REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES EXPLÍCITAS

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Departamento de Matemáticas. IES Pablo Serrano. Zaragoza.

Mariano Benito Abajo

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REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES EXPLÍCITAS

Para representar gráficamente una función explícita hemos de seguir los siguientes pasos:

1. Dominio de definición: Es el conjunto de números reales que tienen

imagen con esa función. Se designa D(f), Dom(f) o D.

{

x R f(x)

}

D(f)= ∈ ∃

2. Recorrido de la función: Es el conjunto de números reales que son

imagen del dominio de definición. Se designa Recorrido(f).

{

y R x R,f(x) y

}

f)

Recorrido( = ∈ ∃ ∈ =

3. Simetrías: Estudiar las simetrías permitirá analizar la función sólo en

una parte de su Dominio.

a. Respecto al eje OY: f(-x) = f(x); f(x) se llama función par.

x y

f(-x) f(x)

-x x

b. Respecto al origen: f(-x) = -f(x); f(x) se llama función impar.

x y f(-x) f(x) -x x

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c. Respecto al eje OX: La función debe de tener la forma y=±f(x).

x y

x

y=+f(x)

y=-f(x)

4. Continuidad: Los valores de x que no pertenecen al dominio de

definición son puntos de discontinuidad. En general, f(x) tiene en a una

discontinuidad si ) a ( f ) x ( f lim a x→ ≠

Hemos de clarificar los tipos de discontinuidades.

5. Asíntotas verticales: La recta x = a es una asíntota vertical de f(x) si

se cumple: ±∞ = ± → f(x) lim a x x y a x=a

6. Asíntotas horizontales o/y oblicuas:

a. La recta y = b es una asíntota horizontal de f(x) si se cumple:

b f(x) lim

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x y

b y=b

b. La recta y = mx + n es una asíntota oblicua de f(x) si se cumple: ±∞ = ±∞ → f(x) lim x

En este caso: y n lim

(

f(x) mx

)

x f(x) lim m x x = − = ±∞ → ±∞ → . x y y=mx+n

Nota: Puede ser que al calcular m y/o n nos dé infinito, entonces

diremos que la función tiene una rama parabólica que va por

alguno de los cuatro cuadrantes, según nos informe el límite

±∞ = ±∞ → f(x) lim x .

7. Cortes con las asíntotas horizontales y oblicuas: Una función y = f(x)

puede tener cortes con sus asíntotas que no sean verticales, para ello haremos la intersección entre la función y la asíntota resolviendo el sistema: ⎩ ⎨ ⎧ = Asíntota f(x) y

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8. Cortes con los ejes: Para calcular los cortes con los ejes OX y OY

resolvemos los sistemas:

⎩ ⎨ ⎧ = = ⎩ ⎨ ⎧ = = 0 x f(x) y : OY con Corte 0 y f(x) y : OX con Corte

9. Signo de la función: Significa averiguar los intervalos en que la función

es positiva y los que es negativa. Teniendo en cuenta el D(f) y los cortes con el eje OX, estudiamos el signo por intervalos. Por ejemplo: Sea a un punto donde no existe la función y (b,0) y (c,0) dos puntos de corte con OX, estudiaremos el signo de la función en los intervalos:

(

−∞,a

) ( ) ( ) (

, a,b, b,c y c,+∞

)

Obteniendo, por ejemplo: positiva, positiva, negativa y positiva. Es decir:

x y Función positiva Función positiva Función negativa Función positiva a b c

En esta zona no hay gráfica

En esta zona no hay gráfica

10. Crecimiento y decrecimiento: Para ello resolveremos la ecuación:

0 (x) '

f =

Y estudiaremos el signo de la función f’(x) por intervalos, teniendo en cuenta las soluciones de la ecuación anterior y el D(f). Por ejemplo: __________│__________│__________________│________________ - a b c +

f’(x) >0 <0 <0 >0

f(x) crecte decrete decrete crete

11. Máximos y mínimos relativos: Según el apartado anterior podemos

afirmar que la función tiene un máximo en a y un mínimo en c (si es que

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De las soluciones de f`(x) = 0, obtenemos los candidatos a máximo y a mínimo relativo. Supongamos que, efectivamente, son a y c:

f’(a) = 0 y f’(c) = 0

Si f’’(a)<0, diremos que en x = a hay un máximo relativo. Mº(a, f(a)).

Si f’’(c)>0, diremos que en x = c hay un mínimo relativo. mº(c,f(c)).

12. Curvatura (concavidad y convexidad): Una función f(x) es: a. Cóncava en x = a, si f’’(a)>0.

b. Convexa en x = c, si f’’(c)<0.

Estudiaremos el signo de la f’’(x) por intervalos, teniendo en cuenta el D(f) y las soluciones de la ecuación:

0 (x) ''

f =

Supongamos, como en el apartado 10., a y c soluciones de la ecuación y b un punto de no existencia de la función

___________│_________│__________________│________________ - a b c +

f’’(x) >0 <0 <0 >0

f(x) cóncava convexa convexa cóncava

13. Puntos de inflexión: Son aquellos en que la función cambia de

cóncava a convexa o al revés.

Los candidatos a punto de inflexión son las soluciones de f ’’(x) = 0. Si una función tiene en x = a un punto de inflexión, se cumple:

0 (a) '' ' f y 0 (a) '' f = ≠

El punto será X(a,f(a)).

Si además también se cumple que f ‘(a) = 0, diremos que es un punto

de inflexión horizontal (con recta tangente horizontal).

14. Rectas tangentes en puntos de interés: Cuando los apartados

anteriores nos den poca información sobre la función podemos recurrir a calcular alguna recta tangente a la función en puntos que creamos interesantes (a, f(a)).

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La recta tangente es: y−f(a)=f'(a)⋅(x−a)

15. Tabla de valores: No se suele hacer si hemos realizado bien los

apartados anteriores, pero quizás en algún caso puede ser útil.

16. Representación gráfica: Debes dibujar un par de ejes OX y OY

perpendiculares y que ocupen casi todo el folio.

Repasas lo obtenido en los apartados anteriores y dibujas la función de modo que se vea todo lo obtenido. ¡LIMPIEZA Y CLARIDAD!

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Gráficas obtenidas de: http://www.acienciasgalilei.com/program/program-mates.htm

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GRÁFICAS DE FUNCIONES EXPLÍCITAS Valor absoluto, parte entera, signo

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