2,3,4.docx

(1)



 Nombrar cada uno de los vectores y encontrar la magnitud yNombrar cada uno de los vectores y encontrar la magnitud y

dirección de estos. dirección de estos. VECTORES:

VECTORES:

(2)

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(3)

|| =

|| =   44



+ +  11



≈ 4,1231

|| =

|| =   33



+ +  55



≈ 5,8309

Luego de obtener la magnitud, se determina el Angulo con la tangente Luego de obtener la magnitud, se determina el Angulo con la tangente inversa de componente en y sobre su componente en x

inversa de componente en y sobre su componente en x





= tan

−−

1144 = 14.036 + 180 = 165.9637

 = 14.036 + 180 = 165.9637





= tan

−−

5533 = 59.0362

 = 59.0362



 Encontrar el ángulo entre los vectores.Encontrar el ángulo entre los vectores.

 = cos

(4)

(5)

 = cos

−−

 771717√ √ 22 = 106.925

 = 106.925



 Sumar los vectores y encontrar la magnitud y dirección del vectorSumar los vectores y encontrar la magnitud y dirección del vector

resultante. resultante.

= = ⃗⃗ +  + 

4,1

4,1 + +  3,3,55 = 1,6

= 1,6

 = 1,6

= 1,6

Magnitud: Magnitud:

|||| = =   11



+ +  66



|| ≈ 6.0828

Dirección: Dirección:





= tan

−−

6611 = 80.5377 + 180 = 99.4623

 = 80.5377 + 180 = 99.4623



 Encontrar el área del paralelogramo formado por los vectoresEncontrar el área del paralelogramo formado por los vectores

representados, con teoría vectorial. representados, con teoría vectorial.

Para determinar el área del paralelogramo se multiplica la magnitud de Para determinar el área del paralelogramo se multiplica la magnitud de los dos vectores de siguiente manera:

los dos vectores de siguiente manera:



 == | |  || ∗ ∗||||

||  || = 4,1231

= 4,1231

|||| = 5,8309

= 5,8309



 = 4,

= 4,1231 5,8309 ≈

1231 5,8309 ≈ 24,042

24,042



 Comprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda, enComprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda, en

Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar. Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

b)

b) Dados los vectoresDados los vectores

⃗ ⃗ = = 3 3 4 4 ++2 2   = = 2 2 ++5 5 ++44

calcular: calcular:



(6)

(7)

 

3⃗ +2

33

_{2 = 222 + +55 + +44 = 4 +}

_{2 = 2}





= = 33



3  4 + 2



_{= 4 +1010 + +88}

= 9 + 12  6

33⃗ +⃗ +22  = 9 +

= 9 +12 12 6 +

_{3⃗ +2 = 5 +22 +2}

6 +4 +

4 + 10 10 ++8 = 5

8 = 5 ++22 22 ++22

 

6⃗. 

66⃗.⃗.  = = 66((33  44 + +22∙∙2 +

2 + 5 +5 +44)) = 6= 6620+8

620+8 = 36

= 36

⃗ = 3  4 +2

|||| = =   33



+ +44



+ +22



→ || = √ √ 29 ≈ 5.3852

→ || =

29 ≈ 5.3852

 = 3; = 4

 = 3; = 4;; = 2

 = 2

 33

(8)

(9)

cos =

cos = |||| = = 225.3852

5.3852 ≈ 0.3714

≈ 0.3714

Para el vector W de

Para el vector W de igual forma que con el anterior se calculaigual forma que con el anterior se calcula

  = 2 +

= 2 +5 +5 +4 = || =

4 = || =   22



+ +55



+ +44



= 3√5 ≈ 6.7082

 = 2

 = 2;; = 5

 = 5;; = 4

 = 4

cos =

cos = |||| = = 226.7082

6.7082 ≈ 0.2981

≈ 0.2981

cos =

cos = |||| = = 556.7082

6.7082 ≈ 0.7454

≈ 0.7454

cos =

cos = |||| = = 446.7082

6.7082 ≈ 0.5963

≈ 0.5963



 Calcular el producto cruz y el producto punto.Calcular el producto cruz y el producto punto.

PRODUCTO CRUZ PRODUCTO CRUZ

 =

 =      

3 4 2

_{2 2 5 5 44 = = 〈 〈1610}

1610〉〉  〈〈124

124〉〉  +  +〈〈15+8

15+8〉〉

⃗ = 26 8 +23

PRODUCTO PUNTO PRODUCTO PUNTO

. =

. = 〈 〈3 3 44 + +22〉〉∙∙〈〈22 + +55 + +44〉〉

. =

. =  3322++4455++2244 = = 66



 Comprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda,Comprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda,

en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar. en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

Ejercicio 3: Resolución de problemas básicos sobre vectores en Ejercicio 3: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3

R2 y R3

Descripción del ejercicio 3 Descripción del ejercicio 3

(10)

(11)

Vector 1: Vector 1:

1 1 ==  5,3

5,3

Vector 2: Vector 2:

2 2 ==  4,84,8 = = 2929

 = 25



 ¿Cuánto vale el cambio de velocidad¿Cuánto vale el cambio de velocidad

∆∆

. ? . ?

∆∆ = 21

= 21

∆∆ = 9,11

= 9,11



 ¿Cuál es la variación de la velocidad por unidad de tiempo?¿Cuál es la variación de la velocidad por unidad de tiempo?

∆∆

∆∆ = =  9,11

9,1144

∆∆

_{∆∆ = = 9944,,111144  }



 Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector.Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector.

Dados: Dados:

⃗⃗

= (5, 12) y = (5, 12) y



= (1, k), donde k es un escalar, encuentre (k) tal = (1, k), donde k es un escalar, encuentre (k) tal que la medida en radianes del ángulo

que la medida en radianes del ángulo



y y

⃗⃗

sea sea



.. Para hallar el módulo es necesario

Para hallar el módulo es necesario encontrar la magnitud de los vectoresencontrar la magnitud de los vectores a y b: a y b:

|| =

|| =   55



+ 12



→ || = 13

|| =

|| =   11



+  + 



→ || =   1 + 

→ || =

1 + 



coscos

−−

 5 + 12

_{1313√ √ 1 + }

5 + 12

_{1 + }

_

 = =  33

(12)

(13)

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26926911+ + 



 = 100 + 4

= 100 + 480 +

80 +576

576



407



+ 480  69 = 0

El valor de k queda entonces.

 = 0.1295

Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes.

determinantes.

Desarrolla los siguientes ejercicios luego de le

Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente loser detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a matrices, operaciones con conceptos de la unidad 1, referentes a matrices, operaciones con matrices y determinantes. Presentar la solución con editor de matrices y determinantes. Presentar la solución con editor de ecuaciones.

ecuaciones.

Descripción del ejercicio 4 Descripción del ejercicio 4 Sean las siguientes matrices: Sean las siguientes matrices:

 =  =  1 1 0 0 2 2 33

221155 550022 6 6 3333338800   ==  9 9 55

110055 331177 663355   = = 0 0 22 3 3 55

66 _{4411 3300 5 5 449 9 88   ==  0 0 33}

_{3311 }

_{00 33  ++}



22

Realizar las siguientes operaciones, si es posible: Realizar las siguientes operaciones, si es posible:

a)

 ∙  ∙ ∙ ∙

(14)

Cancel Anytime.

Cancel Anytime. b) b)

4 4 ∙∙22

44∙∙9 9 55 66

110055 331177 663355∙∙22

221155 550022 6 6 3333338800 → →    

1 1 0 0 2 2 33

   ..

c) c)

3 ∙7

3 ∙3 ∙77 = = 330 0 22 3 3 55

_{4411 3300 5 5 449 9 88.7}

.79 9 55 66

110055 331177 663355

3 =

3 = 330 0 22 3 3 55

_{4411 3300 5 5 449 9 88 =  = 0 0 66 9 9 1515}

_{121233 9900 15 12}

15 12

_{27 24}

_{27 24}

7 = 7

7 = 79 9 55 66

110055 331177 663355 = =   63 35

63 35 4242

77003535 2121774949 424221213535

3 3 66 9 9 1515

_{121233 9900 15 12}

15 12

_{27 24}

_{27 24∙∙}

63 35 4242

63 35

77003535 2121774949 424221213535

3 ∙3 ∙77 = =  44883 3 55446 6 558888

1239 252 777

_{651 1470 1533}

_{651 1470 1533}

d) d)





  = = 



= = 0 0 33

33 



22

33 



(15)

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1212

_{  ++  22 99  99  ++3 3 88  ++88  ++55}

44



3 3 33

++2 2 99



 66 55



1515



++118 8 1122



118 8 44



+ +3939

 1616

f) f)





∙ ∙

  = = 



∙ ∙





= =  0 0 4 4 11

2 3 0

_{3355 5544 9988}





∙ ∙  ==  0 0 4 4 11

2 3 0

_{3355 5544 9988∙∙}

0 0 33

3311 

_{00 33 + +}



22

111 1 44



    ++1122

9 9 33



 66



1313

662020 99



+ +55



1515



+ +44



99  99  ++99

88 + +88  ++22

g) g)



9 9 55 66

110055 331177 663355

No es posible hallar el determinante de la

No es posible hallar el determinante de la matriz porque no es cuadrada.matriz porque no es cuadrada.

h)



(16)

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



 



= =  9 9 9 9 77

_{3300 6633 12121313}

3 3 0 0 66

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