Definici´on 1.1. Seaf = (f1, f2, f3, . . . , fn) :U ⊂R →R una funci´on yU un subconjunto
abierto enRm. Diremos quef es una funci´on diferenciable en un puntoa∈U si las derivadas
direccionales de cada funci´on coordenada de f existen en el punto ay el vector
(1.1) ∂f
∂v(a) =
∂f1
∂v(a), ∂f2
∂v(a), . . . , ∂fn
∂v (a)
satisface
f(a+v)−f(a) = ∂f
∂v(a) +r(v), con v→lim0
r(v) kvk = 0,
para cada v∈Rm.
Sif :U ⊂Rm →
Rn es una funci´on diferenciable en un puntoa∈U es com´un denotar al vector (1.1) por f0(a)·v y llamarle la derivada de f en el punto a.
La notaci´on para f0(a)·v el vector (1.1) es natural, pues la derivada de f en el punto a es una transformaci´on lineal. Esta transformaci´on lineal en relaci´on a las bases can´onicas de Rn yRm tiene la representaci´on matricial
J f(a) =
∂fi ∂xj
n×m .
Esta matriz es llamada la matriz jacobiana de f en el punto a.
Enunciamos el siguiente teorema que nos ser´a de mucha utilidad
Teorema 1.2. Una funci´onf :U ⊂Rn→Rn es diferenciable en el puntoa∈U si y s´olo si
cada una de sus funciones coordenadas f1, f2, ..., fn:U →Rn es diferenciable en ese punto.
Ejemplo 1.3. Seaf :R2→R3 definida porf(x, y) = (xy, x2y2, x+ 2y).
En este caso las funciones coordenadas de f son
f1(x, y) =xy, f2(x, y) =x2y2, f3(x, y) =x+ 2y.
Observamos que las derivadas parciales paraf1 en un punto (x, y) vienen dadas por
∂f1
∂x1
(x, y) =y, ∂f1 ∂x2
(x, y) =x,
las cuales son funciones continuas sobre R2, lo que hace de f1 una funci´on de clase C1 y por ende una funci´on diferenciable sobre R2. De igual manera se prueba que f2 y f3 son
funciones diferenciables sobre R2.
Por lo tanto, por el Teorema 1.2 f es diferenciable sobre cualquier punto (x, y)∈R2.
Ahora bien, desde
∂f2
∂x1
(x, y) = 2xy2, ∂f2 ∂x2
(x, y) = 2x2y, ∂f3 ∂x1
(x, y) = 1, ∂f3 ∂x2
(x, y) = 2,
se sigue que
f0((x, y))·(u, v) = yu+xv, 2xy2u+ 2x2yv, u+ 2v,
es la derivada de f en el punto (x, y) aplicada en el vector (u, v). Esta transformaci´on lineal tiene por matriz jacobiana a
J f(x, y) =
y x 2xy2 2x2y
1 2
En particular si (x, y) = (2,3) entonces
J f(2,3) =
3 2
36 24
1 2
y
f0(2,3)·(u, v) =
3 2
36 24
1 2
u v
= (3u+ 2v,36u+ 24v, u+ 2v).
Desde el ejemplo anterior notamos que para obtener la derivada de una funci´on f = (f1, f2, ... fn) en un punto a= (a1, a2, ... am) se debe realiazar lo siguiente
(1) Se obtienen las derivadas parciales ∂fi
xj (a) para cada funci´on coordenadafi de f en el
puntoa.
(2) Se obtienen la diferencial dfi(a) = grad fi(a) =
∂fi
x1 (a),
∂fi
x2(a), ...,
∂fi
xm(a)
J f(a) = ∂f1
x1 (a)
∂f1
x2 (a) · · ·
∂f1
xm(a)
∂f2
x1 (a)
∂f2
x2 (a) · · ·
∂f2
xm(a)
..
. . ..
∂fn
x1 (a)
∂fn
x2 (a) · · ·
∂fn
xm(a)
(4) J f(a) es la representaci´on matricial de la derivada de f en a,f0(a) :Rm →Rn (5) Para obtener el valor def0(a) en un vector v= (v1, v2, ... vm)∈Rm basta realizar
∂f1
x1 (a)
∂f1
x2 (a) · · ·
∂f1
xm(a)
∂f2
x1 (a)
∂f2
x2 (a) · · ·
∂f2
xm(a)
..
. . ..
∂fn
x1 (a)
∂fn
x2 (a) · · ·
∂fn
xm(a)
v1 v2 .. . vm
(6) De lo que se concluye quef0(a)·v=∂f1
∂v(a), ∂f2
∂v(a), ..., ∂fn
∂v(a)
.
2. Regla de la Cadena
Tal como en el caso de campos escalares, surge la pregunta natural de como obtener la derivada de la composici´on de dos funciones diferenciables que sean, en esta ocasi´on, campos vectoriales.
Teorema 2.4 (Regla de la Cadena). Sean U ⊂Rm, V ⊂
Rn abiertos, f :U → Rn
diferen-ciable en el puntoa∈U, conf(U)⊂V,g:V →Rp diferenciable en el puntof(a). Entonces g◦f :U →Rp es diferenciable en el punto a, con (g◦f)0(a) =g0(f(a))◦f0(a) :
Rm→Rp.
La riqueza del Teorema 2.4 est´a en, al menos, dos importantes corolarios que se derivan de este y que son muy ´utiles para el c´alculo.
Corolario 2.5. SeanJ f(a) =∂fi
∂xj(a)
,J g(f(a)) =∂gi
∂xj(f(a))
yJ(g◦f)(a) =∂(gi◦fi)
∂xj (a)
las matrices jacobianas de las funciones f, g y f ◦g en los puntos indicados. Suponga que
f es diferenciable en el punto ay g es diferenciable en el punto f(a), entonces se tiene que
J(g◦f)(a) =J g(f(a))·J f(a).
Ejemplo 2.6. Sean f : R2 → R3 definida por f(x, y) = (xy, x2y2, x+ 2y) y g : R3 → R4
Desde el ejemplo 1.3 se tiene que la matriz jacobiana de f en un punto (x, y) ∈ R2 viene dada por
J f(x, y) =
y x 2xy2 2x2y
1 2
Facilmente se prueba que g es una funci´on diferenciable sobre R4, obtengamos su matriz
jacobiana en un punto (x, y, y)∈R3.
Se tiene que las derivadas parciales de las funciones coordenadas de g son
∂g1
∂x1
((x, y, z)) = 2x, ∂g1 ∂x2
((x, y, z)) = 2y, ∂g1 ∂x1
((x, y, z)) = 0. ∂g2
∂x1
((x, y, z)) = 2x, ∂g2 ∂x2
((x, y, z)) = 0, ∂g2 ∂x1
((x, y, z)) = 2z. ∂g3
∂x1
((x, y, z)) = 0, ∂g3 ∂x2
((x, y, z)) = 2y, ∂g3 ∂x1
((x, y, z)) = 2z. ∂g4
∂x1
((x, y, z)) = 2x, ∂g4 ∂x2
((x, y, z)) = 2y, ∂g4 ∂x1
((x, y, z)) = 2z.
As´ı, la matriz jacobiana de g en un punto (x, y, z) es
J g(x, y, z) =
2x 2y 0
2x 0 2z
0 2y 2z 2x 2y 2z
Note que la derivada de g en (x, y, z) evaluada en un punto (u, v, w) ∈ R3 est´a definida matricialmente por
2x 2y 0
2x 0 2z
0 2y 2z 2x 2y 2z
u v w =
2xu+ 2yv 2xu+ 2zw 2yv+ 2zw 2xu+ 2zw
Esto es,
en un punto(x, y)∈R2. Desde que
J g(f((x, y))) =
2(xy) 2(x2y2) 0 2(xy) 0 2(x+ 2y)
0 2(x2y2) 2(x+ 2y) 2(xy) 2(x2y2) 2(x+ 2y)
es la matriz jacobiana de g0(f(x, y)) se sigue v´ıa el Corolario 2.5 que
J g(f(x, y))·J f(x, y) =
2xy2+ 4x3y4 2x2y+ 4x3y4
2xy2+ 2x+ 4y 2x2y+ 4x+ 8y 4x3y4+ 2x+ 4y 4x3y4+ 4x+ 8y 2xy2+ 4x3y4+ 2x+ 4y 2x2y+ 4x3y4+ 4x+ 8y
,
es la matriz jacobiana de (g◦f)0(x, y) :R2→R4. As´ı
2xy2+ 4x3y4 2x2y+ 4x3y4 2xy2+ 2x+ 4y 2x2y+ 4x+ 8y 4x3y4+ 2x+ 4y 4x3y4+ 4x+ 8y
2xy2+ 4x3y4+ 2x+ 4y 2x2y+ 4x3y4+ 4x+ 8y
u v
=
2xy(yu+xv) + 2x2y2(2xy2u+ 2xy2v) 2xy(yu+xv) + (2x+ 4y)(u+ 2v) 2x2y2(2xy2u+ 2xy2v) + (2x+ 4y)(u+ 2v)
2xy(yu+xv) + 2x2y2(2xy2u+ 2xy2v) + (2x+ 4y)(u+ 2v)
Es la representaci´on matricial de (g◦f)0(x, y)·(u, v).
En particular si (x, y) = (1,2), se sigue que (g◦f)0(1,2) :R2 →R4 est´a definida por (g◦f)0(1,2)·(u, v) = (72u+ 68v,18u+ 24v,74u+ 84v,82u+ 88v)
Un buen ejercicio es realiazar (g◦f)(x, y) y obtener (g◦f)0(x, y) directamente.
(1) Obtener la matriz jacobiana para f :U ⊂Rm→
Rn yg:V ⊂Rn→Rp.
(2) Cada componente de la matriz jacobiana J g(x1, x2, . . . , xn) es una funci´on para f(x1, x2, ..., xm).
(3) Realizar la evaluaci´on correspondiente de la cual se obtiene la matriz jacobiana J g(f(x1, x2, . . . , xm)).
(4) La multiplicaci´onJ g(f(x1, x2, . . . , xm))·J f(x1, x2, . . . , xm) es la representaci´on
ma-tricial de (g◦f)0(x1, x2, ... xm) :U →Rp.
(5) Si u = (u1, u2, ..., um) ∈ Rm entonces la multplicaci´on J g(f(x1, x2, . . . , xm)) · J f(x1, x2, . . . , xm)·[u] es la representaci´on matricial de (g◦f)0(x1, x2, . . . , xm) · (u1, u2, ..., um).
Corolario 2.7. Sean f, g:U →Rm diferenciable en un punto a∈U ⊂
Rm y c un n´umero
real. Entonces f +g : U → Rn y cf : U →
Rn son diferenciables en un punto a, con (f +g)0(a) =f0(a) +g0(a) y (cf)0(a) = cf0(a). Cuando n= 1 y g(x) 6= 0 para todo x ∈U
entoncesf /g:U →R es diferenciable en el puntoa, con
f g
0
(a) = g(a)f
0−f(a)g0 g2(a) .
3. Teorema de la Funci´on Inversa Sea f : U ⊂ Rm →
Rn una funci´on biyectiva y diferenciable en a ∈ Rn, si denotamos por g : f(U) ⊂ Rn →
Rm a la inversa de f y ´esta es diferenciable en f(a) entonces por el Corolario 2.5 la representaci´on matricial de (g◦f)0(a) viene dada por
J g(f(a))·J f(a).
Evidentemente (g◦f)(a) = a luego (g◦f)0(a) = Id : Rm → Rm cuya matriz jacobiana es In×n. De esta manera
J g(f(a))·J f(a) =In×n. De igual manera se prueba que
J f(g(b))·J g(b) =Im×m, b=f(a).
Si f es una funci´on biyectiva, con inversa f−1 : V → U, tal que f es una funci´on difer-enciable sobre U y f−1 es una funci´on diferenciable sobre V, diremos entonces que f es un difeomorfismo.
En conjunto con esta definici´on y el comentario del inicio de la secci´on podemos concluir dos importantes hechos, el primero es que dado un difeomorfismof :U ⊂Rm→V ⊂Rnentonces f0(a) : Rm → Rn es un isomorfismo, donde J f−1(b) = [J f(a)]−1 es la matriz jacobiana de (f−1)0(b) : Rm → Rm con b = f(a). El segundo es que dado que f0(a) : Rm → Rn es un isomorfismo entonces m =n, esto es, para que una funci´on f :U ⊂Rm → V ⊂
Rn sea un difeomorfismo es necesario que m=n. Podemos resumen esto como un corolario de la regla de la cadena.
Corolario 3.9. Si una funci´on f : U ⊂→ Rm, es definida sobre un abierto U ⊂
Rm es
diferenciable en un punto a∈U, y tiene inversa g = f−1 :V → Rn, definida en el abierto V ⊂Rn es diferenciable en el punto b=f(a), entoncesf0(a) :
Rm →Rn es un isomorfismo,
cuya transformaci´on lineal inversa es g0(b) :Rn→Rn. En particularm=n.
Ejemplo 3.10. Sea U := {(x, y) :x, y ∈R+} y f :U ⊂
R2 → U ⊂ R2 una funci´on definida
por f(x, y) = (2x+ 2y, x2).
(1) f es inyectiva. Desde la igualdad f(x, y) =f(u, v) se sigue que 2x+ 2y= 2u+ 2v y
x2=u2. As´ı|x|=|u|, luego x=u entonces2x+ 2y= 2x+ 2v yv=y.
(2) fes sobreyectiva. Si(x0, y0)∈R2, escogemos(√y0, x0/2−
√
y0)∈U dondef(
√
y0, x0/2−
√
y0) = (x0, y0).
(3) f es un difeomorfismo. Note quef es una funci´on diferenciable sobreU pues cada una de sus funciones coordenadas los son. De igual manera se concluye quef−1(x, y) = (√y, x/2−√y) es una funci´on diferenciable sobre U.
Entonces, por el Corolario 3.9 f0(x, y) :R2 → R2 es un isomorfimo. La matriz jacobiana
de f en un punto (x, y) est´a dada por
J f(x, y) =
2 2 2x 0
Para calcular (f−1)0(x0, y0) :R2 →R2 con f(x, y) = (x0, y0), simplemente hacemos
[J f(x, y)]−1=
0 1/(2x)
1/2 2
=J f−1(x0, y0) Ahora note que (2x+ 2y, x2) = (x0, y0), esto es, x=
√
y0 ey=x0/2−
√
y0. As´ı
J f−1(x0, y0) =
0 1/(2√y0)
1/2 2
es la matriz jacobiana de (f−1)0(b) :R2→R2, b=f(x, y).
De lo anterior se desprende que para encontrar la derivada la funci´on inversa de un difeo-morfismof basta realizar:
(1) Encontrar la matriz jacobiana de f en un puntoa,J f(a). (2) Encontrar la inversa de J f(a), [J f(a)]−1.
(3) Evaluar [J f(a)]−1 enf−1(b).
(4) La matriz [J f(f−1(b))]−1 es la matriz jacobiana de (f−1)0(f(a)). Sea f : U ⊂ Rm → V ⊂
Rn, una funci´on. Si f es una funci´on continua, biyectiva, con inversag=f−1 :V →U continua, decimos quef es un homeomorfismo.
Probar que si f :U ⊂Rm → V ⊂
Rn es un homeomorfismo entonces m=n es un teorema cl´asico de la Topolog´ıa Algebr´aica.
El lector puede reflexionar en el hecho de que requerir que f sea un difeomorfismo es m´as restricitivo que solicitar que f sea un homeomorfismo.
El hecho interesante del corolario 3.9 es que bajo ciertas hip´otesis el recipr´oco es v´alido. Definici´on 3.11. Una funci´on f : U → Rn, definida en un conjunto abierto U ⊂
Rm, se
dice fuertemente diferenciable en un punto a ∈ U cuando existe una transformaci´on lienal
T :Rm →Rn tal que, para x, y∈U se satisface
f(x)−f(y) =T(x−y) +ra(x, y), con lim
(x,y)→(a,a)
ra(x, y) ||x−y|| = 0.
Observaci´on3.12. Sif :U →Rnes una funci´on fuertemente diferenciable en un puntoa∈U
a.
Concluimos con el teorema que le da el nombre a esta secci´on.
Teorema 3.13 (de la funci´on inversa). Sea f : U → Rm, definida en un abierto U ⊂ Rm,
fuertemente diferenciable en un puntoa∈U yf0(a) :Rm→Rmes un isomorfismo. Entonces f es un homeomorfismo de un abierto V, con a ∈ V, sobre un abierto W, con f(a) ∈ W. El homeomorfismo inverso f−1 :W →V es fuertemente diferenciable en el punto f(a) y su derivada en ese punto es [f0(a)]−1.
En escencia el teorema anterior dice que si f : U ⊂Rm →
