MATEM ´ATICAS I Curso 2020/2021
Escuela T´ecnica Superior de Ingenier´ıa Agron´omica Departamento de Matem´atica Aplicada I
Tema 8.
Modelos matem´
aticos de ecuaciones diferenciales
8.1. Un cultivo de bacterias crece a un ritmo proporcional a la poblaci´on actual. Entrelas 6:00 y las 7:00 la poblaci´on se triplica. ¿A qu´e hora ser´a cien veces mayor que la que hab´ıa a las 6:00?
8.2. La poblaci´on de una ciudad crece a un ritmo proporcional a dicha poblaci´on. En dos a˜nos la poblaci´on se ha doblado y un a˜no m´as tarde tiene 10.000 habitantes. ¿Cu´al era la poblaci´on inicial?
8.3. Un moho crece a un ritmo proporcional a la poblaci´on actual. Inicialmente hab´ıa 2 gramos y en dos d´ıas ha pasado a haber 3 gramos. Calcular la masa de moho en el instante t y la cantidad al cabo de diez d´ıas.
8.4. Al comienzo de 1970 la poblaci´on mundial era de 3600 millones. Suponiendo que crezca con un ´ındice del 2 por ciento anual, ¿cu´al fue su poblaci´on en el 2000? Los expertos en agricultura estiman que se necesita un tercio de acre (40, 46 Ha) para ali-mentar a una persona continuamente, y se estima que hay 10.000 millones de acres de tierra laborable en la tierra, con lo que se puede alimentar a una poblaci´on de 30.000 millones como m´aximo, suponiendo que no existen otras fuentes de alimentaci´on. ¿Cu´ando se alcanzar´a esa poblaci´on?
8.5. Un campo de trigo rebosante de saltamontes se fumiga con un insecticida que tiene una efectividad (´ındice de mortalidad) de 200 por 100 por hora, ¿que porcentaje de saltamontes seguir´a con vida una hora m´as tarde?
8.6. La masa inicial de cierta especie de peces es de 7 millones de toneladas. Dicha masa, de dejarse sola, aumentar´ıa a una raz´on proporcional a la masa, con constante de proporcionalidad 2 por a˜no. Sin embargo, la pesca comercial elimina una masa de peces a una raz´on constante de 15 millones de toneladas por a˜no. ¿En que momento se terminar´an los peces? ¿Cu´al deber´ıa ser la raz´on de pesca de modo que la masa permanezca constante?
8.7. En un lago se siembra una cepa de peces cuyo ´ındice de natalidad y de mortalidad son ambos inversamente proporcionales a√p, siendo p la poblaci´on actual.
a) Determinar p(t).
b) Si en el instante inicial hab´ıa 100 peces y despu´es de 6 meses la poblaci´on era de 169 peces, ¿cu´antos habr´a al cabo de un a˜no?
8.8. La poblaci´on de peces de un lago p(t) es atacada por una enfermedad que provoca que los peces cesen de reproducirse y mueran con un ´ındice de mortalidad inversamente proporcional a √p. Si originalmente hab´ıa 900 peces en el lago y 6 semanas despu´es quedaban 441, ¿cu´anto tiempo tardar´an en morir todos los peces del lago?
8.9. La poblaci´on de una prol´ıfica cr´ıa de conejos tiene ´ındices de natalidad y mortalidad ambos proporcionales a la poblaci´on de conejos. Determinar dicha poblaci´on en cada instante sabiendo que inicialmente hab´ıa p0.
8.10. Un tumor puede considerarse como una poblaci´on de c´elulas que se multiplican. Se ha descubierto emp´ıricamente que el ´ındice de natalidad de las c´elulas de un tumor decrece exponencialmente con el tiempo seg´un la funci´on β(t) = β0e−αt, con β0 y α
constantes positivas. Calcular la poblaci´on de c´elulas suponiendo que en el momento inicial hab´ıa una cantidad p0.
8.11. Una poblaci´on de peque˜nos roedores sometida a investigaci´on en un laboratorio tiene un ´ındice de natalidad inversamente proporcional a dicha poblaci´on y un ´ındice de mortalidad contante e igual a 0.1. Sabiendo que en el momento inicial la poblaci´on era de 100 individuos y el ritmo de crecimiento era 2, calcular:
a) El n´umero de individuos de esta poblaci´on en cada instante. b) El valor l´ımite de la poblaci´on.
8.12. En un cultivo se detecta una plaga de langosta que crece a un ritmo proporcional a la cantidad existente, con constante de proporcionalidad 0.1. En esta situaci´on, se aplica un potente insecticida que elimina las langostas con una velocidad et, siendo t el tiempo transcurrido desde su aplicaci´on, medido en d´ıas.
a) Si se estima que inicialmente hay 10000 langostas, determinar la poblaci´on de langostas en cada instante de tiempo t.
b) Razonar si se consigue exterminar la plaga y en este caso, en cu´anto tiempo. c) ¿Cu´antas langostas quedar´an al cabo de diez d´ıas?
d) Si se deja de aplicar el insecticida a los diez d´ıas, determinar en este caso la poblaci´on de langostas en cada instante de tiempo t y si se exterminar´ıa la plaga.
8.13. En un laboratorio se suministran 40 bacterias como alimento a dos sistemas proto-zoarios, A y B.
a) En el sistema A, la velocidad a la que son devoradas las bacterias es inversamente proporcional a la cantidad existente.
a1) Calcular el n´umero de bacterias presentes en cada instante, si al cabo de una hora quedan 20 bacterias.
a2) ¿Cu´ando habr´an sido devoradas todas las bacterias?
b) En el sistema B, la velocidad a la que son devoradas las bacterias es directamente proporcional a la cantidad existente con constante de proporcionalidad 2, pero se introducen bacterias a ritmo constante de 40 por hora.
b1) Calcular el n´umero de bacterias presentes en cada instante. b2) ¿Cu´al es la tendencia final de la poblaci´on de bacterias? 8.14. La din´amica de dos poblaciones viene dada por el sistema diferencial:
{
x′ =−2x + y
y′ = x− 2y
Si el tama˜no inicial de la poblaci´on x es 100 y el de la poblaci´on y es 40: (a) ¿C´omo se comportan dichas poblaciones en cada instante?
(b) ¿Coinciden el alg´un momento el n´umero de individuos de ambas poblaciones? (c) ¿Se extinguir´a a la larga alguna de ellas?
8.15. Dos especies con poblaciones x e y satisfacen el sistema diferencial: {
x′ =−2x + 4y
y′ = x− 2y
y las poblaciones iniciales son 1000 y 2000 individuos respectivamente. (a) ¿Con qu´e tipo de relaci´on coexisten esas especies?
(b) ¿C´omo evolucionan sus poblaciones a lo largo del tiempo? (c) ¿Cu´al es la tendencia final de ambas poblaciones?
8.16. La din´amica de dos especies coexistentes est´a gobernada por el sistema diferencial: {
x′ = 2x− y
y′ = 3x− 2y (a) Hallar la soluci´on general del sistema
(b) Estudiar el comportamiento a la larga de las especies si x(0) = 300, y(0) = 100 (c) Estudiar el comportamiento a la larga de las especies si x(0) = 100, y(0) = 300
8.17. La evoluci´on de dos especies se describe mediante el modelo: {
x′ = x + y
y′ =−9x + y
y las poblaciones iniciales son 100 y 1000 individuos respectivamente. (a) ¿Con qu´e tipo de relaci´on coexisten esas especies?
(b) ¿C´omo evolucionan sus poblaciones a lo largo del tiempo?
(c) ¿Se extingue alguna especie? En caso afirmativo, calcular en qu´e momento se produce la extinci´on de las presas (el tiempo se mide en a˜nos).
8.18. El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales {
x′ = 2y
y′ =−8x
representa la evoluci´on de dos poblaciones (el tiempo se mide en a˜nos). Sabiendo que las poblaciones iniciales son x(0) = 100, y(0) = 200,
(a) ¿Con qu´e tipo de relaci´on coexisten esas poblaciones? (b) Calcular dichas poblaciones para un instante cualquiera.
(c) Calcular cu´antos d´ıas tarda en extinguirse la poblaci´on de presas.
8.19. La din´amica de las poblaciones de dos especies que conviven en un mismo ecosistema viene determinada por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
{
x′ = x− 2y
y′ =−x + 2y
a) Justificar razonadamente el tipo de relaci´on con el que interact´uan estas especies. b) Si inicialmente estas poblaciones son de x0 = 250 e y0 = 50 individuos y el
tiempo se mide en a˜nos:
b1) Determinar ambas poblaciones en cada instante de tiempo t.
b2) Determinar si alguna de las poblaciones se extingue y en ese caso en qu´e momento ocurre.
c) Determinar la evoluci´on de ambas poblaciones en funci´on de poblaciones iniciales cualesquiera x0e y0. Estudiar el comportamiento de estas poblaciones en funci´on
de estos valores iniciales.
8.20. Un vino tinto se saca de la cava, donde estaba a 10oC, y se deja respirar en un
cuarto con temperatura de 23oC. Si se necesitan 10 minutos para que el vino llegue
8.21. Un recipiente con agua hirviendo a 100oC se retira del fuego y se deja enfriar en
la cocina. Despu´es de 5 minutos la temperatura del agua ha descendido a 80oC y otros 5 minutos despu´es ha bajado a 65oC. Determinar la temperatura constante de la cocina.
8.22. En una oficina, un d´ıa de invierno, el calefactor mantiene la temperatura interior en 21oC durante toda la ma˜nana y se apaga al mediod´ıa cuando los empleados salen.
Si la temperatura exterior se mantiene constante a 12oC y la constante de tiempo
para el edificio es de 3 horas, ¿en qu´e momento la temperatura del edificio ser´a de 16oC? ¿Y si se dejan algunas ventanas abiertas y la constante de tiempo del edificio se reduce a 2 horas?
8.23. Cuando los CSI llegan a la escena del crimen, que tiene una temperatura ambiental constante de 27oC, se encuentran el cuerpo de una v´ıctima a 28oC. Sabiendo que la
variaci´on de la temperatura del cuerpo con respecto al tiempo es proporcional a la diferencia entre la temperatura ambiental y la temperatura del cuerpo, y suponiendo que la constante de tiempo del cuerpo humano es 1 y que su temperatura inicial era de 37oC, se pide:
a) Plantear razonadamente la ecuaci´on diferencial que describe la temperatura del cuerpo en funci´on del tiempo.
b) Calcular cu´anto tiempo lleva muerta la v´ıctima. (El tiempo se mide en horas). (a) T = 27 + 10e−t (b) 2 horas y 18 minutos.
8.24. Un tubo de ensayo que contiene una sustancia qu´ımica con una temperatura inicial de 80o C se sumerge en un l´ıquido cuya temperatura se mantiene controlada como E(t) = 100 − 40e−0.1t, siendo t el tiempo medido en minutos. Sabiendo que la constante de tiempo del tubo de ensayo es de 10 minutos, se pide:
a) Determinar la temperatura a la que se encuentra la sustancia qu´ımica en cada instante t.
b) Determinar el instante en el que la sustancia qu´ımica y el l´ıquido est´an a la misma temperatura.
8.25. Se dispone de una c´amara figor´ıfica especializada en congelaci´on r´apida. Se sabe que la constante de tiempo de la c´amara es 1 y que la temperatura exterior es de 30◦C. Adem´as, el fr´ıo generado por el potente sistema de congelaci´on reduce adicionalmente la temperatura de la c´amara de manera proporcional a et, siendo t el
tiempo transcurrido. Se introduce un cargamento de carne en la c´amara y se conecta el congelador. En ese instante la temperatura de la c´amara es de 30◦C y pasada una
a) Determinar la temperatura que tiene la c´amara en cada instante.
b) La carne se considera congelada cuando la temperatura de la c´amara se encuentra por debajo de −10◦C. ¿Estar´a la carne congelada al cabo de 4 horas?
8.26. Una empresa ganadera tiene un cargamento de carne cuya temperatura es de 37oC y otro de pescado cuya temperatura es de 25oC. Ambos se colocan en un almac´en refrigerado con temperatura constante de -3oC y a los 10 minutos la temperatura de
la carne es de 33oC y la del pescado de 23oC.
a) Determinar razonadamente la temperatura de la carne al cabo de una hora. b) Hallar razonadamente el tiempo que se necesitar´a para que el pescado tenga una
temperatura de 5oC.
c) ¿En qu´e momento se hallan los dos cargamentos a la misma temperatura? ¿Cu´al es esa temperatura?
(a) 18.25oC aproximadamente. (b) 2 horas, 49 minutos y 17 segundos
aproximada-mente.(c)Estar´an a la misma temperatura en aproximadamente 1 hora, 55 minutos y 3 segundos. Dicha temperatura ser´a 8.95oC.
8.27. Es una fr´ıa noche de invierno. Un edificio consta de dos zonas A y B, pero s´olo la zona A es calentada mediante una caldera que sube la temperatura 10◦C por hora. La
constante de tiempo para la transferencia de calor entre todo el edificio y el exterior es de 4 horas y entre la zona A y la zona B es de 2 horas. Si la temperatura exterior permanece en 0◦C y las temperaturas iniciales de ambas zonas son tambi´en de 0◦C,
d A B
a) ¿A qu´e temperatura tiende a calentarse la zona A? b) ¿A qu´e temperatura tiende a calentarse la zona B?
8.28. Una casa consta de dos habitaciones: la zona A del desv´an y la zona B habitable. El ´area habitable se enfr´ıa mediante un sistema de aire acondicionado que baja la temperatura 6◦C por hora. La constante de tiempo para la transferencia de calor
entre la zona A y el exterior es de 2 horas, entre la zona B y el exterior es de 2 horas, y entre la zona A y la zona B es de 4 hora. La temperatura exterior se mantiene en 38◦C. Si la temperatura inicial de ambas zonas es de 30◦C,
???? ????? A B bc
a) ¿A qu´e temperatura tiende la zona A del desv´an? b) ¿A qu´e temperatura tiende la zona B habitable?
c) ¿En que instante la zona B habitable alcanza su temperatura m´ınima? ¿cu´al es esa temperatura?
8.29. Un edificio consta de dos zonas, una habitaci´on interior A y otra exterior B. La habitaci´on interior A est´a completamente aislada del exterior y se enfr´ıa mediante un sistema de aire acondicionado que baja la temperatura 6◦C por hora. La constante
de tiempo para la transferencia de calor entre la habitaci´on B y el exterior es de 1/2 hora y entre las habitaciones A y B es de 1 hora. Si la temperatura exterior se mantiene en 30◦C.
A B
(a) Plantear razonadamente el sistema de ecuaciones diferenciales que modeliza el comportamiento de las temperaturas de las dos habitaciones.
(b) Determinar la temperatura de la habitaci´on interior A en cualquier in-stante.
(c) ¿A qu´e temperatura tiende a estabilizarse la habitaci´on interior A?
8.30. Una nave consta de dos zonas: una oficina A y la zona de maquinarias B. La constan-te de tiempo para la transferencia de calor entre la nave y el exconstan-terior es de 2 horas y entre las dos zonas A y B es de 1 hora. Un d´ıa en el que la temperatura exterior es de 2oC, la zona B se mantiene a 10oC mientras las m´aquinas est´an funcionando. Cuando
se apagan todas las m´aquinas, en la oficina que se encuentra a 4oC, se enciende la calefacci´on que consigue aumentar la temperatura a un ritmo de 5oC por hora.
(a) Determinar la temperatura que habr´a en cada una de las zonas despu´es de una hora.
(b) ¿En qu´e momento las dos zonas se encuentran a la misma temperatura?
8.31. Los servicios sanitarios de una poblaci´on detectan 10 casos de una enfermedad poco habitual y determinan que en ese instante hay 10.000 personas en riesgo de ser contagiadas. Un modelo simplificado para estudiar la evoluci´on de esta posible epidemia viene dado por el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ =−x + 2y
y′ =−y
donde x(t) e y(t) son, respectivamente, el n´umero de personas infectadas y el n´umero de personas en riesgo de serlo, al cabo de t d´ıas.
a) Determinar las ecuaciones que describen la evoluci´on de la enfermedad en cada instante.
b) Las autoridades sanitarias consideran que la dispersi´on de la enfermedad ha sido controlada cuando el n´umero de personas en riesgo de ser infectadas no supera los 100. ¿Cu´ando se prev´e que se desactivar´a la alarma sanitaria?
8.32. El carbono catorce se desintegra con una velocidad proporcional a la cantidad exis-tente.
a) Escribir, razonadamente, la ecuaci´on diferencial que modelice la cantidad de carbono catorce en funci´on del tiempo.
b) Hallar, razonadamente, la expresi´on de la cantidad de carbono catorce al cabo de t a˜nos.
c) Sabiendo que en 5600 a˜nos se desintegra la mitad de una cantidad inicial de car-bono catorce, determinar la edad de un f´osil que contiene 1/1000 de la cantidad original.
8.33. Se deja caer libremente un objeto desde una cierta altura y se sabe que el ritmo de crecimiento de la velocidad del objeto es igual a la gravedad terrestre (9.8 m/s2) menos una fricci´on con el aire la cual es proporcional a la velocidad de dicho objeto (la constante de proporcionalidad es un n´umero positivo llamado coeficiente de fricci´on
del objeto).
a) Plantear razonadamente la ecuaci´on diferencial que rige la velocidad de este movimiento y resolverla sabiendo que el objeto parte inicialmente del reposo. b) ¿Cu´al es la velocidad l´ımite que alcanzar´ıa el objeto si la ca´ıda se prolongase
indefinidamente?
c) Supongamos que el coeficiente de fricci´on es de 1 s−1. ¿En que instante alcanzar´a el objeto una velocidad de 9 m/s?
8.34. En una observatorio se ha tomado la imagen de un peque˜no asteroide esf´erico de 1 metro de radio, que entr´o en la atm´osfera terrestre a las 0 horas. Por su tama˜no y composici´on, los cient´ıficos esperan que la atm´osfera haga de escudo protector y no
cause da˜nos al caer en la Tierra, ya que se sabe que al cruzar la atm´osfera el radio del asteroide disminuye a un ritmo proporcional a la superficie del mismo. Una imagen tomada a las 0 horas y 1 minuto mostraba el asteroide con un radio de 1 cm.
a) ¿Cu´anto tiempo tardar´a en reducir su radio a 0.2cm?
b) ¿Qu´e radio ten´ıa el asteroide al impactar sobre la superficie de la Tierra si lo hizo a las 0 horas y 10 minutos?
Nota: Se recuerda que la superficie de una esfera de radio r es S = 4πr2.
8.35. En dos grupos A y B de una asignatura, con 100 alumnos cada uno, se va a realizar un examen. Sabemos que 24 horas antes de realizar esta prueba nadie conoce el examen, pero se han filtrado todas las preguntas.
a) Sea x(t) el n´umero de alumno del grupo A que conoce el examen en el instante de tiempo t. Se sabe que la velocidad de filtraci´on del examen en este grupo es directamente proporcional al n´umero de alumnos que no lo conocen, es decir,
dx
dt = k(100− x).
a1) Hallar k para que x(t) = 100(1− e−2t) sea soluci´on de la ecuaci´on diferencial ordinaria anterior.
a2) Calcular el n´umero de alumnos del grupo A que conoce el examen en el momento de comenzar el mismo.
b) Sea y(t) el n´umero de alumno del grupo B que conoce el examen en el instante de tiempo t. Se sabe que la velocidad de filtraci´on del examen en este grupo es inversamente proporcional al n´umero de alumnos que no lo conocen.
b1) Determinar y(t) sabiendo que una hora despu´es de la filtraci´on lo conocen 3 alumnos.
b2) Calcular cuando lo conocer´an todos los alumnos del grupo B.
8.36. Hallar la ecuaci´on de la curva que pasa por (0, 1) y con la propiedad de que la pendiente de la recta tangente en cualquier punto es la suma del doble de la ordenada y la mitad de la abcisa de dicho punto.
8.37. Se dispara una bala que se introduce en un muro con una velocidad de 200 m/s, lo atraviesa en 0.00375 segundos y sale con una velocidad de 80 m/s. Se sabe que el ritmo de decrecimiento de la velocidad de la bala dentro del muro es proporcional al cuadrado de dicha velocidad, donde la constante de proporcionalidad s´olo depende de las caracter´ısticas de los materiales de la bala y del muro. Se pide:
(b) Determinar el espacio recorrido por la bala en cada instante de tiempo dentro del muro. ¿Cu´al es el grosor del muro?
(c) Si se dispara otra bala id´entica sobre el mismo muro, pero la bala llega al muro a 320 m/s, ¿cu´anto tiempo tardar´a la bala en disminuir su velocidad a la mitad? En ese instante, ¿estar´a a´un la bala dentro del muro o lo habr´a atravesado por completo?
8.38. Se introduce en un vaso un cubito de hielo de 3 cm de lado y se observa que al minuto dicho lado ha disminuido hasta los 2 cm. Suponiendo que el lado var´ıa a un ritmo proporcional al producto de la superficie del cubito por el tiempo transcurrido, calcular el instante en el que el lado mide 1 cm (expresarlo en minutos y segundos). 8.39. El Uranio es un elemento radioactivo que se desintegra con una velocidad
propor-cional a la cantidad existente. Se sabe que los is´otopos de Uranio U 235 y U 238 tienen una semivida (tiempo necesario para que se desintegre la mitad de los ´atomos iniciales de una sustancia radioactiva) aproximada de 704 y 4470 millones de a˜nos, respectivamente.
a) Determinar el n´umero de ´atomos de estos is´otopos de Uranio que hay en cada instante t, en funci´on de una cantidad inicial.
b) En 1929, Ernest Rutheford estim´o la edad del universo usando el hecho de que en ese momento hab´ıa aproximadamente 140 ´atomos de U 238 por cada uno de
U 235 y que en en el instante de la creaci´on del universo hab´ıa el mismo n´umero de ambos is´otopos. Calcular la estimaci´on de la edad del universo que obtuvo Rutheford.
