Trigonometría 5to año.pdf

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GEOMETRÍA

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Triángulos: Propiedades

Fundamentales y Auxiliares

TRIÁNGULO RECTÍLINEO

Perímetro de la región triangular ABC. 2P9ABC=AB BC AC+ +

Elementos: Vértices: A, B, C Lados: AB; BC y AC Notación:

9_{ABC se lee triángulos ABC.}

CLASIFICACIÓN

Triángulo escaleno

Triángulo isósceles

Triángulo equilátero

Se cumple.

a

₊

b

_{= 90º}

a

2

_{+ b}

2

_{= c}

2

(Teorema de Pitágoras)

1. Según sus lados:

Triángulo rectángulo

Triángulo acutángulo

Triángulo obtusángulo

a b b c

c a

! !

!

Base:

AC

2. Según sus ángulos

Se cumple: 0º < a

< 90º

0º < b

< 90º

0º < q

< 90º

Se cumple: 0º < b

< 180º

0º < a

< 90º

0º < q

< 90º

a2₊b2<c2

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GEOMETRÍA

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5.o _{año FUNDAMENTALES Y AUXILIARES}TRIÁNGULOS: PROPIEDADES

TEOREMAS

1. Relación de existencia

a ≥ b ≥ c – – – b c a c a b a b c b c a c a b 1 1 1 1 1 1 + + +

Nota: Si nos indican en un problema que dibujemos un triángulo y no especifican el tipo de triángulos se dibuja siempre un triángulo escaleno.

PROPIEDADES FUNDAMENTALES

a ₊ b ₊ q _{= 180º x + y + z = 360º x =} a ₊ b

PROPIEDADES ADICIONALES

x = a ₊ b ₊ q a ₊ b _{= m + n x + y = a + b}

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GEOMETRÍA

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5.o _año TRIÁNGULOS: PROPIEDADES FUNDAMENTALES Y AUXILIARES

Trabajando en clase

Integral

1. Si un triángulo rectángulo, un ángulo externo mide 140°, ¿cuál es la medida del ángulo exter-no del otro ángulo agudo?

2. _{Calcula “ y}x ”:

3. Calcula “x”.

PUCP 4. Calcula “x”.

Resolución:

En el triángulo ADC por propiedad x = a + q ... (1)

Luego en el triángulo ABC, por propiedad 4a + 4q + 60º = 180º 4a + 4q = 120º a + q = 30º Reemplazando en la ecuación (1) x = 30° 5. Calcula “x”. 6. Calcula “x”, si AB = BC = BD.

7. Si dos lados de un triángulo miden 5u y 7u, ¿cuál es el valor del mínimo perímetro entero de dicho triángulo? También: 1. x = a b+₂ 2. x = a b-₂ 3. x = a b+₂

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GEOMETRÍA

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5.o _{año FUNDAMENTALES Y AUXILIARES}TRIÁNGULOS: PROPIEDADES

UNMSM 8. Calcula “x”, si AB = BC y CD = DE, Resolución: Piden: “x” AB = BC = ; CD = DE = Además:

iABC : isósceles ⇒ m∠BAC = m∠BCA = q iDEC : isósceles ⇒ m∠DEC = m∠ECD = q En el triángulo DEC, por propiedad

40º + 2q = 180º ⇒ q = 70º

Finalmente en el triángulo DFA, por propiedad. 40º + x = q ⇒ 40º + x = 70º

∴ x = 30°

9. Calcula “x”, si AB = BC y CD = DE.

10. Calcula “x”, si BM es bisectriz del ∠ABC

11. Calcula “q”, si: AB = BD y m∠CAE = m∠ABD = m∠ACB.

UNI

12. Si: AB = LC = NC y m∠BML = 3(m∠CAB). Calcula el menor valor entero de la m∠CAB

Resolución

Piden el mayor valor entero de: Datos: AB = LC = NC m∠BML = 3(m∠CAB) En el iAMN m∠MNC = 3x + x = 4x LC = NC m∠NLC = m∠LNC = 4x En el iNLC 8x + f = 180° ⇒ f = 180° – 8x Luego: BC > AB x > 180° - 8x 9x > 180° x > 20° ∴ x_min = 21°

13. Se ubica el punto P exterior relativo al lado BC de un triángulo ABC. Las longitudes de los seg-mentos PB, PC y PA están en razón de 1, 2 y 3. Calcula la suma del mayor y menor valor entero que puede tomar AP, si el perímetro de la región triangular ABC es 36 cm.

14. En un triángulo equilátero ABC, se ubica el punto “D” exterior y relativo al lado AC. Si 90º < m∠ADC = 180º; AD = 8u y CD = 15u. Calcula el menor perímetro entero del triángulo ABC.

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GEOMETRÍA

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Líneas Notables asociadas

a los triángulos

Ceviana

Segmento de recta cuyos extremos son un vértice del triángulo y un punto cualquiera del lado opuesto o su prolongación.

BQ : ceviana interior. BP y BR :ceviana exterior.

Mediana

Segmento de recta que tiene por extremos a un vértice del triángulo y al punto medio, del lado opuesto.

M: punto medio de AC BM:mediana relativa a AC

Bisectriz

Ceviana que biseca a un ángulo interior o exterior del triángulo.

Altura

Ceviana perpendicular al lado al cual es relativa.

BH: altura relativa a AC BL: altura relativa a AC

BM: altura relativa a CA BE: bisectriz interior

relativa a AC

BE: bisectriz exterior relativa a AC

Mediatriz

Recta que biseca a un lado del triángulo en forma perpendicular. L : mediatriz de AC L : mediatriz de CA L: mediatriz relativa a AB

Propiedades

x = 90°–m₂ x = 90° + m₂ x = m2

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GEOMETRÍA

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5.o _año LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS _{A LOS TRIÁNGULOS}

PROPIEDADES

1. En todo triángulo isósceles.

sec BH Altura Mediana Bi triz Mediatriz Z [ \ ] ]] ] ]

2. En todo triángulo rectángulo.

Si BM → mediana ⇒ AM = MC = BM.

3. En todo triángulo, sus bisectrices interiores siempre se intersecta en un mismo punto llama-do “incentro” por ser el centro de la circunfe-rencia inscrita en el triángulo.

I: incentro y PQ // AC PQ = AP + QC además: 2piPBQ = AB + BC I: incentro r: inradio IHBI = +c ab

4. El punto de intersección de las medianas de un triángulo se llama baricentro.

G: baricentro

5. El punto de intersección de las mediatrices se llama “circuncentro”

O: Circuncentro

6. Si BD es bisectriz del ∠ABC

⇒ _x

2 a b = +

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GEOMETRÍA

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5.o _año LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS

A LOS TRIÁNGULOS

Trabajando en clase

Integral 1. Calcula “x”.

2. Calcula “x”, si: QR = BR.

3. Si “O” es el circuncentro del triángulo ABC, cal-cula “q”

PUCP 4. Calcula el complemento de “a” Si BD es bisectriz Resolución. Piden Ca = complemento de a = 90º – a Propiedades de triángulo: Entonces: m∠BDA = 40º + a ... (1) pero: iABD es isósceles, AB = BD, por lo tanto m∠BAD = 40º + a. En el iABD se cumple:

40° + a + 40° + a + a = 180º → a = 100°/3 En (1).

90º – 3100 = 170 = Ca3

5. Calcula el suplemento de “a”.

6. En un triángulo ABC se traza por B una paralela al lado AC que corta a las prolongaciones de las bisectrices interiores de A y C en M y N, respec-tivamente. Calcula “MN”, si AB = 6u y BC = 7u.

7. Calcula “x”.

UNMSM

8. Si en el triángulo ABC, BH es altura y BM es mediatriz calcula m∠MBH

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GEOMETRÍA

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5.o _año LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS _{A LOS TRIÁNGULOS}

Resolución:

Piden m∠MBH = x, en el problema aplicamos la propiedad entonces: m∠ABH = 40º m∠BCA = 40º m∠CBM = 40º Por lo tanto: m∠ABH + m∠HBM + m∠MBC = 90º 40º + x + 40º = 90º x = 10º

9. Si en el triángulo ABC, BM es mediana del triángulo ABC. Calcula m∠MBH.

10. Calcula “AB”.

11. Calcula “b”

UNI

12. Calcula “x” en funcion de “q” y “a”

Resolución:

Piden “x” en función de “q” y “a” aplicamos la propiedad de la mediana

Donde:

m∠A = 90° + q m∠B = 90° + a entonces el cuadrilátero DBEM.

( a) _x 2 90 90 2 θ θ α + - + _{= - =} 13. Calcula “b” en función de “x” y “ϕ”

14. Si en el triángulo ABC, “H” es el ortocentro, “”I” es el incentro, determina la relación entre a, q y b

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GEOMETRÍA

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Congruencia de Triángulos

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Se denota: iABC @ iPQR

Nota:

Para que dos triángulos sean congruentes: - De los elementos que los identifican, a dos

o más triángulos, se deben repetir como mínimo tres, de las cuales uno debe ser un lado.

CONGRUENCIAS

Dos figuras geométricas son congruentes cuando tienen la misma figura y el mismo tamaño.

iABC

@

iA’B’C’

CASOS DE CONGRUENCIA

A. 1er caso: lado – ángulo – lado (L.A.L.)

Dos triángulos son congruentes si tienen un

án-gulo interior de igual medida y, además, los lados que determinan a dicho ángulo, respectivamente, de igual longitud.

Si: m∠BAC = m∠B’A’C’ Luego: AB = A’ B’ ∧ AC = A’C’ ⇒iABC @ iA’B’C’

B. 2do caso: ángulo – lado – ángulo (A.L.A.)

Dos triángulos son congruentes si tienen un lado

de igual longitud y, además, los ángulos adyacen-tes a dichos lados, respectivamente, de igual me-dida. Si: AC @ A’C’ Luego: m∠BAC = m∠B’A’C’ m∠ACB = m∠A’C’B’ ⇒ iABC @ iA’B’C’

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GEOMETRÍA

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5.o _{año CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS}

Trabajando en clase

Integral

1. Calcular “AE” si: AB = 2 m y DE = 7 m.

2. Calcular AB.

3. Calcula «x».

PUCP

4. Calcula «x», si: AB = 12 u y DE = 2x + 2u.

C. 3er caso: lado – lado – lado (L.L.L.)

Dos triángulos son congruentes si sus lados son de igual longitud.

Si: AB = A’B’ ; BC = B’C’; AC = A’C’ ⇒ iABC @ iA’B’C’

CASOS COMUNES DE TRIÁNGULOS CONGRUENTES

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GEOMETRÍA

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5.o _año CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Resolución: iABC @ iCDE Caso A.L.A. ⇒ AB = DE 12u = 2x + 2u 2x = 10 u ∴ x = 5 u 5. Calcula «x», si: AC = 20 u y CE = 4x.

6. Calcula «x», si ABCD es un cuadrado, además: BH = 5 u y PH = 17 u.

7. Si los triángulos ABC y PQC son congruentes, calcula «x».

UNMSM 8. Calcula «x», si: PC = AB.

Resolución:

Dato: PC = AB

iAQP: Isósceles (m∠QAP = m∠QPA) ⇒ AQ = QP iBQC: Isósceles (m∠QBC = m∠QCB) ⇒ AQ = QC Finalmente: iABQ @ iPCQ Caso: L.L.L. ⇒ m∠QCP = 4x = m∠ABQ Luego: 4x + 6x = 90° 10x = 90° ∴ x = 9°

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GEOMETRÍA

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5.o _{año CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS}

10. Si: BE = 10 u y BD = 8 u, calcula «BH».

11. Si AB = BC y los triángulos APR y CRQ son con-gruentes, calcula el perímetro del triángulo PQR.

UNI 12. Calcula «CD», si AD = 1 u y BD = 4 u. Resolución: Trazamos CE ⊥ BD m∠ABD = a y m∠EBC = q q + a = 90° ⇒ m∠BAD = q y m∠BCE = a, Luego: iADB @ iBCE Caso: A.L.A. AD = 1u ⇒ BE = 1u BD = 4u ⇒ EC = 4u Como: BD = 4u ⇒ BE = 1u Triángulo rectángulo DEC. x = 5u

13. Calcula «CD» si: AD = 7 u y BD = 12 u.

14. Si ABCD es un cuadrado, además AQ = 12u y QC = 4 u. Calcula “BP”.

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GEOMETRÍA

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Aplicación de la congruencia

(Triángulos Rectángulos Notables)

• Propiedad de la bisectriz

Si OM es bisectriz del ∠AOB y «P» ∈ OM → PR = PQ y OR = OQ

• Propiedad de la mediatriz

Si L es mediatriz de AB y P ∈ L → PA = PB

9APB: isósceles

• Propiedad de los puntos medios

Si //L L1 2

⇒ BN = NC y MN = AC₂

Colorario

Si “M” y “N” son puntos medios de AB y BC, res-pectivamente L ₁ // L ₂ y MN = AC y MN = AC₂

Advertencia

Bisectriz es la recta que

divide un ángulo en dos

de igual medida.

Mediana en un

triángulo, es la recta

trazada desde un vértice

al punto medio del lado

opuesto.

• Propiedad de la mediana relativa a la

hi-potenusa o menor mediana

9_{ABC: BM mediana relativa a AC.} BM = AC₂

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GEOMETRÍA

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5.o _{año APLICACIÓN DE LA CONGRUENCIA}

Observación

x = 90°

• Propiedad de los triángulos isósceles

BH

es:

Altura

Bisectriz

Mediana

Mediatriz

Observación

Los triángulos isósceles se pueden reconocer por la combinación de líneas notables trazadas interior-mente, estos son tres casos:

3 casos son triángulos isósceles

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

NOTA-BLES

Se denominan así a ciertos triángulos rectángulos en los que conociendo las medidas de sus ángulos internos, denominados ángulos notables, se tendrá presente una determinada relación entre las longitudes de sus lados y viceversa.

Triángulos rectángulos aproximados

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GEOMETRÍA

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5.o _año APLICACIÓN DE LA CONGRUENCIA

Trabajando en clase

Integral 1. Calcula «x» si AC = 4x. 2. Calcula «x». 3. Calcula «b». PUCP 4. Calcula «x 2 ». Resolución: Se traza MP // AB

9_{ABC (Propiedad de los puntos medios)} MP = AB₂ → MP = 3 u MPD es notable (MP = DP = 3 u) ∴ x = 3 2 u Piden “x 2 ” ⇒ 3 2 ( 2 ) = 6 u 5. Calcula «x 2 ». 6. Calcula «x». 7. Calcula “BP”, si AQ = 20 u. UNMSM

8. Si m∠BAC – m∠BCA =30° y AB = MC, calcula el valor de «x», si L es mediatriz de AC.

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GEOMETRÍA

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5.o _{año APLICACIÓN DE LA CONGRUENCIA}

Resolución:

Piden: x

• Se prolonga PA hasta M (PA = AM) • 9PCM isósceles (PC = CM) ⇒ PQ // MC

x = 70°

13. Calcula “PQ” si PC = 8 m y 2(PA) = PB.

14. Se tiene un cuadrilátero ABCD donde: m∠ABC = m∠ADC = 90º y ACBD = 23 . Calcula m∠BCD.

Dato

m∠BAC – m∠BCA = 30° b – q = 30°

• L es mediatriz de AC (AD = DC) y (AE = EC) • iABE (isósceles)

x = 75°

9. Si m∠BAC – m∠BCA = 40° y AB = EC, calcula el valor de «x», L es mediatriz de AC.

10. Calcula «x», si: AC = 2(DB).

11. Si PQR es un triángulo equilátero de lado 16 u. Por A, punto medio de PQ, se traza AB perpen-dicular a PR; por B se traza BC, perpenperpen-dicular a QR. Calcula BC.

UNI 12. Calcula «x», si: BP = 2(PA).

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GEOMETRÍA

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Polígonos y perímetros

DEFINICIÓN

Es la figura geométrica cerrada que se forma al unir consecutivamente tres o más puntos no colineales, mediante segmentos de tal modo que dicha figura limita una región del plano.

Z Notación: Polígono ABCDEFG… Z Elementos:

1. Vértices: A, B, C, D, E, F, G, … 2. Lados: AB, BC, CD, DE, EF, FG, ...

3. Ángulos internos de medida: a₁, a₂, a₃, a₄, ... Ángulos externos de medida: b₁, b₂, b₃, b₄, ... 4. Diagonales: AC, AD, DF, ...

5. Diagonales medias: MN, PQ

CLASIFICACIÓN

1. Clasificación por la medida de sus ángulos

A. Convexo

Será convexo cuando toda recta secante solo corta en 2 puntos al polígono.

B. No convexo o cóncavo

Será no convexo cuando al menos una recta secante corta en más de dos puntos al polígo-no.

2. Clasificación por la regularidad de sus

elementos

A.

Polígono equilátero

Es aquel que tiene todos sus lados congruen-tes.

Perímetro = n(medida del lado)

B.

Polígono equiángulo

Es aquel que tiene todos sus ángulos con-gruentes, siempre es convexo.

a

= m

∠

i =

180º(_nn-2)

q

_{= m}

∠

_{e =}

º n 360 Donde: n = # de lados

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GEOMETRÍA

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5.o _{año POLÍGONOS Y PERÍMETROS}

Trabajando en clase

Integral

1. Calcula el número de lados de un polígono cuya suma de las medidas de sus ángulos interiores es 1080°.

2. Calcula el perímetro de un polígono equilátero, si su lado mide 8 cm y tiene 27 diagonales.

3. Dos polígonos regulares, uno de 6 lados y el otro de 5 lados, tienen un lado en común. Si el perí-metro total es de 135 cm, ¿cuál es el períperí-metro del polígono de 5 lados?

PUCP

4. Si en un polígono el número de lados aumenta en 3, el número de diagonales se triplica. Calcula la suma de las medidas de sus ángulos interiores.

Resolución:

Dada la relación entre el número de lados y su nú-mero de diagonales se puede realizar del siguiente cuadro: n: # lados D: # de diagonales Observamos que n = 6 Piden: ∑∠_sint = 180º(n - 2) = 180º(4) ∴ ∑∠_sint = 720

C.

Polígono regular

Es el polígono equiángulo y equilátero a la vez. En la figura, “O” es centro del polígono y m∠AOB es el ángulo central.

m

∠

_{central =}

º n 360 ∑∠

s =

360_nº

(Ap) Apotema del hexágono regular

PROPIEDADES GENERALES PARA TODO

POLÍGONO CONVEXO DE “N” LADOS

1. El número de diagonales trazadas desde un solo

vértice:

n° d₁ = n – 3

2. Número total de diagonales: D= n n_ ₂-3i

3. Número de diagonales trazadas desde “m” vérti-ces consecutivos:

nºD_(m) = m . n – _m+1i₂_m+2i

4. Número de triángulos determinados al trazar las diagonales desde un solo vértice:

nº9s = n – 2

5. Suma de las medidas de los ángulos internos: ∑∠_sint = 180º(n–2)

6. Suma de las medidas de los ángulos externos: ∑∠_{sext = 360º}

7. Número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de los ángulos internos:

Nº∠rectos = 2(n – 2) Observación:

Existe una relación entre “n” (# de lados) y D (diagonales) y es mediante el siguiente cuadro:

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GEOMETRÍA

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5.o _año POLÍGONOS Y PERÍMETROS 11. Calcula «x». UNI

12. Sabiendo que ABCDEFGH es un octógono equián-gulo, calcula m∠BDA si: 4AB = 2CD = 2 BC.

Resolución:

Si: AB = m ⇒ CD = 2 m y BC = 2 2 m • Prolongamos DC y AB hasta “O”. • m∠OCB = m∠CBO = 45º ( ext. De un octógono) • ⇒ OC = OB = 2 m

• Triángulo DOA, notable: OD = 4 m y OC = 3 m ⇒ m∠ODA = 37º

• Triángulo DOB, notable: OD = 4 m y OB = 2 m ⇒ m∠ODA = º53 = 26,5º₂

Finalmente: ⇒ x + 26,5º = 37° ∴ x = 10,5°

13. En un octógono equiángulo ABCDEFGH, calcula m∠BDA, si: 4AB = CD = 2 BC.

14. Un polígono de “n” lados posee 10 ángulos interiores cuya suma es 1600°. Determina la suma de las medi-das de los ángulos exteriores correspondientes a los vértices restantes.

5. Si en un polígono, el número de lados aumenta en 5, el número de diagonales aumenta en 45°. Calcula la medida de su ángulo exterior.

6. Si ABCDE es un polígono regular, calcula «x».

7. Si la medida del ángulo interior de un polígono regular es 160°, calcula el número total de diago-nales de dicho polígono.

UNMSM

8. Desde 7 vértices consecutivos de un polígono, se pueden trazar 55 diagonales. Calcula la medida de su ángulo central. Resolución: Sabemos:

D

_K

= nk –

_k+1i₂_k+2i D: # de diagonales K: # de vértices consecutivos n: # de lados Dato: D_{7 = 55 ⇒ n(7) – 2}8 9_ i = 55 7n – 36 = 55 7 n = 91

n = 13

Piden: ∠

central =

360_nº

=

360₁₃º

9. Desde 6 vértices consecutivos de un polígono, se pueden trazar 32 diagonales. Calcula la suma de las medidas de sus ángulos interiores.

10. Si se sabe que ABCDE es un polígono regular y que AF = AE, calcula «x».

6

Cuadriláteros

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GEOMETRÍA

6

DEFINICIONES

Polígonos de cuatro lados, pueden ser convexos o no convexos.

Convexo

Notación: kABCD convexo No convexo

Notación: ABCD convexo

Z Elementos (para ambas figuras)

1. Vértices: A, B, C y D 2. Lados: AB, BC, CD y AD 3. Diagonales: AC y BD

Z Propiedad (para ambas figuras)

Suma de medidas de ángulos interiores: a + b + g + q = 360°

CLASIFICACIÓN DE LOS

CUADRILÁ-TEROS CONVEXOS

1. Trapezoides

Son cuadriláteros que no tienen lados paralelos.

A.

Simétrico

Es aquel en el que una de sus diagonales es mediatriz de la otra.

B.

Asimétrico

Es aquel que no tiene ninguna simetría. Es también llamado trapezoide irregular.

2. Trapecios

Son cuadriláteros que solo tienen dos lados para-lelos, los cuales son denominados bases.

A.

Escaleno

Es aquel que tiene sus lados no paralelos, des-iguales.

Si BC // AD a ≠ b

a

+

b

= 180°

q

+

g

= 180°

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GEOMETRÍA

6

5.o _año CUADRILÁTEROS

B.

Isósceles

Es aquel que tiene sus lados no paralelos, de igual longitud.

a

+

q

= 180°

AC = BD

C.

Rectángulo

Es aquel trapecio en que uno de sus lados no paralelos es perpendicular a las bases.

Si BC // AD a ≠ b

a

+

q

= 180°

Propiedades del trapecio

A. Si BC // AD

BC // PQ // AD: Base media del trapecio x b a= +₂

PQ: base media del trapecio

B. Si BC // AD

BC // AD // PQ x b a= -₂

PQ: Segmento que une los puntos medio de las diagonales.

3. Paralelogramos

Cuadriláteros que tienen sus lados opuestos pa-ralelos y congruentes. Se cumple que los ángu-los opuestos son de igual medida de dos ánguángu-los consecutivos siempre son suplementarios. Ade-más, sus diagonales se bisecan mutuamente.

CLASIFICACIÓN

1. Romboide

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GEOMETRÍA

6

5.o _{año CUADRILÁTEROS} Resolución: Datos: AH HD 3 = 2 = k ⇒ AB = AD = 5k ⇒ 9AHB (37° y 53°) kHBGD x = 53°

5. Calcula “x”, Si ABCD es un rombo y AH₇ = HD₁₈ .

6. Calcula MP. Si BC // AD, BC = 4 u y AD = 16 u.

Integral 1. Calcula «x».

2. Calcula «x» si y AD y BC son paralelos. (AD // BC)

3. Calcula BF, si ABCD es un romboide.

PUCP

4. Calcula «x», si ABCD es un rombo y AH₃ =HD₂ .

Trabajando en clase

25

GEOMETRÍA

6

5.o _año CUADRILÁTEROS

7. Calcula «x», si ABCD es un rectángulo.

UNMSM

8. Si las diagonales de un trapecio miden 12 u y 18 u, calcula el máximo valor entero que puede medir la mediana de dicho trapecio.

Resolución:

Y Se ubico M, el punto medio de AB

(AM = MD)

Y En los triángulos ACD y ABD la propiedad

de los puntos medios.

Y Sea el PMO (rel, existencia triangular)

3u < x < 15 u x_máx = 14 u

9. Si las diagonales de un trapecio miden 9 u y 16 u, calcula el máximo valor entero que pueda me-dir el segmento que une los puntos medios de las diagonales.

10. Si ABCD es un rectángulo, calcula «x».

11. Calcula «x», si ABCD es un cuadrado y BCDF es un rombo.

UNI

12. Si las diagonales de un trapecio son perpendicu-lares y miden 6 m y 8 m, calcula la medida de la mediana del trapecio.

Resolución:

Piden la longitud de la mediana del trapecio.

Y Datos: AC = 8 u y BD = 6 u Y Piden: 2 x a b= + Y Se traza un romboide jBCRD: BD = CR = 6 u Y iACR (37° y 53°) a + b = 10 u ∴ x = 5 u

13. Si las diagonales de un trapecio son perpendicu-lares y miden 24 m y 7 m, calcula la medida de la mediana del trapecio.

14. Si ABCD es un cuadrado y EFGH, un rectángulo, calcula el perímetro de dicho rectángulo.

7

Circunferencia

26

GEOMETRÍA

7

Es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto (centro) de dicho plano.

• P y Q son puntos de la circunferencia. • OP = OQ = radio = r

LÍNEAS ASOCIADAS A LA

CIRCUNFE-RENCIA

CIRCUNFERENCIA DE CENTRO “O”

Y RADIO “R”

Cuerda: CD Diámetro: AB Flecha o sagita: EF Recta secante: PQ

Recta tangente: LT (T: punto de tangencia)

Recta normal: LN

Arco PQ: PQ!

TEOREMAS FUNDAMENTALES

1. Teorema del radio y la tangente P: punto de tangencia

R: radio

T: recta tangente ⇒ OP ⊥

2. Teorema de las dos tangentes

AP = BP

A y B son puntos de tangencia

3. Teorema de la bisectriz del ángulo formado por 2 tangentes:

27

GEOMETRÍA

7

5.o _año CIRCUNFERENCIA 4. Si: Si AB = CD Entonces:

m

!AB

= m

!CD 5. Si AB // CD Entonces:

m

!AC

= m

!BD 6. Si Entonces: MH = HN mAM! = mAN! y mMB! = mNB!

Teorema de Poncelet

a + b = c + 2r

o: incentro r: inradio Teorema de Pitot

a + c = b + d

Teorema de Steiner

a – c = b – d

2. Calcula la longitud del inradio si BC y AD son pa-ralelos.

Integral

1. Calcula «x» si A, C, D y F son puntos de tangen-cia.

28

GEOMETRÍA

7

5.o _{año CIRCUNFERENCIA}

3. Calcula el perímetro del cuadrilátero ABCD.

PUCP

4. Calcula «x» si 4AO = 3CD y D es punto de tan-gencia.

Resolución:

Del dato AO = 3K y CD = 4K

Trazamos OD ⊥ CD ⇒ OD = R = 3K Triángulo rectángulo ODC (37° y 53°) ⇒ OC = 5K Sabemos: OB = R = 3K ⇒ x = 2K …. (1) Del gráfico: 3K + 5K = 32u 8K = 32 u K = 4u Reemplazando en ecuación (1): ∴ x = 2(4) = 8 u

5. Calcula «x», si D es punto de tangencia y 15AO = 8CD.

6. En una circunferencia de radio 25 u, se tiene una cuerda cuya longitud es 48 u, calcula la longitud de la flecha correspondiente.

7. Calcula “x” si E, F y P son puntos de tangencia.

UNMSM

8. Calcula «R» si: BE = FG, BH = 14 cm y E, F, G y H: son puntos de tangencia.

Resolución:

Del dato: BE = FG = a, sea HC = b = GC, AE = C = AF (teorema de las tangentes).

En el triángulo rectángulo ABC, aplicamos el teo-rema de Poncelet.

14 2

a n+ + cm m n a m+ = + + + R R = 7 cm

9. Calcula «R» si BE = FG, BH = 12 cm, E, F, G y H son puntos de tangencia.

10. Calcular “R” si AB = 9 u , BC = 40 u y D,E son puntos de tangencia.

29

GEOMETRÍA

7

5.o _año CIRCUNFERENCIA

11. Si 20 u es la suma de las longitudes de los ra-dios de las circunferencias exinscritas relativas a los catetos de un triángulo rectángulo, calcula la longitud de la hipotenusa.

UNI

12. En una circunferencia, un diámetro divide a una cuerda en dos segmentos que miden 7 m y 13 m. Si la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda mide 4 m, calcula la longitud del radio de dicha circunferencia.

Resolución:

Sea: AB: Diámetro y CD: Cuerda

OF: Distancia del centro a la cuerda CD = 20 m y OF ⊥ CD

⇒ CF = FD = 10 m

Por tanto en el triángulo rectángulo OFD, aplica-mos el teorema de Pitágoras.

R2 _{= (4m)}2 _{+ (10m)}2

R2 _{= 116m}2

R = 116m= 4 29# m ∴ R = 2 29 m

13. En una circunferencia, el diámetro AB divide a una cuerda CD (E: punto de intersección de la cuerda y el diámetro; AE > EB) en dos segmen-tos, CE (11 cm) y ED (21 cm). Si la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda AB mide 12 cm, calcule AE.

14. Se tiene tres circunferencias de radios 1 u, 2 u y 3 u, tangentes exteriores entre sí, dos a dos. Calcula la longitud del radio de la circunferencia inscrita al triángulo formado al unir los centros de las prime-ras circunferencias.

8

Repaso

30

GEOMETRÍA

8

Repaso

1. Calcula «x». a) 60° b) 65° c) 70° d) 75° e) 80°

2. _{Calcula m∠EBD si L1 y L2 son mediatrices de}

AB y BC respectivamente.

a) 31° b) 32° c) 33° d) 34° e) 35°

3. Calcula PQ, si ABCD es un romboide y AB = 8 m

a) 16 m b) 20 m c) 8 m d) 18 m e) 12 m

4. Calcula «x».

a) 15° b) 18° c) 20° d) 30° e) 12°

5. Calcula «α», si los polígonos ABCE y CDE son regulares.

a) 15° b) 20° c) 25° d) 30° e) 35°

6. Calcula el perímetro del ∆ABC si ∆ABC es equi-látero y ADEF es un rombo, .

a) 2 a b) 3 a c) 4 a d) 5 a e) 6 a

7. _{Calcula m ∠ ABD, si B es punto de tangencia.}

a) 20° b) 25° c) 30° d) 35° e) 40°

8. Calcula AC, si D, E y F son puntos de tangencia.

a) 15 u b) 20 u c) 25 u d) 30 u e) 35 u

31

GEOMETRÍA

8

5.o _año REPASO

9. En un triángulo ABC (AB = BC), se toman dos puntos, D en BC y E en AC, de modo que m∠DAE = 20°, m∠BAD = 30° y AD = AE, cal-cula m ∠ EDC.

a) 10° b) 12° c) 18° d) 30° e) 32°

10. En un triángulo rectángulo isósceles ABC (AB = BC), la ceviana interior BD se prolonga hasta un punto E. Si el triángulo ABE es equilá-tero, calcula m ∠ EAC.

a) 10° b) 15° c) 20° d) 25° e) 30°

11. Si AB = DC, calcula «x».

a) 15° b) 18° c) 22,30° d) 30° e) 36°

12. En el interior de un triángulo ABC (AB = BC), se toma el punto P de modo que m ∠ PBA = 10º y PB = AC, si m ∠ PBC = 30º calcula m ∠ PAB.

a) 10° b) 15° c) 20° d) 25° e) 30°

1

49

1

5.° año GEOMETRÍA

Ángulos asociados a la

circunferencia

ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA

ÁNGULO CENTRAL ÁNGULO INSCRITO _{SEMI-INSCRITO}ÁNGULO ÁNGULO EX-_INSCRITO A B O a b a = b A B C a b b = 2a A T b q 2q 2b T: pto. de tangencia a q b q = 2a b+ secante

ÁNGULO INTERIOR ÁNGULO EXTERIOR

x a b x = 2a b+ A B C

D

A A A C D D C C B B _B x x x a a a b b b x = 2a b -x + b = 180° A y C: Puntos de

tangencia A: Puntos de tangencia

A E

CUADRILÁTERO INSCRITO EN UN CIRCUNFERENCIA

En la figura, ABCD está inscrito,

entonces: A D C B a b a + b = 180° A D C B a b a = b

En la figura, ABCD está inscrito, entonces: A D C B a b a = b

ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA 5.° año

50

GEOMETRÍA

1

Trabajando en clase

Integral

1. Calcula «a», si B y D son pun-tos de tangencia y ABCD es un romboide. A a B 40° C

D

2. Calcula «a», si C y D son puntos de tangencia y AB es diámetro. A B C

D

E

O

140°

a

3. Si ABCD es un romboide. Cal-cula x, si AE es diámetro. A B C

D E

40°

x

O

E PUCP

4. Calcula «a», si mAE = b y m BD= f. A a B C

D

E

Resolución

Se traza BE, entonces m∠BED = f/2 por ángulo inscrito y m∠ABE = b/2 también por ángulo inscrito. En el 9EBC se tiene por ángulo exterior

2 2 & 2 a f b a b f+ = = -b _f

_/2

b

/2

f A a B C

D

E

5. Calcula «a», si mAE = 80º y mBD = 30°. A a B C

D

E

6. Calcula «x».

140°

x

100°

A B C 7. Calcula «b».

100°

150°

b A B _C

D

E

F

UNMSM 8. Calcula «b».

O

3b 2b A B C

D

Resolución

Se traza CD, se tiene un trián-gulo rectántrián-gulo isósceles. El lABCD está inscrito en la circunferencia, entonces:

CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE

A D C B a b a + b = 180° Entonces, ABCD es un cuadrilátero inscriptible A D C B a b a = b Entonces, ABCD es un cuadrilátero inscriptible A D C B a b a = b

Entonces, ABCD es un cuadrilátero inscriptible

ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA

51

1

5.° año GEOMETRÍA 2b + 3b + 45° = 180° b = 27°

O

3b 2b A B C

D

45°

45°

9. Calcula «b». (AD: Diámetro)

O

7b 3b A B C

D

10. Calcula m∠DAC, si A y C son puntos de tangencia, además AD // BC y m∠ABC = 40° A B C

D

11. Calcula «a», si AB = BE y mBC= 50°. A B C

D

E

a UNI

12. Calcula «a» en función de «b», si O es centro de la semicircunfe-rencia y B es punto de tangencia.

a b C B

D

A

E

O

Resolución

Se traza BD, entonces m∠BDE = b y por ángulo seminscrito m∠ABE = b. Entonces: a + b = 90° – b a = 90° – 2b a b C B

D

A

E

90°–b

O

b b

13. Calcula «a», si ED es diámetro y «b» es punto de tangencia a C B

D

A

E

O

30°

14. Calcula «a», si A, C, D y F son puntos de tangencia.

93°

A B C

D

F

E

a

2

5.° año

52

GEOMETRÍA

2

Segmentos Proporcionales I

1. RAZÓN GEOMÉTRICA ENTRE LAS

LONGITUDES DE DOS SEGMENTOS

Es la comparación de las longitudes de dos seg-mentos mediante el cociente obtenido entre ellos.

A B C

D

2cm

6cm

CDAB = 13

2. SEGMENTOS PROPORCIONALES

Se denominan segmentos proporcionales a

dos pares de segmentos que presentan razones geométricas iguales. A B M

N

4cm

6cm

C

D

P

Q

10cm

15cm

CDAB = 52 _CDAB = MNPQ _PQMN = 52

3. TEOREMA DE THALES

Tres o más rectas paralelas determinan en dos rectas transversales segmentos proporcionales

A B C

D

E

F

L₁ L₂ L₃ Si: L₁// L₂// L₃ ⇒ BC AB EF DE =

4. COROLARIO DE THALES

Toda recta secante a dos lados o a sus prolonga-ciones en un triángulo y paralela al tercer lado determinan sobre los lados anteriores, segmentos proporcionales. 1. Si EF //AC A B C

E

F

⇒ EABE = FCBF 2. Si EF //AC

E

F

B A C ⇒ BCEB = BAFB 3. Si EF //AC A B C

E

F

⇒ AE BA CF BC =

5. TEOREMA DE LA BISECTRIZ EN UN

TRIÁNGULO

En un triángulo, se cumple que la bisectriz inte-rior o exteinte-rior corta al lado al cual es relativo en segmentos proporcionales a los lados del triángu-lo adyacentes de la bisectriz.

SEGMENTOS PROPORCIONALES I

53

2

5.° año GEOMETRÍA 1. A B C

D

a a ⇒ BCBA = ADDC 2. bb B A C

D

⇒ BC AB CD AD = Si AB > BC y BD es bisectriz exterior.

Nota

En un triángulo, los puntos de

intersección de las bisectrices interior y

exterior trazados desde un mismo vértice,

dividen armónicamente al lado opuesto.

En la figura: AB > BC ⇒ DC AD CE AE = bb B A

_D

_C

E

a a

6. TEOREMA DE MENELAO

A B C

M

_N

P

L: recta secante ⇒ (AM)(BN)(CP) = (MB)(NC)(AP)

Trabajando en clase

Integral 1. Calcula “x”, si L1 // L2

x

a 2a L₁ L₂ L₃ 2. Calcula x. q q A B C

x

12m

6m

8m

3. Calcula x. qq B A _C

P

5m

8m

x

12m

PUCP 4. Si L₁// L₂// L₃. Calcula «y–x». L₁ L₂ L₃ B A q q q

8u

6u

10u

15m

x

y

C Resolución Piden y – x L₁ L₂ L₃ B A q q q

8u

4k

5k

3k

6u

10u

15m

x

y

C

Por Tales si: L₁// L₂ // L₃ * k k _x 5 3 15 = * k k y 4 5 ₁₅ = x = 9 m x = 12 m \ y – x = 3 m 5. Sabiendo que L₁ // L2// L3 Calcula «x – y».

SEGMENTOS PROPORCIONALES I 5.° año

54

GEOMETRÍA

2

L₁ L₂ L₃ q q q

9m

16m

12m 15m

y

x

6. Calcula “x”, si A, B y C son punto de tangencia.

P

Q

R

T

C A B

x

4m

2m

7. En un triángulo acutángulo ABC se traza la bisectriz inte-rior BD y exteinte-rior BE, tal que AD = 4m y DC = 2m. Calcula CE. UNMSM 8. Calcula x. B q q A Q

P

C

x

3m

4m

Resolución B q q A Q

P

C

x

3m

4m

a a

* Se observa que BQ es bisectriz * Aplicando Cuaterna

Armó-nica (AQ) . (PC) = (QP) . (AC) 4 . x = 3 . (7 + x) 4x = 21 + 3x x = 21 m 9. Calcula x. A B C 45° P Q 5m 3m x

10. Se tiene un triángulo obtus-ángulo ABC inscrito en una circunferencia, sobre el arco AC se ubica el punto D tal que mABC = mDC, las cuerdas AC y BD se cortan en “P” tal que 2(AP) = 3(PC)si BP = 4 m. Calcula «AB». 11. Calcula «x – y», si AC = 7 m.

8m

6m

x

y

A B C

M

D

UNI

12. Si ABCD es un cuadrado. Cal-cula x. b _q q

45

P

B C A

D

b

x

3u

4u

Resolución b _q q Q

45

45

₄₅

45+

q

45+

b

45°

45° P

B C A

D

b

x

3u

4u

45

O

R

* Se trazan las diagonales del cuadrado ABCD * 4BPQO es inscriptible * 4RPCO es inscriptible * 9BPC: Cuaterna Armónica 4 . x = 3(7 + x) 4x = 21 + 3x ⇒ x = 21 m

13. Calcula x, si ABCD es un cua-drado. q b b

45°

Q

B _C A

D

q

x

3m 12m

14. Si A y F son puntos de tangen-cia, además BF = 3m y AC = 2(FC) = 2(AE ) = 4m. Calcula AD.

E

F

B A C

D

3

55

3

5.° año GEOMETRÍA

Segmentos proporcionales II y

Semejanza de Triángulos

TEOREMA DE CEVA

Sea P el cevacentro del triángulo ABC, entonces:

P

Q

R

S

A C B (AS)(BQ)(RC) = (SB)(QC)(AR)

TEOREMA DEL INCENTRO

Si I es el incentro de triángulo ABC, entonces: B C

D

A

I

IDBI = AB BCAC+

TEOREMA DE THALES

Sea L₁// L₂// L₃ L₁ L₅ L₄ L₂ L₃ a m b n b a n m =

PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ

• Interior

a a B A m

D

C a b n ma = nb

• Exterior

m a b n A C

D

B _q q a m b n =

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos interiores tienen igual medida y sus lados homólogos son proporcionales.

Los lados homólogos en triángulos semejantes , son aquellos lados opuesto, a ángulos de igual medida.

A B C a a b b q q

M

N

Q

L₁

SEGMENTOS PROPORCIONALES II Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 5.° año

56

GEOMETRÍA

3

Notación: 9ABC ~ 9MNQ Símbolo de semejaza: ~

Se lee: “es semejante a” Pares de lados homólogos:

AB y MN; BC y NQ; AC y MQ Se cumple:

MNAB = NQBC = MQAC =k donde k es la razón de semejanza.

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

1. Dos triángulos son semejantes si dos ángulos del

primer triángulo son de igual medida a dos ángu-los del segundo triángulo.

A B C a b a b

M

N

Q

m∠BAC = m∠NMQ y m∠ACB = m∠MQN Entonces: 9ABC ~ 9MNQ

2. Dos triángulos son semejantes si un ángulo del primer triángulo es de igual medida de un ángulo del segundo y los lados que los determinan son respectivamente proporcionales. A B C a a

M

N

c

b

Q

ck

bk

m∠BAC = m∠NMQ y AB/AC = MN/MQ Entonces: 9ABC ~ 9MNQ

3. Dos triángulos son semejantes si los tres lados del primer triángulo son proporcionales a los tres la-dos del segundo triángulo.

A B C

M

N

c

a

b

Q

ck

ak

bk

Si _MNAB = _NQBC = _MQAC , entonces 9ABC ~ 9MNQ

PROPIEDADES

1. En todo triángulo, al trazar un recta paralela a uno de sus lados, siempre se forma un triángulo parcial semejante al total.

i) Si L //AC L a a b q q B

P

Q

A C Entonces: 9ABC ~ 9PBQ ii) Si L //AC a a w w q q

P

Q

B A C L Entonces: 9ABC ~ 9PBQ

2. En todo triángulo, al unir los pies de dos alturas, siempre se forma un triángulo parcial semejante al total. C q a q a b B

P

Q

A 9ABC ~ 9PBQ

SEGMENTOS PROPORCIONALES II Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

57

3

5.° año GEOMETRÍA Consecuencia: q

P

Q

B A q C 9ABC ~ 9PBQ 3. En la figura: 9ABC ~ 9PBQ B a a A _C n x m

P

Se cumple: x2 _{= m . n} 4. En las figuras: A B C x x x x a b A B C

D

Q

P

x

b

a

a bA B C D x x Se cumple: x = ._{a b}a b₊

Trabajando en clase

Integral 1. Calcula «x». A B C

P

M

N

x

_6u

3n

2a

n

a

2. Calcular «x», si I es el incentro del triángulo ABC.

I

n

3n

8u

7u

B A

D

C

x

3. Calcula «PQ», si AC//PQ. A _C B

P

x

Q

7n

18u

2n

PUCP 4. Calcula «x».

x

60° A B

P

3n 20u 2n C Q Resolución x 60° A H B

P

3n 20u 10 3 u

_2n

C

Q

Trazamos la altura BH, luego en el triángulo ABH (30° y 60°); BH = 10 3 u.

Finalmente, aplicando seme-janza en los triángulos CPQ y CBH, tenemos: u x n n 10 3 5 2 2 1 = \ x = 4 3 u

SEGMENTOS PROPORCIONALES II Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 5.° año

58

GEOMETRÍA

3

5. Calcular «x».

37°

C

Q

A

P

3n

n B x 3u 6. Calcular «AB». A q q

D

B C

_2m

6m

7. Calcular «CD» q q C

D

11cm

8cm

2cm

E

A B UNMSM

8. Calcular «AB», si: AC = 12u, AI = 8u y IE = 22u; además I es el incentro del triángulo ABC y CE es bisectriz exterior. B

E

I

A _C Resolución B

E

I A _C q 22u 8u a a x q q 12u b b F Piden «x», si «I»: Incentro, en-tonces:

m∠BAI = m∠IAC = a m∠ABI = m∠IBC = q

Luego, CE es bisectriz exterior por tanto: m∠BCE = m∠ECF = b E ⇒ Excentro relativo a BC Propiedad: m∠AEC = m ABC+₂ = 2₂q ⇒ m∠AEC = q iABI ~ iAEC u x u u 30 =128 \ x = 20u 9. Calcular «IE», si AC = 5m, AI = 3m, AB = 6m; además I es incentro del triángulo ABC y CE es bisectriz exterior. B

E

I

A _C 10. Calcula «x»

M

3u

x

A _12u

D

B C

11. _{Calcula « ID}BI », si: O, I son

cen-tros, además R = 4r. A B

D

O C R I r UNI 12. Calcula «FC», si ABCD es un cuadrilátero inscrito en una cir-cunferencia, además AB = AD; BE = 3u; EF = 2u y AC es diá-metro. P es un punto de BC, PA y

PD cortan a BC en los puntos E y F, respectivamente. Resolución q qaP a Q B C

D

A O 3u 2u _x E F Piden «x» como AB = AD ⇒ mAB = mAD ⇒ m∠BPA = m∠APD = q Trazamos PC y el triángulo APC es rectángulo (AC: diámetro) Por tanto:

m∠APD + m∠DPC = 90° Si: m∠DPC = a

⇒ a + q = 90

Luego: B, P y Q son colineales ⇒ como a + q = 90°

⇒ 2a + 2q = 180° \ m∠CPQ = a

Finalmente: B, E, F y C confor-man una cuaterna armónica ⇒ 3(x) = 2(3 + 2 + x) \ x = 10u

13. Calcula «EF», si ABCD es un cuadrilátero inscrito en una cir-cunferencia, además AB = AD; BE = 6m; FC = 9m y AC es diá-metro. P es un punto de BC, PA y PD cortan a BC en los puntos E y F, respectivamente.

14. _{Calcular « AC}AB BC+ », si: I es in-centro y G es bariin-centro del trián-gulo ABC, además IG//AC.

I G

D

M

A C

4

59

4

5.° año GEOMETRÍA

Relaciones métricas en el

Triángulo Rectángulo

PROYECCIÓN ORTOGONAL SOBRE

UNA RECTA

Se denomina proyección ortogonal de un punto sobre una recta al pie de la perpendicular trazada del punto a la recta. Los puntos que pertenecen a la recta son proyecciones de sí mismo.

Se denomina proyección de un segmento sobre una recta a la porción de recta comprendida entre las proyecciones de los extremos del segmento. Esta proyección es también un segmento, excepto cuando el segmento que se proyecta es perpendicular a la recta, en tal caso, la proyección es un punto.

A A’ B B’ C C’

D

D

’

G

G

H

H

’ E F I I’ L A’ : Proyección de A sobre L

B’C’: Proyección de BC sobre L D’ : Proyección de DE sobre L FG’: Proyección de FG sobre L H’I’: Proyección de HI sobre L

RELACIONES MÉTRICAS EN EL

TRIÁN-GULO RECTÁNTRIÁN-GULO

En todo triángulo rectángulo, al trazar la menor altura se forman dos triángulos, los cuales son semejantes al triángulo rectángulo dado.

A a _H B a b b C

En el triángulo rectángulo ABC AB y BC: catetos

AC : hipotenusa BH: altura (menor)

AH: proyección ortogonal de AB sobre AC CH: proyección ortogonal de BC sobre AC

Propiedades:

A B _H C a m h n b c 1. a2 _{= b}2 _{+ c}2 2. h2 _{= m . n} 3. ah = bc 4. c2 _{= ma; b}2 _{= na} 5. h12 = b12 +c12

Propiedades adicionales:

1. En el gráfico, AB: diámetro Se cumple: h2 _{= mn}

A B

P h

m n

2. En el gráfico, AB: diámetro Se cumple: b2 _{= cn}

P b c

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 5.° año

60

GEOMETRÍA

4

Trabajando en clase

Integral

1. ¿Qué longitud igual se le debe quitar a cada lado de un trián-gulo cuyas medidas son 9u, 16u y 18u para obtener un triángulo rectángulo?

2. Calcula la suma de las longi-tudes de los catetos, si la hi-potenusa mide 15 u y la altura relativa a ella mide 6 u.

3. Calcula «x» A B H C x 4u 3u PUCP

4. Calcula «CD» si se tiene que la hipotenusa AC de un triángu-lo isósceles ABC mide 8 2 u, se prolonga BA hasta el punto D, tal que: AD = 7u.

Resolución A B C

D

x 8u 8u 8 2 u 7u 45° 45° Por notable de 45° y 45°: BC = AB = 8u CBD: pitágoras (8u)2 _{+ (15u)}2 _{= x}2 17u = x

5. Calcula «CD» si se tiene que la hipotenusa AC de un trián-gulo isósceles ABC mide 9 2 u, se prolonga de BA hasta el punto D, tal que: AD = 31u.

6. Calcula el perímetro del trián-gulo equilátero ABC.

A B C

D

2u 4u

7. Calcula la longitud de la hipo-tenusa si los lados del triángu-lo rectángutriángu-lo están en progre-sión aritmética de razón 4u.

UNMSM

8. Calcula «x», si BCFG es un cuadrado y C es punto de tan-gencia. A B C

D

E F G O x a b Resolución Recordar: h m n h2 _{= m.n} n n ax a b 1. x2 _{= a(2n + a)} x2 _{= 2an + a}2 a x a _n 2 2_- 2 = 2. x2 _{= n(a + b)} x2 _{= ( )} a x _{a a b} 2 2_- 2 + desarrollando y agrupando: a b ab a-+ = x 9. Calcula «x» si BCFG es un cuadrado y C es punto de tan-gencia. G O A B C

D

E F x 7u 2u

3. En el gráfico, A, B y C son puntos de tangencia Se cumple: x = 2 Rr R C _r B A _x O₁ O₂

Advertencia pre

En los ejercicios de relaciones métricas, nos

podemos ayudar usando alguno de los teoremas

ya vistos anteriormente y usar un método más

práctico como se muestra en la figura.

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

61

4

5.° año GEOMETRÍA 10. Calcula «x», si T es punto de tangencia, además: OB = 3u y AB = 2u. O B A T x

11. Calcula «x», si A y D son pun-tos de tangencia. x B

D

5u E 7u O A UNI 12. Calcula «x». x A _{a F E}

_D

b C B G Resolución Recordar: h h h h2 _{= m.n} En el problema: x x x–a x–b A a bB (x – a)x = (x – b)2 x2 – ax = x2 –2xb + b2 2xb – ax = b2 x(2b–a) = b2 x = b a2b 2

-13. Calcula la longitud del radio de la semicircunferencia de diámetro AC. A _{5u F E}

_D

3u C B G 14. Calcula «x», si B es punto de tangencia y ACDF es un rec-tángulo. O x A B C E F

D

7u 2u

5

5.° año

62

GEOMETRÍA

5

Relaciones métricas en

Triángulos Oblicuángulos

1. TEOREMA DE EUCLIDES

1er caso:

En todo triángulo, el cuadrado de la longitud del lado que se opone a un ángulo agudo es igual a la suma de cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de uno de ellos, por la longitud de la proyección del otro sobre él.

Sea ABC, el triángulo; donde 0° < a < 90°. AH: proyección de AB sobre AC.

Entonces: a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{– 2bm} H A m C a c B b a

2do Caso:

En todo triángulo obtusángulo, el cuadrado de la longitud del lado opuesto al ángulo obtuso, es igual a la suma de cuadrados de los otros dos, más el doble producto de uno de ellos por la pro-yección del otro sobre él.

Luego: _{a2 = b2 + c2 + 2bm} H m _{A b} C B a c a 90° < a < 180°

AH: proyección de AB, sobre AC.

2. TEOREMA DE HERÓN

En todo triángulo, la longitud de una altura, es igual al doble de la inversa de la longitud del lado sobre el cual cae, por la raíz cuadrada del produc-to del semiperímetro y su diferencia con la longi-tud de cada lado.

Consideremos los gráficos adjuntos; en cada caso, el triángulo en mención es ABC.

El semiperímetro p: p = a b c+ +₂

La fórmula para el Teorema de Herón, con rela-ción a la altura BH. Fig 1 Fig 2 H A m C b a c _h B _B h _c a H m A b C h = _{b p p a p b p c}2 ( - )( - )( - )

3. TEOREMA DE LA MEDIANA

En todo triángulo, la suma de cuadrados de las longitudes de dos lados, es igual a dos veces el cuadrado de la longitud de la mediana hacia el menor lado, más la mitad del cuadrado de la lon-gitud de dicho lado.

Sea BM una mediana del triángulo ABC. Entonces: a2 _{+ c}2 _{= 2m}2 + b22 M C b H A B a m c

4. TEOREMA DE STEWART

En todo triángulo, la longitud de una ceviana in-terior, puede evaluarse con la siguiente expresión: iABC → BE, ceviana interior

a2_{m + c}2_{n = x}2_{b + mnb} B a c _x A _{m E n} C b

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

63

5

5.° año GEOMETRÍA

Trabajando en clase

Integral 1. Calcula «x». A B H 7u 8u 2u C x

2. Calcular la longitud de la me-nor altura del triángulo ABC.

2m 5m 6m B A C 3. Calcula «AM». M A B C 5cm 12cm 10cm PUCP 4. Calcular «x» H B A _5m C 10m 6m x Resolución H B A _5m C 10m 6m x

Aplicando el teorema de Euclí-des para un triángulo obtuso 102 _{= 6}2 _{+ 5}2 _{+ 2(5)x} 100 = 36 + 25 + 10x 39 = 10x \ x = 3,9 m 5. Calcular «x». H A C _7u B 12u 8u x 6. Calcular «BP» B A _{4u P C} 6u 16u 12u

7. Calcular la longitud de la altu-ra del taltu-rapecio, si BC//AD.

A B C

D

13m 12m 15m 26m UNMSM

8. Calcular la longitud de la pro-yección de la mediana AM so-bre el lado AC.

A B C M 7u 13u 3 5 u 3 5 u Resolución A B C M 7u a 13u 3 5 u 3 5 u H x Piden «x» Sea AM = a

Calculando «a», por tanto aplicamos el teorema de la me-diana en el triángulo ABC 72 _{+ 13}2 _{= 2a}2 _{+ (} ) 2 6 5 2 49 + 169 = 2a2 + 2180 128 = 2a2 ⇒ a = 8u

Finalmente, aplicando el teo-rema de Euclides en el trián-gulo AMC

(3 5 )2 _{= 13}2 _{+ a}2 _{– 2(13)x}

45 = 169 + 64 – 26x \ x = ₁₃94u

9. Calcular la longitud de la pro-yección de la mediana AM so-bre el lado AC A B C M 4m 8m 12m 10. Calcular «AB». 9u 7u O A _{M N} B

11. Calcular «OM», si el lado del cuadrado mide 8u, ademas O es el centro de la circunferen-cia.

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 5.° año

64

GEOMETRÍA

5

O B E C M

D

A UNI 12. La hipotenusa de un rectángu-lo mide 52 cm y la relación de los cuadrados de los catetos es igual a 85 . Calcula «x», Si BM es la mediana relativa a la hi-potenusa. A B C H _x M Resolución Dato: ...( ) ba2 85 1 2 = A B C H x M 26-x 26cm 26cm a b Sean: AB = a y BC = b

* Por RM en el triángulo ABC &_a2 _{= (26 - x)52} &_b2 _{= (26 + x)52} Reemplazando en la ecuación (1) ( )52 ( )52 x x 26 26 8 5 + -= 5x + 130 = 208 - 8x 13x = 78 \ x = 6 cm 13. La hipotenusa de un triángu-lo rectángutriángu-lo mide 40 cm y la

relación de los cuadrados de los catetos es igual a 53 . Cal-cular «x», si BM es la mediana relativa a la hipotenusa. A B C b H _x M 14. Calcular «x», si O₁,O₂ y O₃ son centros. 3u 5u x O₃ O₂ O₁ C A B

6

65

6

5.° año GEOMETRÍA

Relaciones métricas en la

circunferencia

• TEOREMA DE LAS CUERDAS

Si en una circunferencia se trazan dos cuerdas secantes, entonces se cumple que el producto de multiplicar las longitudes de los segmentos deter-minan sobre cada cuerda son iguales.

Si : a b c d A B C

D

ab = cd

• TEOREMA DE LAS SECANTES

Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos o mas secantes entonces el productos de multiplicar las longitudes de la secante y su parte externa es una constante.

Si: a _b c d M N Q T P ab = cd

• TEOREMA DE LA TANGENTE

Si por un punto exterior a una circunferencia se traza una tangente y una secante, se cumple que el cuadrado de la longitud de la tangente es igual al producto de multiplicar las longitudes de la se-cantes con su parte externa

Si: a b x M N Q P M: punto de tangencia x2 _{= ab}

• TEOREMA DE PTOLOMEO

En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible se cumple que el producto de multiplicar las longi-tudes de sus diagonales es igual a la suma de los productos de multiplicar las longitudes de sus la-dos opuestos. Si: a b c d x y A B C

D

x × y = ac + bd

• TEOREMA DE ARQUÍMEDES

Si: a b c d R A B C

D

O a2 _{+ b}2 _{+ c}2 _{+ d}2 _{= 8R}2

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 5.° año

66

GEOMETRÍA

6

Trabajando en clase

Integral 1. Calcula «x». A B C

D

12u 3u 9u x M 2. Calcula «x», Si AC = 7u y EC = 6u A B C

D

E x 3u 3. Calcula «x», si T es punto de tangencia. A B C

T

x 3u 9u PUCP 4. Calcula «x». (T y P: punto de tangencia) T _Q x 3u 2u P Resolución

Del gráfico. TQ = PQ = 2u+x T. tangente x x+2u 5u+x (x+2)2 _{= (5+x)}x x2+ 1x + 4 = 5x + x2 x = 4u 5. Calcula «x», (T y P: puntos de tangencia) T _Q x 4u 3u P

• TEOREMA DE CHADU

Si: a b D x P C B x = a + b

• TEOREMA DE FAURE

Si: a b c d _R A B C

D

O a2 _{+ b}2 _{+ c}2 _{+ d}2 _{= 4R}2 Si: b x a x2 = a2 + b2 Si: b x A _O B a x = a b ab 2 2₊ 2 Si: a b c d _a2 + b2 = c2 + d2

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

67

6

5.° año GEOMETRÍA

6. Si ABC es un triángulo equilá-tero y AD + BD = 10u, calcula DC.

A

B

C

D

7. Demostrar que (AB)(BC) = (BE)(BD). (Teorema de las isogonales). A D C E B a a UNMSM 8. Demostrar: (AB)2 _{+ (CD)}2

= (DE)2 _{+ (AC)}2_{,si B y E son}

puntos de tangencia. A B C

D

E F G Resolución 1) Teorema de la tangente: (AB)2 _{= (AG)(AC)} 2) Teorema de la tangente: (DE)2 _{= (DF)(CD)} 3) Teorema de la secante: (CG)(AC) = (CF)(CD) pero: (AC–AG)(AC)=(CD–DF)(CD) (AC)2_{–(AG)(AC)=(CD)}2_–(DF)(CD)

(AC)2_–(AB)2 _{= (CD)}2_–(DE)2

(AC)2_+(DE)2 _{= (AB)}2_+(CD)2

9. Calcula (AB)2 _+(CD)2_{,si AC =}

6u, DE = 4u, si B y E son pun-tos de tangencia A B C

D

E 10. Si AP = 8u y BQ = 6u

Calcula PQ (A y B son puntos de tangente)

A

B

P Q

11. Calcula «AT», si T es punto de tangencia T A O a C B a A a UNI 12. Demostrar:

(AE)2 _{+ (EC)}2 _{+ (BE)}2 _{+ (DE)}2 _{= 4R}2_.

(teorema de faure)

A

B

C

D

E

O

R

Resolución

Se traza el diámetro DE, luego se une B y E, luego se deduce que BE = y–x R y y–x m x n A B C

D

E O R R EBD :Pitágoras (y–x)2_+(m+n)2 _{= (2R)}2 y2_–2xy+x2_+m2_+2mn+n2 _{= 4R}2

pero por el teorema de cuer-das:

xy = mn entonces:

x2_+y2_+m2_+n2 _{= 4R}2

(AE)2_+(EC)2_+(BE)2_+(DE)2_{= 4R}2

13. Calcular «R» A B C

D

1u 1u 5u 5u _R O 14. Calcula (AC)(DB). B A C

D

3u 3/2u 1u 2u

7

5.° año

68

GEOMETRÍA

7

Polígonos regulares

1. POLÍGONOS REGULARES

Son aquellos polígonos convexos que tienen sus lados y ángulos respectivamente congruentes. Todo polígono regular puede ser inscrito y

cir-cunscrito a dos circunferencias concéntricas

A B C R R O a_n Z H 2 L_n L_n a_n O: Centro de la circunferencia R: Circunradio

L_n : Longitud del lado, para el polígono regular de “n” lados.

a_n: longitud del apotema.(ó ap_n).

iCOB: Elemento fundamental del polígono. a_n: Medida de ángulo central o del arco que sub-tiende cada lado del polígono.

a_{n = n}360c Cálculo de la longitud del Lado En el iCOB con la ley de cosenos

L_n = R (2 1-Cosa_n) Cálculo del Apotema

En el iOHZ:

a_n = 1 4₂ R2-L2_n

2. POLÍGONOS REGULARES

NOTA-BLES

1) Triángulo Equilátero: L₃ = R 3 ; a_{3 = R2} O L3 a₃ A P C B 120° 2) Cuadrado: P R O a₄ L₄ 90° A B C

D

L₄ = R 2 ; a_{4 = R2}2 3) Hexágono Regular: a₆ L₆ O R R P 60° L₆ = R; a_{6 = R2}3 4) Octógono Regular: L₈ O 45° 45° R R L₈ = R 2- 2 ; a_{8 = R2 2 2}+ 5) Dodecágono Regular: L₁₂ a₁₂ 30° R R O L₁₂ = R 2- 3 ; a_{12 = R2 2 3}+

POLÍGONOS REGULARES

69

7

5.° año GEOMETRÍA

Trabajando en clase

Integral

1. Calcular el lado de un hexá-gono regular, si el radio de la circunferencia circunscrita a dicho polígono regular mide 8 m.

2. Calcular «x» si L_n es el lado de un polígono regular de n lados.

x E C

D

A B L₃ L₆

3. Calcular la longitud del lado de un octógono regular si el radio de la circunferencia cir-cunscrita mide 2 m.

PUCP

4. Calcular el perímetro del triángulo que se forma al unir los puntos medios de tres la-dos no consecutivos de un hexágono regular,cuyo circun-radio mide 4 m Resolución P B C Q

D

x x x O 4u 4u 4u E F R A

Piden el perímetro del iPQR = 3x

Sabemos que: AO = OD = BC = 4u

En el trapecio ABCD, «x» es la base media, por tanto:

6) Decágono Regular: L₁₀ a₁₀ 36° R R O L₁₀ = (R_{2 5 1}- ; ) a_{10 = R4 10 20}= + 7) Pentágono Regular P L₅ a₅ O R R 72° L_{5 = R2 10 20} a₅ = (R_{4 5 1}+ ) Propiedad: Los lados del

pentágono, hexágono y decágono, regulares for-man un triángulo

rectán-gulo así: L10

L₆ L5

Polígono Regular _{(ángulo central)}an Ln

(lado del polígono regular)

a

(apotema del polígono regular) Triángulo 120° R 3 R₂ Cuadrado 90° R 2 R₂2 Hexágono 60° R R 23 Octógono 45° R 2- 2 R 2 2+ 2 Dodecágono 30° R 2- 3 R 2 2+ 3 Decágono 36° R_{2 5 1}_ - i R_{4 10}+ 20 Pentágono 72° R_{2 10}- 20 R_{4 5 1}_ + i

POLÍGONOS REGULARES 5.° año

70

GEOMETRÍA

7

x = u4 +₂8u x = 6u Finalmente:

El perímetro del triángulo iPQR = 3(6u) = 18u

5. Calcular el perímetro del triángulo que se forma al unir los puntos medios de tres la-dos no consecutivos de un hexágono regular,cuyo circun-radio mide 6u.

6. Calcular la longitud del inra-dio de un triángulo equilátero cuyo circunradio mide 6 3 u.

7. Calcular «AD», si ABCDE-FGH es un octógono regular, cuyo circunradio mide 4 m.

A B C

D

E F G H UNMSM 8. En un triángulo acutángulo ABC, m∠ABC = 75° y AC = 12 cm.

Se trazan las alturas AQ y CH. Calcula: «HQ». Resolución Graficando convenientemente C O A Q H B 75° 30° x 15° 6u 6u

como AQ y CH son alturas, entonces AHQC es un cuadri-látero inscriptible con diáme-tro AC. * En el triángulo ABQ m∠BAQ = 15° ⇒ mHQ = 2m∠BAQ mHQ = 2(15) = 30° Piden: HQ = x como mHQ! = 30° ⇒ HQ = L12 Sabemos L_n = R (2 1-Cosan) Reemplazando: 6 ( ) x L= ₁₂= 2 1-Cos30c 6 ( ) x L= ₁₂= 2 1- ₂3 6 x= 2- 3 cm 9. En un triángulo acutángulo ABC, m∠ABC = 75° y AC = 8cm.

Se trazan las alturas AQ y CH. Calcular «HQ».

10. En una circunferencia de ra-dio 6u. Calcular la longitud de la cuerda que subtiene un arco de 144°.

11. Calcular la longitud del lado de un pentágono regular, sa-biendo que una diagonal mide 10m.

UNI

12. La hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC (recto en B) mide 2u, se traza la bisectriz interior de BD.

Si: BD = AB. Calcular «AB».

Resolución 45° x x x A B

D

H 2u C

Como AB = BD&B es el cen-tro de la circunferencia que pasa por los puntos A y D. &_{AD = L8,pues m∠ABD = 45°} (L₈ = x 2 1( -Cos45c)) Trazamos: BH = AC Entonces: AH = HD Luego: AD = 2AH &_{AH = AD} 2 = X2 2- 2 En el triángulo ABC, por rela-ciones métricas AB2 _{= (AH)(AC)} x2 ₌ 2x 2 2- .2 x = 2- 2 u 13. La hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC (recto en B) mide 8u. Se traza la bisectriz interior BD, Si BD = AB. Calcular «AB».

14. En una circunferencia de ra-dio 2+ 3m , se inscribe un triángulo isósceles ABC, tal que m∠ABC =120°.

Se dibuja interiormente un cuadrado BCPQ. Calcular «AQ».

8

71

8

5.° año GEOMETRÍA

Repaso

1. Indica la relación correcta si B es punto de tangencia. A B C

D

a b E a) a + b = 90° b) 2a = b c) a = 3b d) a = b e) a = 2b

2. Indica la relación correcta. Teorema de Menelao. A B C

D

F E a) (AB)(CD)(FE) = (BC)(DF) (AE) b) (BC)(CD)(FE) = (AB)(DF) (AE) c) (AB)(DF)(FE) = (BC)(CD) (AE) d) (AB)(CD)(AE) = (BC)(DF) (FE) e) (DF)(CD)(FE) = (BC)(AB) (AE) 3. Calcula «BC», si se tiene un triángulo ABC en el cual se traza la bisectriz interior BD y en BC se ubica el punto E tal que AB // DE, ademas, DE = 3u y BC = 3AB.

a) 8u b) 9u c) 10u d) 11u e) 12u

PUCP

4. Calcula el radio de la circunfe-rencia inscrita en el triangulo mixtilíneo AED, si se tiene un cuadro de lado 12u luego to-mando como centros A y D se trazan los arcos BD y AC res-pectivamente las cuales inter-ceptan en E.

a) 4u b) 4,2u c) 4,5u d) 4,8u e) 4,9u

5. Calcula «x», si ABC es un cua-drado. A B _C

D

x O _{M R} a) R 2 b) R22 c) R32 d) R42 e) R52 6. Calcula el perímetro de un hexágono regular , si la longi-tud de su circunradio es 4u. a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60°

7. Calcula la medida de la me-diana relativa a BC, si AB = 2u.

105° 30° A B C a) 2 u b) 4 2 3+ u c) 4 2 3- u d) 4 3 2+ u e) 4 3 2- u

8. Indica la relación correcta, si A, H, G, F, E son puntos de tangencia. AB C

D

E F H G a x _y a) x +y = 180° + 2a b) x +y = 90° + 2a c) x +y = 360° – 2a d) x +y = 180° – 2a e) x +y = 90° – 2a 9. Calcula «x» si L1// L2 // L3 a ₂ x b 6a 3b L₃ L₁ L₂ L₄ L₅ L₆ a) 2 u b) 2 2 u c) 3 2 u d) 4 2 u e) 5 2 u 10. Calcula «a». A B C

D

E 3u 2u 1u a a a a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60°