dólares es diferente a la tasa de 17.927% efectiva mensual en soles, estas son tasas equivalentes pero expresadas en diferente moneda.

(50)

Observaciones para ambos casos (

Ψ

no constante y

Ψ

constante):

1. Las tasas efectivas en soles, dólares y la devaluación del sol respecto del dólar iS/. ;

iUS$ ;

Ψ

S/. / US$ deben cubrir el mismo período de tiempo.

2. Si la devaluación es constante período a período basta con aplicar la ecuación iS/. = (1 + iUS$)*(1 +

Ψ

S/. / US$) – 1

3. Si la estimación de la devaluación no es constante en cada período, transformar los montos en dólares a soles con el tipo de cambio de cada período; luego en el flujo de caja en soles aplique equivalencia para calcular la tasa en soles que es equivalente a la tasa en dólares calculada en el flujo en caja en dólares. Esta metodología también puede usarla cuando la devaluación es constante, sin embargo, es menos laborioso aplicar la fórmula

i

S/.

= (1

+ i

US$

)*(1 +

Ψ

S/. / US$

) - 1

4.10.4 Revaluación (R)

El tipo de cambio así como sube, también puede mostrar un comportamiento a la baja, en este caso, se genera la revaluación de la moneda débil respecto a la moneda fuerte. Así por ejemplo, cuando el sol se devalúa frente al dólar, se dice que el dólar se está revaluando (o apreciando) respecto al sol.

Ejemplo 1 año TC0 = 3.42 S/. / US$ TC1 = 3.51 S/. / US$

Ψ

S/. / US$= 2.632% anual

Ψ

S/. / US$ = 3.51 - 3.42 *100% 3.42 1 año TC

’

0 = 0.292 US$ / S/. TC

’

1 = 0.285 US$ / S/.

1/3.42 S/. / US$ = 0.292 US$ / S/. 1/3.51 S/. / US$ = 0.285 US$ / S/.

TC_t(S/. / US$) Donde: TC'_t (US$ / S/.) = 1

La revaluación R (US$ / S/.) desde “0” hasta “t” se calcula y expresa en términos porcentuales así:

R

0→→→→ t =

TC'_t- TC'₀

*100% TC'₀

Y se cumple cuando la devaluación es constante:

(1 +

Ψ

S/. / US$)*(1 + RUS$ / S/.) = 1 En el ejemplo: 0.285 - 0.292

R

_{US$ / S/.} = (1 + 2.632%)*(1 - 2.397%) = 1 -2.397%

R

US$ / S/. = *100% 0.292

(51)

4.11 FINANCIAMIENTO CON EMISIÓN DE BONOS

Los bonos son títulos valores puesta a la venta por empresas, bancos o el Estado para captar efectivo y representan una obligación de pago de largo plazo de intereses periódicos y una redención del capital de parte del emisor.

4.11.1 Flujo de caja del emisor de bonos

Flujo de caja para el emisor de los bonos:

PC (el precio de colocación lo recibe la empresa emisora, del adquiriente del bono)

0 1 2 3 n

I = i_B*VN

GE …

emisora El valor de redención lo

paga la empresa emisora, al adquiriente del bono

R = VN Gastos de emisión Los intereses los paga la empresa

que paga la empresa emisora, al adquiriente del bono

PC: precio de colocación, precio de compra del adquiriente del bono o inversionista. GE: gastos de emisión.

iB: tasa de interés del bono, también llamada tasa cupón.

I: importe de los intereses del bono. VN: valor nominal del bono.

R: valor de redención. n: vida del bono.

1,2,3,… fechas de pago de los intereses del bono (cupones).

Aplicando equivalencia (t=0) para determinar el costo financiero de la empresa emisora de los bonos.

PC - GE = iB*VN(P/A , icf , n) + R(P/F , icf , n)

De la expresión anterior se obtiene icf que es el costo financiero para la empresa emisora

de los bonos, y es costo porque la empresa está obteniendo dinero a través de financiamiento por emisión de bonos.

(52)

4.11.2 Flujo de caja de para el adquiriente de bonos

El adquiriente del bono invierte su dinero al comprarlo con la expectativa de obtener ganancias.

Flujo de caja para el adquiriente del bono o inversionista:

0 1 2 3 n

PC (paga el adquiriente del bono al emisor) I = i_B*VN

R = VN el adquiriente del bono, del emisor

El valor de redención que recibe el adquiriente Los intereses que recibe del bono, del emisor

Aplicando equivalencia (t=0) para determinar la rentabilidad del adquiriente del bono:

PC = iB*VN(P/A , iR , n) + R(P/F , iR , n)

De expresión anterior se obtiene iR que es la rentabilidad del adquiriente del bono o

inversionista.

Ejemplo