Problema 1. El ´area del cuadrado ABCD es 1. ¿Cu´anto mide el ´area sombreada?.
Soluci´on. El ´area sombreada contiene un c´ırculo de radio 1/2 alrededor del punto C. Podemos partirlo por las l´ıneas BC y CD para obtener cuatro cuartas partes de un c´ırculo. Si reacomo-damos cada una de estas partes tales que sus centros coincidan con los v´ertices del cuadrado, obtendremos el interior completo del cuadrado. Por lo tanto, el ´area sombreada es 1.
Problema 2. Isa´ıas tiene 4 cuyos a los que quiere darles un bocadillo. Tiene bocadillos de tomate y bocadillos de zanahoria. Si quiere que todos los cuyos tengan un bocadillo, que al menos un cuyo coma bocadillo de tomate y al menos un cuyo coma bocadillo de zanahoria, ¿De cu´antas maneras distintas puede repartir los bocadillos?
Soluci´on. Primero, contemos cu´antas maneras hay de que le d´e alguno de los bocadillos a cada cuyo, sin tomar en cuenta que Isa´ıas quiere que al menos uno coma un bocadillo de tomate y al menos uno coma uno de zanahoria. Como tiene 4 cuyos y cada uno tiene dos opciones de bocadillos, entonces hay 2 · 2 · 2 · 2 = 24 = 16 maneras de repartir los bocadillos. Sin embargo,
puesto que al menos un cuyo debe de comer un bocadillo de tomate, entonces no puede pasar que todos coman uno de zanahoria, y como al menos un cuyo debe de comer uno de zanahoria, tampoco puede pasar que t odos coman uno de tomate, as´ı que tenemos que quitarle estos 2 ca-sos a nuestras formas de repartir los bocadillos. Por lo tanto, hay 16−2 = 14 formas de hacerlo.
Problema 3. Nuria har´a una peque˜na reuni´on a la que invit´o a 5 de sus amigos y va a comprar dulces para comer entre ella y sus amigos, pero no sabe cu´antos de sus invitados ir´an a la reuni´on. Quiere asegurarse de que sin importar cu´antos amigos vayan, pueda repartir a cada uno y a ella la misma cantidad de dulces. ¿Cu´al es la m´ınima cantidad de dulces que debe comprar?
Soluci´on Como queremos que siempre pueda repartir los dulces de manera que a cada uno le toque la misma cantidad y pueden ir de 1 a 6 personas a la reuni´on (contando a Nuria), entonces la cantidad de dulces que compre debe de ser m´ultiplo de 1, 2, 3, 4, 5 y 6. M´as a´un, como quiere comprar la m´ınima cantidad necesaria, entonces debe de comprar una cantidad de dulces igual al m´ınimo com´un m´ultiplo de los n´umeros anteriores, que es 60.
Problema 4. Dos cuadrados del mismo tama˜no cubren un c´ırculo de radio 3 como se muestra en la figura. ¿Cu´anto vale el ´area sombreada?
Soluci´on. Sea ABCD el cuadril´atero comprendido por la zona donde se yuxtaponen los dos cuadrados dados, este cuadril´atero es en particular un cuadrado ya que los dos cuadrados con los que la figura es formada son iguales y la figura es sim´etrica. Se traza una de las diagonales de ABCD junto con su punto medio y se obtiene la siguiente figura:
Notamos ahora que como el ´angulo BAD mide 90o, entonces la diagonal BD es un di´ametro
del c´ırculo, por lo que su longitud es 2 veces el radio. Por hip´otesis del problema el radio del c´ırculo es 3, es decir que la longitud de la diagonal BD de ABCD es 6.
Si l es la longitud del lado del cuadrado ABCD, por el teorema de Pit´agoras se tiene que l2+ l2 = 62, es decir que
2l2 = 36 ⇒ l2 = 18.
Y l2 es justamente el ´area del cuadrado, por lo que el ´area de ABCD es 18. Notamos que el
´
area sombreada de la figura es el ´area del c´ırculo menos el ´area del cuadrado ABCD, por lo que el ´area buscada es
π · 32− 18 = 9π − 18.
Problema 5. Moka en la escuela estaba de latoso, en el pizarr´on estaban escritos los n´umeros del 1 al 9 y se par´o a borrar 4 de ellos. Despu´es se dio cuenta que para cualesquiera dos de los cinco n´umeros que quedaban, su suma era distinta de 10. ¿Cu´al de los siguientes n´umeros no puede ser uno de los que borr´o?
Soluci´on. Repartamos los n´umeros en cinco conjuntos: {1, 9}, {2, 8}, {3, 7}, {4, 6} y {5}. Notemos que los elementos de los conjuntos con dos n´umeros suman 10, as´ı que Moka debe de haber borrado al menos un n´umero de cada uno de estos conjuntos para que la suma de cuales-quiera dos de los 5 n´umeros que queden sea distinta de 10. Como Moka solo borr´o 4 n´umeros y tenemos 4 conjuntos con dos elementos, entonces tuvo que haber borrado exactamente un n´umero de cada uno de esos conjuntos y ya no borr´o ning´un otro, as´ı que no pudo haber borrado al 5 , pues este qued´o en un conjunto separado.
Problema 6. Se tienen 50 pelotas en una urna, cada una tiene exactamente un n´umero y una letra. Los n´umeros posibles son 0, 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8 y 9, y las letras posibles son A, B, C, D y E. Adem´as no hay dos pelotas con el mismo n´umero y la misma letra. ¿Cu´antas pelotas es necesario sacar para asegurarse de que tienes dos pelotas con el mismo n´umero, o tres pelotas con diferente letra?
Soluci´on. Contemos por separado las pelotas que se deben sacar para asegurarse de que tenemos dos pelotas con el mismo n´umero y las que se deben sacar para asegurarse de que tenemos 3 con diferente letra.
Para asegurarnos que tenemos 2 pelotas con el mismo n´umero notemos que, en el peor caso, al sacar 10 pelotas tendr´ıamos los 10 n´umeros distintos, pero al sacar la n´umero 11 forzosamente debemos tener 2 con el mismo n´umero, pues solo hay 10 n´umeros distintos, as´ı que en este caso la respuesta es 11. Por otra parte, para asegurarnos que tenemos 3 pelotas con distinta letra, primero observemos que tenemos 10 pelotas con la misma letra (una por cada n´umero), as´ı
la n´umero 21 forzosamente tendremos 3, pues ya no quedar´ıan pelotas con las 2 letras que ya hab´ıamos sacado, por lo que en este caso la respuesta es 21.
Como para el problema s´olo nos importa que al menos una de las dos condiciones anteriores pase, entonces tomamos la menor de las respuestas anteriores, que es 11.
Problema 7. ¿Cu´al es la suma de todos los ´angulos marcados en la figura?
Soluci´on. La figura consiste en cinco tri´angulos con un v´ertice en com´un, nombremos como O a este v´ertice. Sean α1 hasta α5 los ´angulos de cada uno de los tri´angulos en este v´ertice.
Estos ´angulos, junto con sus reflexiones por O, cubren completamente a O, por lo que
2
5
X
i=1
αi = 360.
Como en cada tri´angulo los ´angulos han de sumar 180, la suma de los ´angulos marcados es
5 X i=1 (180 − αi) = 5 × 180 − 5 X i=1 αi = 720.
Problema 8. De los 5 amigos que Nuria invit´o a su reuni´on, 4 ya le han confirmado que ir´an. Como Nuria es muy impaciente, quiere partir el pastel ya, pero debe poder repartir la misma cantidad de pastel a ella y sus amigos sin importar si el ´ultimo invitado va o no, ¿Cu´al es la m´ınima cantidad de rebanadas que debe cortar? Nota: Las rebanadas pueden no ser del mismo tama˜no.
Soluci´on. Es posible hacer esto con tan solo 10 rebanadas, con las siguientes proporciones de pastel: 1 6, 1 6, 1 6, 1 6, 1 6, 1 30, 1 30, 1 30, 1 30, 1 30.
Si el ´ultimo invitado no llega, se combina cada rebanada de 16 con una de un 301 para as´ı darle
1
5 a cada persona. Si el ´ultimo invitado llega, todas las rebanadas de 1
30 se combinan, para as´ı
Este n´umero es m´ınimo. Si repartimos n rebanadas entre 5 personas y n < 10, a alguno de los invitados le ha de tocar exactamente una rebanada de tama˜no 15, la cual no se le podr´ıa dar a nadie en el caso en donde todos los invitados llegan.
Problema 9. ¡Oh no! Moka est´a en apuros y necesita de tu ayuda. ´El iba caminando de regreso del centro comercial a su casa pero ten´ıa que pasar por un callej´on muy obscuro cuando una banda de 6 gatos lo detiene. Los gatos le ponen una prueba, de aprobarla entonces lo dejar´an ir, en caso contrario cosas muy malas podr´ıan pasarle. Como todo mundo sabe los gatos son verdes o morados, adem´as los gatos verdes siempre dicen la verdad y los gatos morado siempre mienten, la prueba es determinar cu´antos gatos verdes hay y te dan las siguientes pistas:
El primer gato dice: ”Ninguno de nosotros es verde”
El segundo gato dice: ”Exactamente dos de nosotros somos verdes”
El tercer gato dice: ”Al menos tres de nosotros somos verdes”
El cuarto gato dice: ”A lo m´as tres de nosotros somos verdes”
El quinto gato dice: ”Exactamente 5 de nosotros somos verdes”
El sexto gato dice: ”Exactamente uno de nosotros es verde”
Ayuda a Moka a que regrese sano y salvo a su casa, ¿Cu´antos gatos verdes hay?
Soluci´on. Primero nos damos cuenta que el primer gato tiene que ser morado, ya que si fuera verde ser´ıa cierto que ning´un gato es verde, lo cual es una contradicci´on porque ´el mismo es verde.
(morado, −, −, −, −, −)
Ahora, si el sexto gato fuera verde, entonces dice la verdad, por lo que ´el es el ´unico gato verde. Sin embargo, esto implica que el cuarto gato es morado, lo cual no ser´ıa posible ya que entonces es falso que a lo m´as 3 de los gatos son verdes, por lo que habr´ıa al menos 4 gatos verdes, lo cual es una contradicci´on al hecho de que el sexto es el ´unico gato verde. Concluimos que el sexto gato es morado.
(morado, −, −, −, −, morado)
El quinto gato tiene que ser morado, ya que ya tenemos dos gatos morados (el primero y el sexto), y por lo tanto es falso que hay exactamente 5 gatos verdes porque solo son 6 gatos.
Con esto tambi´en tenemos que el cuarto gato es verde, ya que es cierto que a lo m´as tres gatos son verdes, ya que hasta el momento sabemos que al menos tres son morados.
(morado, −, −, verde, morado, morado)
Si el tercer gato fuera verde, entonces es cierto que hay al menos 3 gatos verdes, por lo que los 3 gatos que quedan por determinar tienen que ser verdes, sin embargo, el segundo gato que tambi´en ser´ıa verde afirma que hay exactamente 2 gatos verdes, lo que contradice el hecho de que hay al menos 3 gatos verdes. Concluimos que el tercer gato es morado.
(morado, −, morado, verde, morado, morado)
Como el sexto gato es morado, es mentira que exactamente uno de los gatos es verde, por lo que el segundo gato tiene que se verde porque de lo contrario tendr´ıamos que ´unicamente el cuarto gato es verde.
Entonces los colores de los gatos en orden tienen que ser:
(morado, verde, morado, verde, morado, morado)
Se puede ver que con esa configuraci´on todos los enunciados de los gatos verdes son verdaderos y todos los enunciados de los gatos morados son falsos.
Concluimos que hay 2 gatos verdes en la banda, y Moka puede regresar seguro a su casa.
Problema 10. Moka a pesar de que le encanta la lechuga es bastante solidario, ya que cuando su amigo Caramelo ten´ıa solo un tercio de la cantidad de lechuga que ´el ten´ıa decidi´o darle la mitad de su lechuga. Se dio cuenta que ahora Caramelo tiene m´as lechuga que ´el, por lo que te pregunta ¿Qu´e porci´on de lechuga que tiene ahora Caramelo debe pedirle para que ambos tengan la misma cantidad de lechuga?
Soluci´on. Sea x la cantidad de lechuga que Moka ten´ıa al principio, entonces Caramelo ten´ıa x3 de lechuga, as´ı que la cantidad total de lechuga que tienen entre los dos es 4x3 .
Como Moka le dio la mitad de su lechuga, entonces le dio x2 de lechuga, por lo que ahora Moka tiene x2 de lechuga y Caramelo tiene x3 + x2 = 2x+3x6 = 5x6 de lechuga, adem´as podemos notar que la cantidad de lechuga que tienen entre ambos permanece invariante.
Sea y la cantidad de lechuga que debe pedirle Moka a Caramelo para que ambos vuelvan a tener la misma cantidad de lechuga, como sabemos que la cantidad total de lechuga que tienen entre los dos es 4x3 , entonces ocurre que
x
2 + y = 2x
es decir, que al darle Caramelo a Moka y lechuga, Moka debe terminar teniendo 2x3, que es justamente la mitad de la lechuga que tienen entre los dos. Esto implica que
y = 2x 3 − x 2 = 4x − 3x 6 = x 6.
Entonces la proporci´on de la lechuga que tiene Caramelo que debe darle a Moka es
y 5x 6 = x 6 5x 6 = 1 5.
Problema 11. En la figura el c´ırculo es tangente al cuadrado ABCD en los puntos M y N . Los puntos S y T est´an sobre los lados del cuadrado de manera que AS = CT y ST es tangente al c´ırculo. Si el di´ametro del c´ırculo es 2 y tambi´en la distancia de M a C, ¿Cu´al es la longitud de ST ?
Soluci´on. Sea O el centro de la circunferencia, sea P el punto de tangencia de la circun-ferencia y ST . Como N OM D es un cuadrado, DM = ON = 1, y el lado de ABCD mide DM + M C = 3. Adem´as, la diagonal OD de N OM D mide √2. En particular,
BP = BD − OD − OP = 3√2 −√2 − 1 = 2√2 − 1.
Problema 12. Moka comienza con un entero n. En cada paso obtiene un nuevo n´umero su-mando al anterior su d´ıgito m´as grande. ¿Cu´al es la mayor cantidad de n´umeros impares seguidos que puede obtener as´ı?
Soluci´on. El m´aximo n´umero de impares consecutivos que se pueden obtener es 5. Para verificar esto revisaremos el n´umero m´aximo de impares que puede haber despu´es de un impar.
Primero notamos que si un n´umero impar 10a + d (donde d es un d´ıgito impar) es tal que al sumarle su mayor d´ıgito c solamente se altera el d´ıgito de las unidades (d + c ≤ 9), entonces el mayor d´ıgito de 10a + d + c es el que ha quedado en las unidades (d + c), ya que todos los dem´as d´ıgitos quedaron intactos y cada uno de ellos era a lo m´as c por la elecci´on de ´esta. Esto implica que el siguiente n´umero de la sucesi´on es 10a + d + c + (d + c) = 10a + 2d + 2c que es un n´umero par.
Concluimos que si un n´umero impar n es tal que la suma de ´este y su mayor d´ıgito solamente al-tera el d´ıgito de las unidades respecto a n, a lo m´as puede haber un n´umero impar despu´es de n.
Ahora proseguimos con los casos de los posibles d´ıgitos en los que puede terminar un n´umero impar. Vemos que si un n´umero impar n termina en 9, entonces el d´ıgito m´as grande de ´este n´umero es necesariamente 9, por lo que para encontrar el siguiente n´umero sumaremos 9 a n, lo que es un n´umero par. Entonces si un n´umero termina en 9, el siguiente necesariamente es par.
Si un n´umero n termina en 1, tenemos que para que el siguiente n´umero sea impar el d´ıgito mayor de n debe ser par y al menos 1, por lo que puede ser 2,4,6 u 8. Notamos, sin embargo, que al sumar cualquiera de estos d´ıgitos a n solamente es alterado el d´ıgito de las unidades. Concluimos que si un n´umero termina en 1, hay a lo m´as un impar despu´es de ´el.
Si un n´umero n termina en 3, tenemos que para que el siguiente n´umero sea impar, el d´ıgito mayor de n debe ser par, y debe ser al menos 3. Vemos que si es 4 o 6 solamente se altera el d´ıgito de las unidades, por lo que en estos casos hay a lo m´as un impar despu´es de n. Finalmente si el mayor d´ıgito de n es 8, entonces el siguiente n´umero termina en 1, y sabemos que hay a lo m´as un impar despu´es de un n´umero que termina en 1. Concluimos que hay a lo m´as 2 impares despu´es de un n´umero que termina en 3.
Si un n´umero n termina en 5, tenemos que para que el siguiente n´umero sea impar, el mayor d´ıgito de n debe ser par, y tiene que ser al menos 5, por lo que puede ser 6 u 8. Si es 6 entonces el siguiente n´umero termina en 1 y hay a lo m´as un impar despu´es de ´este. Si es 8 el siguiente n´umero termina en 3 y hay a lo m´as 2 impares despu´es de ´este. Concluimos que si un n´umero termina en 5, hay a lo m´as 3 impares despu´es de ´este.
Si un n´umero n termina en 7, tenemos que para que el siguiente n´umero sea impar, el mayor d´ıgito de n debe ser par, y tiene que ser al menos 7, por lo que solamente puede ser 8. esto implica que el siguiente n´umero termina en 5, y sabemos que despu´es de ´este hay a lo m´as 3 impares. Concluimos que si un n´umero termina en 7 hay a lo m´as 4 impares despu´es de ´este.
Con esto vemos que sin importar el d´ıgito de las unidades de un n´umero impar, hay a lo m´as 4 impares despu´es de ´este, por lo que la m´axima cantidad de n´umeros impares consecutivos que puede haber en la sucesi´on es 5.
Un ejemplo de 5 impares que cumplen la condici´on es:
