Aplicación de la derivada de la teoría de distribuciones para el Comercio Internacional

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(1)UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA ESCUELA DE POSGRADO UNIDAD DE POSGRADO DE LA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y FORMALES. APLICACIÓN DE LA DERIVADA DE LA TEORÍA DE DISTRIBUCIONES PARA EL COMERCIO INTERNACIONAL Tesis presentada por el Bachiller: Fredy Wilfredo Tito Huayapa Para optar el grado de Maestro en Ciencias Matemáticas con mención en Modelación Matemática Asesor: Doctor Ángel Sangiacomo Carazas. Arequipa – Perú 2017.

(2) A MI MADRE MARÍA A MI PADRE WILFREDO A MI ESPOSA E HIJOS A MIS HERMANOS, FAMILIARES Y AMIGOS. A MI SOBRINA SIOMARA, QUE ESTA EN EL CIELO, A QUIEN RECORDAREMOS POR SIEMPRE CON MUCHO AMOR.

(3) Agradecimientos Quiero expresar mis más sinceros agradecimientos al Doctor Ángel Sangiacomo Carazas por la gran dedicación e interés con que ha dirigido este trabajo, y desde luego por la formación y el trato que he recibido durante todo este tiempo.. Agradezco a la Universidad Nacional de San Agustín (Perú) por brindarme la oportunidad de realizar estos estudios; a la Unidad de Posgrado - Facultad de Ciencias Naturales y Formales (UNSA) por poner a mi disposición los recursos y la infraestructura necesaria para la realización de este trabajo.. Finalmente, quiero dar las gracias de una manera muy especial a mi familia por su apoyo y comprensión durante todo este tiempo.. I.

(4) Índice general Agradecimientos. I. Introducción. V. Capítulo 1 Teoría General de Integración Sobre Espacios de Daniell 1.1 Preliminares 1 1.4 Espacios de Daniell 3 1.8 Integración de elementos de F E , R para una medida cualquiera sobre un espacio E de. . . Daniell 1.18 Integración de elementos de F cpd ( E , R) o de Fˆ ( E , R ). 5 12. Funciones y conjuntos   medibles Integración sobre una parte Integrales dependientes de un parámetro. Producto de medidas: Teorema de Fubini El álgebra B ( E ) 1.40 El espacio Lˆ2 ( E ). 16 18 21 24 24. 1.24 1.29 1.33 1.37 1.39. 25. Capítulo 2 Formulación, Análisis y Aplicación de la Derivada de la Teoría de Distribuciones para el Comercio Internacional 2.1 2.4 2.7 2.10 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25. Estudio preliminar de cierto espacio funcional Definición de la convergencia sobre el espacio D Distribuciones sobre R n Distribuciones singulares: la distribución de Dirac Derivación de las distribuciones Límites y series de distribuciones Propiedades locales de las distribuciones Producto directo de dos distribuciones Definición de la convolución Convolución de dos funciones Introducción Las importaciones netas y el producto neto La función balance comercial Continuidad, linealidad e invarianza en el tiempo de la función balance Bienes de producción en el comercio internacional. 28 30 32 34 36 40 44 48 52 54 55 56 56 57 60. II.

(5) Conclusiones Conclusiones. 66. Bibliografía Bibliografía. 67. III.

(6) APLICACIÓN DE LA DERIVADA DE LA TEORÍA DE DISTRIBUCIONES PARA EL COMERCIO INTERNACIONAL RESUMEN Durante los últimos años, en teoría económica, se presentaba el problema de tratar con funciones en las cuales no se pueden efectuar algunas operaciones del cálculo, como por ejemplo, aquellas funciones discontinuas que no poseen derivada en varios o incluso en todos sus puntos. Las distribuciones constituyen un instrumento adecuado para el análisis económico cuando éste requiere el uso de funciones discontinuas sin necesidad de restringirse al uso de funciones diferenciables y sin renunciar a los beneficios que brinda la continuidad. Sin embargo la derivada distribucional no puede tener el mismo significado económico que la derivada común, ya que las distribuciones son funcionales y no funciones. La idea del presente trabajo es aplicar la derivada de la teoría de distribuciones, desde el punto de vista de Daniell, a la macroeconomía y la política económica. Específicamente, se discute el problema del comercio internacional tanto a nivel macroeconómico como microeconómico.. ABSTRACT In recent years, in economic theory, there was the problem of dealing with functions in which some calculation operations can not be performed, for example, discontinuous functions that do not have derivatives in several or even all of their points. Distributions are a suitable instrument for economic analysis when it requires the use of discontinuous functions without restricting the use of differentiable functions and without giving up the benefits provided by continuity. However the distributional derivative can not have the same economic meaning as the common derivative, since the distributions are functional and not functions The idea of the present work is to apply the derivative of the theory of distributions, from Daniell's point of view, to macroeconomics and economic policy. Specifically, the problem of international trade is discussed at both macroeconomic and microeconomic levels.. IV.

(7) Introducción Nuestro objetivo en el presente trabajo es introducir una clase de funciones generalizadas (Distribuciones) desde el punto de vista de Daniell adaptadas para el estudio del comercio internacional en el uso de funciones discontinuas (discontinuidades de primera especie). El concepto de función generalizada permite, como el mismo nombre lo indica, generalizar la idea de una función, así mismo la teoría de tales objetos está intrínsecamente ligada al crecimiento de la matemática aplicada. Para darnos cuenta de las funciones generalizadas, colocamos como ejemplo la función  de Dirac, que fue utilizada en la formulación de la mecánica cuántica mucho antes de la formalización del concepto hecha por Guelfan y Shilov y posteriormente por L. Schwartz en el inicio de la década del cincuenta. En general, una función generalizada, o distribución es un funcional lineal de cierto tipo definido en un espacio de funciones, llamadas funciones de base. Cabe observar que las propiedades de funciones generalizadas reflejan las propiedades de las funciones de base; por ejemplo, una función generalizada es también diferenciable cuando las funciones de base lo son en un espacio de trabajo. Por esta razón el uso de la técnica de funciones generalizadas expande sustancialmente el rango de problemas que pueden ser resueltos y apreciar sus beneficios con sus operaciones y sus propiedades.. Lo dicho líneas arriba nos lleva a formular el siguiente objetivo: . De conocer, desarrollar e interpretar una aplicación de las derivadas de la teoría de funciones generalizadas (Teoría de Distribuciones) para el comercio internacional.. Y para conseguir la realización de este objetivo nos hemos propuesto los siguientes objetivos específicos: . Conocer y desarrollar las bases de la teoría de distribuciones.. . Interpretar la teoría de distribuciones desde el punto de vista de Daniell y el manejo de sus fundamentos.. . Conocer la derivada de una distribución y sus significados económicos.. V.

(8) . Conocer, desarrollar y representar las aplicaciones de las derivaciones en la teoría de distribuciones y sus aplicaciones al comercio internacional tanto a nivel macroeconómico como microeconómico.. Para tal efecto hemos tratado en este trabajo los siguientes puntos:. 1. TEORÍA GENERAL DE INTEGRACIÓN SOBRE LOS ESPACIOS DE DANIELL: El conjunto F ( E, R) , de las funciones numéricas sobre un espacio topológico cualquiera E es decir, aplicaciones de E en R (siendo R la recta real extendida), Los espacios vectoriales F ( E, R) , espacio de las funciones numéricas finitas sobre E;. C( E, R) , subespacio de F ( E, R) constituido por los elementos continuos sobre E y K( E) , subespacio de C( E, R) constituido por los elementos cuyo soporte en E es compacto, Espacios de Daniell y los conjuntos J( E) y G( E) , cuyos elementos f son el límite de una sucesión creciente o decreciente respectivamente en K( E) , Medidas sobre E, extensión canónica de una medida y su casi-linealidad, funciones y conjuntos.  -medibles, Integrales dependientes de un parámetro, Producto de medidas, El álgebra B ( E ) y Lˆ2 ( E ) como espacio de Hilbert. 2. FORMULACIÓN, ANÁLISIS Y APLICACIÓN DE LA DERIVADA DE LA TEORÍA DE DISTRIBUCIONES PARA EL COMERCIO INTERNACIONAL Espacio vectorial de las funciones de base, las aproximaciones de las funciones continuas con soporte acotado, funciones de base constantes sobre un conjunto n. acotado, convergencia sobre el espacio D y R , la distribución singular  de Dirac, extensiones y derivación de distribuciones, la función de Heaviside, límite y derivada de una distribución y sus propiedades, las importaciones netas y el producto neto, la función balance comercial, continuidad, linealidad e invarianza en el tiempo de la función balance comercial y los bienes de producción en el comercio internacional.. VI.

(9) Capítulo 1. Teoría General de Integración Sobre Espacios de Daniell. . . . . 1.1. El conjunto F E , R Designamos por F E , R. al conjunto de las funciones numéricas. 1. sobre un espacio. topológico cualquiera E es decir, aplicaciones de E en R , donde R es la recta real extendida (Gouyon 1979, p.1).. . . a) Se dota a F E , R de una relación de orden (parcial) definiendo, para todos los elementos. f y g de este conjunto f  g si f  x   g  x  x  E .. . . Dotado de este orden, F E , R es un conjunto reticulado, es decir, todo par de elementos. f y g. admite un extremo superior y un extremo inferior que se designan. Sup( f , g ) e Inf ( f , g ) y que se llaman también envolvente superior y envolvente inferior de f y g ; por ejemplo, se define F  Sup( f , g ) haciendo F( x)  Sup f ( x), g ( x) para todo xE . De lo anterior es natural la extensión a un número finito cualquiera de funciones.. . . b) Sea ( f n ); modo abreviado de escribir ( f n ) nN , una sucesión de F E , R , cuando escribamos f  lím f n , será siempre en el sentido de “límite simple” sobre E ; dicho de otro. . modo f ( x)  lím f n ( x) para cada x  E . En particular, toda sucesión monótona en F E , R n. . converge en el sentido precisado así (Lima 1976, p.288).. La noción de envolvente, superior e inferior, se extiende, de ese modo, a las sucesiones; por ejemplo, se tiene evidentemente, Sup( f1 , f 2 ,...)  lím Fn con Fn =Sup( f1 ,...,f n )  Fn 1 .. (1). Se en tiende por función numérica a una función real sobre un espacio topológico. 1.

(10) Considerando la sucesión de los Sup ( f n , f n 1 ,...) : converge hacia lím f n siendo la función designada así, aquella cuyo valor para x es. lím f n ( x) . Dicho de otro modo. lím f n  límSup( f n , f n 1 ,...) .. . . c) Subrayemos que F E , R no es un espacio vectorial, en resumen f  g y  f sólo son. . . elementos de F E , R cuando los valores del primero nunca son de la forma  y si los del segundo nunca son de la forma 0  . 1.2. Los espacios vectoriales F ( E, R); C( E, R); K( E). . . a) Por el contrario, las partes siguientes de F E , R son espacios vectoriales: 1. F ( E, R) , espacio de las funciones numéricas finitas sobre E. 2. C( E, R) , subespacio de F ( E, R) constituido por los elementos continuos sobre E. 3. K( E) , subespacio de C( E, R) constituido por los elementos cuyo soporte en E es compacto (Gouyon 1979, p.2). Designaremos por K ( f ) , para todo f F ( E, R) , al soporte de f en E; recordando que se llama así a la adherencia, en E, del conjunto de los. x  E / f ( x)  0. es decir al mínimo. conjunto cerrado K ( f ) tal que f ( x)  0 para todo x  K ( f ) . Además de su estabilidad para la adición y para la multiplicación por un escalar, los tres espacios enunciados (1; 2; 3) son estables para la envolvente superior e inferior; si uno de ellos contiene a f y a g, contiene también al Sup( f , g ) e Inf ( f , g ) .. b) Si una sucesión ( f n ) en K( E) es monótona y si su límite simple f está en K( E) entonces ( f n ) converge a f uniformemente.. c) Asumiendo ahora que E es un espacio métrico y siendo A un conjunto compacto de E todo elemento f de C( A, R) es prolongable sobre E por un elemento F de C( E, R) que conserva sobre E, los mismos extremos que sobre A.. 2.

(11) 1.3. Los conjuntos J( E) y G( E). . . Sea f un elemento de F E , R . Los límites considerados se entienden siempre en el sentido de límites simples sobre E; se tiene que f J( E) si f es el límite de una sucesión creciente en K( E) y se tiene que f G( E) si f es el límite de una sucesión decreciente en K( E) . Esta claro que si f G( E) equivale a que  f J( E) . Entonces enunciaremos solamente los resultados que conciernen a J( E ) (Gouyon 1979, p.4).. a) Si J( E ) contiene a f y a g entonces también contiene al Sup( f , g ) e Inf ( f , g ) y también a toda combinación lineal.  f   g con coeficientes   0 y   0 . Las. comprobaciones son inmediatas a partir de f  lím f n y g  lím g n donde ( f n ) y ( g n ) son sucesiones crecientes en K( E) . Subrayemos, solamente, en cuanto a  f   g , la siguiente observación necesaria: Las pertenencias f J( E) y g G( E) implican que para todo. x  E , f  x    y g  x    ; por lo que  f   g está definido por doquier para.  0 y  0.. b) Si ( f n ) es una sucesión creciente en J( E ) , su límite f está también en J( E ) , con más precisión, f es también el límite de una sucesión creciente ( n ) de K( E) tal que  n  f n . c) Todo elemento f de J( E ) es semicontinuo inferiormente sobre E; es decir x0  E y.   f ( x0 ) , existe una vecindad V de x0 talque x V implica que f ( x)   . d) El enunciado “c” equivale a lo siguiente: Si f J( E) , el conjunto de los x  E tales que. f ( x)   es abierto para todo   R .. 1.4. Espacios de Daniell a) Sea E un espacio métrico. Se sabe que todo conjunto compacto de E es cerrado y acotado. Diremos que E es un espacio de Daniell si la recíproca es cierta: “Un espacio de Daniell es un espacio métrico en el cual toda parte cerrada y acotada es compacta” (Gouyon 1979, p.5).. 3.

(12) b) En todo lo que sigue, se designará por E a un espacio de Daniell, por “d” a su distancia. Se observa que la definición de K( E) se simplifica a C que es el espacio de los elementos de. C( E, R) cuyo soporte es acotado. Por otra parte, se imponen dos observaciones en cuanto a las partes E (dotadas de la distancia inducida) y a los productos (dotados de la distancia cartesiana. d 2  d 2 ).. 1. Todo cerrado de un espacio E de Daniell es un espacio de Daniell, porque si A es un cerrado de E , toda parte de A cerrada y acotada es también cerrada y acotada en E , luego compacto. 2. Si el producto de dos espacios métricos es de Daniell, cada uno es de Daniell.. c) Para cualquier función f sobre E, designaremos por f A su restricción a una parte A de E . La propiedad fundamental de los espacios de Daniell es, entonces, la siguiente: “Para todo compacto A no vacío de un espacio E de Daniell, y para todo abierto acotado   A , existe un elemento  de K( E) , el cual es una función creciente de A y de  , tal que 0    1,. A  1 , . .  0 ”.. 1.5. Definición de J( E) y G( E) mediante un espacio de Daniell a) Lema. Toda constante positiva (finita o no), sobre un espacio de Daniell, está en J( E ) .. b) Para que una función numérica f , sobre un espacio de Daniell, esté en J( E ) , es necesario y suficiente que tenga las siguientes propiedades: 1.. f es semicontinua inferiormente sobre E ;. 2.. f está acotada inferiormente; dicho de otro modo, existe un m  0 tal que f  m ;. 3.. f es positiva fuera de cierto compacto A .. 1.6. Aplicación a las funciones características de conjuntos Suponiendo siempre E , espacio de Daniell, designaremos por  A a la función característica de la parte A . Los resultados sobre J( E ) dan lugar a resultados análogos sobre G( E ) por cambio de f en.  f . Tratándose de funciones características (siempre positivas), la. imposibilidad de esta correspondencia va a romper esta exacta simetría.. 4.

(13) a) Para que  A esté en J( E ) , es necesario y suficiente que A sea abierto. b) Para que  A esté en G( E ) , es necesario y suficiente que A sea compacto. Pues  A G( E ) equivale a lo siguiente (puesto que 0   A  1 ):  A es semicontinua superiormente y nula fuera de cierto compacto. La segunda condición significa que A está acotada. La primera, equivalente a la semicontinuidad inferior de 1   A , significa (cf. a) que. A es abierto. El. conjunto de las dos significa que A es cerrado y acotado.. 1.7.. Prolongaciones sobre un espacio E de Daniell de funciones continuas sobre un. compacto de E Para todo A  E y para toda función numérica f definida al menos sobre A , designaremos siempre por f A la restricción de f a A . Llamaremos prolongación de f A sobre E a toda. . . F  F E , R tal que FA  f A ; en particular, designaremos f A0 la prolongación de f A que es. nula sobre A . Subrayemos que la notación  A , para una función característica, es una excepción; se toma, en vez de 10A , mediante el abuso habitual que designa por 1 a la aplicación constante x  1 . En todo lo que sigue se supone E , espacio de Daniell. a) Para todo compacto A existe una sucesión decreciente ( n ) en K( E) tal que  A  lim n y (n ) A  1 para todo n; este último detalle precisa pues la parte (1.6, b).. b) Para todos los A compactos y f A C( A, R ) , existe una sucesión (Fn ) de prolongaciones de f A en K( E) que converge a f A0 , siendo la sucesión de las Fn decreciente.. 1.8. Medidas sobre E a) Designando siempre con E un espacio de Daniell, se llama una medida sobre E a toda forma lineal creciente sobre el espacio vectorial K( E) (Gouyon 1979, p.9). Explícitamente, es una aplicación  de K( E) en R tal que para todas las f y g de K( E) y para todo   R ,. 5.

(14)  ( f  g )   ( f )   ( g ),. ( f )  ( f ),. ( f )  ( g) si f  g .. Resulta de esta última condición que el conjunto de medidas sobre E no es un subespacio vectorial del dual de K( E) : Si 1 y  2 son dos medidas sobre E , 1   2 también lo es, pero 11  2  2 (para 1  R y 2  R ) solamente lo es si 1  0 y 2  0 . b) Se tiene el teorema siguiente: Toda medida  sobre E es continua, para la topología de la convergencia uniforme, sobre todo subespacio KA ( E ) constituido por los elementos con soporte incluido en un compacto fijo A .. c) Como consecuencia de la parte b) : Si para una sucesión monótona ( f n ) en K( E) , se tiene f  lím f n  K( E ) , se tiene  ( f )  lím ( f n ) .. 1.9. Extensiones de una medida. . . Sea  una aplicación en R , de cierta parte l ( E ) de F E , R . Designaremos por L ( E ) la parte de l ( E ) constituida por los elementos f tales que  ( f )  R : Así  es una función numérica sobre l ( E ) , finita sobre L ( E ) . Diremos que  es una extensión de la medida  , o una medida impropia asociada a la medida propia  , si satisface los tres axiomas siguientes: M1) l ( E ) contiene a K( E) y la restricción de  a K( E) es  ; M2)  es una aplicación creciente de l ( E ) en R ; M3) para toda sucesión monótona ( f n ) en L ( E ) , de límite simple f , se tiene f  l ( E) y  ( f )  lím ( f n ) . Diremos que f es   medida sobre E si f  l ( E) , y es  -integrable sobre E si. f  L ( E ) ; en este último caso,  ( f ) se designara también por. . E. f d  que se denomina. integral de f sobre E para la medida  (Gouyon 1979, p.10). De aquí en adelante vamos a construir una extensión para una medida cualquiera  sobre un espacio de Daniell.. 6.

(15) 1.10. Definición de la extensión sobre J( E) G( E) a) El axioma M3) impone, por ejemplo, J( E )  l ( E ) ; para f  lím f n con f n  K( E ) y f n  f n 1 , exige  ( f )  lím ( f n ) .. El segundo miembro (límite de una sucesión creciente en R ) existe en R. + . Pero es. indispensable comprobar que sólo depende de f . Demostraremos para ello, que se confunde con. . Sup. K ( E ),  f.  ( ) .. Se tiene que  ( f n )   para todo n, de donde. lím ( f n )   .Queda por demostrar que. lím ( f n )   ; dicho de otra forma, para todo  K( E) tal que   f , se tiene. lím ( f n )   ( ) : Pero haciendo  n  Inf ( f n ,  ) , se tiene, por una parte n  K( E ) ,  n   n 1. y límn   , de donde lím ( n )   ( ) , según (1.8, c); por otra parte f n   n , de donde.  ( f n )   (n ) , luego lím ( f n )   ( ) .  Concluimos, reuniendo el resultado análogo para G( E ) : Toda extensión  de la medida  está necesariamente definida sobre J( E) G( E) por. ( f ) . ( f ) . Sup.  ( ). si f  J( E ),. Inf.  ( ). si f  G( E ).. K ( E ),  f. K ( E ),  f. b) Para las comprobaciones que se imponen, serán útiles, dos observaciones: 1. Si f y g pertenecen a J( E ) , por ejemplo se tiene  ( f  g )   ( f )   ( g ) . Porque se tiene f  g J( E) según (1.3, a) y  ( f )   ( g ) esta también definida puesto que.  ( f ) y  ( g ) están en R. + ;. entonces según la definición inicial por límite de. sucesiones, la igualdad que se trata de comprobar, resulta inmediatamente de la igualdad.  ( f n  g n )   ( f n )   ( g n ) para elementos f n y g n de K( E ) . 2. Si f J( E) y g G( E) , se tiene  ( f  g )   ( f )   ( g ) . Si g G( E) implica que  g J( E) y por “paso al límite” análogo al precedente.  ( g )   ( g ) ; basta, pues aplicar el resultado anterior a f y  g .. 7.

(16) 1.11. Extensión canónica. . . a) Para todo f  F E , R , existen  J( E) tal que   f y  G( E) tal que   f ; por ejemplo,    y    . Existen, pues, en R :. * ( f ) . Sup.  G( E ),  f. * ( f ) .  ( ) ,. Inf. J ( E ),  f.  ( ) ,. que llamaremos   medida inferior y   medida superior de f ; y según (1.10, c, 2), se tiene siempre * ( f )   * ( f ) . Pero, si  admite una extensión  sobre un conjunto l ( E ) , el axioma M2) impone, evidentemente, para todo f  l ( E) , * ( f )   ( f )   * ( f ) . Y esta condición basta para definir  ( f ) , cuando * ( f )   * ( f ) . Vamos a demostrar que se define, efectivamente, una medida impropia  (que se llamara extensión canónica de  ) por medio de las definiciones siguientes:. . . 1. Se denomina l ( E ) al conjunto de las f  F E , R tales que * ( f )   * ( f ) . 2. Para todo f  l ( E) , se escribe  ( f )  * ( f )   * ( f ) .. b) La comprobación del axioma M1) es natural. Con mayor generalidad, si, por ejemplo. f J( E) la definición (1.10, a) de  ( f ) coincide con la definición actual (y, por esto, podemos conservar la misma notación); porque se tiene, evidentemente,  * ( f )   ( f ) , y también * ( f ) . Sup.  K ( E ),  f.  ( )   ( f ) ; luego * ( f )   ( f )   * ( f ) .. c) La comprobación de M2) resulta, trivialmente, de (1.10, b, 2). En forma más general, cada. . . una de las aplicaciones * y  * de F E , R en R es creciente.. d) Pasemos a la comprobación de M3): Por ejemplo, para una sucesión ( f n ) creciente en. L ( E ) , se tiene f  lím f n  l ( E ) y  ( f )  lím ( f n ) .. 8.

(17) 1.12. Casi-linealidad de la extensión canónica. . . Por las mismas razones que F E , R (1.1, c), l ( E ) no es un espacio vectorial. Sin embargo, la aplicación  de l ( E ) en R tiene propiedades muy análogas, con algunas excepciones, a las de las aplicaciones lineales. a) Para todas las f  l ( E) y g  l ( E) tales que estén definidas f  g y  ( f )  ( g) , se tiene f  g  l ( E ) y  ( f  g )   ( f )   ( g ) . Ya que el conjunto de los  J( E) tales que   f  g (que se supone definido) contiene al conjunto de los    tales que  J( E) ,  J( E) ,   f ,    g . La cota inferior de todo conjunto es menor o igual que la de todo subconjunto y, por ello, teniendo en cuenta (1.10, b, 1).. * ( f  g ) . Inf. J ( E ), J ( E ),  f ,  g.   ( )   ( ) .. Pero siendo independientes las condiciones en  y   , el segundo miembro es.  * ( f )   * ( g ) , es decir  ( f )   ( g ) , en todos los casos para los cuales esté definida esta suma.. También,. * ( f  g )   ( f )   ( g ) .. En. resumen,. se. tiene,. pues,.  * ( f  g )   ( f )   ( g )  * ( f  g ) , lo que confirma la proposición. b) Igualmente para todos los f  l ( E) y   R tales que  f y  ( f ) estén definidos, se tiene  f  l ( E) y  ( f )   ( f ) . c) Subrayemos esta consecuencia: Para toda medida  no nula, se tiene  (1)  0 . 1.13. Envolventes de funciones  -integrables a) Si f1 y f 2 están en L ( E ) entonces también Sup ( f1 , f 2 ) e Inf ( f1 , f 2 ) están en L ( E ) .. b) En particular, la parte positiva de. f. es. f   Sup ( f , 0) , su parte negativa es. f   Sup ( f , 0) , su valor absoluto es f  Sup( f ,  f )  f   f  . Luego:. Si f es   integrable, también lo son f  , f  y. f .. 9.

(18) Además, en cuanto a esta última, se tiene entonces. f.   ( f )   ( f )   ( f ) . Dicho de otro modo,. - f  f  f. de donde. d   f d .. E. E. 1.14. Sucesiones de funciones  -integrables Sea ( f n ) una sucesión de L ( E ) , convergente simplemente hacia f . Para que se tenga. f  L ( E ) y  ( f )  lím ( f n) , basta que: 1. Que la sucesión ( f n ) sea monótona y que el conjunto de las  ( f n ) sea acotado; 2. O bien; que todas las f n estén mayoradas por un mismo F  L ( E) . 1.15. Conjuntos  -medidos o  -integrables Se dice que una parte de A de E es  -medida o  -integrable, si lo es en su función característica  A . Por el mismo abuso se admitirán también las notaciones * ( A) ,  * ( A) ,.  ( A) para las * (  A ) ,  * (  A ) ,  (  A ) . a) Siendo  ( A) positiva (cuando existe), basta para asegurar  ( A)  R , que se tiene.  ( A)   , y esto es así en cuanto que A sea acotado; porque, A siendo compacto,  A (que mayora a  A ) estará mayorado por elementos de K( E) , según (1.5). Luego: todo conjunto.  -medido y acotado es  -integrable. En particular (1.7): 1. Todo abierto es  -medido; luego, todo abierto acotado es  -integrable. 2. Todo compacto es  -integrable.. b) Apliquemos los resultados (1.13) y (1.14). 1. Para todos los A y B , se tiene  A. B.  Sup (  A ,  B ) y  A. B.  Inf (  A ,  B ) . Luego. por (1.13): Si A y B son  -integrables, A B y A B lo son también. 2. Escribamos A  límAn , para  A  lím An e interpretemos la monotonía de la sucesión ( An ), en el sentido del orden por inclusión; equivale, pues, a la monotonía de la sucesión (  An ). Entonces por (1.14, 1): Si ( An ) es una sucesión monótona de partes.  -integrables, admite un límite A que es  -medido y tal que  ( A)  lím ( An ) .. 10.

(19) 3. Combinando con 1. se obtiene: Para toda sucesión ( An ) de partes  -integrables, An es  -medido y nN. An es  -integrable. nN. Como consecuencia de la parte (a, 2): Todo cerrado es  -medido (Gouyon 1979, p.16). c) Apliquemos, en fin (1.12): Si A y B son disjuntos, se tiene  A. B.   A   B . Luego, si A. es  -integrable y no encuentra a B , la  -integrabilidad de A B equivale a la de B y se tiene, entonces,  ( A B)   ( A)   ( B) . An , siendo los An  -integrables y. Con mayor generalidad de la parte (b, 3), si A  nN. . disjuntos dos a dos, entonces A es  -medido y  ( A)    ( An ) . n 1. 1.16. Interpretación de  * ( A) como “medida exterior” a) Designando por O al conjunto de los abiertos de E , vamos a demostrar que se tiene, para toda parte A de E :.  * ( A)  Inf  () O,  A. El segundo miembro generaliza lo que Lebesgue llamó la medida exterior del conjunto A : como Lebesgue, la designaremos por e ( A) . Resulta, pues, la proposición: para las partes de E y para toda medida  , la medida superior.  * es idéntica a la medida exterior  e de Lebesgue. b) De manera análoga, es natural comparar * ( A) a i ( A)  Sup  ( F ) , o también a FF , F  A. i( A)  Sup  ( K ) donde F y C designan, respectivamente, al conjunto de los cerrados de K C, K  A. E y al conjunto de sus compactos. 1.17. Funciones y conjuntos  -despreciables Dada una medida  sobre el espacio de Daniell E , se dice:. 11.

(20) . . 1. Que un elemento f de F E , R es  -despreciable si  ( f )  0 ; 2. Que una parte A de E es  -despreciable si  A es  -despreciable, es decir.  ( A)  0 3. Que una relación R(x) es verdadera   cpd sobre A (cpd,  casi por doquier sobre. A ) si el conjunto de los x  A donde R(x) no es verdadera es de  - medida nula. a) Al referirse a los conjuntos,  ( A)  0 equivale a decir que  * ( A)  0 , puesto que. * ( A)  0 . Se tienen, en tal caso, las siguientes propiedades de las cuales la primera es evidente y la segunda resulta de (1.15, b, 2) aplicado a  A1. ... An.   A1  ...   An :. 1. Toda parte de un conjunto  -despreciable es  -despreciable. 2. Toda unión numerable de conjuntos  -despreciables es  -despreciable. b) Considerando una función f sobre E , si  ( f )  0 implica que  ( f )  0 (1.13, b) pero evidentemente es más fuerte. Dos proposiciones importantes ligan esta noción a la de.   cpd . 1. Para que f sea  -despreciable es necesario y suficiente que sea nulo   cpd . 2. Si f es   integrable es finita   cpd . 1.18. Los conjuntos F cpd ( E , R) y Fˆ ( E , R ) a) Designaremos por F cpd ( E , R) al conjunto de las funciones numéricas definidas   cpd sobre E. Para dos elementos f y g de este conjunto escribiremos f  g   cpd si. f ( x)  g ( x)   cpd sobre E . El conjunto de los x  E para los cuales f (x) no es igual a g (x) es la reunión de tres conjuntos: Uno en el que f no está definida, otro en el que g no está definida y otro en el que f (x) y g (x) están definidas pero son distintas. La relación f  g   cpd equivale pues (1.17, a), al ser los dos primeros conjuntos  -despreciables, a que lo sea el tercer conjunto. Concluyamos, aplicando de nuevo (1.17, a); la relación f  g   cpd es una relación de equivalencia en F cpd ( E , R) (Gouyon 1979, p.19).. 12.

(21) Designaremos por Fˆ ( E , R ) al conjunto cociente; por fˆ a su elemento genérico; dicho de otro modo, a la clase de los elementos de F cpd ( E , R) iguales   cpd a su elemento f . Se tiene evidentemente que F cpd ( E , R )  F ( E , R ) , y la clase fˆ contiene siempre una infinidad de elementos de F ( E, R) : Por ejemplo f 0 tal que f 0 ( x)  f ( x) si f (x) está definido y f 0 ( x)  0 en cualquier otro punto. b) Consideremos, en sentido análogo al de f  g   cpd , la relación f  g   cpd la cual no es una relación de orden en F cpd ( E , R) dado que es reflexiva y transitiva según (1.17, a) pero no es antisimétrica; su conjunción con g  f   cpd no implica f  g pero al menos, esta conjunción implica que f  g   cpd , es decir, fˆ  gˆ . Aún mejor que f  g   cpd podemos escribir fˆ  gˆ la cual es una relación de orden en Fˆ ( E , R ) . Por dicha relación de orden Fˆ ( E , R ) es también un conjunto reticulado.. 1.19. Los conjuntos l  ( E ) y Lˆ ( E ) a) Estableciendo el siguiente teorema; para todos los f1 y f 2 de F ( E, R) tales que fˆ1  fˆ2 , se tiene * ( f1 )  * ( f 2 ) y  * ( f1 )   * ( f 2 ) (Gouyon 1979, p.20).. b) Este teorema permite extender  * y * a F cpd ( E , R) : Para todo f  F  cpd ( E , R ) , cuando f  designa un elemento cualquiera de fˆ. * ( f )  * ( f ). y. F ( E, R) , se escribe:.  * ( f )   * ( f ) .. Estos dos escalares sólo dependen de fˆ . Por abuso de notación también se designara por. * ( fˆ ) y  * ( fˆ ) ; según el contexto * y  * podrán designar funciones numéricas sobre F cpd ( E , R) o sobre Fˆ ( E , R ) .. En adelante se considera a l ( E ) y L ( E ) como partes de F cpd ( E , R) , cuyos cocientes por la igualdad   cpd se designarán por l  ( E ) y Lˆ ( E ) ; para f  F  cpd ( E , R ) se escribirá. 13.

(22) f  l ( E). donde. fˆ  l  ( E ). si. * ( f )   * ( f ) , y. f  L ( E ). o. fˆ  Lˆ ( E ). si. * ( f )   * ( f )  R . c) Combinando (1.18, b) con la relación de orden en Fˆ ( E , R ) , daremos a las definiciones de. * ( fˆ ) y  * ( fˆ ) una forma en la que sólo intervenga explícitamente fˆ . Para. f   fˆ. esto,. considerando,. por. ejemplo.  * ( fˆ )   * ( f ) . Inf. J ( E ),  f .  ( ). donde. F ( E, R) y así reuniendo un resultado análogo para * ( fˆ ) :.  * ( fˆ ) . Inf. J ( E ),ˆ  fˆ.  ( ) ,. * ( fˆ ) . Sup.  G( E ),ˆ  fˆ.  ( ) .. 1.20. Propiedades de  sobre l  ( E ) a) Resulta de la parte anterior que sobre Fˆ ( E , R ) cada una de las aplicaciones * y  * es creciente como lo era sobre F ( E, R) . Luego sobre l  ( E ) la aplicación  es creciente. b) Similarmente se conserva la casi-linealidad de  y se debilitan ligeramente las excepciones y las reservas a que daba lugar sobre l ( E ) F ( E , R) .. 1.21. Propiedades de  sobre Lˆ ( E ) a) Estás excepciones desaparecen completamente sobre Lˆ ( E ) puesto que si fˆ  Lˆ ( E ) , f es finito   cpd (1.17, b, 2) y  ( fˆ )  R . Así, sobre Lˆ ( E ) ,  recupera completamente las propiedades que tenía  sobre K( E) . Lˆ ( E ) es un espacio vectorial sobre R y  es una forma lineal creciente sobre este espacio.. b) Se extiende también (1.13), mediante las definiciones (1.18, b) de Sup( fˆ , gˆ ) y de. Inf ( fˆ , gˆ ) ;. si. fˆ  Lˆ ( E ). y. gˆ  Lˆ ( E ) ,. entonces. también. Sup ( fˆ , gˆ )  Lˆ ( E ). e. Inf ( fˆ , gˆ )  Lˆ ( E ) .. 14.

(23) c) Consideremos, ahora en F cpd ( E , R) , una sucesión ( f n ) y un elemento f ; escribiremos indiferentemente, f  lím f n o fˆ  lím fˆn si,   cpd sobre E , se tiene f ( x)  lím f n ( x) y   cpd. consideraremos los siguientes teoremas: El primero es el Teorema de Beppo Levi; el segundo es el Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue. 1. Si (fˆn ) es una sucesión monótona de Lˆ ( E ) , entonces haciendo fˆ  lím fˆn se tiene. fˆ  l  ( E ) y  ( fˆ )  lím ( fˆn ) . 2. Si la sucesión (fˆn ) de Lˆ ( E ) converge hacia fˆ y si todos los f n están mayorados por un mismo Fˆ  Lˆ ( E ) entonces fˆ  Lˆ ( E ) y  ( fˆ )  lím ( fˆn ) .. 1.22. Lˆ ( E ) como espacio de Banach a) Para todo fˆ  Lˆ ( E ) , resulta de (1.13,b) que también f  L ( E ) para todo elemento f de clase fˆ . Además,  ( f ) evidentemente sólo depende de fˆ . Haciendo, en tal caso. fˆ   ( f ) ; quedando definida una norma sobre el espacio vectorial Lˆ ( E ) . 1. b) Estableciendo el siguiente lema fundamental para el desarrollo posterior: Si la serie .  n 1. g n 1 , siendo gn  L ( E) es convergente, entonces también convergen   cpd las series . . n 1. n 1. G= g n y G  =  g n y sus sumas pertenecen a L ( E ) .. c) Como primera consecuencia, para la norma considerada aquí, Lˆ ( E ) es un espacio de Banach. Recordando que así se denomina a un espacio vectorial normado y completo, lo cual asumiremos este último punto. 1.23. Convergencia en media y convergencia   cpd a) Considerando en L ( E ) una sucesión ( f n ) y un elemento f , se dice que ( f n ) converge hacia f en media (o en norma) si lím fˆ  fˆn  0 . 1. 15.

(24) b) La aplicación siguiente es la base para los posteriores ítems. Para todas las f  L ( E ) y los. n  N , existen primeramente,  n  J( E ) tal que ˆn  fˆ y. 1 fˆ  ˆn  n 1 ; y después, 1 2. 1 1 f n  K( E ) tal que f n   n y ˆn  fˆn  n 1 , de donde fˆ  fˆn  n . 1 1 2 2. Luego, se tiene que Kˆ ( E ) es denso en Lˆ ( E ) . Pero además, según a) se tiene también f  lím f n ; es decir: Todo elemento de L ( E ) es límite, a la vez   cpd y en media, de una   cpd. sucesión de K( E) . 1.24. Definiciones de funciones y conjuntos   medibles El resultado (1.23, b) lleva a introducir un nuevo superconjunto de L ( E ) , el cual en algunas ocasiones será más estable que l ( E ) ; por lo que será frecuentemente de uso más cómodo, en demostraciones de   integrabilidad. Se dice que un elemento f de F cpd ( E , R) es   medible , y escribiremos f M ( E) , si. f es límite   cpd de una sucesión en K( E) ; esta condición, sólo depende de f , se podrá ˆ ( E ) diciendo que fˆ es   medible . enunciar también en la forma fˆ  M . Una parte A de E se llama   medible si  A es   medible (Gouyon 1979, p.25).. 1.25. Caracterización de L ( E ) como parte de M ( E) a) L ( E ) es, a priori, según (1.23, b) una parte de M ( E) , y el teorema que sigue permite caracterizar esta parte: Para que un elemento f de M ( E) sea   integrable es necesario y suficiente que  * ( f ) o * ( f ) sea finita.. b) Demos algunas consecuencias inmediatas. 1. El único caso en que una función   medible no es   integrable es aquél en que las dos  * ( f ) y * ( f ) son infinitas. Luego, el único caso en que una función.   medible no es   medida es aquél en que  ( f )   y   ( f )   .. 16.

(25) 2. Para que un elemento de M ( E) esté en L ( E ) , basta que se pueda situar (al menos.   cpd ) entre dos elementos de L ( E ) . 3. Según esto, si f M ( E) y f  L ( E ) , entonces f  L ( E ) ; luego por (1.11, b) para un elemento f de M ( E) , la   integrabilidad de f equivale a la de f . 1.26. Principales clases de funciones   medibles a) Además de L ( E ) , M ( E) contiene evidentemente a J( E ) , G( E ) y también a C( E, R) ; porque si f C( E, R) , se tiene. f  lím n para toda sucesión ( n ) en K( E) tal que. lím n  1 ; por otra parte, si M ( E) contiene a f y a g, es evidente, a partir de su definición,. que contiene también a: 1. Sup( f , g ) , e Inf ( f , g ) ; 2. Toda combinación lineal de f y g , con tal que esté definida   cpd ; 3. El producto f g con la misma condición. Estas condiciones desaparecen para las funciones finitas   cpd ; luego, el conjunto de las funciones   medibles y   cpd finitas es un álgebra sobre R. b) Si una sucesión ( f n ) en M ( E) converge en   cpd hacia f, entonces f M ( E) . 1.27. Conjuntos   medibles a) Aplicando a las funciones características los resultados generales anteriores, se obtienen inmediatamente los siguientes: 1. Toda parte   medible es   medida (1.25, b). Luego por (1.25, a) para que sea.   integrable basta que sea acotada. 2. La   medibilidad de A equivale a la del A (1.26, a, 2); en particular, siendo todo abierto   medible , puesto que J( E )  M ( E ) también lo es todo cerrado. 3. Igualmente (1.26, a, 1 y 1.26, b) toda reunión numerable de conjuntos   medibles , o toda intersección análoga, es   medible .. 17.

(26) b) El teorema siguiente es por el contrario estrictamente propio de los conjuntos: Para que una parte A de E sea   medible es necesario y suficiente que existan, para todo   0 , un cerrado F  A y un abierto   A tales que  (  F )   . 1.28. Reducción de la   medibilidad de funciones a la de conjuntos a) Para que un elemento f de F cpd ( E , R) sea   medible es necesario y suficiente que. I (a) , conjunto de los x  E tales que f ( x)  a , sea   medible para todo a  R . b) Se tiene una proposición equivalente a la anterior al sustituir f ( x)  a por f ( x)  a , o por. f ( x)  a , o por f ( x)  a .. 1.29. Restricciones de una medida impropia Sea E un espacio de Daniell,  una medida sobre E ,  su extensión canónica, A una parte de E . Para toda función numérica f definida   cpd sobre A (y eventualmente sobre una parte del A ), designaremos por f A su restricción a A , por f A0 la función igual a f sobre A y nula fuera de A ; con más precisión, hacemos f A0 ( x)  f A ( x)  f ( x) si x  A y si f ( x) está definido, f A0 ( x)  0 si x  A . a) Diremos que f es   medida sobre A y escribiremos f  l ( A) , si f A0  l ( E ) ; pondremos entonces:  A ( f )   ( f A0 ) . Y diremos que la aplicación  A de l ( A) en R es la restricción a A de la medida impropia.  sobre E . Igualmente, diremos que f. es   integrable sobre A y escribiremos f  L ( A) si. f A0  L ( E ) ; en tal caso,  A ( f ) se designará también por. f. d  que se llama   integral. A. sobre A . Por último si f M ( A) para f A0  M  ( E ) ; entonces diremos que f es   medible sobre. A.. 18.

(27) b) La relación " f A0  g A0   cpd " , equivale a “ f  g   cpd sobre A ”; es decir: Si X es el conjunto de los x  A para los cuales no se tiene f ( x)  g ( x) , entonces  (  X )  0 dado que X  A se tiene  X  (  X )0A , de donde,  (  X )   A (  X ) , luego “   cpd sobre A ” es sinónimo de "  A  cpd " . Adoptaremos en adelante, esta última notación y designaremos por lˆ ( A) y Lˆ ( A) a los cocientes de l ( A) y L ( A) por la igualdad  A  cpd .. 1.30. Propiedades generales de las Restricciones Si cada uno de los teoremas generales sobre  se aplican a las f A0 , se obtiene un teorema sobre  A independiente de la naturaleza de A ; por ejemplo, la restricción de  A al espacio vectorial Lˆ ( A) es una forma lineal creciente, etc. a) Si A B   , se tiene f A0.   integrabilidad.  A B. B.  f A0  f B0 , luego si f es   integrable sobre A , su. sobre A B equivale a su   integrabilidad sobre B y se tiene. f d   f d   f d . A. B. b) Si f es   integrable sobre E , también lo es sobre cualquier parte   medible . c) Además f puede ser   integrable sobre A sin serlo sobre E ; por ejemplo si A es compacto, todo elemento f de C( A, R) es   integrable sobre A . d) Establezcamos, por último, una cierta “continuidad” de  A ( f ) como función de A , para un. f dado: Si A es límite de una sucesión ( An ) de partes   medibles , incluidas en una parte. B sobre la cual f es   integrable, entonces f es   integrable sobre A y. f A. d  lím  f d  . An. 1.31. Restricciones relativas a un compacto y medidas sobre este compacto a) Supondremos en adelante A compacto. Éste es, entonces un espacio de Daniell (1.4, b), sobre el cual se pueden definir directamente medidas; una medida sobre A es una forma. 19.

(28) lineal creciente sobre K( A) . Recordemos además (1.2, a) que, para todo f F ( A, R) , se llama soporte de f en A a la adherencia en A (o en E , que es la misma) del conjunto de los. x  A tales que f ( x)  0 ; este soporte es, compacto, siempre que lo sea A de manera que se tiene simplemente, K( A)  C( A, R) . Luego, una medida sobre un compacto A es una forma lineal creciente sobre C( A, R) . Así para todo compacto A del espacio E de Daniell, la limitación a A de cualquier medida sobre E es una medida sobre A . b) Antes de examinar el recíproco justifiquemos la notación adoptada, diciendo que  A es la extensión canónica de  A .. c) Pasemos al recíproco de a): Toda medida sobre el compacto A se identifica con la limitación a A de una medida sobre E . Resumiendo tenemos que el conjunto de medidas sobre un compacto A (respectivamente de sus extensiones canónicas) es idéntico al conjunto de las restricciones a A de las medidas sobre E (respectivamente de sus extensiones canónicas).. 1.32. Problema inverso: Encolado de trozos a) Para un compacto dado A es posible que medidas distintas sobre E admitan la misma restricción en A ; por ejemplo, para A   1, 1 , las medidas  y   sobre E  R tales que  ( f )  f (0) y ( f )  f (0)  f (2) . Por el contrario, se puede esperar una afirmación de unicidad para el problema siguiente, que llamaremos problema de encolado de trozos: Dada una medida  i sobre cada compacto Ai de una familia ( Ai )iI que recubra a E, encontrar una medida  sobre E tal que  Ai  i para todo i  I . b) Sea  una solución. Para todo compacto K i , y para todos los Ai  K y f C(K , R) , se tendrá; según (1.30, c) f K0  L ( E ) y f K0  Li ( Ai ) ; según (1.30, a),  ( f K0 )   Ai ( f K0 ) ; según (1.31, b), i ( f K0 )   Ai ( f K0 ) . Por último, si K es un compacto contenido en un Ai y si. f C( K , R) , entonces. f K. d    f d i . K. 20.

(29) De esto resulta una condición de compatibilidad: para que el problema a) tenga solución es necesario que para todos los i y j de I y para todo f C( Ai. . f d i . Ai A j. . Aj , R) se tenga. f dj .. Ai A j. c) Supongamos que sea así y limitémonos al caso de una familia ( Ai )iI tal que todo compacto de E esté contenido en uno de los Ai . Se verá que el problema a) admite, en tal caso, una solución y sólo una.. 1.33. Integrales dependientes de un parámetro Designando siempre con E un espacio de Daniell y  una medida sobre E , consideremos una familia ( f t )tT en L ( E ) . Se intentarán establecer ahora ciertas propiedades de  ( f t ) como función de t . a) Continuidad con relación al parámetro, haciendo las hipótesis siguientes. 1. El conjunto T , descrito por el parámetro t , es una parte de un espacio métrico. 2. Para un  T , existe un f  F  cpd ( E , R ) tal que lím ft  f   cpd . t . 3. Sobre A , todos los f t están mayorados por un F  L ( E) . De aquí el teorema de Lebesgue (1.21, c) se generaliza, entonces así: Para toda familia ( f t )tT de L ( E ) que satisfaga las hipótesis 1, 2 y 3, se tiene f  L ( E ) y  ( f )  lím ( ft) t . b) Derivación con respecto al parámetro, haciendo las siguientes hipótesis: 1. El conjunto T, descrito por el parámetro t , es un abierto de R. 2. Para todos los t  T y x  A (donde A designa siempre una parte de E tal que el A sea   despreciable ) 3. Sobre A, todos los. f t ( x ) existe. t. ft están mayorados por un mismo F  L ( E) . t. 21.

(30) Entonces: Para toda familia ( f t )tT de L ( E ) que satisfaga las hipótesis 1, 2 y 3, se tiene ft  L ( E ) t. y.  ft  t. .  d    ( ft ) .  dt. 1.34. Producto de medidas En lo que sigue, se supondrá que E es el producto de dos espacios métricos: Sea E  X x Y . Las distancias en estos tres espacios cartesianos estarán, generalmente, asociadas por la ley cartesiana d E2  d X2  dY2 . Se supondrá siempre que E es un espacio de Daniell; en tal caso (1.4, b), X e Y son también de Daniell. Designaremos por.  x, y . donde x  X e y  Y al elemento genérico de E . Para todo. f F ( E, R) haremos f ( x, y)  f y ( x)  f x ( y) de donde f y  F ( X , R ) para todo y  Y y f x  F (Y , R) para todo x  X .. a) Cualesquiera que sean las medidas  y  sobre X e Y , respectivamente, les corresponde sobre E una medida m    tal que para todo f K( E) , m( f )     ( f ) ; por  ( f ) se entiende el elemento de F (Y , R) cuyo valor en el punto y es  ( f y ) . Destaquemos también, para lo que sigue, estas dos afirmaciones intermedias: Si f K( E) , entonces f y ( x) K( X ) para todo y  Y y  ( f ) K(Y ) . b) Se define, igualmente, el producto m    ; para todo f K( E) se hace, esta vez, m( f )    ( f ) , donde  ( f ) es el elemento F de K( X ) tal que F(x)= ( f x ) .. Si m  m , se dice que las medidas  y  , son permutables; entonces, todas las extensiones sucesivas de m y de m serán también idénticas. c) Subrayemos que se tiene siempre    ( f )    ( f ) cualesquiera que sean las medidas.  y  , si f es el producto de una función sobre X por una función sobre Y o sea, f  g h , es decir, f ( x, y)  g ( x)h( y) .. 22.

(31) 1.35. Extensión del producto a J( E) G( E) La extensión de m a J( E ) , por ejemplo, aparece con un sentido análogo al del producto de las extensiones de  y de  a J( X ) e J(Y ) . De manera precisa: Si f J( E) , entonces  ( f ) J(Y ) y m( f )   (  f )  .. 1.36. Aplicación a las medidas superiores e inferiores a) Este resultado m( f )     ( f ) no se extenderá (1.37) a todo f  lm ( E ) . Para el estudio de su campo de validez, compararemos, por ejemplo, m *( f ) y  *   *( f )  para un elemento. . . cualquiera f de F E , R . Se tiene,. m *( f ) =. Inf. J ( E ),  f. m( ) =,. Inf. J ( E ),  f.    ( ) ,. donde el conjunto de las  ( ) caracterizados así es, según (1.35), una parte del conjunto de los  J(Y ) tales que    *( f ) ; así resulta :. m *( f ) . Inf.  () = *   *( f ) .. J (Y ),   *( f ). . . Concluyamos, reuniendo el resultado simétrico: para todo f  F E , R se tiene. m* ( f )   *  * ( f )   *   * ( f )   m* ( f ) .. . . b) Obtengamos algunas consecuencias en cuanto a los elementos de Fm  cpd E , R . 1. Si una parte D de E es   despreciable , su sección. y  constante. es.   despreciable   cpd . 2. Si. f  g m  cpd. entonces,   cpd sobre Y,. f y  g y   cpd ; esto resulta,. . evidentemente de 1. En particular; si f  Fm  cpd E , R. . . entonces f y  F cpd X , R. .   cpd sobre Y .. . . 3. Las desigualdades en a) se extienden a toda f  Fm  cpd E , R . 4. Si f es m  medible , entonces f y es   medible   cpd sobre Y .. 23.

(32) c) Este otro corolario tiene un carácter diferente en el sentido de que concluye en una propiedad de la medida producto: Si una parte A de X es   despreciable , entonces AxB es. m  despreciable para toda parte B de Y y para toda medida  sobre Y .. 1.37. Teorema de Fubini a) Si f  M m ( E ) lm ( E ) , entonces f y  l ( X )   cpd sobre Y y m( f )     ( f ) b) El teorema de Fubini es solamente un caso particular cuando m( f )  R , en tal caso, las hipótesis f  M m ( E ) y f  lm ( E ) están contenidas en f  Lm ( E ) y se ha visto que implican.  ( f )  R   cpd . Luego, si f  Lm ( E ) , entonces f y  L ( X )   cpd y.  E.   f dm     f d  d . Y X . 1.38. Caso del producto de una función sobre X por una función sobre Y. . El caso f  g h , con g  F  cpd X , R. . . . y h  F  cpd Y , R es prácticamente el único en que. a partir de hipótesis sobre  y  (y no sobre m    ) se puede concluir: Si g  L ( X ) y h  L (Y ) , entonces gh  Lm ( E ) y m( gh)   ( g ) (h) .. 1.39. El álgebra B ( E ) : fórmula de la media Nuestro objetivo es definir, cualesquiera que sea el espacio de Daniell E y la medida  sobre E , un conjunto de funciones a las cuales se pueda extender la fórmula elemental “de la media”. Para ello, será útil algunos preliminares.. a) Sea f un elemento cualquiera de F cpd ( E , R) . Sea A el conjunto de sus “mayorantes.   cpd ”: dicho de otro modo, de los a  R tales que f ( x)  a   cpd . Como A contiene a  , no es vacío: existe, pues en R , M  ( f )  Inf A . Reuniendo el resultado simétrico resulta, que existen en R : 1. Un mayorante mínimo   cpd de f que es su  -cota superior M  ( f ) . 2. Un minorante máximo   cpd de f que es su  -cota inferior m ( f ) .. 24.

(33) Por último, el conjunto A sólo depende de fˆ , clase de f para la equivalencia   cpd ; luego también m ( f ) y M  ( f ) sólo dependen de fˆ . b) Se dice que f esta  -acotado si m ( f ) y M  ( f ) son finitos (lo cual, excluye la posibilidad de  =0). Escribiremos entonces. f B ( E) o también. fˆ Bˆ ( E ) . Son. inmediatas dos observaciones. 1. Para que f esté en B ( E ) es necesario y suficiente que f lo esté; dicho de otro modo, que exista un a  R tal que f ( x)  a   cpd . 2. Todo elemento de B ( E ) es   cpd finito. c) Sea f un elemento de B ( E) M ( E) : es   medible y finito   cpd . Luego, para todo   L ( E ) , se tiene también f  M ( E ) según (1.26, a). Supongamos además   0   cpd ; se sigue que integrables. los. dos. extremos,. también. lo. m  ( f )ˆ  fˆˆ  M  ( f )ˆ siendo  -. es. f. (1.25,. b,. 2). y se. tiene. m  ( f )   d    f  d   M  ( f )   d  ; se obtiene así el enunciado general del “teorema E. E. E. de la media”: Si f es  -medible y  -acotada, entonces para todo   L ( E ) tal que   0   cpd , se tiene f   L ( E) y existe un  [m ( f ), M ( f )] tal que. . E. f  d     d  . E. 1.40. El espacio Lˆ2 ( E ) : desigualdad de Schwarz Sea f un elemento de F cpd ( E , R) , fˆ su clase de equivalencia para la igualdad   cpd . Se pone por definición, f  L2 ( E ) si f M ( E) y f 2  L ( E ) . Esta pertenencia sólo depende, evidentemente, de fˆ : por lo que se designará también por fˆ  Lˆ2 ( E ) . Subrayemos desde ahora que implica. f  L2 ( E ) .. 25.

(34) a) Si f y g son de L2 ( E ) , están en M ( E) y   cpd finitas (puesto que lo son f 2 y g 2 como  -integrables). Luego, toda combinación lineal de f y g está en M ( E) ; estará en L2 ( E ) si su cuadrado está en L ( E ) . L2 ( E ) es un espacio vectorial sobre R ; también lo es, Lˆ2 ( E ) .. b) Si fˆ y ĝ están en Lˆ2 ( E ) entonces fg  Lˆ2 ( E ) . Poniendo entonces fˆ .gˆ   f gd  E. se comprueba que esta aplicación ( fˆ , gˆ )  fˆ .gˆ de Lˆ2 ( E )xLˆ2 ( E ) en R tiene todas las propiedades de un escalar euclideo. En efecto: 1. Es conmutativa; 2. Es distributiva con respecto a la adición; 3. Es asociativa con la multiplicación por un escalar; 4. por último fˆ . fˆ es siempre positiva y su anulación equivale a la de fˆ : porque.  ( f 2 ) equivale a f 2  0   cpd , es decir fˆ  0̂ .Concluimos: Dotado Lˆ2 ( E ) del producto escalar fˆ .gˆ   ( fg ) , Lˆ2 ( E ) es un espacio euclideo.. c) En todo espacio euclideo, para el elemento genérico x , se define una norma haciendo x  x.x , y esta norma esta ligada igualmente al producto escalar mediante la desigualdad. de Schwarz x. y  x . y . En Lˆ2 ( E ) donde el índice 2 distinguirá esta norma de la de Lˆ ( E ) ; se definirá por fˆ.   ( f 2 ) y la desigualdad de Schwarz en forma explícita será 2. . E. 2. fgd    f 2 d . g 2 d  . E. E. 1.41. Lˆ2 ( E ) como espacio de Hilbert a) Con la norma indicada Lˆ2 ( E ) es completo: este será, pues, un espacio de Banach; con más precisión un espacio de Hilbert real.. 26.

(35) b) El resultado establecido es el teorema de Fischer-Riesz. Llamando convergencia en media cuadrática (para la medida  ) a la convergencia considerada, lím fˆ  fˆn.  0 , se puede 2. enunciar así: si una sucesión ( fˆn ) es de cauchy en Lˆ2 ( E ) converge en media cuadrática hacia un elemento fˆ de este espacio. 1.42. Densidad de Kˆ ( E ) en Lˆ2 ( E ) Establezcamos, por último, este otro teorema: para todo f  L2 ( E ) y para todo   0 , existe un  K( E) tal que fˆ  ˆ   . 2. 27.

(36) Capítulo 2. Formulación, Análisis y Aplicación de la Derivada de la Teoría de Distribuciones para el Comercio Internacional 2.1. Introducción Definida sobre R1 , por ejemplo los físicos llaman “función” de Dirac a una “función”  ( x) tal que 1.  ( x)  0 para x  0 ,  ( x)   para x  0 ; 2. Para cualquier otra función f ( x) suficientemente regular,. .  . f ( x) ( x  x0 )dx  f ( x0 ) .. Estas propiedades son contradictorias según la teoría clásica de funciones, en efecto, según 1,.  ( x  x0 ) f ( x) es nula casi por doquier (salvo en el punto x0 ); luego para todos los a y b se tiene. . b a.  ( x  x0 ) f ( x)dx  0 , de donde. .  .  ( x  x0 ) f ( x)dx  0 .. Sin embargo, la manipulación empírica de esta “función” y de otras funciones análogas (calificadas como “irregulares”) ha resultado cómoda y susceptible de conducir ha resultados valederos. Parecía, pues, deseable dirigir estas técnicas empíricas en teoría matemática rigurosa: A esto tiende la teoría de distribuciones, siendo la idea esencial la siguiente: Renunciando a 1 (que hacía aparecer a  ( x) como una función de x ), considerar simplemente  como un funcional (aplicación de cierto conjunto de funciones f en el conjunto de los escalares) definido solamente por 2 (Kolmogorov 1975, p.137).. Las distribuciones de Schwartz no son otra cosa que funcionales análogos, cuya definición resulta de una generalización conveniente de las propiedades del funcional  . Su definición presupone la del conjunto de las funciones “suficientemente regulares” a las cuales se aplicarán estos funcionales; las llamaremos como Guelfand y Shilov, funciones de base de las distribuciones.. 28.

(37) 2.2. Espacio vectorial de las funciones de base a) Soporte de una función; todas las funciones que vamos a considerar serán con valores escalares (reales o complejos) de n variables reales; dicho de otro modo aplicaciones de R n en C (conjunto de los escalares, reales o complejos), designaremos por x al elemento genérico ( x1 , x 2 ,..., x n ) y, para todo dominio D de R n ,. . D. f ( x)dx   f ( x1 , x 2 ,..., x n )dx1dx 2 ...dx n . D. Las integrales se entienden en el sentido de Lebesgue: son iguales para dos funciones iguales casi por doquier (es decir, iguales salvo en un conjunto de medida nula) Se llama soporte de una función f al mínimo conjunto cerrado fuera del cual es nula f (x) ; dicho de otro modo, la adherencia del conjunto de puntos de X en que f ( x)  0 ; si es K este soporte, la pertenencia de x0  K significa que todo entorno de x0 contiene un punto x en el cual f ( x)  0 . Si F es un conjunto cerrado la inclusión K  F equivale a la afirmación “ f (x) es nulo fuera de F ”. b) El espacio D ; designaremos por D al conjunto de las funciones  (denominadas funciones de base) que satisfacen a las dos condiciones siguientes: 1. El soporte de  es acotado; 2.  admite en todo punto derivadas continuas de todos los órdenes (lo cual denotaremos, de modo clásico, por   C  ). Si  y  son dos escalares cualesquiera, es claro que las pertenencias de 1  D y de.  2  D implican 1   2  D ; el conjunto D de las funciones base es un espacio vectorial sobre C. También estas pertenencias implican 1 2  D ; dotado de la multiplicación ordinaria el espacio D es un anillo (Rudín 1979, p. 151).. 2.3. Ejemplo Importa asegurarse de que D contiene otras funciones además de las funciones nulas. a) Para n  1 , contiene entre otras a la función  a definida como sigue (para a  0 cualquiera):. 29.

(38) a ( x)  0 para x  a ,  a ( x)  e. . a2 a  x2 2. para x  a .. Su soporte es el intervalo [a, a]. b) Igualmente para n cualquiera:. a ( x)  0 para r  a ,  a ( x)  e. . a2 a 2 r 2. para r  a , con r  x  ( x1 )2  ...  ( x n ) 2 ; el. soporte es esta vez, la bola x  a .. c) Con mayor generalidad, sea f una función continua en todo el espacio ( f  C0 ) y con soporte. f a ( x)  . acotado. x   a. La. función. f a ( x)  . Rn. f ( )a ( x   )d ,. reducida. a. f ( )a ( x   )d pertenece al espacio D ; para x  ( x1 ,..., x n ) y   ( 1,...,  n). escribimos x    ( x1   1 ,..., x n   n ) .. En primer lugar, todas las derivaciones bajo el signo de integración son legítimas, en todo punto de x , por ser continuo en todo punto el producto de f ( ) por toda derivada de.  a ( x   ) ; luego, f a  C . Por otra parte, si  es el soporte de f , la condición f ( ) a ( x   )  0 exige   y x    a . Para un x dado, sólo se satisface por ciertos  si x pertenece a Va () , entorno. de orden a de  (dicho de otro modo, conjunto de los x tales que existe un  que satisface a las dos condiciones   y x    a ). Concluimos que el soporte de f a está contenido en Va () , el cual es acotado, como el mismo  ; luego se tiene que f a  D .. 2.4. Primera aplicación: aproximación de las funciones continuas con soporte acotado Con las mismas notaciones anteriores hacemos:. . x a. a ( x)dx  . x   a. a ( x   )d  Ca  0 , Fa ( x) . 1 f a ( x) . Ca. 30.

(39) La función Fa es también un elemento de D y se puede disponer de a de manera que asegure, uniformemente sobre R n , cualquier desigualdad Fa ( x)  f ( x)   . Se tiene en efecto,. Fa ( x)  f ( x) . 1 Ca. . x   a. [ f ( )  f ( x)]a ( x   )d .. Basta hacer a suficientemente pequeño para que x    a asegure que f ( )  f ( x)   . Luego: “Para toda función continua f con soporte acotado, existe cualquiera que sea   0 , una función de base que aproxima uniformemente f ( x) en menos de  ”.. 2.5. Segunda aplicación: funciones de base, constantes sobre un conjunto acotado Agreguemos una precisión, consecuencia de la expresión anterior de Fa ( x)  f ( x) ; si se tiene. f (x)  constante sobre un conjunto E , Fa ( x) se reduce a esta misma constante en todo punto x tal que la bola x    a esté contenida en E . Por otra parte, si se tiene para todo x , 0  f ( x)  1 , se tiene también 0  Fa ( x)  1 puesto que según (2.3, c) 0  f ( x)  Ca . Por último recordemos que el soporte de f a , o de Fa , está contenido en el entorno cerrado de orden a del soporte de f . Después de esto, demos arbitrariamente en R n , un conjunto G cerrado y acotado. Para   0 arbitrario, se puede formar, de infinidad de maneras, una función continua f tal que: Sobre V (G ) , f ( x)  1 ; sobre V2 (G ) , 0  f ( x)  1 ; fuera de V2 (G ) , f ( x)  0 . Considerando entonces F ( x) , se tiene: Sobre G , F ( x )  1 ; sobre V2 (G ) , 0  F ( x)  1 ; fuera de V2 (G ) , F ( x)  0 . Luego, “Dada una parte G de R n , cerrada y acotada, existen una infinidad de funciones de base iguales, a 1 sobre G , en todo punto comprendidas entre 0 y 1 y cuyo soporte está contenido en un entorno arbitrario de G ”.. 2.6. Definición de la convergencia sobre el espacio D Sea ( k ) una sucesión de elementos de D , con soportes respectivos k (para k  1,2, ). Diremos que esta sucesión converge en D , hacia una función  D , si: 1. Todos los k están incluidos en un mismo compacto  (o conjunto cerrado y acotado);. 31.

(40) 2. Cuando k   ,  k y todas sus derivadas tienden uniformemente hacia  y a sus derivadas respectivamente. Si esto es así, el soporte de  está contenido en el soporte de la.  k , el cual a su vez, está. contenido en  (Rudín 1979, p. 153).. 2.7. Definición de distribuciones sobre R n Se llama distribución sobre R n a un funcional lineal y continuo sobre el espacio D . Sea T una distribución. Hagamos explícita completamente la definición anterior. a) T es un funcional; a toda función  D , asocia, un escalar que designaremos por T,  , o también Tx ,  ( x) . La segunda notación es cómoda si  es función, no solamente de x (elemento genérico de R n ), si no eventualmente de otras variables. Se evitará, en consecuencia, un cambio de. notación como T,  , con  ( x)   ( x,  ) escribiendo simplemente Tx ,  ( x,  ) . Al decir que T,  es un escalar entendemos que es un elemento de C (2.2); dicho de otro modo; un número real o complejo según el espacio considerado sea el de las funciones de base con valores reales o complejos. Las distribuciones correspondientes se llamarán, en tal caso, reales o complejas (Rudín 1979, p. 156). b) El funcional T es lineal; para todos los 1  D ,  2  D y   C , es decir: T, 1  2  T, 1  T, 2 ,. T, 1   T, 2 .. c) El funcional T es continuo en D , si una sucesión ( k ) converge hacia  D (en el sentido precisado en 2.6), entonces T, k converge hacia T,  .. 2.8. Espacio vectorial de las distribuciones Se dice que dos distribuciones T1 y T2 son iguales si, para todo  D , se tiene T1 ,   T2 ,  .. 32.

(41) Por otra parte, siendo  un escalar cualquiera, escribiremos T1 +T2 ,   T1 ,   T2 ,  ,.  T1 ,    T1 ,  .. Desde luego, las aplicaciones T1  T2 y  T1 de D en C, son también lineales y continuas; dicho de otro modo, son también distribuciones. “Luego, el conjunto de las distribuciones sobre R n es un espacio vectorial sobre C ”. Lo cual lo designaremos por D .. 2.9. Identificación de una función localmente sumable con una distribución a) Sea f una función de x (aplicación de R n en C ), que supondremos localmente sumable, es decir, que es sumable en el sentido de Lebesgue sobre todo dominio acotado. Hagamos f *,   . Rn. f ( x) ( x)dx .. El funcional f * está, evidentemente definido sobre D ; para  D , el segundo miembro se reduce a una integral sobre un dominio acotado, que contiene al soporte de  . La lineabilidad de esta funcional es completamente evidente así como su continuidad; si una sucesión ( k ) converge en D hacia  , se tiene (sobre un dominio acotado  que contenga el soporte de todo  k ). f *, k  f *,  . . . f ( x)[k ( x)   ( x)]dx  Sup k   . . . f ( x) dx ,. que tiende a cero, con Sup k   , cuando k   . Luego: . “A toda función f localmente sumable le corresponde una distribución f * , tal que f *,   . Rn. f ( x) ( x)dx .. b) La correspondencia entre f y f * no es, biunívoca; basta que las funciones f y g sean casi iguales casi por doquier para que se tenga f *  g *. c) Convengamos, entonces en agrupar las funciones localmente sumables en clases de equivalencia módulo “la igualdad casi por doquier”.. 33.

(42) Conservaremos el signo = para designar esta equivalencia; la notación f  g significará que las funciones f y g son iguales casi por doquier. En tal caso, según (b), esta notación equivale a f *  g * . Se puede, entonces sin contravenir a la transitividad de la igualdad, escribir también f  f * ; dicho de otro modo, identificar una función localmente sumable a la distribución que le corresponde según (a). De ahora en adelante para toda función f localmente sumable haremos f  f * , es decir, f ,  . Rn. f ( x) ( x)dx .. d) El ejemplo más simple lo proporcionan, las constantes: Toda constante C se puede identificar a una distribución, tal que (para todo  D ). C,   C  n  ( x) dx . R. 2.10. Distribuciones singulares: la distribución de Dirac Calificaremos como regulares las distribuciones identificables, en el sentido de las funciones anteriores, a funciones. Cualquier otra distribución se denominará singular. El ejemplo más usual es la distribución de Dirac. O sea,  tal que.  ,    (0) . Con mayor generalidad, se llama distribución de Dirac, en el punto a , a la distribución  ( a ) tal que  ( a ) ,    (a) (Rudín 1979, p. 156).. 2.11. Operaciones simples con distribuciones Hemos definido, antes (2.8), la suma de distribuciones y su multiplicación por un escalar y hemos visto que estas dos operaciones, junto con la definición de igualdad, dotan a D (conjunto de las distribuciones) de una estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los escalares.. Añadimos dos definiciones nuevas.. 34.