PROGRAMACIÓN LINEAL MULTIOBJETIVOS INTRODUCCIÓN
Los modelos de programación lineal se basan en la optimización de una sola función objetivo. Existen casos en donde lo más adecuado es tener varios objetivos (posiblemente opuestos), es decir varias funciones objetivo. En tales casos será imposible encontrar una solución única que optimice las funciones objetivos. En lugar de ello se podrá buscar una solución intermedia, o de compromiso basada en la importancia relativa de cada objetivo.
La programación lineal multiobjetivos es usada para resolver modelos con varias funciones objetivo.
DEFINICIÓN
Es también llamada Programación de Metas. La idea principal consiste en convertir las diversas funciones objetivos originales en una sola meta o función objetivo. El modelo resultante produce lo que se suele llamar solución eficiente, porque podrá no ser óptima con respecto a todas las funciones objetivos que presente el problema. Esta solución tratara de satisfacer en lo posible con todas las funciones objetivos presentes.
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Existen 2 métodos para convertir las funciones objetivos múltiples en una sola función objetivo.
• Método de los factores de ponderación
• Método de las jerarquías.
MÉTODO DE LOS FACTORES DE PONDERACIÓN TERMINOLOGÍA
• Gi: función objetivo i-ésima.
• Wi: factor de ponderación positivos de la función objetivo i-ésima.
Estos factores reflejan las preferencias de quien toma las decisiones, respecto a la importancia relativa de cada meta. Por la tanto los valores tomados por estos factores son subjetivos
• Xi: variables ya estudiadas.
• Z: función objetivo combinada (deriva de las funciones objetivas múltiples).
PROCEDIMIENTO
La forma en que la programación de metas determina una solución eficiente es convirtiendo cada desigualdad en una meta flexible, en la que la restricción correspondiente puede violarse si es necesario.
Se introducen las variables no negativas Si+ y Si- , las cuales son
llamadas variables de desviación, porque representan las desviaciones arriba y abajo respecto al lado derecho de la restricción i . Por definición las variables Si+ y Si- son dependientes y en
consecuencia no pueden ser al mismo tiempo variables básicas. Esto quiere decir que en una iteración símplex, cundo menos una de las dos variables de desviación puede asumir un valor positivo. En esencia la definición de Si+ y Si- permite satisfacer o violar la i-ésima
meta cuando se desee. Naturalmente, una buena solución eficiente trata de minimizar la cantidad por la cual se viola cada meta.
Entonces cuando la restricción sea del tipo >= se colocará Si+ y
cuando la restricción sea del tipo <= se colocará Si-.
Aplicación del método de factores de ponderación. Problema:
TopAd es una nueva agencia de publicidad, con 10empleados; ha recibido un contrato para promover un nuevo producto. La agencia puede anunciarlo por radio y por tv. La tabla siguiente contiene datos sobre la cantidad de personas a las que llega cada tipo de anuncio, y sus requisitos de costos y de mano de obra.
Datos/min de anuncio radio televisión Exposición(millones de personas) 4 8 Costo(miles de dólares) 8 24 Empleados asignados 1 2
El contrato prohíbe a TopAd que use más de 6 minutos en anuncios por radio. Además, los anuncios por radio y tv deben llegar cuando menos a 45millones de personas. TopAd ha establecido para el proyecto una meta de presupuesto de 100000 dólares. ¿Cuántos minutos de anuncios en radio y tv debe programar TopAd?
Resolución
Sean X1y X2 los minutos asignados a los anuncios por radio y tv. La formulación de programación de metas para el problema es:
• Minimizar G1= S1+ (satisfacer la meta de exposición)
• Minimizar G2= S2- (satisfacerla meta de presupuesto)
4 X1 + 8 X2 + S1+ - S1- = 45 (meta de exposición)
8 X1 + 24 X2 + S2+ - S2- =100 (meta de presupuesto)
X1 + 2 X2 <= 10 (límite de personal) X1 <= 10 (límite de radio)
X1 ; X2 ; S1+ ; S1- ; S2+ ; S2- >= 0
La gerencia de TopAd supone que la meta de exposición tiene dos veces la importancia de la meta de presupuesto. Entonces, la función objetivo combinada se convierte en:
Minimizar Z = 2 G1 + G2 = 2 S1+ + S2-
Z=10
X1=5 minutos ; X2 =2.5 minutos ; S1+ =5 millones
Todas las variables restantes son iguales a cero.
El hecho de que el valor optimo de Z no sea cero indica que no se cumple con al menos una meta. En forma específica, S1+ =5 indica
que la meta de exposición (de un mínimo de 45 millones de personas) no se cumple por 5millones de individuos. Al revés, la meta de
presupuesto (no excederse de 10000) no se viola, porque S2- = 0.
La programación de metas sólo produce una solución eficiente del problema, que no necesariamente es la óptima.
Por ejemplo, la solución X1=6 y X2= 2 produce la misma exposición ( 4 x 6 + 8 x 2 = 40 millones de personas) pero cuesta menos (8 x 6 + 214x 2 =96000). En esencia, lo que hace la programación de metas es determinar una solución que satisfaga sólo las metas del modelo, sin considerar la optimización. Esa deficiencia de encontrar una solución optima causa dudas sobre la viabilidad de la programación de metas como técnica de optimización.
INVESTIGACIÓN OPERATIVA I
Ciclo: 2011-01
Tema:
Programación multi objetivos (programación por metas)
Integrantes:
Christian Villanueva Zambrano Luis Santivañez Estela
Billy Tinoco Bendezú David Correa
Profesor (a):
Martín Torres Suárez
Sección: S – 001
Fecha de presentación:
