ÍNDICE
Unidad 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
¿Qué es la derivada?... 1
¿Cuáles son las propiedades de la derivada? ... 1
¿Qué es y cómo se aplica la regla de la cadena? ... 2
¿Cómo se usan las fórmulas de derivación? (Ejemplos) ... 3
¿Qué es un máximo y un mínimo? ... 4
Aplicación de la derivada ... 5
¿Qué son las derivadas de orden superior? (Ejemplos) ... 6
Características de la derivada implícita ... 7
¿Cuál es el problema de estudio de la integral? ... 8
¿Qué es la integral? ... 8
¿Qué dice el teorema fundamental del cálculo? ... 8
¿Cómo se usan las fórmulas de integración? ... 8
¿Cuáles son los métodos de integración? (Ejemplos) ... 9
¿Qué es la integral definida? (Ejemplos) ... 12
3 aplicaciones de la integral ... 13
¿Qué es una integral múltiple? ... 14
¿Qué son las derivadas parciales? ... 14
Conclusión ... 15
Referencias ... 16
¿Qué es la derivada?
Es una aproximación por medio de una recta tangente a una curva.
¿Cuáles son las propiedades de la derivada?
Función identidad. La derivada de x es igual a 1. Es decir, la derivada de la función identidad es igual a la unidad.
Derivada de una función constante. La derivada de una función constante es cero.
Derivada de una suma. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones. Esta regla se extiende a cualquier número de sumando, ya sean positivos o negativos.
Derivada de un producto. La derivada del producto de dos funciones, f y k , viene dada por la fórmula.
Derivada de un cociente. La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.
Derivada de una potencia. La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base
Derivada de una raíz enésima. La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.
Derivada de una raíz cuadrada. La derivada de la raíz cuadrada de una función es igual a la derivada del radicando partida por el duplo de la raíz.
¿Qué es y cómo se aplica la regla de la cadena?
La regla de la cadena es la fórmula resultante de la derivada de la composición de funciones.
Si 𝑦 = 𝑓(𝑢) es una función derivable de u.
Y 𝑢 = 𝑔(𝑥) es una función derivable de x Entonces:
𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) es una función derivable de x y
O su equivalente
Procedimiento para derivar utilizando la regla de la cadena
1. Identificar 𝑢 = 𝑔(𝑥)
2. Obtener la derivada de 𝑓(𝑢) 3. Obtener la derivada de 𝑔(𝑥)
4. Obtener el producto de las derivadas, es decir, 𝑓′(𝑢)𝑔′(𝑥) 5. Sustituir 𝑢 por 𝑔(𝑥).
¿Cómo se usan las fórmulas de derivación? (Ejemplos)
Derivada de una suma
Derivada de un producto
Derivada de un cociente
Derivada de una potencia
Derivada exponencial
1)
Derivada logarítmica
1)
Derivadas Trigonométricas
¿Qué es un máximo y un mínimo?
Un valor de una función es un máximo si es mayor que cualquiera de los valores que la anteceden o le siguen inmediatamente. Mientras que, un valor de una función es un mínimo si es menor que uno cualquiera de los valores que le anteceden o le siguen inmediatamente.
Un máximo, no es, necesariamente, el mayor valor posible de una función, ni un mínimo tiene que ser el menor de todos.
Aplicación de la derivada
El conocimiento de una función se completa perfectamente dibujando su gráfica, los siguientes resultados dan una idea aproximada de ésta:
Estudio de f
1. Dominio de f.
2. Puntos de corte con los ejes.
3. Signo de la función (regiones en las que varía el signo).
4. Simetrías.
Si f(-x) = f(x), función par, simétricas respecto del eje de ordenadas.
Si f(-x) =-f(x), función impar, simétrica respecto del origen.
5. Asíntotas
Verticales. Si existe a tal que , x =a es la ecuación de una asíntota vertical.
Horizontales. Si , y =b es una asíntota horizontal.
Oblicuas. Si y , y =m x +n es una asíntota oblicua.
Estudio de f’
1. Crecimiento y decrecimiento. Si f ’(x)>0 , f es creciente. Si f ’(x)<0, f es decreciente.
2. Máximos y mínimos relativos. Condición necesaria de máximo y mínimo es que f’(x)=0.
Estudio de f’’
1. Concavidad y convexidad, f ’’>0 convexa È, f ’’<0 cóncava Ç
2. S i f ’’(x0) =0 y en dicho punto cambia la curvatura es punto de inflexión.
¿Qué son las derivadas de orden superior? (Ejemplos)
Se conoce como segunda derivada de la función
1)
Derivando
2)
Para la primera derivada obtenemos:
3)
Obteniendo la primera derivada de la función (línea recta) obtenemos:
Al sacar la derivada a esta línea paralela al eje x, obtenemos
Características de la derivada implícita
Cuando se da una relación entre 𝑥 y 𝑦 por medio de una ecuación no resuelta para 𝑦, entonces 𝑦 se llama función implícita de 𝑥.
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:
x'=1.
En general y'≠1.
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.
¿Cuál es el problema de estudio de la integral?
El proceso inverso de la derivación, el cual se utiliza generalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
¿Qué es la integral?
Proceso que permite devolver una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada, así como la suma es a la resta.
Dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).
¿Qué dice el teorema fundamental del cálculo?
Establece que la derivación y la integración (definida) son operaciones inversas, en el mismo sentido que lo son la división y la multiplicación.
Si una función 𝑓 es continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] y 𝐹 es una antiderivada de 𝑓 en el intervalo [𝑎, 𝑏], entonces:
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =𝑏
𝑎 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
¿Cómo se usan las fórmulas de integración?
La integral de una constante es igual a la constante por x.
Integrales de potencias
