Introducción a la Teoría de Distribuciones

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Introducci´

on a la Teor´ıa de Distribuciones

Daniel Campos Salas

Resumen

Presentamos una breve introducción a la teor´ıa de distribuciones y sus relaciones con la teor´ıa de ecuaciones en derivadas parciales, concretamente con la teor´ıa de las soluciones débiles y fun-damentales. Este trabajo fue expuesto en el Seminario de Jóvenes para Jóvenes “Invitación a la Matemática Moderna” en diciembre de 2012 en El Salvador.

1. Introducci´

on

En muchas situaciones es suficiente describir un objeto en términos cómo se comporta cuando es integrado con respecto a otra función. El ejemplo clásico es el de una “función”que es igual a 0 lejos de 0, toma el valor “infinito” en 0, pero que su integral es 1. Por lo tanto siφes una función continua se tiene que

Z ∞

−∞

φ(x)δ(x)dx=φ(0).

Incluso, no siempre es adecuada, como en el caso de una distribución lineal de masa que se puede caracterizar por una densidad de distribución. En este caso, ninguna función (en el sentido ordinario) puede especificar la densidad correspondiente a uno o más puntos con masa positiva [5].

En muchos casos aparecen operaciones matemáticas que no se pueden realizar. Por ejemplo, la derivada de una función que no es derivable (en uno, o todos sus puntos) no puede ser interpretada como una función ordinaria. Este tipo de dificultades se pueden arreglar restringiendo la clase de funciones “admisibles”, por ejemplo a funciones anal´ıticas. Sin embargo, estas condiciones son en muchos casos indeseables o inadecuadas, en el sentido que son muy restrictivas. Afortunadamente, estas dificultades se pueden evitar si la clase de funciones se agranda, introduciendo por ejemplo la noción de función generalizada [5]. La motivación que sigue a continuación está tomada de [6].

Definición 1. Decimos que una función es ordinaria si está definida casi por doquier en R y es

Lebesgue-integrable en todo rect´angulo acotadoB= [a, b].

Sea f ordinaria y suponga que ϕ es una funci´on acotada de soporte compacto. Entonces podemos considerar el valor

hf, ϕi=

Z ∞

−∞

f(x)ϕ(x)dx.

Sif fuera absolutamente continua podr´ıamos considerar la expresi´onhf0_{, ϕi. Suponga que}_ϕ_es

abso-lutamente continua y tiene derivada acotadaϕ0. Entonces al integrar por partes se obtiene que hf0, ϕi=−hf, ϕ0i.

Ahora, sif0 no existiera el lado derecho de la igualdad anterior tiene sentido para cualquier función acotada de soporte compacto con derivada acotada. Por lo tanto, aunque no exista el valor de f0 podemos decir que el valor de la integral de f0 multiplicada por una función acotada de soporte compacto está dada por la expresión anterior. Esta es la idea principal que nos permite extender el concepto de función. Si lo único que conocemos acerca de una función son sus integrales decimos que es una función generalizada. Esta discusión motiva las siguientes definiciones.

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Antes de seguir con el desarrollo de la teor´ıa, queremos mencionar que esta teor´ıa fue introducida por Sergei Sobolev y formalizada posteriormente por Laurent Schwartz. Esta teor´ıa aporta las herramientas necesarias para el estudio de lassoluciones d´ebilesy lassoluciones fundamentales. Los teoremas respec-tivos de Lax-Milgram y Malgrange-Ehrenpreis, importantes resultados de la teor´ıa de distribuciones, se mencionan al final del documento.

2. Funciones de Prueba y Distribuciones

Con las ideas anteriores definimos el espacio de funciones de prueba y el de distribuciones, as´ı como las propiedades de la topolog´ıa que daremos a estos espacios.

Definici´on 2. Elsoportede una funci´onf se define como el complemento del mayor abierto donde

f se anula.

Definici´on 3. Sea Ωun abierto de Rd. El espacio C0∞(Ω) consiste de todas las funciones en C∞(Ω)

con soporte compacto enΩ, y se le llama el espacio defunciones de prueba. Tambi´en se denota por

D(Ω).

La propiedad de rigidez de las funciones anal´ıticas implica que los elementos de D(Ω) requieren una construcción distinta. El siguiente ejercicio demuestra la existencia de las funciones de prueba. Ejercicio 4. a) Considere la función f definida por f(t) = e−1/t si t > 0 y f(t) = 0 si t ≤ 0. Demostrar que esta es una función de claseC∞₍

R).

b) Sea0< r < Ry definag(t) =R∞

t f(s−r)f(R−s)ds. Demostrar queh(x) :=g(|x|), parax∈R d_,

est´a enD(Rd). Note quehes una constante positiva en |x| ≤ry es igual a0 para|x| ≥R.

Usualmente la topolog´ıa deD(Ω) se define mediante el concepto de l´ımite inductivo, y el hecho de que Ω es la unión de una cantidad contable de compactos apropiados. Evitaremos precisar estos detalles y nos limitaremos a citar las propiedades de esta topolog´ıa, que el lector puede tomar como definiciones. Se puede consultar [3] para una motivación de la escogencia de esta topolog´ıa. Tal escogencia está hecha principalmente de manera queD(Ω) sea secuencialmente completo [3].

Ejercicio 5. Sea Ω⊆Rd un abierto no vac´ıo. Defina la sucesi´on de compactos(Kj)j∈Nmediante

Kj ={x∈Ω :|x| ≤j, B(x,1/j)⊆Ω}.

Demostrar que esta sucesi´on es tal que Kj ⊆ K_j◦₊₁ y S

K_j◦ = Ω. Adem´as, todo compacto K ⊆ Ω

est´a contenido enKj para alg´un j∈N.

Teorema 6. SeaΩ⊆_Rd _{un abierto no vac´ıo y} _(Kj₎_{una sucesi´}_{on de compactos como en el ejercicio}

anterior. Se cumplen las siguientes propiedades:

a) Una sucesi´on(ϕl)l∈Nde funciones de prueba converge a 0en D(Ω)si y s´olo si existej∈Ntal que

sopϕl⊆Kj para todol∈N0 y

l´ım l→∞xsup∈Kj |∂α_ϕ l(x)|= 0, para todoα∈_Nd 0.

b) SeaY un espacio topológico localmente convexo. Una aplicaciónT:D(Ω)→Y es continua si y sólo siT :C∞

Kj(Ω)→Y es continua para cadaj ∈N, donde la topolog´ıa deC

∞

Kj(Ω)es la topolog´ıa inducida

porC∞(Ω).

c) Un funcional linealΛ :D(Ω)→Ces continuo si y s´olo si para todoj∈NexistenNj∈N0 ycj>0

tal que

|Λ(ϕ)| ≤cjsup{|∂α_ϕ(x)|_:_x_∈_Kj_, _{|α| ≤}_Nj}

para todoϕ∈ C∞

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La definición y algunas propiedades de los espacios localmente convexos se encuentran en [8], y no se presentan en estas notas. Solamente vamos a mencionar queD(Ω) es un espacio localmente convexo y que una familia de seminormas (que definen la topolog´ıa) está dada por la siguiente definición: para todo compactoK⊆U y todon∈Nse define la seminorma

pK,n(ϕ) := sup{|∂αϕ(x)|:x∈K,|α| ≤n}.

A continuación veremos algunos ejemplos de funcionales lineales continuos sobreD(Ω). El primero y más natural es que toda función regular (localmente integrable) tiene un funcional lineal asociado Λf enD(Ω) dado por

hΛf, ϕi=

Z

Ω

f(x)ϕ(x)dx. (1)

de manera que el teorema anterior garantiza que Λf es un funcional lineal continuo.

Asimismo existen otros funcionales lineales continuos enD(Ω) que no tienen la forma anterior. Por ejemplo, un funcional δ que asocia a cada función de prueba ϕ el valor ϕ(0). Como veremos este funcional también es continuo. Esto nos llevará a las siguientes definiciones.

Ejercicio 7. En este ejercicio vamos a demostrar queδno corresponde a ning´unΛf conf localmente

integrable. Seaϕ∈ D(R)y seaϕn(x) :=ϕ(nx). Demostrar que

R

Rf(x)ϕn(x)dx→0 cuando n→ ∞,

mientras quehδ, ϕni=ϕ(0), de manera que en general no se satisface la igualdad hΛf, ϕni=hδ, ϕni.

Demostrar adem´as queδ es un funcional lineal continuo sobreD(_R).

Ejercicio 8. Seaf una funci´on localmente integrable y defina el funcional lineal sobreD(Ω)mediante

ϕ7→R

Ωf(x)∂

α_ϕ(x)dx_{para alg´}_un _α_∈

Nd0. Demostrar que este funcional es continuo.

Definición 9. Unadistribución, ofunción generalizada, sobreΩes un funcional lineal continuo sobre D(Ω). El espacio de distribuciones sobre Ωse denota por D0_(Ω)_{. Como se hizo anteriormente,} cuandoΛ∈ D0_(Ω)_{, el valor de} _Λ_sobre _ϕ_{se denotar´}_{a por}_{hΛ, ϕi}_.

La continuidad de los funcionales lineales se verificar´a usualmente mediante el resultado del teorema anterior.

Definición 10. Toda función localmente integrable f determina una distribución por medio de la fórmula(1). Una distribución de tal forma se llamaregular. Si una distribución no es regular diremos que essingular.

Definici´on 11. Llamamos delta de Dirac centrada en a a la distribuci´on singular definida por

hδa, ϕi=ϕ(a). Denotamos porδaδ0.

3. Operaciones en el Espacio de Distribuciones

Como el espacio de distribucionesD0_{(Ω) es el dual del espacio localmente convexo}_{D(Ω) entonces es}

un espacio vectorial. Por lo tanto la suma y multiplicación escalar están dadas por la siguiente fórmula hα1Λ1+α2Λ2, ϕi=α1hΛ1, ϕi+α2hΛ2, ϕi.

Asimismo, cuandoS es un operador lineal continuo sobreD(Ω) y Λ∈ D0_{(Ω), entonces la composici´}_on

ΛS define otra distribuci´on, dada por

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La aplicación Λ7→ΛS es simplemente la transpuesta deS, que denotaremos por St_{, es decir,}_St_{Λ =} ΛS. La mayor´ıa de las operaciones que se definen se hacen por medio de transposición. El siguiente ejercicio va a permitir definir la multiplicación de una distribución por una función indefinidamente diferenciable, as´ı como la derivada de cualquier distribución.

Ejercicio 12. a) Demostrar que la aplicaci´on ∂α _: _ϕ _7→ _∂α_ϕ _{es un operador lineal continuo sobre} D(Ω).

b) Demostrar que para todo f ∈ C∞_(Ω) _{la aplicaci´}_on _Mf _: _ϕ _7→ _{f ϕ} _{es un operador lineal continuo} sobreD(Ω). (Sug.: usar la f´ormula de Leibniz para demostrar que pK_j,k(f ϕ)≤CkpK_j,k(f)pK_j,k(ϕ).)

Por el ejercicio podemos definir dos operaciones adicionales sobreD0_{(Ω), que por el momento}

deno-taremos porMt

f y (∂α)t, dadas por

hMftΛ, ϕi=hΛ, f ϕi, h(∂α₎t_{Λ, ϕi}₌_{hΛ, ∂}α_ϕi.

Investigaremos primero el caso en que Λ est´e dado por una funci´on. Si Λ = Λvconv∈L1

loc(Ω) entonces hMftΛv, ϕi=hΛv, f ϕi= Z Ω v(x)f(x)ϕ(x)dx=hΛf v, ϕi, de manera queM_ftΛv= Λf v.

Ahora supongamos quev∈ C∞_{. Entonces integrando por partes sucesivamente se tiene que}

h(∂α₎t_Λ v, ϕi=hΛv, ∂αϕi= Z Ω v(x)(∂αϕ)(x)dx= (−1)|α|Z Ω (∂αv)(x)ϕ(x)dx=h(−1)|α|_Λ ∂α_v, ϕi, y por tanto (∂α₎t_Λv _{= (−1)}|α|_Λ∂_α_{v. Lo anterior motiva las siguientes definiciones.}

Definici´on 13. a) Sea f ∈ C∞_{. Definimos el} _{operador de multiplicaci´}_on_M

f enD0(Ω)por hMfΛ, ϕi=hΛ, f ϕi,

paraϕ∈ D(Ω). Generalmente se va a escribirf en lugar deMf. b) Para todoα∈_Nd

0 eloperador de diferenciaci´on∂αen D0(Ω) se define por

h∂αΛ, ϕi=hΛ,(−1)|α|∂αϕi.

Ejemplo 14. Una funci´on localmente integrable, cuyo uso es bastante frecuente en f´ısica e ingenier´ıa, es lafunci´on de HeavisidesobreRdefinida por H(x) = 1six >0 y0 en caso contrario. Vamos a

calcular la derivada distribucional de esta funci´on. Tenemos que

_d dxH, ϕ = H,− d dxϕ =− Z ∞ 0 ϕ0(x)dx=ϕ(0) =hδ, ϕi,

es decir,dH/dx=δ. En un ejemplo anterior se demostró queδes una distribución singular, y por lo tanto este corresponde al primer ejemplo en el que la derivada de una distribución no es una función “ordinaria”.

Anteriormente se presentaron solamente las operaciones básicas que se pueden definir en el espacio de distribuciones. Sin embargo, es posible definir muchas operaciones más, realizando ciertos ajustes necesarios. Por ejemplo, al igual que con funciones ordinarias es posible definir una convolución de distribuciones, o bien de una función de prueba y una distribución. Para definir esto es suficiente que una de las distribuciones tenga soporte compacto, y que cumpla ciertas propiedades adicionales. Asimismo, es posible definir otro tipo de operaciones usuales, como las transformadas de Fourier y Laplace. Sin embargo, es necesario modificar ligeramente el espacio de funciones de prueba y el de distribuciones. De manera breve, es necesario admitir funciones de prueba que no tengan soporte compacto, pero que sean de decrecimiento rápido. El espacio dual de este espacio se conoce como el espacio dedistribuciones temperadas. El uso de la transformada de Fourier es fundamental en el estudio avanzado de distribuciones; por ejemplo, es utilizado en la demostración del teorema de Malgrange-Ehrenpreis. [1]

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4. Aplicaciones a Ecuaciones en Derivadas Parciales

Definici´on 15. SeaT un operador sobreD0_(Ω)_{. Decimos que un operador}_S_sobre_D(Ω)_{es el}_operador transpuestodeT si satisface que

hTΛ, ϕi=hΛ, Sϕi,

para todoΛ∈ D0_(Ω) _y_ϕ_{∈ D(Ω)}_.

Ejemplo 16. Si Les un operador diferencial con coeficientes en C∞(Ω) de la forma

L= X

|α|≤n

aα(x)∂α,

entonces sutranspuesta formal

Ltϕ(x) := X

|α|≤n

(−1)|α|_∂α_{(aα(x)ϕ(x))}

es el operador transpuesto deL.

Definici´on 17. SeaLun operador de ordenn, como en el ejemplo, con coeficientes enC∞(Ω). Seau

una funci´on ordinaria y w∈ D0_(Ω)_{. Decimos que}_u_{es una}_soluci´_{on d´}_ebil_{de la ecuaci´}_on_Lu₌_w_si

Z

u(x)Ltϕ(x)dx=

Z

w(x)ϕ(x)dx,

para todoϕ∈ D(Ω), es decir, si

hLu, ϕi=hu, Lt_ϕi₌_{hw, ϕi.}

Definición 18. Sea L un operador diferencial con coeficientes en C∞(Ω). Decimos que u es una solución fundamentalpara el operadorLcon poloξsi es una solución debil de la ecuaciónLu=δξ.

La motivación para considerar las definiciones anteriores es que en general las soluciones fuertes también son soluciones débiles, pero en general no toda solución débil es una solución fuerte, como se muestra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 19. Considere la ecuaci´on de onda en una dimensi´on

∂2_{u(x, t)}

∂t2 =

∂2_{u(x, t)}

∂x2 .

Ambos lados tienen sentido siues una distribución. Seaf una función ordinaria yu(x, t) =f(x−kt); luegoudefine una distribución. Vamos a ver que es una solución débil.

Por definici´on hay que probar que

Z f(x−t) _∂2_{ϕ(x, t)} ∂t2 − ∂2ϕ(x, t) ∂x2 dxdt= 0,

para todoϕ∈ D(R×R+). Haciendo el cambio de variables y=x−t y z=x+t se tiene que

Z R×R+ f(x−t) _∂2_{ϕ(x, t)} ∂t2 − ∂2_{ϕ(x, t)} ∂x2 dxdt=−2 Z R Z ∞ y f(y)∂ 2_ϕ ∂y∂z _y₊_z 2 , z−y 2 dzdy. Comoϕ∈ D(_R×_R+₎_entonces Z ∞ y ∂2ϕ ∂y∂z _y₊_z 2 , z−y 2 dz= 0,

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Ejercicio 20. Definavj(x) =xj/kxkd_{, para}₁_≤_j_≤_d_{. Las funciones}_vj _{son localmente integrables y}

por lo tanto definen una distribuci´on enRd. Entonces

divv:= d

X

j=1

∂jvj=cdδ,

dondecd es el volumen de la esferaSd−1. (Sug.: Usar coordenadas polares)

Ejercicio 21. Parax∈Rd− {0} defina

Φ(x) =    −1 2π log(kxk) sid= 2 1 d(d−2)vd 1 kxkd−2 sid≥3

Entonces∆Φ =δ, es decir, Φes la soluci´on fundamental del laplaciano [4].

La importancia de las soluciones fundamentales se debe a que si L es un operador diferencial con coeficientes constantes y E es una solución fundamental, entonces una solución (distribucional) al problema no homogéneo Lu = f, con ciertas condiciones sobre una distribución f, está dada por u=E∗f, donde∗ es una convolución que se define sobre distribuciones [1].

Uno de los grandes logros tempranos de la teor´ıa de distribuciones fue el teorema de la existencia de una solución fundamental para toda ecuación en derivadas parciales con coeficientes constantes [1], debido a Malgrange y Ehrenpreis. A continuación se enuncian dos de estos grandes teoremas de la teor´ıa de distribuciones.

Teorema 22 (Lax-Milgram (1954)). Sea V un espacio de Hilbert y a(·,·) una forma bilineal en V

acotada y coercitiva, es decir,

|a(u, v)| ≤Ckukkvk, y|a(u, u)| ≥ckuk2.

Entonces para todof ∈V0 existe una única soluciónu∈V para la ecuación

a(u, v) =f(v)

y satisface que

kuk ≤ 1 ckfkV0.

Teorema 23 (Malgrange-Ehrenpreis (1954-1956)). Todo operador diferencial (lineal) no nulo con coeficientes constantes tiene una soluci´on fundamental.

El lector interesado puede encontrar una prueba de este teorema a modo de ejercicio en [9] (cap. 7, ej. 98). Adicionalmente, en [1] se presentan dos pruebas distintas (cap. 17 y 18).

Referencias

[1] J.J. Duistermaat, J.C. Kolk,Distributions. Theory and Applications, Birkh¨auser, 2010. [2] _{L.C. Evans},Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, AMS, 1998. [3] _{G. Grubb},Distributions and Operators, Springer, 2009.

[4] F. John,Partial Differential Equations, Springer, 1982.

[5] _{A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin},Introductory Real Analysis, Dover, 1970.

[6] G.E. Shilov,Generalized Functions and Partial Differential Equations, Gordon and Breach, 1968. [7] _{R. Strichartz},A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, CRC Press, 1994. [8] _{K. Yosida},Functional Analysis, Springer-Verlag, 1980.