Ejercicio 1
Considere las siguientes restricciones a.
b. c. d. e.
Determine el espacio factible para cada restricción individual.
Para cada caso tenemos con ayuda del programa algebrator la grafica que muestra el espacio factible para cada restricción
a.
Haciendo encontramos los puntos de corte con los ejes coordenados así si x1 = 0 entonces x2=7 y viceversa esto es -3x1=7 ósea
que x1=-7/3. Luego los puntos con los ejes coordenados son (0,7) y (-7/3,0)
Luego despejando x2 tendríamos la ecuación
La región bajo la sombra rosada representa el espacio factible de solución para dicha restricción.
b.
Hacemos Despejando x2 se tiene
Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=-5/2
Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=5
Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,-5/25) y (5,0)
c. Hacemos Despejando x2 se tiene
Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=-8/3
Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=4
d.
Hacemos Despejando x2 se tiene
Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=0
Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=0
e.
Hacemos Despejando x2 se tiene
Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=0
Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=0
Ejercicio 2
Identifique la dirección del incremento en z en cada uno de los siguientes casos: a) maximice
b) maximice c) maximice d) maximice
Para esto simplemente daremos una serie de valores a Z mediante el cual genera una serie de rectas que determinaran la dirección de incremento en cada caso
Maximice , tomemos 3 valores para Z los cuales podrían ser: Z=3,6, y 9
Tenemos así las siguientes rectas: 3
6 9
Para (1)
Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=-3
Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=3
Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,-3) y (3,0) Para (2)
Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=-6
Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=6
Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,-6) y (6,0) Para (3)
Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=-9
Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=9
Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,-9) y (9,0) Veamos la grafica de estas rectas
Como se observa en la grafica la línea de color café indica la dirección en la que incrementa Z a medida que tomamos valores arbitrarios.
b) Maximice , tomemos 3 valores para Z los cuales podrían ser: Z=2,5, y 8
Tenemos así las siguientes rectas: 2
5 8
Despejando x2 en cada ecuación se tiene:
Para (1)
Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=-1/3
Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=-2/5
Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,-1/3) y (-2/5,0) Para (2)
Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=-5/6
Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=-1
Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,-5/6) y (-1,0) Para (3)
Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=-4/3
Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=-8/5
Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,-4/3) y (-8/5,0) Veamos la grafica de estas rectas
c) Maximice , tomemos 3 valores para Z los cuales podrían ser: Z=1,4, y 7
Tenemos así las siguientes rectas: 1
4 7
Despejando x2 en cada ecuación se tiene:
Para (1)
Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=1/2
Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=-1
Para (2)
Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=2
Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=-4
Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,2) y (-4,0) Para (3)
Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=7/2
Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=-7
Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,7/2) y (-7,0) Veamos la grafica de estas rectas
d) Maximice , tomemos 3 valores para Z los cuales podrían ser: Z=2,6, y 10
Tenemos así las siguientes rectas: 2
Despejando x2 en cada ecuación se tiene:
Para (1)
Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=2
Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=-2/3
Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,2) y (-2/3,0) Para (2)
Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=6
Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=-2
Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,6) y (-2,0) Para (3)
Haciendo x1 igual a cero se tiene que x2=10
Haciendo x2 igual a cero se tiene que x1=-10/3
Luego los puntos de corte con los ejes coordenados son (0,10) y (-10/3,0) Veamos la grafica de estas rectas
Ejercicio 3
Determine el espacio de solución y la solución óptima del modelo de Reddy Mikks para cada uno de los siguientes cambios independientes. Para ello solo consideraremos los valores de la tabla inicial y hacemos los correspondientes cambios
a. La demanda máxima diaria de pintura para exteriores es de 2.5 toneladas El modelo de Reddy Mikks esta definido como:
Maximizar Sujeta a:
La ecuación en rojo es la que ha determinado un cambio
Primero graficamos las restricciones para precisar la región que estará factible y determinar los puntos que la conforman en la solución del problema de maximización.
Tomamos cada ecuación y encontramos los puntos de corte con los ejes del plano
Por ello tenemos los puntos (0,6) y (4,0)
Por ello tenemos los puntos (0,3) y (6,0)
Podemos calcular el punto de corte entre las rectas considerando el sistema de ecuaciones:
Sustituyendo x1 en la ecuación 2 se tiene:
5,1.75)
Sustituyendo x1 en la ecuación 1 se tiene:
5,2.25)
Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 1 y 2
1*(
Al sumar encontramos que ,3/2) Veamos ahora la grafica
Los puntos que están dentro de la zona de factibilidad son los puntos de corte entre las rectas 2 y 3 y la recta 3 con el eje x y la recta 2 con el eje y dichos puntos son: 5,1.75), (2.5,0) y (0,3)
Remplazamos estos valores en la función objetivo y escogemos como máximo al de mayor valor
Maximizar
Por tanto el máximo es 19.5 mil dólares cuando se usa 2.5 toneladas de pintura para exteriores y 1.75 toneladas de pintura para interiores.
b. La demanda diaria de pinturas para interiores es por lo menos de 2 toneladas
Sujeta a:
La ecuación en rojo es la que ha determinado un cambio:
Primero graficamos las restricciones para precisar la región que estará factible y determinar los puntos que la conforman en la solución del problema de maximización.
Tomamos cada ecuación y encontramos los puntos de corte con los ejes del plano
Por ello tenemos los puntos (0,6) y (4,0)
Por ello tenemos los puntos (0,3) y (6,0)
Podemos calcular el punto de corte entre las rectas considerando el sistema de ecuaciones:
Sustituyendo x2 en la ecuación 2 se tiene:
2,2)
Sustituyendo x2 en la ecuación 1 se tiene:
6,2)
Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 1 y 2
Multiplicando 1 por 1 y 2 por -6 se tiene: 1*(
Al sumar encontramos que ,3/2) Veamos ahora la grafica
La región en verde es la región factible y solo esta dentro de ella los puntos se corte de la recta 2 con el eje y, el corte entre la recta 2 y la recta 3 y el corte entre la recta 3 con el eje y, dichos puntos son:
(0,2), (0,3) y (2,2)
Maximizar
Por tanto el máximo es 18 mil dólares cuando se usa 2 toneladas de pintura para exteriores y 2 toneladas de pintura para interiores.
c. La demanda diaria de pinturas para interiores es exactamente de 1 tonelada mas que la de la pintura para exteriores
Maximizar Sujeta a:
La ecuación en rojo es la que ha determinado un cambio:
Primero graficamos las restricciones para precisar la región que estará factible y determinar los puntos que la conforman en la solución del problema de maximización.
Tomamos cada ecuación y encontramos los puntos de corte con los ejes del plano
Por ello tenemos los puntos (0,6) y (4,0)
Por ello tenemos los puntos (0,3) y (6,0)
Por ello tenemos los puntos (0,1) y (-1,0)
Podemos calcular el punto de corte entre las rectas considerando el sistema de ecuaciones:
Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 1 y 2
Multiplicando 1 por 1 y 2 por -6 se tiene: 1*(
Al sumar encontramos que ,3/2)
Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 1 y 3
Multiplicando 1 por 1 y 2 por 6 se tiene: 1*(
Al sumar encontramos que
,3)
Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 2 y 3
Al sumar encontramos que .3)
La región amarilla es la región factible debido a que la línea azul solo hace parte de la solución
Los puntos que hacen parte de la solución son: (4,0), (0,3), (1.3,2.3) y ,3/2) y (0,1) Maximizar
Por tanto el máximo es 21 mil dólares cuando se usa 3 toneladas de pintura para exteriores y 1.5 toneladas de pintura para interiores.
d. La disponibilidad diaria de materia prima, M1 es de por lo menos 24 toneladas Maximizar Sujeta a:
Primero graficamos las restricciones para precisar la región que estará factible y determinar los puntos que la conforman en la solución del problema de maximización.
Tomamos cada ecuación y encontramos los puntos de corte con los ejes del plano
Por ello tenemos los puntos (0,6) y (4,0)
Por ello tenemos los puntos (0,3) y (6,0)
Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 1 y 2
Multiplicando 1 por 1 y 2 por -6 se tiene: 1*(
Al sumar encontramos que ,3/2) Veamos ahora la grafica
Los únicos puntos de la solución son los que están en la zona fuxia de modo que dichos puntos son: (4,0), (6,0) y (3,1.5)
Maximizar
Por tanto el máximo es 30 mil dólares cuando se usa 6 toneladas de pintura para exteriores solamente.
e. La disponibilidad diaria de materia prima M1, es de 24 toneladas como mínimo y la demanda diaria de pintura para interiores excede a la de pintura para exteriores es por lo menos 1 tonelada.
Maximizar Sujeta a:
Las ecuaciones en rojo son las que han determinado cambios:
Primero graficamos las restricciones para precisar la región que estará factible y determinar los puntos que la conforman en la solución del problema de maximización.
Tomamos cada ecuación y encontramos los puntos de corte con los ejes del plano
Por ello tenemos los puntos (0,6) y (4,0)
Por ello tenemos los puntos (0,3) y (6,0)
Por ello tenemos los puntos (0,1) y (-1,0)
Podemos calcular el punto de corte entre las rectas considerando el sistema de ecuaciones:
Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 1 y 2
Multiplicando 1 por 1 y 2 por -6 se tiene: 1*(
Al sumar encontramos que ,3/2)
Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 1 y 3
Multiplicando 1 por 1 y 2 por 6 se tiene: 1*(
Al sumar encontramos que
,3)
Por reducción hallaremos punto de corte entre ecuaciones 2 y 3
Al sumar encontramos que .3)
Con estas consideraciones vemos que no existe como tal una región de factibilidad por lo tanto el problema no tiene solución con estos cambios en las restricciones
Ejercicio 4
Para el modelo original de Reddy Mikks, identifique el (los) punto(s) de esquina que determina(n) la solución optima para cada una de las siguientes funciones del objetivo:
a.
Del modelo original tenemos que los puntos que hacen parte de la región de factibilidad son: (0,1), (1,2), (2,2), (3,1.5) y (4,0)
Por ello calculamos
Por esta razón para esta función objetivo el máximo es 12 mil dólares cuando se utilizan 4 toneladas de pintura exterior solamente.
b.
Para este caso el máximo es de 8 mil dólares cuando se utilizan 2 toneladas de cada tipo de pintura tanto interior como exterior.
c.
En este caso se encuentra que hay dos máximos que son de 24 mil dólares para cuando se utilizan solo 4 toneladas de pintura para exteriores o también existe el caso cuando se tienes 3 toneladas de pintura para exteriores y 1.5 toneladas para pintura de interiores.
En que difiere la solución (c) de las de (a) y (b)?
Difieren en que en los casos de a y b solo se encontró un máximo en cambio aquí se tiene la posibilidad de tomar dos decisiones ambas genando el mismo valor de utilidad.
