APLICACIONES de la DERIVADA
Pautas de manejo de soja para lograr
Rendimientos elevados
OBJETIVOS
•
Analizar propiedades de las distintas funciones
mediante el uso de la derivada.
•
Seleccionar y aplicar criterios que le permitan obtener
los extremos de una función.
•
Interpretar características de funciones a partir de la
función derivada y derivada segunda de una función.
•
Desarrollar procedimientos para representar curvas.
•
Resolver problemas de optimización de funciones
aplicados a situaciones agronómicas.
CONTENIDOS
Aplicaciones de la derivada de Funciones.
•
Gráficos de funciones: extremos absolutos y
relativos.
•
Máximos y mínimos de funciones. Puntos de Inflexión.
•
Intervalos de Crecimiento y decrecimiento, de
concavidad y convexidad.
•
Optimización. Planteo y resolución de problemas con
aplicaciones a las Ciencias Agropecuarias.
Gráfico de Funciones
¿Qué podemos realizar con lo que estudiamos? ✓
Dom f
eImg f
✓ Corte con los ejes coordenados
▪
eje y (
f (0))
▪
eje x (
f (x) = 0)
✓ Continuidad de la función
✓ Comportamiento de la función en los extremos
▪
Dom f = R
lím f (x) y+
x xlím -f (x)
▪
Dom f = [a,b]
f (a)
yf (b)
Extremos de una Función: Máximos y Mínimos
y = f (x) x xM xmr xm xMR f (xM) f (xm)Definición 1:
1.
El puntox
M es un punto demáximo absoluto
de lafunción
y
=
f
(
x
)
si verifica que:
para todo
x
perteneciente alDom f
El valor
f (x
M)
es elvalor máximo absoluto
de la función.
)
(
)
(
x
f
x
f
M
2.
El puntox
m es un punto demínimo absoluto
de la funcióny
=
f
(
x
)
si verifica que:para todo
x
perteneciente alDom f
El valor
f (x
m)
es elvalor mínimo absoluto
de la función.
)
(
)
(
x
f
x
f
m
Definición 2:
1.
El puntox
MR es un punto demáximo relativo
de la funcióny
=
f
(
x
)
si verifica que:
para todo
x
I
incluido en el
Dom f
El valor
f (x
MR)
es elvalor máximo relativo
de la función.
) ( )
(x f x
f MR
2.
El puntox
mr es un punto demínimo relativo
de la funcióny
=
f
(
x
)
si verifica que:para todo
x
I
incluido en el
Dom f
El valor
f (x
)
es elvalor mínimo relativo
de la función.
) ( )
(x f x
Importante !!!
Máximo Absoluto o Relativo:
(
x
M,
f
(
x
M)
)
Punto de Máximo
Valor Máximo
Mínimo Absoluto o Relativo:
(
x
m,
f
(
x
m)
)
Puntos Extremos
Definición 3:
1.
Un par ordenado(
x
a,
f
(x
a)
)
es unextremo absoluto
de la funcióny
=
f
(
x
)
si es un máximo absoluto o mínimo absoluto def .
2.
Un par ordenado(
x
r,
f
(x
r)
)
es unextremo relativo
de la funcióny
=
f
(
x
)
si es un máximo relativo o mínimo relativo¿ Qué relación existe entre la derivada y los puntos
extremos de una función
f
?
Teorema 1:
Si la función
y = f
(x)
tiene un punto extremo enx
ey es derivable en dicho punto, entonces
f ’
(
x
e)
=
0
.
y = f (x) x xM xmr xm xMR f (xM) f (xm)
Definición 4:
Un punto crítico de la función
f
es un puntox
p que verificaf ’
(
x
p)
=
0
o
f
no
es derivable enx
p y x xp2 xp3 x p4 xp1Condición necesaria para la existencia de extremos
Si la funcióny = f
(x)
es:• derivable en
x
e y• tiene un extremo en
(
x
e,
f
(
x
e)
)
Si
x
pes un
punto crítico
de la función
f
¿ es
(
x
p,
f (x
p)
)
un
extremo
de
f
?
NO
Ejemplo:
f (x) = x
3x = 0
es un
punto crítico
y x • x 3(0,0)
NO
es un
punto extremo
Teorema de Rolle:
Si
y = f
(
x
)
es una función continua en un intervalo cerrado[
a,b
]
que tiene derivada en todo puntox
en el intervalo abierto(
a,b
) y verificaf
(
a
)
=f
(
b
)
entonces existe, al menos un puntox
0 en el intervalo abierto (a,b
) para el cualf
'
(
x
0)
0
Teorema del Valor Medio o de Lagrange:
Si
y = f (x)
es una función continua en un intervalo cerrado[
a,b
]
que tiene derivada en todo puntox
en el intervalo abierto(
a,b
), entonces existe, al menos, un puntox
0 en el intervaloabierto (
a,b
) para el cual:a b a f b f x f ( ) ( ) ) ( ' 0
Propiedad:
Si la función
y = f
(
x
)
es derivable en todo punto de unintervalo
(
a
,
b
)
entonces:• Si
f ’
(
x)
= 0
para todox
(
a
,
b
)
entoncesf
esconstante
• Si
f ’
(
x)
> 0
para todox
(
a
,
b
)
entoncesf
escreciente
Sea
f
una función continua en un intervalo(
a ,b
),
yc
unpunto interior del intervalo,
e
ntonces:Determinación de puntos extremos de una función
Criterio Local
y x c f (c) •(
c ,
f
(
c
)
)
es un
máximo
de
f
crece decrecef ’
(
x
)>
0
para todox
en(
a ,c
)
(a la izquierda dec
)y
f ’
(
x
)<
0
para todox
en(
c ,b
)
(a la derecha dec
),Sea
f
una función continua en un intervalo(
a ,b
),
yc
unpunto interior del intervalo,
e
ntonces:Determinación de puntos extremos de una función
Criterio Local
y
x
f (c) •
(
c ,
f (c)
)
es un
mínimo
de
f
f ’
(
x
)<
0
para todox
en(
a ,c
)
(a la izquierda dec
)y
f ’
(
x
)>
0
para todox
en(
c ,b
)
(a la derecha dec
),Si
f
es una función continua en un intervalo(
a ,b
),
yc
un punto interior del intervalo,e
ntonces:Determinación
de puntos extremos
de una función
Criterio Puntual
✓
Sic
espunto crítico
def
(f ’
(
c
) = 0 of ’
(
c
) no existe).y
f ”
(
c)
<
0
yx
c f (c) •
Sea
f
una función continua en un intervalo(
a ,b
),
yc
unpunto interior del intervalo,
e
ntonces:Determinación de puntos extremos de una función
Criterio Puntual
y x c f (c) •(
c ,
f (c)
)
es un
mínimo
de
f
✓
Sic
espunto crítico
def
(f ’
(
c
) = 0 of ’
(
c
) no existe). yf ”
(c
)>
0
Curvatura de una función
Definición 5:
Si
f
es una función derivable en todo punto de un intervaloI
= (
a ,b
),
decimos que:1.
f
es uncóncava hacia arriba
en el intervaloI
si:f
’(
x
)
es creciente en todo puntox
I
,
o bienf ”(x) > 0
en todo puntox
I
.
2.
f
es uncóncava hacia abajo
en el intervaloI
si:f
’(
x
)
es decreciente en todo puntox
I
,
o bienDefinición 6:
Un par ordenado
(
x
i,
f
(x
i)
)
donde el gráfico de lafunción
f
cambia su concavidad se llama punto de inflexión.y
x
x i 1 xi 2
Sea
f
una función continua en un intervalo(
a ,b
),
yx
i unpunto interior del intervalo,
e
ntonces:Determinación de puntos de inflexión de una función
Si
f ”
(
x
i) =0 ( o bien la
f ”
no existe) y
(
x
i,
f
(
x
i))
es un
punto de inflexión
de
f
f ”
(
x
) cambia de signo enx
i y = f (x) x xiPara graficar una función:
1.
Dom f
2. Corte con los ejes coordenados
▪
eje y
(
f
(0)
)
▪
eje x
(
f (x) = 0
)
3. Continuidad de la función
4. Comportamiento de la función en los extremos
▪
Dom f = R
lím f (x) y+
x xlím -f (x)
▪
Dom f = [a,b]
f (a)
yf (b)
▪
Máximo: ( x
M,
f (x
M))
( f ”(x) < 0 )▪
Mínimo: ( x
m,
f (x
m))
( f ”(x) > 0 ) 7. Intervalos donde f : 8. Puntos de Inflexión 6. Extremos de la función▪
crece ( f ’ > 0 )▪
decrece ( f ’ < 0 ) ▪ constante ( f ’ = 0 )▪
( x
i,
f (x
i))
( f ”(xi) = 0 y cambio de signo enx
i ) 9. Intervalos donde f :▪
cóncava hacia arriba ( f ” > 0 )Para resolver Problemas de Optimización:
2. Determinar: datos conocidos e incógnitas
3. Encontrar una función que modelice el problema, expresando la situación que se pretende optimizar.
4. Expresar la función encontrada en términos de una
variable.
5. Determinar los extremos de la función, que permitirán
1. Realizar, cuando sea posible, un esquema o diagrama que represente la información del problema
A fin de distinguir dos plantines de orégano, se desean rodear los mismos con un trozo de alambre. Se coloca alrededor de uno el alambre formando una circunferencia y del otro formando un cuadrado.
Si se dispone de 48 cm de alambre para cortarlo en dos partes y formar las citadas figuras.
¿Cómo debe cortarse el alambre de modo tal que la suma de las áreas encerradas por las figuras formadas sea mínima?
48 cm (x/ 4) cm (y/ 2) cm 1. x cm y cm
Resolver...
2. Incógnitas: x = perímetro del cuadrado
y = perimetro de la circunferencia
Datos: x + y = 48
3. Función a optimizar:
4. Función de una variable:
5. Mínimo de la función: x = 26,88 y = 21,12
El alambre se debe cortar de modo que el trozo para realizar el cuadrado sea de 26,88 cm. y para realizar la circunferencia de 21,12 cm. 4
