1
Probabilidad y
Estadística
MODELOS
2 Modelos discretos Modelos continuos
Ensayos de Bernoulli, Distribución Binomial- Geométrica,
Hipergeométrica, Poisson, etc….
Distribución Exponencial, Gamma, Uniforme, Normal, asociadas a la Distribución Normal, etc….
A que llamamos Modelo de Probabilidad?
Un Modelo de probabilidad o estadístico es la forma que puede tomar un conjunto de datos obtenidos a partir de un muestreo de datos con comportamiento que se supone aleatorio:
Valores que toma una determinada variable aleatoria que surgen de un experimento aleatorio
Las distribuciones de probabilidad son las expresiones matemáticas que definen la “forma” de los datos.
3
Ensayo Bernoulli: sólo son posibles dos resultados: éxito o fracaso.
Podemos definir una variable aleatoria discreta X tal que: éxito 1
fracaso 0
Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso 1 - p, podemos construir una función de probabilidad:
cara
cara
cara seca
seca
seca
1/2 1/2 1/2
1/2
1/2 1/2
Dos ensayos Bernoulli consecutivos con p=1/2.
1er ensayo
2do ensayo
1
,
0
)
1
(
)
(
X
x
p
p
1x
1
,
0
)
1
(
)
(
X
x
p
p
1x
P
x xFunción de distribución:
1
para
,
1
0
para
,
1
)
(
x
x
p
5
Esperanza y la varianza de la distribución de Bernoulli:
Siempre que a partir de una variable sobre la que se define una Función Masa y su correspondiente Función Distribución debemos determinar la esperanza y la varianza.
Un modelo probabilístico se compone por la función masa y la distribución y sus parámetros “esperanza y varianza”
6
¿Qué sucede si nos interesa observar número de veces que un suceso A
ocurre (éxitos) en n intentos independientes de un experimento?
Si A tiene probabilidad p (probabilidad de éxito) en un intento, entonces 1-p es la probabilidad de que A no ocurra (probabilidad de fracaso).
Si se repite n veces, por ejemplo # de caras en n lanzamientos de una moneda.
Si n=3 2(1 )3 2
2 3 )
2
(
p p
x n
Entonces
X
puede tomar los valores 0, 1, 2, ...
n.
Si consideramos uno de estos valores, digamos el valor
x
, i.e. en
x
de
los
n
intentos ocurre
A
y en
n - x
no. Entonces la probabilidad de cada
posible ordenación es
p
xq
n-xy existen idénticas ordenaciones.
Supongamos que el experimento consta de
n
intentos y se define
la variable aleatoria:
X = Número de veces que ocurre A.
x n x
x n x
p
p
x
n
x
n
p
p
x
n
x
X
P
p
n
B
(
1
)
)!
(
!
!
)
1
(
)
(
)
,
(
Función masa
8
9
Si una décima parte de las personas tienen cierto grupo sanguíneo, ¿cuál es la probabilidad de que entre 100 personas escogidas al azar exactamente 8 de ellas pertenezcan a este grupo sanguíneo?
¿Cómo definimos la variable?
115
.
0
1
0
1
1
0
8
100
8
8
100
1
0
1
92 8
)
.
-(
)
.
(
)
p(X
x
;
n
;
.
p
p)
(
p
x
n
x)
p(X
x n x10
¿Y si la pregunta es 8 como máximo?
3209
.
0
9
.
0
)
1
.
0
(
100
1
8
8
0
100 8
0
x
x x
x
x n x
)
(
x
p)
(
p
x
n
)
11
Calcula la probabilidad de obtener al menos dos seis al lanzar un dado
cuatro veces.
p =
1/6,
q =
5/6,
n
= 4
(
)
k
p
q
(
k
0
,
1
,....
n
)
n
k
P
k n k
4 3 2 26
1
4
4
6
5
6
1
3
4
6
5
6
1
2
4
132
.
0
1296
171
)
1
5
4
25
6
(
6
1
4
Al menos dos seis, implica que X # número de 6 en 4 tiros, puede tomar el
valor 2, 3, 4.
P
(X=2)
+ P
(X=3)
+ P
(X=4)
12
13
14
Recordamos, en un esquema Bernoulli
Como X es B(n,p): X es suma de n variables Bernoulli
npq x
V X
V
np x
E X
E
Bernoulli n
j x
X
n
j
j n
j
j n
j
j
) ( )
(
) ( )
(
.... 1
1 1 1
Por propiedad de esperanza matemática
Por que la varianza de la suma de variables
aleatorias independientes es la suma de las varianzas de cada una de las
15
n
= 5
p
= 0.1
n
= 5
p
= 0.5
Esperanza
= E(X) =
n p
=
5 · 0.1 = 0.5
= 5 · 0.5 = 0.25
Desviación estándar
0 .2 .4 .6
0 1 2 3 4 5
X P(X)
.2 .4 .6
0 1 2 3 4 5
X P(X) 0
1
.
1
)
5
.
0
1
(
5
.
0
5
67
.
0
)
1
.
0
1
(
1
.
0
5
)
1
(
np
p
¿Cómo interpretamos?
A medida que aumenta la probabilidad y se acerca a 0.5
el número medio esperado se
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Distribución geométrica
Consideremos el siguiente experimento:
Partimos de un experimento de Bernoulli donde la probabilidad de que ocurra un suceso es p (éxito) y la probabilidad de que no ocurra q = 1- p (fracaso). Repetimos nuestro experimento indefinidamente, no importa el número de repeticiones, nos interesa conseguir el primer éxito.
Definimos la variable aleatoria X, como:
número de fracasos hasta que se obtiene el primer éxito.
Entonces siguiendo la lógica del proceso Bernoulli:
...
,
,
,
x
p
p
x
X
P
p
G
x2
1
0
,
1
)
(
:
)
(
17
p(x)
x
...
,
,
,
k
p
p
k
X
P
k2
1
0
,
1
)
(
Función de distribución: 1
0
)
1
(
1
)
1
(
)
(
nn
x
x
p
p
p
n
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Suponga que cada una de sus llamadas a una estación de radio popular tiene una probabilidad de 0.02 de ser respondida. Asumiendo que las llamadas son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que le respondan a la décima llamada?
02 . 0 98
. 0 )
1 ( ) 9
(X p 9 p 9 x
P
X: número de llamadas sin responder hasta la primera respondida
Los registros de una compañía constructora de pozos, indican que la probabilidad de que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en el término de un año es de 0.20. ¿Cuál es la
probabilidad de que el quinto pozo construido por esta compañía en un año dado sea el primero en requerir reparaciones en un año?.
X~Ge(p=0.20)
19
¿Será niña? Tenemos un matrimonio al que le gustaría tener una niña, y deciden tener hijos hasta conseguirlo: X~Ge(p); X: # de níños hasta conseguir una niña
¿Cuál es la probabilidad de que tengan primero 3 niños y la cuarta sea la niña? (Suponemos que no hay embarazos múltiples)
El suceso tener descendencia sólo tiene dos resultados posibles en cuestión de
sexo del bebe: niña (que puesto que es lo que quiere el matrimonio, en este caso es el resultado considerado exitoso, E), o niño (F). Asumimos que la probabilidad de
que nazca un bebé de un sexo u otro es del 50%,
p = ½, y por lo tanto, q = 1 – p = 1 – ½ = ½ .
Queremos estudiar la probabilidad del suceso tener descendencia
P(el cuarto nacimiento sea una niña y los tres anteriores niños) = P(X=3)=6,25%
0625 .
0 2
/ 1 ) 2 / 1 ( )
3
20
Repasamos!!!!
Definimos una experiencia aleatoria cuyo resultado sólo puede ser el suceso A o su complementario Ac, y que se repite secuencialmente hasta que aparece el suceso A por primera vez.
Definamos la variable aleatoria X como el número de veces que repetimos la experiencia en condiciones independientes hasta que se dé A por primera vez. Bajo estas condiciones, decimos que la variable X sigue una distribución geométrica con parámetro p = P(A).
¿Cuándo decimos que X = 0 a que suceso nos referimos?
A acontece en la primera repetición del experimento.
Como en todos los modelos, aplicando la formula de esperanza y varianza encontramos que para el
modelo Geométrico:
Esperanza: E(X) = (1 − p)/p Varianza: V(X) = (1 − p)/p2
Si p es grande el número esperado
de veces que acontece hasta el
21
¿Elegir al azar con reemplazo? ¿ Qué significa?
Elegir al azar con reemplazo significa que escogemos al azar un elemento de un conjunto y lo regresamos para elegir de nuevo al azar. Independencia de las
elecciones.
Si una caja contiene N bolas de las cuales A son rojas, entonces la probabilidad de escoger al azar una bola roja es: p = A/N.
Si repetimos el experimento sacando n bolas con reemplazo la probabilidad de que x sean rojas es:
)
,....
1
,
0
(
1
)
(
x
n
N
A
N
A
x
n
x
P
x n x
22
Ahora elegimos al azar sin reemplazo!!
Veamos la diferencia
Elegir al azar sin reemplazo significa que no devolvemos el elemento elegido al azar al conjunto. De modo que las probabilidades de la siguiente elección dependen de las anteriores.
NO HAY INDEPENDENCIA!! La probabilidad de la elección depende de la anterior.
N = A + (N – A). Dos grupos excluyentes rojas y no rojas
De las A bolas rojas tomaremos x y de las N – A bolas no rojas tomaremos n – x.
Si repetimos el experimento anterior sacando de la caja de N bolas, de las cuales A son rojas, n bolas sin reemplazo:
¿cuál será ahora la probabilidad de que x sean rojas?
posibles
Casos
n
N
Como extraigo muestras de23
Distribución
Hipergeométrica
(
,
,
)
(
)
(
x
0
,
1
,
...,
n
)
24
Jugadas con cartas
Tenemos una baraja de cuarenta cartas de la que vamos a extraer ocho.
¿Cuál es la probabilidad de que cinco de ellas sean una figura (sota o caballo o rey)?
La población A son las figuras, que son doce (N1 = 12), y
La población B es el resto del mazo, que son veintiocho cartas (N2 = 40-12 = 28).
N = 12+28 = 40, n = 8
0.034
8 40
5 8
12 40
5 12
) 5
(
X P
25
Un lote de tuberías contiene 100 piezas de un proveedor A ( local) y 200 del proveedor B ( ciudad vecina).
Se seleccionan 4 piezas sin reemplazo:
¿Cuál es la probabilidad de que todas las piezas sean del proveedor A?
X número de piezas del proveedor A. X~HI(100, 200,4)
0.0119 4
300 0 200 4
100 )
4
(
X P
26
¿ Que deberíamos calcular para determinar el número de piezas esperadas en la muestra del
proveedor local?
Muy importante usar para el calculo la probabilidad
complementaria
27
Función masa
X número de éxitos en n pruebas sin reposición
Aplicando la formula de esperanza:
N N n N k n N N k N k X E n k 1 0 1 1 n ) (
Probabilidad del primer éxito
1 n ) ( ) ( )( 2 2 1 1
N n N N N N N N X E X E X V
Aplicando la formula de varianza:
Probabilidad del primer fracaso Factor de corrección por falta de independencia
28
Cuando N es muy grande, como criterio se suele considerar N > 10n, la distribución hipergeométrica se puede aproximar por la binomial B( n, p ) con p = k/N
Si generalizamos podríamos decir que:
En general mencionamos
2
) (
) (
X V
29
Queremos seleccionar al azar dos bolas de una caja que contiene 10 bolas, tres de las cuales son rojas. Encuentra la función de probabilidad de la variable
aleatoria : X = Número de bolas rojas en cada elección (con y sin reemplazo).
Tenemos
N
= 10,
A =
3,
N - A =
7,
n
= 2
Con reemplazo:
09 . 0 ) 2 ( , 42 . 0 ) 1 ( , 49 . 0 ) 0 ( 10 7 10 3 2 ) ( 2 X p X p X p x x X p x x 07 . 0 45 3 ) 2 ( 47 0 45 21 ) 1 ( ) 0 ( 2 10 2 7 3 ) ( x x x p X p X . , p X
X p
30
Hipergeométrica
N = 24 X = 8
n = 5
Binomial
n = 5
p = 8/24 =1/3
x Error
0 0.1028 0.1317 -0.0289
1 0.3426 0.3292 0.0133
2 0.3689 0.3292 0.0397
3 0.1581 0.1646 -0.0065
4 0.0264 0.0412 -0.0148
5 0.0013 0.0041 -0.0028
P(x) P(x)
N = 240 X = 80
n = 5
n = 5
p = 80/240 =1/3
x P(x) Error
0 0.1289 0.1317 -0.0028
1 0.3306 0.3292 0.0014
2 0.3327 0.3292 0.0035
3 0.1642 0.1646 -0.0004
4 0.0398 0.0412 -0.0014
5 0.0038 0.0041 -0.0003
P(x)
Observa que si
N,
A, N-A
son grandes
comparados con
n
no hay gran
diferencia en qué
distribución
empleemos.
La distribución
binomial es una
31
