Sobre la derivada hiperholomorfa

(1)

INSTITUTO POLIT´ ECNICO NACIONAL Escuela Superior de F´ısica y Matem´ aticas

Sobre de la Derivada Hiperholomorfa

TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE DOCTOR EN MATEM ´ ATICAS

PRESENTA:

M. en C. Marco Antonio Mac´ıas Cede˜ no

Director:

Dr. Michael Shapiro Fishman

M´ exico D.F., mayo de 2009.

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En este trabajo le agradezco a mi esposa Cynthia por su constante e invaluable apoyo, a mi madre Mar´ıa Elena por su ingente e inquebrantable esp´ıritu, a pap´ a To˜ no por su ejemplar muestra de esfuerzo y honestidad; y a mam´ a Carmelita por su amor.

Asimismo le manifiesto mi gratitud al Dr. Michael Sha-

piro por su confianza y gu´ıa acad´ emica y a la Dra. Mar´ıa

Elena Luna Elizarrar´ as por las charlas y esfuerzos com-

partidos.

(6)

2

RESUMEN

Este trabajo se desarrolla dentro del An´ alisis Hipercomplejo con- tribuyendo a la generalizaci´ on del concepto de diferenciabilidad pa- ra funciones de valores Cuaterni´ onicos y Cliffordianos. El problema tiene sus antecedentes en la extensi´ on buscada por mismo descubri- dor de los cuaternios: R. W. Hamilton; de la definici´ on cl´ asica de derivada para funciones cuaterni´ onicas. Desde entonces la comuni- dad matem´ atica ha explorado avanzar en esta direcci´ on con diversos enfoques y variados resultados. Los frutos de este trabajo de inves- tigaci´ on se han concretizado en tres art´ıculos de investigaci´ on, dos de ellos publicados en memorias de congresos internacionales y otro en una revista arbitrada; as´ı como tambi´ en otros dos, actualmente en desarrollo. Adem´ as a lo largo del tiempo que esta investigaci´ on se ha desenvuelto, el autor ha sido invitado a participar en diversos congresos nacionales e internacionales como expositor.

Los resultados obtenidos en esta investigaci´ on se concentran en seis cap´ıtulos del documento y que pueden ser distribuidos en tres par- tes. Las primeras dos desarrollan teor´ıas para funciones con valores en H ´o C`

0,m

, cada una en un cap´ıtulo. La secci´ on final, que agrupa los restantes cuatro cap´ıtulos expone la aplicaci´ on de la teor´ıa desa- rrollada en la segunda parte a los operadores de Moisil-Theodoresco y de Dirac.

En la primer parte se trabaja con funciones cuaterni´ onicas y se de- fine para ellas el concepto de la derivada direccional bidimensional considerando incrementos dos-dimensionales y se plantea una clasi- ficaci´ on de las direcciones sobre las cuales se toman tales incremen- tos. Adem´ as se generan las condiciones necesarias para garantizar la existencia de la derivada bidimensional.

La siguiente parte desarrolla para funciones con valores en un ´ alge-

bra de Clifford el concepto de la hiperderivada y el de la hiperderi-

vada direccional a lo largo de planos m-dimensionales, para despu´ es

emplearla para la derivaci´ on de la integral de Cauchy Cliffordiana y

la obtenci´ on de las f´ ormulas de Sokhotski-Plemelj para la derivada

de la integral de Cauchy Cliffordiana.

(7)

3

Para la aplicaci´ on de los conceptos y t´ ecnicas desarrolladas en la secci´ on previa a los operadores de Moisil-Theodoresco y el Dirac, se dota el espacio lineal euclidiano, R

³

´ o R

^m

seg´ un sea el caso; de una estructura algebraica Cliffordiana y esto ´ ultimo permite aprovechar el an´ alisis de Clifford correspondiente a la estructura en cuesti´ on.

En el caso del operador de Moisil-Theodoresco, a lo largo de dos cap´ıtulos se presentan tres diferentes maneras de desarrollar los ele- mentos necesarios para la introducci´ on del concepto de la hiperderi- vada y de la hiperderivada direccional; as´ı como tambi´ en su empleo para la derivaci´ on de la integral de tipo de Cauchy correspondien- te. Dicha diversidad proviene de la posibilidad de fijar distintas es- tructuras para R

³

. Por esta raz´ on y con fines explicativos, es que posteriormente se incluye un cap´ıtulo en t´ erminos completamen- te complejos, para mostrar que al considerar diferentes estructuras complejas en el plano complejo usual C, se generan diferentes deri- vadas complejas y clases de funciones holomorfas.

Finalmente, en el ´ ultimo cap´ıtulo se muestra una descomposici´ on no

can´ onica del ´ algebra C`

_0,m

, que posteriormente permite mostrar a

toda funci´ on de valores Cliffordianos como una combinaci´ on lineal

Cliffordiana de dos funciones con valores en C`

0,m−1

y de esta forma

presentar la hiperderivada para el operador de Dirac en t´ erminos de

una suma de hiperderivadas en el ´ algebra C`

_0,m−1

.

(8)

4

ABSTRACT

This work develops inside the Hypercomplex Analysis contribu- ting to the generalization of the differentiability concept for Quater- nionic- and Cliffordian-valued functions. The problem has its pre- cedents in the extension looked by the same discoverer of the qua- ternions: R. W. Hamilton; of a definition in the classic sense of the derivative for quaternionic functions. Since then the mathematical community has explored to advance in this direction with diverse ap- proaches and varied results. The fruits of this research have result in three published papers, two of them have been sent to proceedings of International Congresses and the other one to a ISI journal, as well as two others currently in development. Further along the time that this research has been developed, the author has been invited to participate in various national and international conferences as a speaker.

The results of this research is concentrated in six chapters of the document and it can be divided in three parts. The first two of them, develop theories for Quaternionic- and Cliffordian-valued functions, each one in chapter. The final section, which includes the remaining four chapters illustrate the use of the theory developed in the second part to the Moisil-Theodoresco and the Dirac operators

In the first part, dealing with quaternionic functions; it is defined the concept of the two-dimensional directional derivative, based on the consideration of two-dimensional increments. Besides it is deve- lop a classification of the directions along the increments are taken.

Furthermore, it is studied the necessary conditions for the existence of the two-dimensional directional derivative and its relations with the hyperholomorphic class of functions.

The next part develops the concepts of hyperderivative and the m-

dimensional directional hyperderivative along hyperplanes. Then m-

dimensional directional hyperderivative is employed for the hyper-

derivation of the Cliffordian Cauchy-type integral and for obtain the

Sokhotski-Plemelj formulas for the hyperderivate of the Cliffordian

Cauchy-type integral.

(9)

5

For the application of the concepts and techniques developed in the previous section to the Moisil-Theodoresco and Dirac operators, the linear Euclidean spaces R

³

or R

^m

are doted of a Cliffordian algebraic structure with the aim of taking advantage of the suitable Clifford analysis.

For the Moisil-Theodoresco operator, along two chapters are presen- ted three different ways to develop the necesary elements for intro- duce the concepts of the hyperderivative and of the 2-dimensional directional hyperderivative, as well as their use for the derivation of the corresponding Cauchy-type integral. This diversity in approa- ches comes from the possibility to set different algebraic structures for R

³

. For this reason and for explanatory purposes only, it was subsequently included a chapter written in terms entirely complex to show that once it is consider different complex structures for the complex plane C, then there are generated different types of complex derivatives and holomorphic classes of functions.

Finally in the last chapter is shown a non-canonical decomposition of

the algebra C`

_0,m

, which then can be used to present any Cliffordian-

valued function as a linear combination of two C`

_0,m−1

-valued fun-

ctions and in this form submit he hyperderivative for Dirac operator

in terms of a sum of hyperderivatives in the C`

0,m−1

algebra.

(10)

6

OBJETIVO

La meta fundamental de este trabajo ha sido aportar conocimiento en el desarrollo de la derivada y la diferenciabilidad de funciones con valores en un semicampo no conmutativo. Para lograrlo se procedio a trav´ es de incrementos en la variable de una funci´ on de valores hi- percomplejos mediante dos enfoques. En el primero, para funciones con dominios en R

⁴

y de valores cuaterni´ onicos se estudio una deri- vada direccional en donde el incremento de la variable se encuentra en planos bidimensionales. En el otro enfoque se consideran funcio- nes con dominio en R

^m+1

y valores en el ´ algebra C`

_0,m

. Las derivadas introducidas en este caso, llamadas hiperderivadas; considera incre- mentos que se hallan en paralelep´ıpedos m-dimensionales fijos a un punto en R

^m

; ´ el cual, en algunos casos es libre y en otros se en- cuentra ubicado en un plano hiperplano en R

^m

. En ambos casos, un objetivo particular es estudiar la correlaci´ on entre la respectiva clase de funciones hiperholomorfas y las derivadas antes descritas. Asimis- mo, un objetivo final de esta investigaci´ on es emplear el segundo de los enfoques para establecer hiperderivadas para los operadores de Moisil-Theodoresco y de Dirac.

El nivel con el cual se ha alcanzado el objetivo se muestra por el

hecho de que, como resultado de esta investigaci´ on, se han publica-

do tres art´ıculos en las menorias de un mismo n´ umero de Congresos

Internacionales; as´ı como tambi´ en la invitaci´ on hacia el autor para

participar en Congresos Nacionales e Internacionales de la especia-

lidad.

(11)

´ Indice general

1. Introducci´on 9

1.1. Antecedentes matem´aticos e historia del problema enfrentado en

esta tesis. . . 9

1.2. Descripci´on del contenido de esta tesis. . . 11

1.3. Frutos derivados de la investigaci´on realizada . . . 13

2. Antecedentes complejos e hipercomplejos. 17 2.1. Rudimentos complejos.. . . 17

2.1.1. Funciones y transformaciones holomorfas. . . 17

2.2. Cuaternios reales y complejos.. . . 18

2.2.1. Algebras de cuaternios reales y complejos.´ . . . 18

2.2.2. Producto cuaterni´onico y su relaci´on con los productos vectoriales en R³ . . . 19

2.2.3. Operador de multiplicaci´on derecha cuaterni´onica. . . 19

2.2.4. Conjugaci´on cuaterni´onica. . . 20

2.2.5. Conjunto estructural . . . 20

2.3. Funciones hiperholomorfas . . . 21

2.3.1. Funciones cuaterni´onicas. . . 21

2.3.2. Operadores de Cauchy-Riemann cuaterni´onicos, Fueter y de Moisil-Theodoresco . . . 22

2.3.3. Operador de Cauchy-Riemann complejos. . . 24

2.3.4. Funciones cuaterni´onicas hiperholomorfas y clases de hiperholomorf´ıa . . . 25

2.4. An´alisis de Clifford . . . 25

2.4.1. Algebras de Clifford reales´ . . . 25

2.4.2. Algebras de Clifford para bajas dimensiones´ . . . 26

2.4.3. Operador de multiplicaci´on derecha Cliffordiano . . . 27

2.4.4. Funciones Cliffordianas . . . 27

2.4.5. Una estructura hipercompleja para R^m+1. . . 27

2.4.6. Operadores de Cauchy-Riemann Cliffordianos y operadores de Dirac . . . 28

2.4.7. Funciones hiperholomorfas y clases de hiperholomorf´ıa . 30 2.4.8. N´ucleo de Cauchy . . . 30

2.4.9. Formas diferenciales hipercomplejas . . . 31 7

(12)

8 ´INDICE GENERAL

2.5. Integral de tipo de Cauchy. . . 32

3. Derivada direccional bidimensional. 35 3.1. Derivada direccional bidimensional . . . 35

3.1.1. Definici´on de derivada direccional bidimensional . . . 35

3.1.2. Isomorfismos entre H y eH . . . 36

3.1.3. Definici´on de derivada direccional bidimensional para eH . 37 3.1.4. Incremento de los valores de la funci´on. . . 38

3.2. Holomorf´ıas asociadas con la derivada direccional bidimensional . 40 3.2.1. Clasificaci´on de planos en H. . . 40

3.2.2. Planos del tipo (i) . . . 40

3.2.3. Planos del tipo (ii) . . . 41

3.2.4. Planos de tipo (iii) . . . 43

3.2.5. Holomorf´ıa alterna para planos de tipo (iii) . . . 45

3.2.6. Planos af´ınes . . . 47

3.2.7. Existencia derivada bidimensional . . . 47

3.3. La derivada direccional bidimensional y otras regularidades . . . 48

3.3.1. Ejemplo: Funci´on hiperholomorfa que no posee una derivada direccional bidimensional . . . 48

3.3.2. Conexi´on con la hiperholomorf´ıa . . . 49

3.3.3. Relaci´on con la Cullen-regularidad . . . 51

3.3.4. Ejemplo: La funci´on potencia . . . 51

3.4. V´ınculo con las transformaciones de dos variables complejas . 53 3.4.1. Relaci´on entre las bases de L y L^⊥ para planos de los tipos (i) y (ii). . . 53

3.4.2. Relaci´on entre las bases de L y L^⊥ para planos del tipo (iii) . . . 54

3.4.3. Transformaciones de dos variables complejas . . . 54

3.4.4. Relaci´on entre las transformaciones holomorfas y la derivada direccional bidimensional. . . 55

4. La hiperderivada en el an´alisis Clifford. 61 4.1. Hiperholomorf´ıa e hiperderivabilidad local . . . 61

4.1.1. Hiperderivabilidad . . . 61

4.1.2. Hiperderivada en t´erminos de incrementos . . . 65

4.1.3. Hiperderivada en t´erminos de incrementos para m = 1 . . . 66

4.2. Derivada aerolar . . . 67

4.3. Derivada direccional m-dimensional . . . 68

4.3.1. Definici´on . . . 68

4.3.2. Antecedentes de la derivada direccional real y compleja . 71 4.3.3. F´ormula para la derivada direccional compleja . . . 72

4.3.4. Derivada direccional Cliffordiana para m = 1 . . . 73

4.4. Derivaci´on de la integral de tipo de Cauchy . . . 73

4.4.1. Diferenciales Cliffordianas auxiliares . . . 73

(13)

´INDICE GENERAL 9

4.4.2. El n´ucleo de Cauchy y conjugado del operador derecho de

Cauchy-Riemann . . . 74

4.4.3. Derivaci´on de la integral de tipo de Cauchy . . . 77

4.4.4. Hiperderivada p-ésima de la integral de tipo de Cauchy . 79 4.4.5. Derivación de las fórmulas de Sokhotski-Plemelj . . . 80

4.4.6. Derivada de la integral de tipo de Cauchy Cliffordiana para m = 1 . . . 80

5. Acerca del operador de Moisil-Theodoresco. 83 5.1. Motivaci´on. . . 83

5.1.1. Antecedente cuaterni´onico para el operador de Fueter.. . . 83

5.1.2. Antecedente cuaterni´onico para el operador de Moisil - Theodoresco. . . 84

5.2. El ´algebra de Clifford C`0,2 y los an´alisis de Clifford asociados. . 86

5.3. El i-an´alisis de C`0,2.. . . 86

5.3.1. Los i-operadores de Cauchy-Riemann y las i-formas diferenciales . . . 87

5.3.2. La i-diferencial cuaterni´onica. . . 87

5.3.3. La i-MT-diferencial cuaterni´onica. . . 88

5.4. La i-hiperderivada . . . 89

5.4.1. Definiciones . . . 89

5.4.2. La i-hiperderivada de un campo Laplaciano . . . 90

5.4.3. La i-hiperderivada en t´erminos de incrementos . . . 90

5.5. La i-hiperderivada direccional . . . 91

5.5.1. Definici´on . . . 91

5.5.2. Teorema y corolario . . . 91

5.6. La i-hiperderivada y la integral de tipo de Cauchy. . . 93

5.6.1. La i-MT diferencial derecha cuaterni´onica. . . 93

5.6.2. El operador de Moisil-Theodoresco y el n´ucleo de Cauchy 95 5.6.3. Teorema y corolario . . . 96

6. M´as sobre el operador de Moisil-Theodoresco. 99 6.1. El j-an´alisis para C`_0,2. . . 99

6.2. La j-hiperderivada . . . 101

6.2.1. Definici´on . . . 101

6.2.2. La j-hiperderivada de un campo Laplaciano . . . 101

6.2.3. La j-hiperderivada en t´erminos de incrementos . . . 102

6.3. La j-hiperderivada direccional. . . 102

6.3.1. Definici´on.. . . 102

6.4. La j-hiperderivada de la integral de tipo de Cauchy. . . 103

6.4.1. La j-MT diferencial cuaterni´onica derecha. . . 103

6.5. El k-an´alisis para C`_0,2. . . 105

6.6. La k-hiperderivada . . . 106

(14)

10 ´INDICE GENERAL

6.6.1. Definici´on . . . 106

6.6.2. La k-hiperderivada de un campo Laplaciano. . . 106

6.6.3. La k-hiperderivada en t´erminos de incrementos . . . 107

6.7. La k-hiperderivada direccional. . . 107

6.7.1. Definici´on.. . . 107

6.8. La k-hiperderivada de la integral de tipo de Cauchy . . . 108

6.8.1. La k-MT diferencial cuaterni´onica derecha. . . 108

6.9. Notas . . . 110

7. Derivadas complejas 111 7.1. Holomorf´ıa real . . . 111

7.1.1. Definiciones . . . 111

7.1.2. Complexificaci´on can´onica del plano R². . . 113

7.1.3. Real holomorf´ıa en forma compleja . . . 113

7.1.4. Funci´on compleja asociada a f . . . 114

7.2. Plano bidimensional R²ξ,η y su complexificaci´on . . . 115

7.3. Relaci´on entre las estructuras complejas . . . 115

7.4. La holomorf´ıa real y la estructura C^ζ . . . 116

7.5. Analog´ıas entre las estructuras complejas . . . 116

7.6. Relaci´on entre las clases de holomorf´ıa . . . 117

7.7. Relaci´on con la holomorf´ıa real . . . 119

7.8. Notas . . . 122

8. La hiperderivada y el operador de Dirac 123 8.1. Descomposiciones del ´algebra C`_0,m . . . 123

8.1.1. Descomposiones cl´asicas.. . . 123

8.1.2. Descomposición en términos del subálgebra par. . . 124

8.2. Elementos del ´analisis para el ´algebra C`0,m−1. . . 128

8.2.1. Correspondencia entre direcciones y bivectores. . . 128

8.2.2. Operadores de Cauchy-Riemann asociados al operador de Dirac. . . 128

8.2.3. Operador de tipo de Cauchy-Riemann restringido. . . 129

8.2.4. Descomposici´on de los valores de una funci´on Cliffordiana y el operador de Dirac. . . 129

8.2.5. Diferencial izquierda para el operador de Cauchy-Riemann restringido. . . 131

8.2.6. Diferencial izquierda para el operador de Dirac. . . 132

8.3. La Dirac-hiperderivada. . . 134

8.3.1. Definiciones y teoremas vinculantes. . . 135

8.3.2. La Dirac-hiperderivada en t´erminos de incrementos. . . . 136

8.3.3. La Dirac-hiperderivada direccional. . . 137

8.4. Derivaci´on de la integral de tipo de Cauchy. . . 139

8.4.1. Formas diferenciales auxiliares . . . 139

(15)

´INDICE GENERAL 11

9. Conclusiones. 145

(16)

12 ´INDICE GENERAL

(17)

Cap´ıtulo 1

Introducci´ on

1.1. Antecedentes matem´ aticos e historia del pro- blema enfrentado en esta tesis.

Los bien conocidos conceptos de derivada, diferenciabilidad y dife- rencial en los an´ alisis real y complejo unidimensionales, han sido tratados de generalizar de diversas maneras.

En primer lugar, la derivada se define en t´ erminos del l´ımite de un cociente de incrementos en el cual, ambos componentes son de la misma especie, es decir, tanto el numerador como el denominador son n´ umeros reales o complejos; mientras que en caso de conside- rarse funciones reales f : R

ⁿ

→ R

^m

o complejas f : C

ⁿ

→ C

^m

, la derivada se define mediante la matriz Jacobiana J (f ). En los casos unidimensionales antes se˜ nalados, el campo escalar coincide con el espacio vectorial por lo que la derivada es una matriz (1 × 1) y se reduce a una sola funci´ on.

En un intento por extender a un campo distinto de R o C la idea del l´ımite de un cociente de incrementos, se consider´ o el campo anti- sim´ etrico H. De esta forma, para funciones de valores cuaterni´onicos y de variable cuaterni´ onica, es decir f : H → H, en 1860 R. W. Ha- milton plante´ o el l´ımite

l´ım

t→0

f (q + t4q) − f (q) t

13

(18)

14 CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON

con 4q := q

⁰

− q, q

⁰

, q ∈ H y t ∈ R, el cual claramente no considera una raz´ on de incrementos cuaterni´ onicos. Entre 1947 y 1948 N. M.

Krylov y A.S. Melijhzon analizar´ on l´ımites de cocientes incremen- tales cuaterni´ onicos de la forma

4q→0

l´ım (f (q + 4q) − f (q)) (4q)

⁻¹

y l´ım

4q→0

(4q)

⁻¹

(f (q + 4q) − f (q)) , encontrando que las funciones del tipo f (q) = aq +b y f (q) = qa+b , con a, b ∈ H, son las m´as generales para las cuales los l´ımites existen.

Otro enfoque para abordar el problema de la generalizaci´ on del con- cepto de derivada en forma cl´ asica para H, se da con la idea que presenta la definici´ on de diferencial de una funci´ on compleja, la cual se define como la parte lineal del incremento de la funci´ on y como se sabe para funciones diferenciables el coeficiente de esta parte li- neal coincide con la derivada de la funci´ on. Por lo que la derivada representa un factor de proporcionalidad entre el incremento de la funci´ on y el de la variable.

Es as´ı que en 1979 A. Sudberry introduce para funciones f : H → H

la regularidad-izquierda ( y -derecha), a trav´ es de un factor de pro-

porcionalidad cuaterni´ onico entre dos formas diferenciales cuater-

ni´ onicas y muestra que la derivada de una funci´ on regular es el

l´ımite de un cociente de incrementos, aunque son unos incrementos

muy peculiares. En 1993 I. Mitelman y M. Shapiro, presentan para

una funci´ on f : H → H el concepto de la derivada direccional tridi-

mensional, la cual se define a lo largo de planos tridimensionales y

tambi´ en considerando un l´ımite de un cociente de incrementos. Para

funciones f : R

^m+1

→ C`

_0,m

en 1999 H. Malonek y K. G¨ urlebeck

definen la regularidad de dichas funciones, bajo ideas similares a las

expuestas por A. Sudbery.

(19)

1.2. DESCRIPCI ´ON DEL CONTENIDO DE ESTA TESIS. 15

1.2. Descripci´ on del contenido de esta tesis.

Este trabajo pretende contribuir en la soluci´ on al problema de la de- rivabilidad y diferenciabilidad hipercomplejas; y se encuentra orga- nizado de la forma siguiente. En el Cap´ıtulo 2 se hallan los elementos hipercomplejos necesarios para el desarrollo de esta investigaci´ on.

Debido a que en el caso de funciones de valores cuaterni´ onicos los in- crementos se pueden considerar unidimensionales, bidimensionales, tridimensionales o tetradimensionales; en el Cap´ıtulo 3 se introduce el concepto de la derivada direccional bidimensional definida a lo largo de planos bidimensionales en H y mediante un cociente de in- crementos cuaterni´ onicos. Se detalla la clasificaci´ on de los posibles tipos de planos bidimensionales que se pueden encontrar en H y se muestran las estructuras complejas asociadas a cada tipo de plano.

Dichas estructuras permiten obtener operadores y condiciones de holomorf´ıa, que garantizan la existencia de la derivada direccional bidimensional a lo largo de los diferentes tipos de planos. Adem´ as se muestran algunos ejemplos de la aplicaci´ on de este concepto. En este mismo cap´ıtulo se estudian sus v´ınculos con la hiperholomorf´ıa, la Cullen-regularidad y finalmente con mapeos holomorfos de dos variables complejas.

En el Cap´ıtulo 4 se trabaja ya con funciones f : R

^m+1

→ C`

0,m

. Se comienza por definir la hiperholomorf´ıa local e hiperderivabilidad local, as´ı como tambi´ en se introduce la hiperderivada de una funci´ on de valores Cliffordianos mediante una relaci´ on de proporcionalidad entre dos formas diferenciales adecuadas y se muestra su relaci´ on con el l´ımite de un cociente de incrementos. A continuaci´ on se consider´ an hiperplanos en R

^m

que determinar´ an las direcciones a lo largo de las cuales se definen las hiperderivadas direccionales m-dimensionales.

El concepto de la hiperderivada direccional m-dimensional se emplea despu´ es para derivar a la integral de tipo de Cauchy en C`

_0,m

y obtener las f´ ormulas de Sokhotski-Plemelj para la derivada de la integral de tipo de Cauchy.

El Cap´ıtulo 5 desarrolla el concepto de hiperderivada para una fun-

ci´ on Moisil-Theodoresco hiperholomorfa, mediante un operador de

tipo de Cauchy-Riemann espec´ıfico. Se comienza presentando como

motivaci´ on el hecho de que al tratar de generar con un enfoque cl´ asi-

co el concepto para funciones Moisil-Theodoresco hiperholomorfas,

(20)

´

este conduce a una clase de funciones muy reducida. Acto seguido se considera el conjunto de unidades imaginarias {−k, j}, el cual al agregarle la unidad real genera el ´ algebra de Clifford C`

_0,2

y per- mite producir un encajamiento del espacio tridimensional R

³

en H no can´ onico. Una vez que se ha fijado en el dominio la estructu- ra con la variable x

₁

− x

₂

k + x

₃

j, se desarrolla el concepto de la i-hiperderivada a trav´ es del an´ alisis Cliffordiano correspondiente al

´

algebra C`

_0,2

= gen{−k, j} ∼ = H. Continuando con la l´ınea de pen- samiento mostrada en el Cap´ıtulo 4 se obtienen la i-hiperderivada en t´ erminos de incrementos y su relaci´ on con las funciones Moisil- Theodoresco hiperholomorfas, la i-hiperderivada direccional as´ı co- mo tambi´ en la posibilidad por medio de la aplicaci´ on del operador de Moisil-Theodoresco de derivar a la integral de tipo de Cauchy.

Para el Cap´ıulo 6, se introduce de nueva cuenta el concepto de hi- perderivada para una funci´ on Moisil-Theodoresco hiperholomorfa, solo que ahora se presenta al considerar otros dos encajamientos distintos del espacio tridimensional R

³

en H. Estos encajamientos se establecen por los conjuntos {k, −i} y {−j, i} los cuales tambi´ en generan el ´ algebra de Clifford C`

_0,2

. Las hiperderivadas correspon- dientes son llamadas la j- y la k-hiperderivada respectivamente; las cu´ ales se determinan a trav´ es de los correspondientes operadores de tipo de Cauchy-Riemann. Adem´ as se definen las respectivas hiper- derivadas direccionales y al igual que en Cap´ıtulo previo se logra la posibilidad de derivar a la integral de tipo de Cauchy con ayuda de la aplicaci´ on del operador de Moisil-Theodoresco, en cada una de las estructuras planteadas.

Como se puede observar una vez que se analiza lo presentado en los

Cap´ıtulos 5 y 6, en ellos se desarrolla un mismo concepto, pero a

trav´ es de tres distintos encajamientos, los cuales a su vez generan

sus correpondientes estructuras algebraicas en el dominio pero la

estructura en la imagen permanece invariante, pues es la asociada

a H. De esta forma surge la pregunta de que si en las dimensio-

nes inferiores existe un antecedente semejante. En la b´ usqueda de

una respuesta a la interrogante antes planteada es que se elabo-

ra el Cap´ıtulo 7. En este cap´ıtulo se consideran transformaciones

f : Ω ⊂ R

²

→ R

²

, para las cuales se define el concepto de real holo-

morf´ıa y se muestra la forma de complexificar a la transformaci´ on

f de acuerdo a la estructura compleja can´ onica. Acto seguido se

(21)

1.3. FRUTOS DERIVADOS DE LA INVESTIGACI ´ON REALIZADA 17

introducen dos estructuras complejas distintas en el plano R

²

que contiene el dominio de la funci´ on. De esta manera se muestra que para una misma funci´ on f cuya complexificaci´ on toma valores en el plano C existen dos diferentes derivadas complejas, una por cada estructura, con las correspondientes distintas clases de holomorf´ıa.

Para concluir se establecen las relaciones entre estas dos derivadas complejas y su relaci´ on con la real holomorf´ıa.

El Cap´ıtulo 8 inicia con la exposici´ on de una relaci´ on entre el es- pacio lineal C`

⁻_0,m

y la sub´ algebra par C`

⁺_0,m

mediante un factor Cliffordiano adecuado, para despu´ es desarrollar una descomposici´ on alternativa del ´ algebra de Clifford C`

_0,m

como una suma directa, en la que sus t´ erminos son el ´ algebra C`

_0,m−1

y un m´ ultiplo Cliffordiano de ella. Una vez establecida la descomposici´ on antes mencionada, se procede a presentar a toda funci´ on f : Ω ⊂ R

^m

→ C`

_0,m

como una suma de dos funciones con dominio Ω y valores en el ´ algebra C`

_0,m−1

, de esta forma se aprovecha la teor´ıa desarrollada en el Cap´ıtulo 4 para definir el concepto de hiperderivada para funciones f : Ω ⊂ R

^m

→ C`

_0,m

y su relaci´ on con las Dirac-hiperholomorfas.

En seguida se introduce la definici´ on de Dirac-hiperderivada direc- cional y se obtiene una f´ ormula similar a los casos anteriores para su c´ alculo. Finalmente se establece la derivaci´ on de una integral de tipo de Cauchy mediante la aplicaci´ on del operador de Dirac.

Para concluir, en el ´ ultimo de los cap´ıtulos, el 9, contiene las con- clusiones que permiten obtener los resultados descubiertos y en el Cap´ıtulo 10 se muestran las car´ atulas de los art´ıculos desarrollados y aceptados hasta el momento en que esta tesis fue escrita.

1.3. Frutos derivados de la investigaci´ on realiza- da

En los cap´ıtulos que componen este trabajo se encuentran resultados

originales y algunos de estos resultados han sido publicados en los

art´ıculos que a continuaci´ on enumero:

(22)

• Luna-Elizarrar´ as M.E., Mac´ıas-Cede˜ no M.A., Shapiro M., On some relations between the derivative and the two- dimensional directional derivatives of a quaternionic function.

American Institute of Physics. Numerical Analysis and Ap- plied Mathematics,International Conference Corfu, Gree- ce. 2007. 758–760.

• Luna-Elizarrar´ as M.E., Mac´ıas-Cede˜ no M.A., Shapi- ro M., On the Derivatives of Quaternionic Functions Along Two-Dimensional Planes. Advances in Applied Clifford Alge- bras.Birkh¨ auser. 2008.

• Luna-Elizarrar´ as M.E., Mac´ıas-Cede˜ no M.A., Shapiro M., Hyperderivatives in Clifford Analysis and Some Applica- tions to the Cliffordian Cauchy-type Integrals. Quaternions and Clifford Analysis. Trends in Mathematics. Birkh¨ auser. 2008.

221–234.

Adem´ as en el transcurso de esta investigaci´ on los resultados logrados han sido expuestos a la comunidad matem´ atica nacional e interna- cional, quien los ha acogido con gran aceptaci´ on. A continuaci´ on se enumeran las conferencias nacionales e internacionales impartidas por el autor.

• XXXIX Congreso Nacional de la Sociedad Matem´ atica Mexi- cana, con sede en la Universidad Ju´ arez Aut´ onoma de Tabasco, Ciudad de Villahermosa, Tabasco; del 1 al 6 de Octubre de 2006. Sobre la derivada cuaterni´ onica.

• Seminario Interinstitucional “An´ alisis: Norte - Sur”, CINVES- TAV - IPN; del 22 al 24 de noviembre de 2006. Sobre las derivadas direccionales en an´ alisis cuaterni´ onico.

• 6

^th

International ISAAC Congress, celebrado en METU, Anka- ra, Turqu´ıa; del 13 al 18 de agosto de 2007. About the two- dimensional direcctional derivative of quaternionic functions.

• III Congreso Internacional APPLIEDMATH, UP Zacatenco

- IPN; del 9 al 12 de octubre de 2007. Acerca de la derivada

dreccional para funciones hiperholomorfas.

(23)

1.3. FRUTOS DERIVADOS DE LA INVESTIGACI ´ON REALIZADA 19

• 8th International Conference on Clifford Algebras and their Ap- plications to Mathematical Physics, celebrado en UNICAMP, Campinas, Brasil; del 26 al 30 de mayo de 2008. On the no- tions of hyperderivatives and n-dimensional directional deriva- tive.

• XLI Congreso Nacional de la Sociedad Matem´ atica Mexicana, con sede en el Tecnol´ ogico de Estudios Superiores de Valle de Bravo, Valle de Bravo, Estado de M´ exico; del 20 al 24 de octubre de 2008. Sobre la hiperderivada y la hiperdiferenciabi- lidad hipercompleja.

Por ´ ultimo agrego que en este mes de mayo participar´ e en el Con- greso IWOTA 2009 con la pl´ atica

The hyperderivative and the Moisil-Theodoresco operator ,

con la cual muestro a la sociedad matem´ atica otra parte de los re- sultados contenidos en este trabajo y que actualmente se preparan en un art´ıculo para su posterior publicaci´ on..

M´ exico, D. F., mayo de 2009.

(24)

(25)

Cap´ıtulo 2

Antecedentes complejos e hipercomplejos.

En este cap´ıtulo se encuentran los elementos complejos e hipercomplejos necesarios para el desarrollo de los cap´ıtulos subsecuentes.

2.1. Rudimentos complejos.

2.1.1. Funciones y transformaciones holomorfas.

Sea n ∈ N. El espacio complejo n-dimensional se define por

Cⁿ:= {z|z = (z1, z2, . . . , zn); zj∈ C, 1 ≤ j ≤ n} ; (2.1) el cual es el producto cartesiano de n copias de C y cada coordenada zj se representa por z_j:= x_j+ iy_j, donde x_j, y_j∈ R e i es la unidad compleja usual.

Mediante la relaci´on

z −→ (x1, y1, . . . , xn, yn) ; (2.2) se establece un isomorfismo entre Cⁿy R²ⁿ. Debido a esta identificaci´on los conceptos usuales de topolog´ıa y an´alisis en el espacio Euclidiano R²ⁿ se extienden inmediatamente al conjunto Cⁿ.

Sea Ω ⊂ Cⁿ un dominio. En C¹(Ω; C) se definen los operadores

∂

∂zj

=1 2

∂

∂xj

− i ∂

∂yj

, ∂

∂zj

=1 2

∂

∂xj

+ i ∂

∂yj

; (2.3)

para 1 ≤ j ≤ n.

21

(26)

22 CAP´ITULO 2. ANTECEDENTES COMPLEJOS E HIPERCOMPLEJOS.

Definici´on 2.1.1.1 La funci´on f ∈ C¹(Ω; C) se llama holomorfa en Ω si

∂f

∂zj

(z) = 0 ; (2.4)

para 1 ≤ j ≤ n y todo z ∈ Ω.La funci´on f : Cⁿ → C se dice holomorfa en el punto a ∈ Cⁿ si es holomorfa en una vecindad de a,V(a).

Definici´on 2.1.1.2 Sea Ω ⊂ Cⁿ. La transformaci´on F = (f1, . . . , fm) ∈ C¹(Ω; C^m), con fk: C → C para 1 ≤ k ≤ m; se llama holomorfa si

∂fk

∂zj

(z) = 0 ; (2.5)

para 1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ k ≤ m y para todo z ∈ Ω.

2.2. Cuaternios reales y complejos.

2.2.1. Algebras de cuaternios reales y complejos. ´

Los conjuntos de los cuaternios reales y complejos se denotan mediante H(R) y H(C), respectivamente. Para a ∈ H(R), ó H(C); su representación está dada por a =P3

`=0a_ì_`, con a_` ∈ R (ó C); i0 es la unidad; { i_`|` = 1, 2, 3} son las unidades imaginarias cuaterniónicas y que poseen las propiedades:

i²₀= i0= −i²_`; i0i`= i`i0= i`; (2.6)

para ` = 1, 2, 3 y

i1i2= −i2i1= i3; i2i3= −i3i2= i1; i3i1= −i1i3= i2; (2.7)

Con un enfoque cl´asico se establece la siguiente identificaci´on

i1= i i2= j i3= k . (2.8)

Como de costumbre, i representa la unidad imaginaria en C y por definici´on

i · i`= i`· i; (2.9)

para ` = 0, 1, 2, 3.

La definici´on de cualquier cuaternio real o complejo como una combinaci´on lineal de las unidades imaginarias i_` permite presentarlo en la forma vectorial.

(27)

2.2. CUATERNIOS REALES Y COMPLEJOS. 23 Sea a =P3

`=0a_`i_`∈ H(C), entonces la forma vectorial de a se define por

a = a₀+ ~a , (2.10)

en donde a0=: Sc(a) se conoce como la parte escalar y ~a =: Vec(a) =P3

`=1a`i`

se llama la parte vectorial. N´otese como en este caso el t´ermino escalar se escribe sin i0.

Un cuaternio a ∈ H(C) para el cual Sc(a) = 0 es conocido como cuaternio puramente vectorial. En caso de que a ∈ H(R) y a = ~a entonces a se identifica con un vector en R³.

2.2.2. Producto cuaterni´ onico y su relaci´ on con los pro- ductos vectoriales en R

³

Existe una relación muy estrecha entre el producto cuaterniónico y los productos definidos en el análisis vectorial. El producto de dos cuaternios a, b ∈ H(C) se puede presentar en términos vectoriales como a continuación se muestra:

a b = a0b0−D

~a,~bE +h

~a × ~bi

+ a0~b + b0~a , (2.11) donde

D

~a,~bE :=

3

X

k=1

a_kb_k∈ C (2.12)

representa el producto interno y

h

~a × ~bi :=

i1 i2 i3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∈ C³ (2.13)

es el producto vectorial, ambos definidos en C³.

2.2.3. Operador de multiplicaci´ on derecha cuaterni´ onica

Como se sabe, la multiplicaci´on (2.11) no es conmutativa, por lo cual resulta conveniente para los prop´ositos de este trabajo introducir el siguiente operador entre cuaternios.

Definición 2.2.3.1 Sea a ∈ H(C), entonces el operador de multiplicación derecha Mâ: H(C) → H(C) se define por

M^a[b] := b a , para b ∈ H(C).

(28)

De esta forma, se podr´a indicar una multiplicaci´on por la derecha entre cuaternios.

2.2.4. Conjugaci´ on cuaterni´ onica

En H(C) se distinguen dos conjugaciones distintas: la compleja y la cuaterni´onica. Sea a ∈ H(C), la conjugaci´on compleja de a se define por

Z_C(a) := a^∗= Re a − i Im a =

3

X

`=0

Re(a_`)i_`− i

3

X

`=0

Im(a_`)i_`,

y la conjugaci´on cuaterni´onica de a se define por Z_H(a) := ¯a = a0− ~a.

Para {a, b} ⊂ H(C) se tiene

a · b = ¯b · ¯a (2.14)

y satisface

a · ¯a = ¯a · a =

3

X

`=0

a²_` = |Re a|²− |Im a|²+ 2i hRe a, Im ai_R4 ∈ C , (2.15) donde |Re a| , |Im a| representan la norma euclideana de un vector tetradimen- sional y h Re a, Imai

R⁴ el producto escalar euclideano en R⁴.

La última ecuación indica que el producto a¯a puede ser cero aún cuando a no lo sea, por lo que H(C) tendrá divisores de cero.

Para a ∈ H(C) que no sea divisor de cero su inverso a⁻¹ se define por a⁻¹:= ¯a

a¯a. (2.16)

En adelante, a lo largo de este trabajo se considerar´a solamente el conjunto de los cuaternios reales y ser´a denotado por H.

2.2.5. Conjunto estructural

El conjunto ψ := {ψ₀, ψ₁, ψ₂, ψ₃} ⊂ H que satisface

ψ_jψ_k+ ψ_kψ_l= 2δ_jk; (2.17) donde δ_jk es la delta de Kronecker, se conoce como conjunto estructural. En el caso de las unidades imaginarias {i_`|` = 0, 1, 2, 3}, entonces ψ se llama conjunto

(29)

2.3. FUNCIONES HIPERHOLOMORFAS 25 estructural estándar y es denotado por ψ_st. Este conjunto también se presenta en la forma clásica como {1, i, j, k} y a lo largo de este trabajo se intercambian libremente ambas representaciones, con la finalidad de mantener la forma clásica de algunos operadores.

Puesto que cualquier α = (α0, α1, α2, α3) ∈ R⁴ puede ser considerado un elemento de H al identificarlo con la combinaci´on linealP3

`=0α`i`. Entonces para α y β en R⁴, con

α =P3

`=0α`i` y β =P3

`=0β`i`; se tiene por (2.11)

α · β = α0β0+D

~ α; ~βE

R³

−h

~ α × ~βi

− α0β + β~ 0~α . Por lo que

α · β + β · α = 2 α₀β₀+ 2D

~ α; ~βE

R³

.

As´ı que al asumir que α y β son vectores ortonormales, entonces

α · β + β · α =

(2 si α = β ;

0 si α 6= β . (2.18)

De esta forma se demuestra la siguiente proposici´on.

Proposici´on 2.2.5.1 El conjunto {α₁, α₂, α₃, α₄} ⊂ R⁴ es un conjunto ortonormal si y s´olo si es un conjunto estructural en H.

2.3. Funciones hiperholomorfas

2.3.1. Funciones cuaterni´ onicas

Es posible establecer relaciones funcionales con valores en H y la siguiente definici´on lo presenta.

Definici´on 2.3.1.1 Sea Ω ⊂ R⁴ un dominio. Una funci´on f : Ω → H dada por

f =

3

X

`=0

f`i`,

con f`: Ω → R, ` = 0, 1, 2, 3; se llamará función cuaterniónica.

Con p ∈ N ∪ {0} ∪ {∞} el conjunto C^p(Ω; H) tiene el significado usual, ver [29];

C^p(Ω; H) := {f : Ω → H |f^`∈ C^p(Ω; R), ` = 0, 1, 2, 3} .

(30)

2.3.2. Operadores de Cauchy-Riemann cuaterni´ onicos, Fue- ter y de Moisil-Theodoresco

Ahora se presentan una serie de operadores fundamentales dentro del análisis cuaterniónico y que se definen en C¹(Ω ⊂ R⁴, H(R)). Se comienza con el llamado operador cuaterniónico izquierdo de Cauchy-Riemann, el cual está dado por

ψD :=

3

X

`=0

ψ`

∂

∂x_`, (2.19)

donde ψ es un conjunto estructural. La versi´on derecha del operador de Cauchy- Riemann (2.19) es

D^ψ:=

3

X

`=0

M^ψ^` ∂

∂x`

. (2.20)

Los correspondientes operadores conjugados de (2.19) y (2.20) se definen por

ψD :=

3

X

`=0

ψ_` ∂

∂x`

(2.21)

y

D^ψ:=

3

X

`=0

M^ψ^` ∂

∂x`

. (2.22)

Con los operadores de cuaterniónicos de Cauchy-Riemann antes presentados, se generaliza un hecho bien conocido en el análisis complejo unidimensional: la factorización del operador de Laplace en R².

En [29] se ha mostrado que sobre el conjunto C²(Ω, H(R))

∆_H=^ψD ·^ψD =^ψD ·^ψD = D^ψ· D^ψ = D^ψ· D^ψ, (2.23) en donde ∆_H[f ] :=

3

X

`=0

∆[f ] i` y ∆ es el operador de Laplace en R⁴ y se aplica a cada componente de la funci´on f .

En caso de considerar el conjunto estructural ψst el operador (2.19) es conocido como el operador de Fueter. En este caso el operador toma la forma

ψ_stD = D_F := ∂

∂x0

+ i ∂

∂x1

+ j ∂

∂x2

+ k ∂

∂x3

. (2.24)

(31)

2.3. FUNCIONES HIPERHOLOMORFAS 27 El operador dado por la expresi´on

D_{M T} := i ∂

∂x1

+ j ∂

∂x2

+ k ∂

∂x3

, (2.25)

es conocido como el operador de Moisil-Theodoresco, el cual a diferencia de los anteriores operadores est´a definido en C¹(R³, H).

Para este operador cuaterni´onico su conjugado es tan s´olo su inverso aditivo, ya que

DM T = −i ∂

∂x₁ − j ∂

∂x₂ − k ∂

∂x₃.

= −DM T.

(2.26)

Con estos ´ultimos dos operadores, la propiedad de factorizar al operador de Laplace en R³ se preserva, aunque por (2.26) se tiene

D_{M T}D_{M T} = −D_{M T}² = ∆_R3.

Lo cual determina un hecho peculiar: el operador de Moisil-Theodoresco es una ra´ız cuadrada de −∆_R3.

Como consecuencia de la configuraci´on del operador de Moisil-Theodoresco, es posible que se piense en que ´este es una parte del operador de Fueter. Es factible vincular ambos operadores, aunque para lograr dicho fin es necesario considerar una extensin del operador (2.25) a R⁴.

Sea el operador eD_{M T} : C¹(R⁴, H) y tal que

DeM T|_R3 = DM T. (2.27) Entonces

DF = ∂

∂x₀ + eDM T. (2.28)

Para finalizar con el operador de Moisil-Theodoresco, se muestra que como consecuencia de (2.10) y (2.11) la aplicación del operador de Fueter a una función cuaterniónica se puede presentar en términos vectoriales y de la extensión recién presentada del operador de Moisil-Theodoresco en la forma siguiente

D_F[f ] = ∂f0

∂x₀ + ∂ ~f

∂x₀ + eD_{M T}[f₀] −D

De_{M T}, ~fE +h

De_{M T} × ~fi

; (2.29)

donde de acuerdo a [27], los ´ultimos dos t´erminos de (2.29) se definen como

(32)

D

DeM T, ~fE :=

3

X

`=1

∂f`

∂x_`

y

h

De_{M T}× ~fi :=

i j k

∂

∂x1

∂

∂x2

∂

∂x3

f₁ f₂ f₃ .

2.3.3. Operador de Cauchy-Riemann complejos

Haremos referencia a los operadores complejos que sirven de antecedente a los operadores de Cauchy-Riemann cuaterni´onicos y de Fueter. Para el conjunto C¹(R²; C) se define el operador

∂

∂z := 1 2

∂

∂x− i ∂

∂y

, (2.30)

el cual es llamado como operador de Cauchy-Riemann complejo ´o tambi´en es conocido como operador de Derivada de Wirtinger.

El conjugado complejo de (2.30) est´a dado por

∂

∂z := 1 2

∂

∂x+ i ∂

∂y

. (2.31)

Observe la semejanza entre estos operadores complejos y el operador de Fueter, aunque en este caso el operador D_F le corresponde a ∂

∂z y el operador D_F a

∂

∂z. En analog´ıa, el operador (2.19) se considera como una generalizaci´on del operador (2.31).

Por otra parte el operador de Moisil-Theodoresco no presenta un antecedente complejo.

(33)

2.4. AN ´ALISIS DE CLIFFORD 29

2.3.4. Funciones cuaterni´ onicas hiperholomorfas y clases de hiperholomorf´ıa

En el análisis complejo unidimensional existe un conjunto de funciones muy bien conocido y estudiado: el de las funciones holomorfas. Dado un dominio Ω ⊂ C, el conjunto de funciones holomorfas en Ω está determinado por el núcleo del operador (2.31), es decir

Hol(Ω) := ker ∂

∂z. (2.32)

Para H, la generalizaci´on de las funciones holomorfas se da mediante la definici´on siguiente.

Definici´on 2.3.4.1 Sean ψ un conjunto estructural y Ω ⊂ R⁴ un dominio fijos.

Los conjuntos

ψM(Ω) := ker^ψD , (2.33)

M^ψ(Ω) := ker D^ψ, (2.34)

son llamados las clases de hiperholomorf´ıa izquierda y derecha respectivamente.

La función f ∈ ^ψM(Ω) se denomina ψ-hiperholomorfa izquierda y de manera análoga se nombran las ψ-hiperholomorfas derechas. En caso de que ψ = ψst la función se llamará Fueter hiperholomorfa

Se debe observar la discrepancia de la generalización presentada en la Definición 2.2.4.1 de la dada por (2.32). Esta diferencia se da por la aplicación en el caso cuaterniónico del operador que corresponde a ∂

∂z.

Como se menciono antes, en caso del operador de Moisil-Theodoresco no existe un operador complejo que sirva de antecedente, pero a´un as´ı es posible definir la correspondiente clase de funciones hiperholomorfas.

Definición 2.3.4.2 La función f : Ω ⊂ R³ → H se conoce como Moisil- Theodoresco hiperholomorfa si f ∈ ker DM T. La clase de funciones Moisil- Theodoresco hiperholomorfas en Ω se denotará por MM T(Ω).

2.4. An´ alisis de Clifford

2.4.1. Algebras de Clifford reales ´

Definici´on 2.4.1.1 Sean e₀la unidad real y e₁, e₂, . . . , e_muna base ortonormal (ON) de R^m, con las siguientes reglas de multiplicaci´on:

(34)

e²_k= −e0

eke`+ e`ek = −2δk`e0,

(2.35)

donde k, ` = 1, 2, . . . , m y δ_k` es la delta de Kronecker .

El ´algebra de Clifford 2^m-dimensional C`0,m sobre R se genera por la base {eA: A ⊆ {1, 2, . . . , n}} con eA= eh₁eh₂· · · eh_r, 1 ≤ h1, < · · · < hr≤ m, e_∅= e0= 1.

Los n´umeros de Clifford a ∈ C`0,m son de la forma a =X

A

aAeA,

tal que a_A∈ R. El conjugado de a ∈ C`0,m se define por Z(a) := a =X

A

a_Ae_A,

con

eA= eh_reh_r−1· · · eh₁; ek= −ek(k = 1, . . . , m) , e0= e0= 1 ;

y para c, d ∈ C`0,m se tiene

c d = d c . (2.36)

2.4.2. Algebras de Clifford para bajas dimensiones ´

Dos ejemplos inmediatos de ´algebras de Clifford son

(i) m = 1 ; se tiene solamente el vector b´asico e¹, el cual es identificado con la unidad imaginaria i, con lo que C`_0,1∼= C(i).

(ii) m = 2 ; los b´asicos e¹ y e2 generan e3 := e1e2, as´ı que al hacer la identificaci´on

e1= i, e2= j y e3= k , entonces C`0,2∼= H(R).

(35)

2.4.3. Operador de multiplicaci´ on derecha Cliffordiano

Por (2.35) el producto en C`_0,m no es conmutativo, por lo que en semejanza a H, aqu´ı tambi´en se definir´a un operador que permita multiplicar por la derecha.

Definici´on 2.4.3.1 Sea c ∈ C`0,m, entonces el operador de multiplicaci´on derecha M^c: C`0,m→ C`0,m se define por

M^c[d] := d c , para d ∈ C`0,m.

2.4.4. Funciones Cliffordianas

Sea Ω ⊂ R^m+1 un dominio. Una funci´on f : Ω → C`0,m se dice de valores Cliffordianos si puede ser escrita en la forma

f (x) =X

A

f_A(x) e_A, con fA: Ω → R .

2.4.5. Una estructura hipercompleja para R

^m+1

.

En la búsqueda de una generalización para los espacios euclidianos R^m+1, con m ≥ 2; de una estructura algebraica análoga a la de la variable compleja unidimensional z, se introduce la representación paravectorial para cualquier punto (x0, x1, . . . , xm) ∈ R^m+1 dada por

x = x0+ x1e1+ x2e2+ · · · xmem∈ A := gen_R{1, e1, . . . , em} ;

con e_`los b´asicos de R^msujetos a (2.35), e₀ la unidad de C`_0,m y su conjugado siendo

x = x0−

m

X

`=1

x`e`.

A lo largo de este trabajo la representación paravectorial de cualquier x ∈ R^m+1 será también llamada como número hipercomplejo.

En esta representaci´on hipercompleja en lugar de considerar la parte real y la compleja, se distinguir´a entre la parte escalar

Sc x := 1

2(x + x) ,

(36)

y la parte vectorial

Vec x := 1

2(x − x) .

del n´umero hipercomplejo x. La norma de x ∈ A se define por

|x| :=√

x x . (2.37)

Para cada 0 6= x ∈ A su inverso est´a dado por x⁻¹= x

|x|². (2.38)

2.4.6. Operadores de Cauchy-Riemann Cliffordianos y ope- radores de Dirac

De forma análoga al caso cuaterniónico, en este caso también se definen operadores que buscan generalizar a los operadores de Cauchy-Riemann complejos.

Definici´on 2.4.6.1 El operador

D :=

m

X

`=0

e`

∂

∂x`

, (2.39)

es conocido como el operador de Cauchy- Riemann generalizado para R^m+1 y su conjugado est´a definido por

D :=

m

X

`=0

e`

∂

∂x`

. (2.40)

Los operadores generalizados de Cauchy-Riemann y sus conjugados preservan la propiedad de factorizar al operador de Laplace en R^m+1 , es decir

D D = D D = ∆_Rm+1 . (2.41)

Los operadores derechos correspondientes est´an definidos por

D_r:=

m

X

`=0

M^e^` ∂

∂x_`, (2.42)

y

(37)

Dr:=

m

X

`=0

M^e^` ∂

∂x`

. (2.43)

De (2.36) se tiene

Dr= ZDZ , Dr= ZDZ .

Por lo que, los operadores (2.45) y (2.43) tambi´en factorizan al operador de Laplace:

D_rD_r= D_rD_r= ∆_Rm+1 .

Otro operador de gran importancia dentro del an´alisis en ´algebras de Clifford es el siguiente.

Definici´on 2.4.6.2 En C¹(Ω ⊂ R^m; C`_0,m) se define el operador izquierdo de Dirac mediante

DD:=

m

X

`=1

e`

∂

∂x`

(2.44)

y el correspondiente operador derecho por

DD,r :=

m

X

`=1

M^e^` ∂

∂x`

. (2.45)

Para el operador (2.44) su conjugado est´a dado por

DD :=

m

X

`=1

e`

∂

∂x_`

= −DD.

(2.46)

De esta forma

−D_D² = ∆m,

lo cual nos indica que el operador de Dirac es una ra´ız cuadrada del operador de Laplace. De esta forma se observa que el operador de Dirac presenta un comportamiento semejante al del operador de Moisil-Theodoresco.

(38)

2.4.7. Funciones hiperholomorfas y clases de hiperholo- morf´ıa

Una vez que se han introducido los operadores generalizados de Cauchy-Riemann y de Dirac, es natural pensar en extender el concepto de holomorf´ıa para funciones con valores en C`_0,m.

Definici´on 2.4.7.1 Las funciones f ∈ C¹ Ω ⊂ R^m+1, C`_0,m

son llamadas Cauchy-Riemann hiperholomorfas izquierdas (Cauchy-Riemann hiperholomorfas derechas), o m´as brevemente C-R hiperholomorfas izquierdas (C-R hiperholomorfas derechas) si

D [f ] (x) = ∂f

∂x₀(x) + e1

∂f

∂x₁(x) + · · · + em

∂f

∂x_m(x) = 0 (2.47) y

Dr[f ] (x) = ∂f

∂x₀(x) + ∂f

∂x₁(x) e1+ · · · + ∂f

∂x_m(x) em= 0 , (2.48)

para todo x ∈ Ω (respectivamente). El conjunto de funciones C-R hiperholomorfas izquierdas (derechas) se denota por M(Ω) (Mr(Ω)).

Para el operador de Dirac se tiene la siguiente definici´on

Definición 2.4.7.2 En C¹(Ω ⊂ R^m; C`0,m) la clase de funciones Dirac hiperholomorfas izquierdas es ker D_D(Ω) y se denotará por M^D(Ω). Análogamente, las funciones Dirac hiperholomorfas derechas se encuentran en ker D_D,r(Ω) y la correspondiente clase es M^D,r(Ω).

2.4.8. N´ ucleo de Cauchy

En este momento se desarrollará uno de los ejemplos más importantes de funciones C-R hiperholomorfas. En primer lugar, se recuerda que Am+1representa el área de superficie de la esfera unitaria S^m, dada por

A_m+1= 2π^m+1² Γ ^m+1₂ .

Se sabe que la soluci´on fundamental del operador de Laplace ∆_Rm+1es la funci´on

N (z) =











1

(1 − m)Am+1|x|^m−1, si m > 1 , 1

2log|x|, si m = 1 ;

(39)

2.4. AN ÁLISIS DE CLIFFORD 35 la cual sirve para generar una función esencial y que se obtiene mediante la aplicación de (2.41) a N (x). As´ı que

E(x) = D[N ](x)

= x

Am+1|x|^m+1.

(2.49)

La función recién obtenida es conocida como el núcleo de Cauchy y es la solución fundamental de los operadores (2.39) y (2.45).

2.4.9. Formas diferenciales hipercomplejas

Ahora se presentan las formas diferenciales necesarias para el desarrollo del presente trabajo.

Para f : Ω → C`0,m la diferencial df = ∂f

∂x0

dx₀+ ∂f

∂x1

dx₁+ · · · + ∂f

∂xm

dx_m, (2.50)

es considerada como una 1-forma con valores C`_0,m.

Como de costumbre, el elemento de volumen en R^m+1 es la (m + 1)-forma de valores reales dada por

dV := dx0∧ dx1∧ · · · ∧ dxm. (2.51)

Ahora la m-forma

σx:= dˆx0− e1dˆx1+ · · · + (−1)^memdˆxm, (2.52) donde dˆxk, es la m-forma diferencial que se obtiene de (2.51) al omitir el factor dxk, para k = 0, 1, . . . , m. Esta forma tambi´en es conocida como la representaci´on Cliffordiana del elemento de superficie, ya que si Γ es una superficie suave en R^m+1entonces

σx= nxdSx, donde

nx:=

m

X

`=0

e`n`,x

es la Cliffordizaci´on del vector normal unitario ~n := (n₀, n₁, . . . , n_m) en el punto x ∈ Γ y dS_x es el elemento de superficie en R^m+1.

(40)

Al determinar el conjugado del elemento de superficie se tiene

σx= dˆx0+ e1dˆx1− e2dˆx2+ · · · + (−1)^m+1emdˆxm. (2.53)

Entonces de (2.52) y (2.53) las partes escalar y vectorial del elemento de superficie son

Sc(σ_x) = ¹₂(σ_x+ σ_x)

= dˆx₀

(2.54)

y

Vec(σx) = ¹₂(σx− σx)

= −e1dˆx1+ e2dˆx2− · · · + (−1)^memdˆxm

(2.55)

respectivamente.

Debido a que dxk conmuta con e`, para k, ` = 0, 1, . . . , m; entonces al factorizar dx0 de (2.55) se obtiene la (m − 1)-forma τx dada por

τx= −e1dˆx0,1+ e2dˆx0,2+ · · · + (−1)^memdˆx0,m. (2.56)

2.5. Integral de tipo de Cauchy

La siguiente definición,corolario y teoremas son unas fórmulas integrales fundamentales para los propósitos de este trabajo y pueden ser hallados en su forma más general en el texto [11]. Se comienza con la definición de una superficie de Liapunov.

Definici´on 2.5.0.1 Una superficie compacta Γ es llamada una superficie de Liapunov, si las siguientes condiciones se verifican

(i) En cada punto x ∈ Γ existe el espacio tangente.

(ii) Existe un n´umero r, tal que para cada punto x ∈ Γ el conjunto Γ ∩ Br(x) es conexo y las l´ıneas paralelas a la normal exterior n(x) intersectan a la superficie tan s´olo en un punto.

(iii) La normal n(x) es una funci´on de H¨older sobre Γ.

Como consecuencia de la definici´on anterior se tiene el corolario.

(41)

2.5. INTEGRAL DE TIPO DE CAUCHY 37 Corolario 2.5.0.1

(i) Cada superficie de clase C² es tambi´en una superficie de Liapunov.

(ii) Cada superficie de Liapunov es una superficie C¹.

Teorema 2.5.0.1 Sea Ω un dominio en R^m+1 acotado por una superficie Γ ∈ C². Entonces para f ∈ C(Ω; C`0,m) se verifica

1 Am+1

Z

Γ

y − x

|y − x|^m+1σ_yf (y) =

(f (x), si x ∈ Ω ,

0, si x ∈ R^m+1\Ω . (2.57)

Las fórmulas de Sokhotski-Plemelj, bastante bien conocidas en el análisis complejo unidimensional, también tienen su análogo en el análisis de Clifford.

Teorema 2.5.0.2 Sean Ω⁺ := Ω un dominio en R^m+1 con frontera Γ ∈ C², Ω⁻:= R^m+1\Ω⁺, entonces para f ∈ C^0,µ(Γ, C`0,m), con 0 < µ ≤ 1 y x⁰∈ Γ se tiene

l´ım

Ω^±3x→x⁰

1 A_m+1

Z

Γ

y − x

|y − x|^m+1σ_yf (y) = ±1

2f (x⁰) + 1 A_m+1

Z

Γ

y − x⁰

|y − x⁰|^m+1σ_yf (y) , (2.58) con y ∈ Ω^±.

(42)