Problemas EXAMEN Teoremas (Resueltos)

(1)

Figura 1 Figura 1

Figura 2. Cálculo de la

Figura 2. Cálculo de la tensión de Thevenin.tensión de Thevenin.

PROBLEMAS

PROBLEMAS RESUELTOS

RESUELTOS DE

DE TEOREMAS

TEOREMAS

Problema 1

Problema 1 . En el . En el circuito de la figura 1, circuito de la figura 1, calcular los circuitos equivalentes de Thevenin y de Norton entrecalcular los circuitos equivalentes de Thevenin y de Norton entre A-B. A-B. aa bb Dato Datos: s: VV¯ ¯ = 100= 100   0º V 0º V , V, V¯ ¯ = 10= 1000   90º V , L=15mH, C=20090º V , L=15mH, C=200ììF,F, ùù=1=100 ra33rad/d/s.s. RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN::

Se va a reducir el circuito entre los terminales A y B hacia la izquierda, mediante

Se va a reducir el circuito entre los terminales A y B hacia la izquierda, mediante el equivalente de Theveninel equivalente de Thevenin (fuente real de tensión) y equivalente Norton (fuente real de corriente). Modo de realización:

(fuente real de tensión) y equivalente Norton (fuente real de corriente). Modo de realización:

TH TH

TENSIÓN DE THEVENIN: mediante la figura 2, se halla

TENSIÓN DE THEVENIN: mediante la figura 2, se halla VV¯ ¯ entre los terminales A-B a circuito abierto. entre los terminales A-B a circuito abierto.

Por tanto, se necesita determinar el valor

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Figura 3. Cálculo de la corriente de Norton.

Entonces:

INTENSIDAD DE NORTON: Se cortocircuita los terminales A-B, y se halla la corriente que circula por dicho

N

corto(¯I ) en sentido A-B, según la figura 3.

N

Aplicando la 2 LK a dicha figura, se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, ¯I e ¯I :

Resolviendo dicha ecuación nos queda:

Conociendo la tensión de Thevenin y la intensidad de Norton, la impedancia de Thevenin (o Nortón) será el cociente entre ambas.

(3)

Por tanto, el equivalente Thevenin (figura 4) y equivalente Norton (figura 5) nos quedará:

(4)

Figura 6

Figura 7. Tensión de Thevenin.

Problema 2. En el circuito de la figura 6, calcular el circuito equivalente de Thevenin entre los terminales A-B hacia la izquierda, con posterior aplicación del teorema de Boucherout.

1

Datos: e (t) = 2senùt (V) ; i (t) = 4cosùt (A.) ; R = 2Ù; R = 4Ù ; K = 2 ; ù = 10 rd/seg ; L = 86 ìH ; C = 0,5ìF.

RESOLUCIÓN:

Se va a calcular primeramente el circuito equivalente de Thevenin entre los terminales A-B:

* TENSION DE THEVENIN: En el circuito de la figura 7, se determina la tensión entre A-B a circuito abierto, de tal forma que sí aplicamos la 2 L.K. al circuito nos queda:

por otro lado se tiene:

sustituyendo ésta última expresión en (1),

* IMPEDANCIA DE THEVENIN: Según se puede observar en la figura 8, para el cálculo de dicha impedancia

0 0

se coloca entre A-B una fuente ideal de tensión, (V¯ ), que da lugar a una intensidad (¯I ). El cociente entre la

TH

tensión y la intensidad nos dará la impedancia correspondiente (Z¯ ). La fuente de tensión ideal actúa como un cortocircuito, mientras que la fuente dependiente de tensión que depende de intensidad se mantiene, ya que no se conoce lo que existe en su interior. La bobina se encuentra en paralelo con un corto, luego, no circula corriente por ella.

(5)

Figura 8. Impedancia de Thevenin.

Figura 9

1

Se debe encontrar otra ecuación que relacione ¯I con

0 0

¯I ó V¯ , por ejemplo utilizando la malla de la derecha y aplicando la 2 L.K.:

Sustituyendo (3) en (2) nos queda:

Una vez hallado el circuito equivalente Thevenin entre A-B, se procede a determinar las potencias puestas en juego por los elementos activos y pasivos del circuito de la figura 9, mediante el teorema de Boucherot. (Tener en cuenta: Para el cálculo de las potencias, trabajar con valores eficaces).

La reactancia del condensador:

# Potencias en los elementos pasivos:

(6)

-- En el condensador ( potencia reactiva):

# Potencias en los elementos activos: Se va a hallar mediante el cálculo de la potencia compleja y se tomará como referencia la intensidad saliente del elemento activo.

-- En la fuente independiente de tensión (potencia activa y reactiva): En este caso, la intensidad saliente de dicha fuente es ¯I = - 4  90º = 4  -90º A

I

-- En la fuente independiente de corriente (potencia activa y reactiva): Se procede a determinar la tensión V¯ , para posteriormente aplicar la concepto de potencia compleja. Sí se aplica la 2 L.K. al circuito de la figura 9, nos

queda:

Aplicando el teorema de Boucherot para las potencias activas y reactivas:

Ó

P

el. activos que actúan

=

Ó

P

el. pasivos más el. activos como generadores que actúan como receptores

(7)

Problema 3 . En el circuito de la figura 10, se pide calcular:

a) Potencias puestas en juego (activa y reactiva) por el generador dependiente de tensión âV¯

R

b) La impedanciaZ¯ que hay que conectar entre los puntos A y B para que reciba la máxima potencia.

R

c) La potencia máxima que recibe la carga, Z¯ .

1 1 2

Datos: i (t) = senw t (A) ; e (t) =2 sen (w t+ ð/4) (V) ; e (t) =40 sen (w t - 18,4º) (V) ;

1 2 3 1 2

Z¯ = 1+ j1 (Ù) ; Z¯ = 1-j1 (Ù) ; Z¯ = j2 (Ù) ;á = 2 ; â = 0,5 ; R = R = 2Ù.

RESOLUCIÓN:

Figura 10

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a) Se procede a calcular las potencias activa y reactiva de la fuente dependiente de tensión âV, mediante la

âV âV âV

expresión de la potencia compleja S _{= V}_{¯ ·¯I}* _{. Para poder calcular la intensidad y tensión de dicha fuente}

se aplican las leyes de Kirchhoff al circuito de la figura 11.

Igualando las ecuaciones 1) y 2) y luego sustituyendo 3) nos queda la siguiente expresión:

sustituyendo la intensidad ¯I en 3) nos queda:

Generador dependiente de tensión âV¯ :

Elementos activos (Teorema de Boucherot) : Tener en cuenta la referencia de la intensidad saliente al elemento

âV

activo, por tanto, ¯I = 1 180º A.

(9)

b) En primer lugar, se calcula el circuito equivalente de Thevenin (fuente real de tensión, figura 12) entre los terminales A-B.

* TENSION DE THEVENIN: En el circuito de la figura 11, se determina la tensión entre A-B a circuito abierto, de tal forma que sí aplicamos la 2 L.K. al circuito nos queda:

* IMPEDANCIA DE THEVENIN: Según se puede observar en la figura 13, para el cálculo de dicha

0 0

impedancia se coloca entre A-B una fuente ideal de tensión, ( V¯ ), que da lugar a una intensidad(¯I ). Aplicando

0 0

las leyes de Kirchhoff al circuito, se debe conseguir una única ecuación con las dos variables V¯ e ¯I . El cociente

TH

entre la tensión y la intensidad nos dará la impedancia correspondiente (Z¯ ).

Las fuentes de tensión ideales actúan como cortocircuitos, la fuente de corriente ideal actúa como un circuito abierto, mientras que las fuentes dependientes de tensión y corriente se mantienen.

Figura 12. Equivalente de Thevenin

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sustituyendo 4) en la ecuación que resulta de igualar 2) y 3) se obtiene:

0

Una vez obtenida esta ecuación ¯I = f (¯I ), se sustituye en 1) y se tiene la impedancia de Thevenin.

R

El valor de la impedancia(Z¯ ) que hay que conectar entre los puntos A y B para que reciba la máxima potencia debe ser:

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R

c) Una vez calculada la impedancia de carga (Z¯ ) para que reciba la máxima potencia, se determinará cuanto vale esa potencia máxima (figura 14).

Para ello se debe determinar la intensidad que circula por el circuito de la figura 14.

R

Por tanto, (recordar trabajar con valores eficaces), la potencia máxima en Z¯ será:

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