TEMA 3 1

(1)

Al intentar resolver ecuaciones como x2 ₋2x₊2₌0_{, se obtiene lo siguiente:}

2 4 2 2

8 4 2

x= ± − = ± −

que dentro del campo de los números reales no se puede calcular, esto ocurre con la raíz cuadrada de cualquier numero negativo, es lo que decíamos: NO TIENE SOLUCIÓN REAL.

En el caso anterior cabe el recurso siguiente:

1 · 2 1 · 4 ) 1 ( · 4

4 = − = − = −

−

es decir, si diéramos un sentido a la expresión −1el problema estaría resuelto. Euler, lo llamo UNIDAD IMAGINARIA y lo expreso con la letra i ; de esta forma

quedaría: −4 = 4·(−1) = 4· −1 =2· −1 =2i.

Así la ecuación tendría solución : 1 i

2 i 2 2 2

4 2

2 8 4 2

x= ± − = ± − = ± = ± .

Hemos de ampliar el concepto de números a un conjunto numérico mayor que Gauss llamo números complejos ( C ) y cada número complejo se suele representar con la letra z.

Llamaremos numero complejo a cualquier expresión de la forma a+bi, donde a y b son números reales. Al número a se le llama parte real del complejo y al número b se le llama parte imaginaria. Esta forma de representar los números complejos se llama forma binómica.

Dado un numero complejo z=a+bi cualquiera, al numero −z=−a−bise le llama opuesto y se llama conjugado a z =a−bi. Al igual que los números reales se pueden representar situándolos en una recta, los complejos se pueden representar en todo un plano que solemos denominar plano complejo.

(2)

Así el numero z=3+2i

Su opuesto y su conjugado serían simétricos, dibújalos para ver que tipo de simetría presentan:

En realidad el complejo es el vector que tiene por origen el (0,0) y por extremo el punto señalado (a,b) dicho punto se llama AFIJO del número complejo.

3.1 OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS ( en forma binómica)

En realidad son muy sencillas, para sumar y restar se hace como si fueran polinomios, es decir, como si la i fuera una variable, del mismo modo, para la multiplicación se procede igual que con los polinomios, pero teniendo en cuenta que

1

i2 ₌₋ _{( ¿sabes explicar por qué esto es así?) Y en el cociente, solo tenemos que} racionalizar de forma similar a la utilizada con las raíces, esto es, utilizando el conjugado.

Ejemplos:

(3)

(

) (

)

(

₍

₎₍

)(

₎

)

i 13 11 13

3 13

i 11 3 i

9 4

i 3 i 2 i 9 6 i 3 2 i 3 2

i 3 2 i 3 i 3 2

i 3 i 3 2 : i

3 ₂ 2 = − + = − +

− − + + − = − +

− + − = +

+ − = + + −

3.2 OTRAS REPRESENTACIONES DEL NUMERO COMPLEJO

Un número complejo también queda perfectamente determinado si conocemos , su modulo y el ángulo que forma con el eje x (llamado argumento) y se representa de la forma: r y se llama α forma polar.

Ejemplo: Vamos a pasar a la forma polar en numero z=2−2 3i. En primer lugar

calcularemos el modulo, es decir, el modulo del vector que determina el número complejo. Nos fijamos que el afijo del complejo es

(

2,−2 3

)

(

2 3

)

4 12 4

2

z ₌ 2 ₊ ₋ 2 ₌ ₊ ₌ _.

Para determinar el ángulo hacemos uso de la trigonometría:

( )

3 300º

arctg 2

3 2 arctg a

b

arctg = − = − =

= α

Así el complejo en la forma polar es 4₃₀₀_º

Otra forma de expresar los números complejos se llama forma trigonométrica, se basa en lo siguiente:

r a

cosα= , despejando a =r·cosα

r b

senα= , despejando b=r·senα

Como z=a+bi=rcosα+rsenα i·=r

[

cosα+isenα

]

, que se lo que se llama forma

(4)

La suma y la resta son, en realidad más complicadas que en la forma binómica, en cambio la multiplicación es mucho mas sencilla

( )

' ' r·r' '

r ·

rα α = α+α Ejemplo: 230º·315º =645º

' ' ·r'

r · ' r

r

α − α α

α _

    

= Ejemplo: ₁₅_º

º 15 º 30 º

15 º

30 ₂

3 6 · 3 6

= 

     =

−

( )

rα n =

( )

rn nα Ejemplo:

( )

825º 3 =

( )

83 3·75º =51275º

( )

n k 360 n

n r_α = r α+ , para los valores de k desde 0 hasta n-1

Ejemplo: 3₈_i

En primer lugar tenemos que expresar el numero en su forma polar, ya que el enunciado esta en la forma binómica, para ello tenemos que calcular el modulo y el argumento:

8 8 0

z₌ 2 ₊ 2 ₌

º 90 arctg 0

8 arctg a

b

arctg = ∞=

     =

      =

α

Es decir nuestro número complejo es 8 ₉₀_º

Queremos hallar las raíces cúbicas, me tienen que salir 3 soluciones, todas tienen el mismo modulo, y se diferencian solamente en el argumento:

El modulo será la raíz cúbica del modulo que tenemos, es decir 38 ₌2

Los ángulo son 3 que vienen dados por la expresión: 3

k 360

+ α

, según le

(5)

3

Si k = 2 270º

3 360 · 2

90+ ₌

Solución 3: 2₂₇₀_º

Si representáramos las soluciones, sus afijos estarán en los vértices que un triangulo equilátero.

Ejemplo: Hallar las raíces cuartas de i 2

3 2

1 z= − −

En primer lugar tenemos que expresarlo en forma polar:

1 4 3 4 1 2

3 2

1 z

2 2

= + =         − +       − =

) 3 ( arctg 2

1 2 3

arctg _=

  

  

− − =

α . Hay que tener en cuenta que el

ángulo, con el dato de la tangente, puede ser tanto del primer cuadrante como del tercero, si representáramos el numero complejo en forma binómica que nos dan veríamos que tiene que ser del tercer cuadrante, es decir 240º

Las raíces cuartas del número 1₂₄₀_º, tienen todas el mismo modulo, pero los

argumentos varían para los distintos valores de K

Si k = 0, 60º

4 0

240+ ₌ _;

Si k = 1 150º

4 360

240+ ₌ _;

si k = 2 240º

4 720

240+ ₌

y si k = 4 330º

4 1080

240+ ₌ _.

Es decir, las soluciones son: 1₆₀_º;1₁₅₀_º;1₂₄₀_º;1₃₃₀_º, que si las representamos ocupan