Análisis de Funciones

 

       

 

 

Análisis  de  Funciones  

 

 

por Oliverio Ramírez  

Introducción

El análisis de funciones se refiere a conocer el comportamiento particular de una función a partir del

cálculo de ciertos valores representativos en los que la función experimenta cambios como su crecimiento

o decrecimiento en un intervalo definido. Este análisis se fundamenta en que la derivada se interpreta

geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función (Zill, 1987).

De esta forma, calcular la derivada de una función implica también conocer la pendiente de una recta tangente a la gráfica de dicha función.

Veamos cómo esta interpretación de la derivada sustenta el análisis de una función.

Funciones creciente y decreciente.

Analicemos la función  

f

(

x

)

= 3

x

2

+ 2

x

– 5

cuya gráfica es:

Figura 1. Gráfica de una función

El comportamiento de la gráfica de una función siempre se analiza de izquierda a derecha, es decir, de valores menores de x a valores mayores.

Es evidente que para valores de

x

anteriores al vértice,

f x

( )

era mayor y reduce su valor hasta un valor mínimo justo en el vértice, pero después de éste

f x

( )

vuelve a incrementarse. Observa nuevamente la gráfica.

Figura 2. Gráfica de una función

Si dibujáramos la recta tangente a la gráfica de la parábola anterior justo en el vértice se observa que la recta tangente es una recta horizontal y la pendiente de una recta horizontal siempre es cero.

rectas tangentes se inclinan a la izquierda, es decir, su pendiente es negativa.

Figura 4. Gráfica de una función

Por último, si trazamos algunas rectas tangentes a la gráfica de la parábola y posteriores al vértice, se observa que las rectas tangentes se inclinan a la derecha, es decir, su pendiente es positiva.

Figura 5. Gráfica de una función

“Una función es creciente, en un punto dado, si el valor de la primera derivada es positivo en el mismo punto; y es decreciente si el valor de la misma primera derivada es negativo en ese punto dado.”

Para esta función en donde la tangente a la gráfica es una recta horizontal (pendiente igual a cero), para calcular las coordenadas del punto, calculamos la derivada de la función

_f

_{( )}

_x

y la igualamos con cero para poder encontrar la coordenada

x

(abscisa) del punto buscado.

f x

( )

=

3

x

2

+

2

x

−

5

′

f x

( )

=

d

dx

3

x

2

+

2

x

−

5

(

)

′

f x

( )

=

6

x

+

2

Ya que tenemos la derivada, al igualar con cero, observamos:

0

2

6

x

+

=

Si despejamos

x

de esta ecuación obtenemos

3

1

6

2

2

6

0

2

6

−

=

−

=

−

=

=

+

x

x

x

x

Que es la abscisa del vértice.

Al valor que toma la variable independiente cuando la función cambia de creciente a decreciente o viceversa se le llama valor crítico.

Una vez que se ha encontrado el valor o valores críticos (puede haber más de uno o no haber) se construyen intervalos para expresar en el lenguaje matemático para qué valores de

x

, la función es creciente o decreciente, En el intervalo

_⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∞

−

3

1

,

la función

f x

( )

es decreciente. En el intervalo

_⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

∞

−

_,

3

1

la función

f x

( )

es creciente.

Observa que se utilizan los paréntesis curvos, lo que indica que el valor

3

1

−

_{no pertenece al intervalo. De}

hecho en ese valor, la derivada ni es positiva ni negativa, es cero.

En la siguiente tabla se analiza el signo de la primera derivada para algunos valores de

x

antes y después de

3

1

−

=

x

. Valores de

x

anteriores y posteriores a

3

1

−

=

x

Valores de la primera derivada

′

f x

( )

=

6

x

+

2

(pon especial atención en el signo de la derivada) Comportamiento de la función -2.5

6

(

−

2.5

)

+

2

=

−

13

Decrece -2.0

6

(

−

2.0

)

+

2

=

−

10

Decrece -1.5

6

(

−1.5

)

+

2

=

−7

Decrece 0

6 0

( )

+

2

=

2

Crece 1

6 1

( )

+

2

=

8

Crece 2

6 2

( )

+

2

=

14

Crece

Valor crítico

Zill (1987, p. 199) define valor crítico de la siguiente forma:

“Un valor crítico de una función es un número c en su dominio para el cual o no existe.”

Por lo anterior, un valor crítico existirá en los puntos en donde la derivada sea cero ó en donde la derivada no exista.

Del ejemplo anterior, la derivada es cero cuando la recta tangente a una gráfica es horizontal pero:

¿En qué casos una derivada no existe?

Analiza las siguientes figuras.

Cuando f es discontinua en c Cuando la tangente es una recta vertical

Cuando la gráfica tiene un cambio abrupto.

Ejemplos de gráficas no diferenciables en un punto c.

Tabla 2. Ejemplos

La primera gráfica es discontinua y es evidente que los límites por la izquierda y por la derecha no son

iguales, razón por la cual la derivada no existe. Para la segunda gráfica la tangente es vertical y su pendiente no está definida en los números reales. Por último, la tercera gráfica muestra una función

De acuerdo con Leithold (1998), una función continua no necesariamente es diferenciable, esto es, no siempre una función continua tiene derivada en todo su dominio.

La siguiente definición permite evaluar la existencia de la derivada (y por lo tanto de una recta

tangente) en un punto específico.

Definición de derivada lateral

i)

Si la función f esta definida en x1, entonces la derivada por la derecha de f en x1, denotada por

+

f

'

( )

x

₁ , está definida por

+

f

'

( )

x

₁

=

Δx→0+

lim

f x

(

1

+

Δ

x

)

−

f x

( )

Δ

x

⇔

f

'

+

( )

x

1

=

x→x1+

lim

f x

( )

−

f x

( )

1

x

−

x

₁ si el límite existe.

ii)

Si la función f esta definida en x1, entonces la derivada por la izquierda de f en x1, denotada por

( )

1

'

x

f

₋ , está definida por −

f

'

( )

x

₁

=

Δx→0−

lim

f x

(

1

+

Δ

x

)

−

f x

( )

Δ

x

⇔

f

'

−

( )

x

1

=

x→x1−

lim

f x

( )

−

f x

( )

1

x

−

x

1 si el límite existe.

Usando estas definiciones, para que una función sea

diferenciable en x1 las derivadas laterales

f

'

+

( )

x

1 y

−

f

'

( )

x

₁

Ejemplo 1. Función continua no diferenciable

Determina si la función seccionada

es diferenciable en x=3

Figura 6. Gráfica de una función

Calculando las derivadas laterales de f tenemos:

−

f

'

( )

2 = x→2−

lim

f x

( )

_x−−_xf

( )

2 1 −

f

'

( )

2 = x→2−

lim

(

3x_x−₋2₂

)

−4 −

f

'

( )

2 = x→2−

lim

3x_x−−₂6= x→2−

lim

3

(

_xx₋−₂2

)

=3 −

f

'

( )

2 =3 +

f

'

( )

2 = x→2+

lim

f x

( )

_x−−_xf

( )

2 1 +

f

'

( )

2 = x→2+

lim

(

6−_x−x

)

₂−4 +

f

'

( )

2 = x→2+

lim

2_x−₋x₂= x→2+

lim

−

(

_xx₋−₂2

)

=−1 +

f

'

( )

2 =−1 Como −

f

'

( )

2

≠

+

f

'

( )

2

,

f x

( )

no es diferenciable en x=2. Por lo anterior:

Para determinar los intervalos en donde una función es

creciente o decreciente, es necesario primero determinar los valores críticos (puntos en donde la derivada sea cero o no exista) y luego evaluar el signo de la derivada en los intervalos propuestos.

En los siguientes ejemplos se calculan los valores críticos y los intervalos en los que la función es

creciente o decreciente.

Ejemplo 2

Determina los valores críticos y los intervalos en los que la función

(

)

3

3

3

+

−

=

x

x

x

f

es creciente o decreciente. Solución. La derivada de

(

)

3

3

3

+

−

=

x

x

x

f

es, f'

( )

x = d dx x 3₋ 3x+3

(

)

=3x2₋ 3

Como no existe un valor x para el que no exista

f

'

( )

x

, igualamos con cero para hallar los valores críticos y tenemos

1

3

3

0

3

3

2

±

=

±

=

=

−

x

x

Por lo anterior

,

Los valores críticos

son x=-1 x=1

Los intervalos son

(

₋

_∞

,

₋

1

)

(

−

1,

+

1

)

₍

1

,

₊

_∞

₎

Números en los intervalos -2 0 2 Sustituyendo los valores elegidos en la primera derivada se obtiene

( )

(

)

(

)

(

2

)

9 ' 3 2 3 2 ' 3 3 ' 2 2 + = − − − = − − = f f x x f

( )

( )

( )

( )

0

3

'

3

0

3

0

'

3

3

'

2 2

−

=

−

=

−

=

f

f

x

x

f

( )

( )

( )

( )

2

9

'

3

2

3

2

'

3

3

'

2 2

+

=

−

=

−

=

f

f

x

x

f

Analizando el signo de la derivada la función es

Te recomiendo que practiques en tu cuaderno:

Construye la gráfica de la función, de esta forma complementarás tu comprensión de los intervalos creciente-decreciente así como el valor crítico.

Ejemplo 2

Determina los valores críticos e intervalos en los que la función

_f

₍

_x

₎

₂

_x

2/3

=

es creciente o decreciente

.

Solución.

La derivada de

_f

₍

_x

₎

₂

_x

2/3

=

es,

( )

( )

( )

( )

3 1

3

4

3

2

2

2

'

3 1 3 2

x

x

x

dx

d

x

f

⎟

=

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

=

−

Como la división por cero no está definida,

f

'

( )

x

no está deinida en x=0, y debido a que x=0 pertenece al dominio de f(x) se concluye que es un valor crítico. Por lo anterior,

Los valores críticos son x=0

Los intervalos son

(

−

∞

,

0

)

(

0

,

+

∞

)

Elegimos números en los intervalos

-1 1

Sustituyendo los valores elegidos en la primera derivada se obtiene f'

( )

x = 4 3x13 f'

( )

−1 = 4 3

( )

−113 f'

( )

−1 =−4 3 f'

( )

x = 4 3x13 f' 1

( )

= 4 3 1

( )

13 f' 1

( )

= +4 3 Analizando el signo de la

derivada la función es Decreciente Creciente

Te recomiendo que practiques en tu cuaderno:

Construye la gráfica de la función, de esta forma complementarás tu comprensión de los intervalos creciente-decreciente así como el valor crítico.

Extremos relativos y absolutos.

Otro concepto importante en el análisis de funciones son los valores máximos y mínimos de f(x). Leithold (1998) menciona que existen valores extremos relativos y absolutos. Para el caso de:

•

Los valores extremos absolutos, son valores particulares de la función que son mayores (o

menores) que cualquier otro valor de la función;

•

Los valores extremos relativos, la función toma valores máximos o mínimos sólo para un intervalo

específico de la función.

Las siguientes figuras muestran ejemplos de un mínimo absoluto y un mínimo relativo.

Figura 7. Mínimo absoluto y mínimo relativo

Para determinar los puntos máximos o mínimos de una función, primero es necesario encontrar los valores críticos.

Las siguientes definiciones relacionan las funciones crecientes y decrecientes con el concepto de máximo y mínimo relativo.

En un mínimo relativo, la función pasa de DECRECIENTE a CRECIENTE, esto es, el valor de la derivada cambió de NEGATIVO a POSITIVO.

En un máximo relativo, la función pasa de CRECIENTE a DECRECIENTE, esto es, el valor de la derivada cambió de POSITIVO a NEGATIVO.Fuenlabrada (2001, p.186)

Observa la siguiente gráfica, en la que se aprecian los cambios de la función y los valores máximos y mínimos relativos.

Figura 8. Gráfica de una función

Figura 9. Gráfica de una función

En la gráfica se muestra que el comportamiento de

f

_{( )}

x

es creciente, decreciente y creciente. Pero debemos determinar el punto exacto en el que ocurren estos cambios para poder encontrar los puntos máximos y mínimos de la función.

Encontremos la coordenada

x

de estos puntos. Primero, debemos calcular la derivada de la función

′

f x

( )

=

d

dx

x

3

₋

3

x

+

2

(

)

′

f x

( )

=

3

x

2

₋

3

Ahora igualemos la derivada con cero

0 3 3 2 = − x

A diferencia del ejemplo de la parábola, esta ecuación es de grado dos, pero como sólo aparece el término cuadrático y un término independiente podemos despejar la

x

y luego extraer la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación, nos queda

1

1

1

3

3

3

3

0

3

3

2 2 2 2

±

=

=

=

=

=

=

−

x

x

x

x

x

Por lo que los valores buscados son

1

−

=

x

y

x

=

1

Que son los valores de las

x

'

s

de los puntos en amarillo señalados en la gráfica.

Con estos dos valores se generan tres intervalos como se muestra en la siguiente recta numérica.

Los intervalos obtenidos son:

1.

₍

−

∞

,

−

1

₎

2.

(-1, 1)

3.

(

1,

+

∞

)

¿Puedes definir en qué intervalo la función crece o decrece?

Para responder a esta pregunta, puede tomarse cualquier valor de la variable independiente

x

que se encuentre dentro del intervalo a analizarse, sustituirse en la primera derivada y observar el signo de ésta.

-∞ -1 0 1 +∞

Se recomienda siempre escribir el 0 comoreferencia

Siempre los intervalos iniciaránen -∞

Siempre los intervalos terminarán en +∞

(-∞, -1) ( -1, 1) (1, +∞)

Los valores extremos no pertenecen a los intervalos y por ello, éstos se escriben con paréntesis curvos

Si es positivo, se considera que la función es creciente en todo el intervalo. Si es negativo, se concluye que la función decrece en todo el intervalo.

Intervalo Acción

(

−

∞

,

−

1

)

(-1, 1)

(

1

,

+

∞

)

Elegimos

x

=

−

2

x

=

0

x

=

2

Sustituimos en la derivada ′ f x

( )

=3x2₋ 3 ′ f

( )

−2 =3

( )

−2 2−3 ′ f

( )

−2 =12−3=9

′

f x

( )

=

3

x

2

−

3

′

f

( )

0

=

3 0

( )

2

−

3

′

f

( )

0

=

0

−

3

=

−

3

′

f x

( )

=

3

x

2

−

3

′

f

( )

2

=

3 2

( )

2

−

3

′

f

( )

2

=

12

−

3

=

9

Conclusión de acuerdo al

signo de la derivada (en todo el intervalo)

Creciente

Decreciente

(en todo el intervalo)

Creciente

(en todo el intervalo)

Como los máximos y mínimos relativos existen en los cambios de la función, de la tabla anterior se deduce que

:

Existe un máximo relativo en

x

=

−

1

porque la función en ese valor hace un cambio de CRECIENTE – a – DECRECIENTE.

Existe un mínimo relativo en

x

=

1

porque la función en ese valor hace un cambio de

DECRECIENTE – a – CRECIENTE.

A esta regla de decisión se le conoce como criteriode la primera derivada, porque se basa en el análisis de esta derivada para determinar los máximos y los mínimos.

Aunque conocemos la coordinada

x

, falta encontrar la coordenada y para determinar por completo el punto máximo y el punto mínimo. Para conocer el valor correspondiente de y sustituimos

x

=

−

1

y

x

=

1

en la función original. La función original es

f x

( )

=

x

3

−

3

x

+

2

f

( )

−1 =

( )

−13−3

( )

−1 +2 f

( )

−1 =−1+3+2 f

( )

−1 =4 f

( )

1 =

( )

13−3 1

( )

+2 f

( )

1 =1−3+2 f

( )

1 =0

Por lo que el Máximo relativo es el punto (-1, 4) y el Mínimo relativo es el punto (1, 0) como se muestra en la siguiente gráfica.

Figura 10. Gráfica de máximo relativo y mínimo relativo

Ejemplo 3

Encuentra los puntos máximos y mínimos de la función f x

( )

=x3−x2−5x+7 si es que existen. Además señala en qué intervalos, la función es creciente o decreciente.

Encontremos la primera derivada para hallar los valores críticos.

′

f x

( )

=

d

dx

x

3

₋

x

2

−

5

x

+

7

(

)

′

f x

( )

=

3

x

2

−

2

x

−

5

Haciendo

f x

′

( )

=

0

tenemos ′ f x

( )

=0 3x2₋ 2x−5=0

Para resolver esta ecuación cuadrática podemos utilizar factorización o la fórmula general de las

cuadráticas. Debido a que siempre es posible usar esa fórmula para encontrar las soluciones de

una ecuación cuadrática de la forma 2 0

= +

+bx c

ax , optamos por usarla en esta sección. Máximo relativo

(-1, 4)

Mínimo relativo (1, 0) Al analizar esta gráfica en

particular, es fácil determinar las coordenadas de los puntos máximo y mínimo, pero éstos no siempre caen en coordenadas exactas por lo que será necesario realizar todo el procedimiento.

La fórmula general de las cuadráticas (por si no la recuerdas) es:

a

ac

b

b

x

2

4

2

−

±

−

=

3

=

a

b

=

−

2

c

=

−

5

Al sustituir estos valores en la fórmula general obtenemos

x

=

− −2

( )

±

( )

−2

2

−

4 3

( )

( )

−5

2 3

( )

x

=

2

±

4

−

12

( )

−5

6

=

2

±

4

+

60

6

x

=

2

±

64

6

=

2

±

8

6

Por lo que las dos soluciones que buscamos son:

3

5

6

10

6

8

2

1

=

=

+

=

x

1

6

6

6

8

2

2

=

−

−

=

−

=

x

Ahora debemos definir los intervalos. Al usar una recta numérica como en el ejemplo anterior queda,

-∞ -1 0 5/3 +∞

Se recomienda siempre escribir el 0 como referencia

Siempre el primer intervalo iniciará en -∞

Siempre el último intervalo terminará en +∞

(-∞, -1) _{(-1, 5/3)} (5/3, +∞)

Los valores extremos no pertenecen a los intervalos, por ello, éstos se escriben con paréntesis curvos

2 1

Una vez que hemos definido los intervalos, debemos elegir un número de cada uno de éstos y sustituirlos en la derivada para observar su signo y con ello saber si crece o decrece.

Intervalo Acción

(

−

∞

,

−

1

)

(-1, 5/3)

(

5

/

3

,

+

∞

)

Elegimos

x

=

−

2

x

=

0

x

=

2

Sustituimos en la derivada

( )

( )

( )

( )

( )

2 12 4 5 11 5 2 2 2 3 2 5 2 3 2 2 = − + = − ʹ′ − − − − = − ʹ′ − − = ʹ′ f f x x x f

_{( )}

( )

( )

( )

( )

0 0 5 5 5 0 2 0 3 0 5 2 3 2 2 − = − = ʹ′ − − = ʹ′ − − = ʹ′ f f x x x f

_{( )}

( )

( )

( )

( )

2 12 4 5 3 5 2 2 2 3 2 5 2 3 2 2 = − − = ʹ′ − − = ʹ′ − − = ʹ′ f f x x x f Conclusión de acuerdo al signo de la derivada

Creciente

_Decreciente

_Creciente

Al aplicar el criterio de la primera derivada, queda:

Existe un máximo relativo en

x

=

−

1

porque la función en ese valor hace un cambio de CRECIENTE – a – DECRECIENTE.

Existe un mínimo relativo en

x

=

5

₃

porque la función en ese valor hace un cambio de DECRECIENTE – a – CRECIENTE.

Para encontrar la coordenada y de los puntos máximo y mínimo, tenemos que sustituir los valores críticos

x

=

−

1

y

x

=

5

₃

en la función original.

f x

( )

=

x

3

₋

x

2

₋

5x

+

7

f

( )

−

1

=

( )

−

1

3

− −

( )

1

2

−

5

( )

−

1

+

7

f

( )

−

1

=

−

1

−

1

+

5

+

7

f

( )

−

1

=

10

f x

( )

=x3− x2− 5x+7 f 5 3

( )

= 5 3

( )

3 − 5 3

( )

2 −5 5 3

( )

+7 f 5 3

( )

=127 25 −259 −253 +7 f 5 3

( )

=14 27

Por lo que el Máximo relativo es el punto (-1, 10) y el Mínimo relativo es el punto (5/3, 14/27) como se muestra en la siguiente gráfica.

Figura 11. Gráfica de máximo relativo y mínimo relativo

Referencias  

Cruz, L.; Prado, C.; Vallejo, F. (2006). Cálculo diferencial para ingeniería [libro en línea]. México: Pearson Educación. Recuperado el 17 de agosto de 2010 de

http://www.bibliotechnia.com/bibliotechnia20/index.php?option=com_libros&task=preview&id=2541&Itemid=5.

Recurso disponible en Biblioteca Digital UVEG. Recuperado el 17 de agosto de 2010 de la base de datos bibliotechnia de la biblioteca Digital de la UVEG.

Fuenlabrada, S. (2001). Cálculo Diferencial. México: McGraw-Hill Interamericana. Leithold, L. (1998). El cálculo. México: Oxford University Press.

Purcell, E. (2001). Cálculo [libro en línea]. México: Pearson Educación. Recuperado el 17 de agosto de 2010 de

http://www.bibliotechnia.com/bibliotechnia20/index.php?option=com_libros&task=preview&id=1280&Itemid=5. Recurso disponible en la Biblioteca Digital UVEG.

Zill, D. (1987). Cálculo con Geometría Analítica (Ojeda, E. Trad.). Grupo Editorial Iberoamérica. México.

Gráficas 1-3

De “Cálculo diferencial Bachillerato”, por O. Ramírez, 2010, Profesor Experto en Contenido, Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

Figuras 1

De “Cálculo diferencial Educación Superior”, por O. Ramírez, 2010, Profesor Experto en Contenido, Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.