Análisis de Potencia de RF en Cuadripolos mediante
Diagrama de Flujo de Señales
Ing. Alejandro Henze
Lab. Metrología RF & Microondas, INTI
http://www.inti.gov.ar/electronicaeinformatica/metrologiarf
Versión 2.6 Mayo 2014
Índice
1. Introducción 2 2. Dispositivos de 1 Puerto 2 2.1. Generador de señales • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 2 2.2. Carga (ZL) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 2 2.3. Generador y carga • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 33. Transferencia de potencia entre el generador y la carga 4
3.1. Potencia disipada en la carga (PL) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 4
3.2. Potencia disponible en el generador (PA) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 5
4. Dispositivos de 2 Puertos 6
4.1. Cuadripolo • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 6
4.2. Cuadripolo cargado con ZL • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 6
4.3. Coeficiente de Reflexión del cuadripolo cargado (
Γ
IN) • • • • • • • • • • • • • 74.4. Cuadripolo cargado y conectado a un generador de señales • • • • • • • • • • • 7
5. Transferencia entre el generador y el cuadripolo cargado 8
5.1. Potencia disipada por el cuadripolo cargado (PIN) • • • • • • • • • • • • • • • 8
5.2. Transferencia entre el generador y la carga • • • • • • • • • • • • • • • • • • 10
5.3. Potencia disipada en la carga (PL) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 10
6. Análisis del generador equivalente 11
6.1. Cálculo de PGZO´ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 11
6.2. Cálculo de
Γ
G´ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 117. Pérdida de Inserción de un cuadripolo (IL(dB)) 13
7.1. Carga conectada directamente al generador • • • • • • • • • • • • • • • • • • 13
7.2. Cuadripolo insertado entre el generador y la carga • • • • • • • • • • • • • • • • 14
7.3. Cálculo de IL • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 14
8. Atenuación de un cuadripolo (A(dB)) 15
9. Error por Desadaptación en Transmisión (M(dB)) 15
10. Eficiencia en Potencia de un cuadripolo (
η
η
η
η
) 161.
Introducción
En el presente documento se detallan los métodos de análisis por diagrama de flujo de señales, para el cálculo de distintas transferencias de potencia en alta frecuencia entre un generador de señales y una carga de impedancia ZL, a través de un cuadripolo caracterizado con parámetros S. Asimismo, se describen algunos
parámetros característicos de un cuadripolo como Pérdida de Inserción, Atenuación y Eficiencia en Potencia.
2.
Dispositivos de 1 Puerto
Abarca básicamente a toda red de 1 puerto, de carácter pasivo o activo, que puede ser representando por un circuito o una caja negra equivalente con una sola entrada o salida, y su comportamiento caracterizado mediante parámetros de dispersión en el plano de referencia.
2.1. Generador de señales
Sea un generador de señales tipo senoidal, el cual se puede representar por su circuito equivalente de Thevenin, se puede establecer la siguiente equivalencia:
Circuito equivalente Diagrama de flujo de señal Ecuaciones asociadas
O G O G G Z Z Z . E b + = (1) GZO G P b 2= (2) Donde
EG: Tensión eficaz del generador de Thevenin
ZG: Impedancia equivalente de salida del generador de Thevenin bG: Onda viajera generada internamente por el generador PGZO: Potencia entregada por el generador a una carga ZL = ZO b: Onda viajera incidente en el plano de referencia a: Onda viajera reflejada en el plano de referencia
2.2. Carga (ZL)
En un sistema de transmisión la carga ZL es la terminación o el valor de la impedancia de entrada de la siguiente
etapa. Su parte resistiva disipará la potencia entregada por el generador. Análogamente al caso anterior, se puede establecer una equivalencia:
bG 1 b ΓG a EG ZG Plano de referencia
Figura 1: Equivalencias entre el circuito equivalente y el diagrama de flujo para un generador de señales
b
Circuito equivalente Diagrama de flujo de señal Ecuaciones asociadas O L O L L Z Z Z Z Γ + − = (3) Donde
a´: Onda viajera incidente en el plano de referencia b´: Onda viajera reflejada en el plano de referencia
2.3. Generador y carga
Si se conecta la carga ZL al generador de señales, se producirá la propagación de una onda electromagnética y,
dependiendo del grado de adaptación de ambos respecto a la impedancia característica del sistema de transmisión, existirá en el plano de referencia una potencia incidente a la carga y una potencia reflejada nuevamente hacia el generador. Esto se lo expresa de la siguiente manera:
Circuito equivalente Diagrama de flujo de señal Ecuaciones asociadas
INCID O INCID P Z V b = = 2 2 (4) REFL O REFL P Z V a = = 2 2 (5) Donde:
|b|2: Potencia incidente en la carga |a|2: Potencia reflejada en la carga
ΓL bG 1 b ΓG a EG ZG Plano de referencia ZL ΓL a´ b´ ZL Plano de referencia
Figura 2: Equivalencias entre el circuito equivalente y el diagrama de flujo para una carga ZL
Figura 3: Equivalencias entre el circuito equivalente y el diagrama de flujo para un generador cargado con ZL
a´
b´
b=a´
3.
Transferencia de potencia entre el generador y la carga
Es fundamental poder calcular, en base a los parámetros del sistema, la potencia que entregará un generador a una carga conectada al mismo. Para ello se deben hallar las transferencias de las potencias incidentes y reflejadas analizando el diagrama de flujo de la figura 3. Aplicando la Regla de Mason [1]:
Lazos de 1er orden: L(1) = ΓL.ΓG
Lazos de 2do orden: L(2) = 0 Transferencia Incidente b / bG Rama 1: P1 = 1
∑
L(1)1= 0∑
L(1)2 = 0 Rama 2: P2 = 0(
)
L G L G G Γ .Γ Γ .Γ . b b − = + − + − = 1 1 0 1 0 0 1 1 (6) ⇒ L G G Γ . Γ b b − = 1 (7) Transferencia reflejada a / bG Rama 1: P1 = ΓL∑
1 1= 0 ) L(∑
1 2 = 0 ) L( Rama 2: P2 = 0(
)
L G L L G L Γ . Γ Γ Γ . Γ Γ b a − = + − + − = 1 0 1 0 0 1 G (8) ⇒ L G L G Γ . Γ Γ . b a − = 1 (9)3.1. Potencia disipada en la carga (PL)
La potencia que se disipa en la carga ZL es la diferencia entre la potencia que incide y la potencia que se refleja
en el plano de referencia. 2 2 a b PL = − (10) Reemplazando (7) y (9) en (10): 2 2 2 2 2 1 1 G L L G L G G L Γ . Γ Γ . b Γ . Γ b P − − − = (11)
Utilizando la equivalencia (2), la ecuación (11) queda:
(
)
2 2 1 1 L G L GZO L Γ . Γ Γ . P P − − = (12) ( ) 011 = ∑L3.2. Potencia disponible en el generador (PA)
La máxima potencia que puede entregar un generador con impedancia interna ZG, se produce cuando la carga ZL
es su valor complejo conjugado. En ese caso, se produce una transferencia máxima de energía del generador a la carga. Esta potencia máxima se denomina potencia disponible del generador PA [2].
Si ZG = ZL* entonces se cumple: |ZG| =|ZL| y ΦZG = -ΦZL (13) |ΓG| =|ΓL| y ΦΓG = -ΦΓL (14) PA = PL (15) Reemplazando (14) y (15) en (12) y desarrollando:
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 cos 2 1 1 cos 2 1 1 G G L G G G G GZO L G L G L G G GZO A Γ . Γ Φ Φ . Γ . Γ . Γ . P Γ . Γ Φ Φ . Γ . Γ . Γ . P P + + − − = + + − − = (16)(
)
(
)
(
2)
2(
2)
2 4 2 2 1 1 1 2 1 1 G GZO G G GZO G G G GZO A Γ P Γ Γ . P Γ Γ . Γ . P P − = − − = + − − = (17) Despejando PGZO:(
2)
1 G A GZO P . Γ P = − (18) Reemplazando (18) en (12):(
)(
)
(
)(
)
L G L G A L G L G A L M Γ . Γ . P Γ Γ Γ . Γ . P P , 2 2 2 2 2 1 1 . 1 1 1 − − = − − − = (19) donde: 2 ,L 1 G. L G Γ Γ M = − (20) Se define:(
2)
1− ΓG : Pérdida por desadaptación del generador (Generator Mismatch Loss)
(
2)
1− ΓL : Pérdida por desadaptación de la carga (Load Mismatch Loss)
L G
M , : Error por desadaptaciones múltiples entre generador y carga [3], [4] (Reflection Mismatch Error)
Γ ΓΓ ΓG Γ Γ Γ ΓL
Figura 4: Diagrama de Smith con valores de impedancias complejo conjugadas
Analizando la ecuación (19) desde el punto de vista de las desadaptaciones, se observa que: si ΓL = 0 ⇒ PL = PGZO
si ΓG = 0 ⇒ PA = PGZO
si ΓL = 0 y ΓG = 0 ⇒ PL = PA = PGZO
El último ejemplo es un caso particular de la condición complejo conjugado entre ZG y ZL
4. Dispositivos de 2 Puertos
4.1. Cuadripolo
Se denomina comúnmente cuadripolo a toda red de 2 puertos, de carácter pasivo o activo, que puede ser representando por un circuito o una caja negra equivalente con 2 entradas/salidas, y su comportamiento caracterizado mediante parámetros de dispersión entre los planos de referencia 1 y 2.
2 12 1 11 1 S .a S .a b = + (21) 2 22 1 21 2 S .a S .a b = + (22)
4.2. Cuadripolo cargado con ZL
Si un cuadripolo es cargado en su salida con una terminación ZL como muestra la siguiente figura:
Su diagrama de flujo de señal equivalente es:
S11 a1 b1 ΓL b2 S22 a2 S21 S12 Cuadripolo ZL a1 b1 b2 a2 1 2
Figura 5: Cuadripolo o red de 2 puertos
Figura 6: Cuadripolo cargado con ZL
Figura 7: Diagrama de flujo de un cuadripolo cargado
Cuadripolo a1 b1 b2 a2 1 2
Donde:
a1: Onda incidente al cuadripolo en el plano de referencia 1 b1: Onda reflejada al cuadripolo en el plano de referencia 1 b2: Onda incidente a la carga en el plano de referencia 2 a2: Onda reflejada a la carga en el plano de referencia 2
4.3. Coeficiente de Reflexión del cuadripolo cargado (
Γ
Γ
Γ
Γ
IN)El cuadripolo cargado con ZL se comportará con el generador como una carga equivalente ZIN. Para hallar dicho
valor, se calcula el ΓIN aplicando la Regla de Mason al diagrama de flujo de la figura 7:
Lazos de 1er orden: L(1) = S22 .ΓL
Lazos de 2do orden: L(2) = 0
Rama 1: P1 = S11
∑
L( ) =S22.ΓL 1 1∑
L(1)2 = 0 Rama 2: P2 = S21 .ΓL . S12∑
2 = 0 1 ) L( Transferencia b1 / a1(
)
(
L)
L L .Γ S .S .Γ S .Γ S . S a b 22 12 21 22 11 1 1 1 1 − + − = (23)Se define el coeficiente de Reflexión ΓIN como:
(
L)
L IN .Γ S .Γ .S S S a b Γ 22 12 21 11 1 1 1− + = = (24)Si el cuadripolo está adaptado (S11 = S22 = 0) ⇒ ΓIN = S21.S12.ΓL (25)
Si en cambio la carga está adaptada (ΓL = 0) ⇒ ΓIN = S11 (26)
4.4. Cuadripolo cargado y conectado a un generador de señales
Si se conecta el cuadripolo cargado a un generador de señales, el circuito queda de la siguiente forma:
Cuadripolo ZL a1 b1 b2 a2 EG ZG 1 2
En los planos de referencia 1 y 2 se producirán diferentes transferencias de potencia y coexistirán potencias incidentes provenientes desde el generador y potencias reflejadas con sentido inverso. Con esto se puede calcular la potencia que disipa todo el cuadripolo cargado y también la potencia disipada en la carga ZL
mediante el análisis del siguiente diagrama de flujo de señal.
5. Transferencia entre el generador y el cuadripolo cargado
Aplicando regla de Mason al diagrama de flujo de la figura 9:
Lazos de 1er orden: L(1) = S11 .ΓG S22 .ΓL S12 .S21.ΓL.ΓG
Lazos de 2do orden: L(2) = S11 .ΓG. S22 .ΓL
Transferencia incidente a1 / bs Rama 1: P1 = 1
∑
L( ) =S22.ΓL 1 1∑
1 2 = 0 ) L( Rama 2: P2 = 0∑
L(2)1 = 0(
)
L G L G L G L G S .Γ S .Γ S .S .Γ .Γ S .Γ .S .Γ .Γ S . b a 22 11 21 12 22 11 22 1 1 1 1 + − − − − = (27) Transferencia reflejada b1 / bs Rama 1: P1 = S11.1∑
L( ) =S22.ΓL 1 1∑
L(1)2 = 0 Rama 2: P2 = S12 .ΓL..S21.1∑
2 = 0 1 ) L((
)
L G L G L G L L G S .Γ S .Γ S .S .Γ .Γ S .Γ .S .Γ .Γ .S S .Γ S . S b b 22 11 21 12 22 11 21 12 22 11 1 1 1 + − − − + − = (28)5.1. Potencia disipada por el cuadripolo cargado (PIN)
Se define la potencia PIN entregada por el generador y disipada por todo el conjunto cuadripolo y carga ZL.a la
diferencia entre la potencia incidente y la potencia reflejada en el plano de referencia 1.
S11 bG 1 a1 ΓG b1 ΓL b2 S22 a2 S21 S12
De las ecuaciones (2), (27) y (28):
(
)
2 22 11 21 12 22 11 2 21 12 22 11 2 2 22 2 2 1 2 1 1 1 1 L G L G L G L L G L G IN .Γ .S .Γ S .Γ .Γ .S S .Γ S .Γ S .Γ .S S .Γ S . S . b .Γ S . b b a P + − − − + − − − = − = (29)(
)
(
)
2 22 11 21 12 22 11 2 21 12 22 11 2 22 1 1 1 L G L G L G L L L GZO IN .Γ .S .Γ S .Γ .Γ .S S .Γ S .Γ S .Γ .S S .Γ S . S .Γ S . P P + − − − + − − − = (30) Desarrollando (30):(
)
(
)
2 22 11 21 12 22 11 2 22 21 12 11 22 2 22 1 1 . 1 1 L G L G L G L L L L GZO IN .Γ .S .Γ S .Γ .Γ .S S .Γ S .Γ S .Γ S .Γ .S S S .Γ S .Γ S . P P + − − − − + − − − = (31) Reemplazando (24) en (31) y desarrollando:(
)
2 22 11 21 12 22 11 2 22 2 1 1 1 L G L G L G L IN GZO IN .Γ .S .Γ S .Γ .Γ .S S .Γ S .Γ S .Γ S . Γ . P P + − − − − − = (32)Se busca que la ecuación (32) tenga la misma forma que (12). Reagrupando términos queda:
(
)
(
)
(
)
2 22 21 12 11 2 2 22 21 12 22 11 22 2 1 1 1 1 1 1 1 L L G G IN GZO L L G L G L IN GZO IN .Γ S .Γ .Γ .S S .Γ S Γ . P .Γ S .Γ .Γ .S S .Γ S . .Γ S .Γ S Γ . P P − − − − = − − − − − − = (33)(
)
(
)
2 2 2 22 21 12 11 2 1 1 1 1 1 IN G IN GZO L L G IN GZO IN Γ . Γ Γ . P .Γ S .Γ .S S S . Γ Γ . P P − − = − − − − = (34)Analizando la ecuación (34) se comprueba que la potencia disipada por el cuadripolo cargado es la misma que disiparía su carga equivalente ZIN.
En el caso particular que el cuadripolo está adaptado (S11 = S22 = 0), la ecuación (30) queda:
(
)
(
)
2 2 2 21 12 2 21 12 1 1 1 1 IN G IN GZO L G L GZO IN Γ . Γ Γ . P .Γ .Γ .S S .Γ .S S . P P − − = − − = (35)Se llega a la misma expresión que (34) ya que en este caso:
5.2. Transferencia entre el generador y la carga
Para calcular la potencia que disipará solamente la carga ZL, se realiza el siguiente análisis aplicando la Regla de
Mason al diagrama de flujo de la figura 9:
Lazos de 1er orden: L(1) = S11 .ΓG S22 .ΓL S12 .S21.ΓL.ΓG
Lazos de 2do orden: L(2) = S11 .ΓG. S22 .ΓL
Transferencia incidente b2 / bG Rama 1: P1 = S21
∑
1 = 0 1 ) L( Rama 2: P2 = 0 L G L G L G G S .Γ S .Γ S .S .Γ .Γ S .Γ .S .Γ S b b 22 11 21 12 22 11 21 2 1− − − + = (36) Transferencia reflejada a2 / bG Rama 1: P1 = S21.ΓL∑
1 = 0 1 ) L( Rama 2: P2 = 0 L G L G L G L G L G .Γ b b .Γ .S .Γ S .Γ .Γ .S S .Γ S .Γ S .Γ S b a 2 22 11 21 12 22 11 21 2 1− − − + = = (37)5.3. Potencia disipada en la carga (PL)
En base a lo explicado en la sección 3.1 y usando las ecuaciones (36) y (37), se calcula la potencia disipada en la carga PL como:
(
)
2 22 11 21 12 22 11 2 2 21 2 2 2 2 1 1 L G L G L G L GZO L .Γ .S .Γ S .Γ .Γ .S S .Γ -S .Γ S Γ . S . P a b P + − − − = − = (38)Como la carga está recibiendo una potencia proveniente de un generador a través de un cuadripolo, dicho conjunto generador / cuadripolo se comportará como un generador equivalente para la carga ZL. De este modo,
se puede calcular un PGZO´ y un ΓG´ y llevar la ecuación (38) a su modo más simple, similar a la ecuación (12).
Para este caso debería ser:
(
)
2 2 1 1 L G L GZO L ´.Γ Γ Γ ´. P P − − = (39)6.
Análisis del generador equivalente
6.1. Cálculo de PGZO´
Se calcula la potencia incidente del generador equivalente en el plano de referencia 2 en base al siguiente diagrama de flujo:
Lazos de 1er orden: L(1) = S11 .ΓG
Lazos de 2do orden: L(2) = 0 Transferencia incidente b2 / bG Rama 1: P1 = S21
∑
1 = 0 1 ) L( Rama 2: P2 = 0 G G G .Γ S .S b b ´ b 11 21 2 1 − = = (40)En base a las ecuaciones (2) y (3) se define la potencia del generador equivalente PGZO´ como:
2 11 2 21 2 11 2 21 2 2
1
1
G GZO G G G GZO.Γ
S
S
.
P
.Γ
S
S
.
b
´
b
´
P
−
=
−
=
=
(41) 6.2. Cálculo deΓ
Γ
Γ
Γ
G ´Si en la figura 8 se pasiva el generador y se calcula el coeficiente de reflexión a la izquierda del plano de referencia 2: S11 bG 1 a1 ΓG b1 b2 S22 a2 S21 S12 S11 a1 ΓG b1 b2 S22 a2 S21 S12
Lazos de 1er orden: L(1) = S11 .ΓG
Lazos de 2do orden: L(2) = 0 Transferencia b2 / a2 Rama 1: P1 = S22 L( ) S11.ΓG 1 1 =
∑
∑
L(1)2=0 Rama 2: P2 = S12 .ΓG . S21 2 0 1 =∑
L( ) Se define ΓG´ como(
)
G G G G G G .Γ S .Γ .S S S .Γ S .Γ .S S .Γ S . S a b ´ Γ 11 21 12 22 11 21 12 11 22 2 2 1 1 1 − + = − + − = = (42) Reemplazando (41) y (42) en (39):(
)
(
)
2 11 21 12 22 2 11 2 2 21 2 2 1 1 1 1 1 1 L G G G L GZO L G L GZO L .Γ .Γ S .Γ .S S S . .Γ S Γ . S . P ´.Γ Γ Γ ´. P P − + − − − = − − = (43) Desarrollando el denominador de (43):(
)
(
)
2 11 21 12 11 22 11 2 11 2 2 21 1 1 1 1 1 G L G G L G G L GZO L .Γ S .Γ .Γ .S S .Γ S . .Γ S .Γ S . .Γ S Γ . S . P P − − − − − − − = (44)(
)
2 21 12 11 22 22 11 2 2 21 1 1 L G G L L G L GZO L .Γ .Γ .S S .Γ .S .Γ S .Γ S .Γ S Γ . S . P P − + − − − = (45)La expresión (45) es idéntica a (38) por lo que se comprueba la validez del planteo anterior. Con esto se puede entonces hacer la siguiente simplificación:
O G O G G Z ´ Z Z ´. E ´ b + = (46) Cuadripolo ZL a1 b1 b2 a2 EG ZG EG´ ZG´ ZL b2 a2
Figura 11: Simplificación del generador equivalente
De la misma forma se simplifica el diagrama de flujo de señal:
Lo explicado anteriormente se resume en la siguiente tabla:
Caso general Caso particular cuando S11 = 0 y S22 = 0 bG´ G G .Γ S .S b 11 21 1 − (40) bG.S21 PGZO´ 2 11 2 21 1 G GZO .Γ S S . P − (41) 2 21 S . PGZO ΓG´ G G .Γ S .Γ .S S S 11 21 12 22 1 − + (42) S12.S21.ΓG
7. Pérdida de Inserción de un cuadripolo (IL
(dB))
Se define Pérdida de Inserción IL (Insertion Loss) de un cuadripolo a la relación de potencias disipadas en una carga ZL, primero conectada directamente al generador y luego a través del cuadripolo insertado [5].
2 1 L L P P IL = (47) siendo
PL1: Potencia disipada en la carga ZL conectada directamente al generador
PL2: Potencia disipada en la carga ZL conectada al generador a través del cuadripolo insertado
7.1. Carga conectada directamente al generador
En base a lo explicado en la sección 3.1 se calcula la potencia PL1 disipada en la carga ZL.
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 G L L GZO L G L S L G S L Γ . Γ Γ . P Γ . Γ Γ . b Γ . Γ b a b P − − = − − − = − = (48) S11 bG 1 a1 ΓG b1 ΓL b2 S22 a2 S21 S12 ΓL bG´ 1 b2 ΓG´ a2 Figura 12: Simplificación diagrama de flujo del generador equivalente7.2. Cuadripolo insertado entre el generador y la carga
En base a lo explicado en la sección 5.3 se calcula la potencia PL2 disipada en la carga ZL.
(
)
2 22 11 21 12 22 11 2 2 21 2 2 2 2 2 1 1 L G L G L G L GZO L .Γ .S .Γ S .Γ .Γ .S S .Γ S .Γ S Γ . S . P a b P + − − − − = − = (49) 7.3. Cálculo de ILReemplazando (48) y (49) en (47), se calcula la pérdida de inserción IL:
2 2 21 2 22 11 21 12 22 11 2 1 1 1 L G L G L G L G L L .Γ Γ . S .Γ .S .Γ S .Γ .Γ .S S .Γ S .Γ S P P IL − + − − − = = (50)
En la práctica, el valor de IL se expresa en decibeles. Por lo tanto:
− + − − = 2 2 21 2 22 11 21 12 22 11 ) ( 1 1 log . 10 L G L G L G L G dB .Γ Γ . S .Γ .S .Γ S .Γ .Γ .S S .Γ -S .Γ S IL (51)
Si se plantea PL2 usando el concepto de generador equivalente de la ecuación (39):
(
)
2 2 2 1 1 L G L GZO L ´.Γ Γ Γ ´. P P − − = (52)Entonces otra forma de expresar IL es la siguiente:
(
)
(
)
P ´ M´M P Γ . Γ ´.Γ Γ ´ P P Γ ´. P ´.Γ Γ Γ . Γ Γ . P P P IL GZO GZO L G L G GZO GZO L GZO L G L G L GZO L L ⋅ = − − ⋅ = − − ⋅ − − = = 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 (53) con 2 2 , ´, 1 1 L G L G L G L G Γ . Γ ´.Γ Γ M M M´M − − = = (54) Siendo:PGZO: Potencia entregada por el generador a una carga ZL = ZO
PGZO´: Potencia entregada por el generador equivalente a una carga ZL = ZO MG´,L: Error por desadaptaciones múltiples entre generador equivalente y carga ZL MG,L: Error por desadaptaciones múltiples entre generador y carga ZL
Finalmente se calcula IL expresado en dB como: ⋅ = M´M ´ P P IL GZO GZO dB) 10.log ( (55)
8. Atenuación de un cuadripolo (A
(dB))
En el caso particular que, al calcular la pérdida de inserción de un cuadripolo, el sistema esté adaptado (ΓG = 0 y
también ΓL = 0), las ecuaciones (41), (42) y (54) se simplifican a lo siguiente: 2 21 ´ P .S PGZO = GZO (56) 22 S ´ ΓG = (57) M´M = 1 (58)
De la misma manera, la ecuación (53) se simplifica a:
A S S . P P M´M ´ P P IL GZO GZO GZO GZO ⋅ = = = = 2 21 2 21 1 (59)
siendo A el valor de atenuación del cuadripolo. En la práctica también la atenuación A se expresa en dB. Por lo tanto de (59):
(
21)
21 2 21 ) ( 20log 1 log 20 1 log 10 . S S . S . AdB =− = = (60) ) ( 21 ) (dB S dB A =− (61)Se concluye entonces que, cuando un cuadripolo se encuentra dentro de un sistema perfectamente adaptado, su pérdida de inserción IL(dB) es igual a su valor de atenuación A(dB) y también igual al módulo del parámetro S21(dB),
con el signo cambiado.
9. Error por Desadaptación en Transmisión (M
(dB))
Es la diferencia, expresado en dB, entre los valores de pérdida de inserción y atenuación [6].
) ( ) ( ) (dB ILdB AdB M = − (62) Reemplazando (51) y (60) en (62) y desarrollando: ( ) − + − − = 2 2 22 11 21 12 22 11 1 1 log 10 L G L G L G L G dB .Γ Γ .Γ .S .Γ S .Γ .Γ .S S .Γ -S .Γ S . M (63)
Nótese que el numerador de (63) contiene todos los lazos de 1er y 2do orden que se producen con el cuadripolo insertado, y el denominador contiene el único lazo que se produce con la carga conectada directamente al generador. Con esto se puede observar claramente que, cuando el sistema está perfectamente adaptado (ΓG = 0 y
ΓL = 0), no existirán lazos o reflexiones múltiples con o sin el cuadripolo insertado. Por lo tanto su valor será:
( ) = = − + − − = 1 1 log 10 0 1 0 0 0 1 log 10 2 2 . . MdB 0 dB
Como no necesariamente la pérdida de inserción de un cuadripolo debe ser igual o mayor que su atenuación, el valor de M(dB) puede adoptar valores positivos o incluso negativos. Esto depende básicamente de los valores del
módulo y fase de ΓG y ΓL.
10. Eficiencia en Potencia de un cuadripolo (
η
η
η
η
)
Se define Eficiencia en Potencia η de un cuadripolo a la relación de la potencia disipada solamente en la carga, PL respecto a la potencia disipada por el cuadripolo cargado, PIN [7].
IN L
P P
η = (64)
Utilizando las ecuaciones (34), (39), (41) y (20):
(
)
(
)
G(
(
)
IN)
G L IN G L L G IN GZO IN G L GZO IN L .M Γ . S Γ .M Γ S ´.Γ Γ . Γ . P Γ . Γ . Γ ´. P P P η ´, 2 2 11 , 2 2 21 2 2 2 2 1 . 1 1 . 1 1 1 1 − − − = − − − − = = (65) Donde:MG,IN: Error por desadaptaciones múltiples entre el generador y el cuadripolo cargado MG´,L: Error por desadaptaciones múltiples entre el generador equivalente y la carga
Nótese que en el cálculo de PL se utiliza el concepto de generador equivalente y en el cálculo de PIN se utiliza el
concepto de cuadripolo cargado.
En el caso particular en que la carga ZL esté adaptada a ZO (ΓL = 0) se cumple que:
11 S ΓIN = (66) Reemplazando (66) en (65):
(
)
(
)
(
(
)
)
2 11 2 21 2 2 11 2 11 2 11 2 21 2 2 2 11 2 2 2 21 1 0 1 1 . 1 1 0 1 . 1 1 . 1 1 1 . S S ´. Γ . S . S Γ .S Γ . S ´.Γ Γ . Γ . S Γ Γ . Γ . Γ S η G G G L G IN G IN G L − = − − − − − = − − − − − = (67)Para este caso si η = 1, significa que el cuadripolo por sí solo no disipará la potencia entregada por el generador, sino que la transferirá en su totalidad a la carga ZL. Esto se aplica a casos de líneas de transmisión ideales o
también en cuadripolos con elementos reactivos puros (adaptadores de impedancia, filtros, etc.).
Referencias
[1] Mason, J. (1953), “Feedback Theory - Some Properties of Signal Flow Graphs”, Proc. IRE, Vol. 41, No. 9, pp. 1144-1156.
[2] AN 56 (1967), “Microwave Mismatch Error Analysis”, Hewlett Packard, Palo Alto, CA, EEUU.
[3] Rühaak, J., Janik, D. (1998), “HF-Leistungsmessung in Koaxialen Leistungssystemen unter Rückführung auf Hohlleiter-Leistungsnormale”, Bericht E-58, pp. 29-52, PTB, Braunschweig, Alemania.
[4] Henze, A., Tempone, N. (2012), “Transferencia de Potencia en RF”, INTI, Buenos Aires, Argentina. [5] Beatty, R. (1967), “Microwave Attenuation Standards and Measurements”, IEE, Stevenage, Inglaterra. [6] Coster, A. (2004), “Attenuation Measurements”, NBS Monograph 97, Boulder, CO, EEUU.
[7] Engen, Glenn (1992), “Microwave Circuit Theory and Foundations of Microwave Metrology”, Peter Peregrinus Ltd., Inglaterra.
[8] Anderson, R. (1967), “S-Parameter Techniques for faster, More Accurate Network Design”, HP Journal, Vol. 18, No. 6, Palo Alto, CA, EEUU.
