1. Idea intuitiva del concepto de derivada de una función en un punto.

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Tema 5: Derivadas

1. Idea intuitiva del concepto de derivada de una función en un punto.

Comencemos pensando en una función f t( ), donde t represente el tiempo y f la evolución de una cantidad cualquiera a lo largo de él, por ejemplo, el espacio recorrido por un vehículo desde que comenzó su movimiento. Si t0y t1 son dos instantes de tiempo, f t( )1f t( )0 será la variación neta de f entre t1 y t0. Si deseamos saber cuánto es la variación por unidad de tiempo, calcularemos el cociente

 

1

 

0

1 0 f t f t

t t

 , al que llamaremos tasa media de variación durante el intervalo considerado. Matemáticamente expresamos esta idea de la siguiente manera:

La tasa media de variación de f entre t0 y t es 1

 

1

 

0 1 0 variación de variación de f t f t f t t t    , de modo que escribiendo   t t1 t0 y  f f t( )1f t( )0 , esa tasa media se expresará como:

 

variación de variación de f t t f t f f t t t        

Generalmente, el incremento de la variable independiente se suele denominar por la letra h, es decir,  t h entre t0 y t1. De donde nos quedaría que:

 

variación de variación de f t h f t f f t h h      

Geométricamente, lo hecho equivale a construir un triángulo rectángulo, y a calcular la tangente de uno de sus ángulos, según se muestra en la figura:

Tasa media de variación de f entre t0 y t1:

 

variación de tg variación de f t h f t f f t h h       

(2)

En el caso del vehículo en movimiento, la tasa media es precisamente lo que conocemos por velocidad media durante el recorrido efectuado entre los momentos t0 y t . Por 1 poner un ejemplo, en las etapas de transición de los rallies automovilísticos se suele imponer una velocidad media de 50 Km/h , que es bastante alta si el recorrido incluye tramos de tráfico denso.

Podemos pensar en calcular la tasa media haciendo el intervalo de tiempo cada vez más pequeño y hallando el límite del cociente que la define cuando h0, es decir si t1 se aproxima a t0:

 

 

 

1 0 1 0 0 1 0 lim lim t t h f t h f t f t f t t t h       

Pues bien, si este límite existe, se denominará derivada de f en el punto t0, y geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la curva en el punto ( , ( ))t0 f t0 .

Físicamente se interpreta como la tasa instantánea de variación de f en t0: Tasa instantánea de variación de f entre t0 y t1

0

 

0

 

0

0 lim ' h f t h f t f t h     

Siguiendo con el ejemplo del vehículo, la aguja del velocímetro de un automóvil señala la velocidad en cada instante, esto es, ni más ni menos que la tasa instantánea de variación del espacio considerado como función del tiempo, espacio f t( ), luego la velocidad es la derivada del espacio.

Un comentario matemáticamente importante es que cuando la función f es continua en 0

t , entonces el límite del cociente que define la derivada es siempre indeterminado, pues el numerador cumple que

0 0

0

lim( ( ) ( )) 0

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de manera que se produce una indeterminación del tipo 0

0. Como resultado general, que se verá más adelante, si una función es derivable en un punto, será también continua en él, pero desde luego hay funciones continuas que no son derivables. Un ejemplo es, en el origen, la función “valor absoluto”: f t( ) t .

5 2.5 0 -2.5 -5 5 3.75 2.5 1.25 0 t f(t) t f(t)

2. Función derivada de una función dada.

Al igual que para las funciones continuas se definía la continuidad en un intervalo

0 1

t  t t , una función se dice derivable en t0 t t1 cuando es derivable en todos los puntos de ese intervalo. En este caso a todot[ , ]t t0 1 le corresponderá el valor de la derivada en él, f t'( ), y a esta nueva función la llamaremos función derivada de f . El cálculo con derivadas se denomina cálculo diferencial.

3. Cálculo práctico de la derivada de algunas funciones

En el apartado 1 se explicó que la derivada de una función, calculada en cualquier punto, origina siempre un límite indeterminado que es necesario resolver. Clásicamente se estudia el cálculo de las derivadas –o, mejor dicho, de las funciones derivadas- resolviendo los casos de las funciones elementales, para luego combinarlos de acuerdo con las reglas algebraicas que se presentan a continuación.

Comenzamos probando que la derivada de una función constante es cero. Nótese que esto es razonable porque la gráfica de una función constante f (t) = k es una recta horizontal y su pendiente es cero.

Demostración:

Si ( )f tk, entonces también (f th)kpara todo h, y la tasa media de variación en el intervalo [ ,t th]es siempre nulo:

 

0 f t h f t k k h h   y como el límite de una constante es ella misma:

 

0 0 lim lim 0 0 h h f t h f t h       .

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El paso siguiente son las funciones potenciales ( )f ttn,n. Probaremos que en este caso la derivada de la función potencial es igual a f t'( )n tn1.

En efecto: la tasa media de variación es

  

1 2 2

1 2 1

(usando el desarrollo del binomio) 1 1 2 2 n n n n n n n n n n f t h f t t h t h h n n t nt h t h h t n n nt t h h h                          Y tomando límites:

 

      1 1 2 1 2 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 0 0 0 '( ) lim lim

lim lim lim

n n n n n h h n n n n n n n n h h h f t h f t f t nt t h h h n t t h h n t                                     

Una observación técnica: La fórmula del binomio de Newton, usada aquí, está sólo definida para números naturales, esto es, cuando n. Su extensión a otros tipos de números, para los que sigue siendo válida, pertenece a los cursos superiores de Matemáticas.

En lo que sigue, todas las funciones trigonométricas son funciones donde la variable independiente representa siempre radianes. Veamos algunos cálculos:

La derivada de f x( ) sen xes '( )f x cosx. La tasa media de variación es ahora:

sen x h sen x h

 

Tomando límites, usando la fórmula del seno de la suma y diferencia de dos ángulos, y se obtiene el resultado anunciado. Se explicará en los Complementos al Tema 5.

Análogamente, la derivada de f x( ) cos x resulta ser f x'( ) sen x. Un caso difícil: La derivada del logaritmo f x( )lnxes f x'( ) 1

x. Aquí la tasa media de variación será:

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0 ln ln ln 1 1 1 ln ln ln h 1 ln 1 .

Tomando límites, resolviendo la indeterminación: 1 lim ln 1 x h x h x h h x h x h x h x x h x x h x h x x h x x h x x x h x x h x x                                               0 0 0 1 lim lim ln 1 1 1 1 1 ln lim 1 ln x h x h h h h h x x e x x x x h                                    

Propiedades algebraicas del cálculo de derivadas.

Si f x( ) y ( )g x son funciones derivables y c es un número reale, las funciones

 

; ; ; f si 0

c f f g f g g x

g

   , son también derivables, y sus derivadas

satisfacen las fórmulas siguientes:

La derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función. El signo de la constante se conserva tras la derivación.

 

'

 

' '

 

c f xc f xc f x

   

   

La derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones.

 

( ) ' '

 

'( ) f xg xf xg x

 

 

El conjunto de las dos propiedades recién mostradas se suele expresar diciendo que “el cálculo de la derivada es una operación lineal”.

Por desgracia para los estudiantes de Matemáticas, la derivada del producto de dos funciones NO es igual al producto de las derivadas, sino a la derivada de la primera por la segunda sin derivar, más la derivada de la segunda por la primera sin derivar.

 

( ) ' '

 

( ) ( ) '( ) f x g xf x g xf x g x

 

 

Siguiendo con las complicaciones, la derivada de un cociente de funciones TAMPOCO es igual al cociente de las derivadas, sino a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos la derivada del denominador por el numerador sin

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derivar partido por el denominador al cuadrado.

 

 

   

 

   

2 ' ' ' f x f x g x f x g x g x g x          

Por ejemplo, para hallar la derivada de tanx usaremos la regla del cociente:

2 2 2 2 2 2 sen tan cos '

cos cos sen sen

sen cos sen 1

'

tan 1 tan

cos cos cos cos

x x x x x x x x x x x x x x x x              

El mismo método nos dará la derivada de la secante, sec 1 cos x x.

 

2 2 1 sec cos '

1 0 cos 1sen sen sen 1

'

sec tan sec

cos cos cos cos cos

f x x x x x x x x x x x x x x x            

4. Derivada de una función de función (o función compuesta). La

llamada regla de la cadena.

Sean ( ),yf u ug x( ) dos funciones derivables de sus respectivos argumentos. Formemos la función de función o función compuesta:

( ( )) ( )( ) ( ) yf g xfg xF x

Para calcular la derivada, aprovechemos para introducir la notación diferencial debida a Leibniz. En lugar de escribir f x'( ) pondremos el "cociente de diferenciales" df

dx , y análogamente para la derivación respecto a cualquier variable. Con esta escritura quedará:

 

'( ( )) '( ), es decir, [ ( ( ))]' '( ( )) · '( )

d df dg

F x f g x g x f g x f g x g x

dx du dx  

En palabras: la derivada de una función de función es igual al producto de las derivadas de cada función aislada. Veamos un ejemplo:

(7)

2

Sean ( ) 4 5 1, ( ) sen Sabemos que:

'( ) 8 5; '( ) cos

[( )( )]' '( ) · '( ) (8sen 5) cos 8sen cos 5cos

y f u u u u g x x f u u g x x f g x f u g x x x x x x               

Por influencia anglosajona, la regla recién presentada se conoce también como regla de la cadena, traducción literal de “chain rule”. Una aplicación de la regla de la cadena da como resultado lo que se presenta en el apartado siguiente.

5. Cálculo de la derivada de la función inversa

Si ( )f x una función continua y estrictamente creciente en un intervalo, entonces podemos definir para ese intervalo la función inversaxg y( ). Esta ( )g y posee las mismas propiedades que f (x), y si ésta es derivable entonces su inversa también tiene derivada, que es:

 

 

1 d g y d dy f x dx         

Una justificación sencilla se basa en el siguiente argumento:

Equivale a escribir ,

esto es, ( ) , cuya derivada es '( ) 1.

Por tanto, el valor de la derivada de es el inverso del de la de , y al revés.

f g F f g x y x x x F x x F x f g        Veamos un ejemplo:

La función arcoseno es la función inversa de la función seno, y por tanto:

2 2 [ arcsen ] [ sen ] ' cos Luego: 1 1 1 1 ' cos 1 sen 1 y x x y dx x y dy dy y dx dx y y x dy            

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Complementos al Tema 5

1. Aplicaciones

Estudio y cálculo de máximos y mínimos de una función.

La anulación de la derivada en un punto significa que la recta tangente a la gráfica de la curva en ese punto es horizontal. Intuitivamente se ve que cuando f alcanza en ese punto un máximo o un mínimo, la recta tangente es horizontal y la gráfica de la curva queda toda ella (al menos en una zona alrededor del punto) por debajo de la tangente -si es un máximo- o por encima en el caso de mínimo.

Supongamos que f es derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces:

La función f es estrictamente creciente en (a,b) si f '(x) > 0 para a < x < b La función f es estrictamente decreciente en (a,b) si f '(x) < 0 para a < x < b

Para determinar cuándo f es estrictamente creciente o decreciente, comenzamos hallando los valores críticos (donde la derivada es cero o no existe). Estos valores dividen al eje de las x en intervalos. Si f '(x) > 0 en un intervalo, entonces f (x) es creciente en él. Si f '(x) < 0 en un intervalo, entonces f es decreciente en él.

Criterio de la derivada primera para extremos relativos Sea f una función continua. Para cada valor crítico c se tiene:

El punto ( c, f(c) ) es un máximo relativo si f '(x) > 0 para todo x de un intervalo abierto ( a, c) a la izquierda de c y f '(x) < 0 para todo x de un intervalo abierto ( c, b) a la derecha de c.

El punto ( c, f(c) ) es un mínimo relativo si f '(x) < 0 para todo x de un intervalo abierto ( a, c) a la izquierda de c y f '(x) > 0 para todo x de un intervalo abierto ( c, b) a la derecha de c.

El punto ( c, f(c) ) no es un extremo relativo si f '(x) tiene el mismo signo en intervalo abiertos ( a, c) y ( c, b) a ambos lados de c.

Convexidad y concavidad.

El saber que una curva es creciente o decreciente da sólo una visión parcial de ella. Por lo tanto será necesario estudiar la curvatura de la gráfica.

Un trozo de la gráfica en forma de taza se llama convexo y uno en forma de taza invertido se llama cóncavo. La pendiente de una curva crece donde la gráfica es convexa y decrece donde es cóncava. Una curva será convexa en cualquier intervalo de crecimiento de la pendiente y cóncava en cualquier intervalo de decrecimiento. Como la pendiente se calcula hallando la derivada, hay que esperar que la gráfica de una función sea convexa cuando la derivada f '(x) sea estrictamente creciente. Existen libros que dan las definiciones al revés, pues la noción de cóncavo o convexo depende desde qué lado de la curva la consideremos. En nuestra definición estamos mirando la curva desde abajo.

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cóncava en cualquier intervalo donde f '' (x) < 0. Puntos de inflexión.

Supongamos que la gráfica de una función f tiene tangente (quizás vertical) en el punto P( c, f(c) ), y que la gráfica es convexa a un lado de P y cóncava al otro lado. Entonces P se llama punto de inflexión de la gráfica.

Criterio de la derivada segunda para extremos relativos.

Sea f una función y c un valor crítico tal que f '(c) = 0 y existe la derivada segunda en un intervalo abierto que contiene a c.

Si f '' (c) > 0, hay un mínimo relativo en x = c Si f '' (c) < 0, hay un máximo relativo en x = c

Si f '' (c) = 0, falla el test de la derivada segunda, y no da ninguna información. Determinación de límites. La “Regla de L’Hôpital”

Si en una función z(x) se sustituye x por el valor c, puede ocurrir que no exista z(c), sino que sea indeterminado, pero aún así, puede existir un valor para lim

 

xcz x . En

primer lugar, habrá que investigar por qué el límite aparecía como una indeterminación, y después, tratar de calcular su verdadero valor. Es común presentar la lista de las indeterminaciones posibles, que son:

0 0 0 0 0 1 0            

Todas ellas se pueden reducir, haciendo cambios adecuados, a la primera de las formas presentadas. Una vez hecho eso, se aplicará la llamada Regla de L’Hôpital:

“Si

 

 

lim x c f x g x

 es una indeterminación del tipo

0

0 , entonces se cumple que siempre que exista el límite del miembro de la derecha su verdadero valor viene dado por

 

 

 

 

' lim lim ' x c x c f x f x g x g x    ”.

Claramente, esto necesita que las derivadas existan en las proximidades –también se dice “en el entorno”- del punto xc. La regla de L’Hôpital1 también es válida cuando

c  y entonces se puede aplicar sin más en el caso   . Ejemplos: 1. 0 lim 1 x x x e  

Si sustituimos directamente obtenemos la indeterminación 0

0. Ahora bien, como las

1

Llamada así por haber sido publicada por vez primera en 1696 en el libro Analyse des infiniments petits, del aristócrata francés Guillaume Antoine de L’Hôpital.

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funciones f (x) = x y g (x) = ex –1 son derivables en un entorno de x = 0, podremos aplicar la regla de L’Hôpital. Derivando numerador y denominador:

0 0 1 1 lim lim 0 1 x x x x x e e        2. lim ln x x x 

Sla sustitución directa x = +  da la indeterminación 

. Ahora bien, como las funciones f (x) = x y g (x) = ln x son derivables para x > 0, se puede aplicar la regla de L’Hôpital:

1

lim lim lim

1 ln x x x x x x x        3.

3

0 lim ln xx x

Poniendo x = 0 queda la indeterminación   0 . Las funciones f (x) = x3 y g (x) = ln x son derivables para x > 0, y se aplica la regla de L’Hôpital:

3 0 0 3 3 3 0 0 0 0 3 4 ln lim ln lim 1 1 ln

lim ln lim lim lim 0

1 3 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                     4. 1 lim x xx

Al sustituir este límite obtenemos 0

. Esta indeterminación se resuelve tomando logaritmos en ambos miembros de la ecuación y aplicando después el cálculo de límites:

1

1

1 1 ln 1

ln ln lim ln lim ln lim lim lim 0

1 luego

lim ln 0 ln lim 0 lim 1 lim 1

x x x x x x x x x x x x y x y x x x x x y y y x                       

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2. Ejercicios propuestos

En los ejercicios del 1 al 20 calcule la derivada de las siguientes funciones:

3 2 3 5 6 4 6 7 3 5 5 5 4 2 ( ) ( ) 7 ( ) 7 5 6 3 1 ( ) ( ) 3 1 ( ) 3 1 ( ) ( ) 5 3 ( ) 12 4 3 ( ) [ : ( ) ] ( ) 3 4 ( ) ln 6 1 ( ) f x x f x x f x x x x x f x x f x x x f x x x f x sen x f x sen x f x sen x x f x sen x

Nota sen x sen x f x sen x x f x x f x                                1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

3 2 2 2 2 3 2 4 3 4 5 ln 4 3 1 ( ) 3 7 2 · 6 5 ( ) ln 5 3 1 ·cos 3 5 4 ( ) 4 7 ( ) ( ) 8 ( ) 8 ( ) 3 2 x x x x x x f x x x sen x f x x x x x x f x x x f x e f x f x f x x                     14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

21. Sea la función f (x) = x3 + x2 –17x + 21, ¿es creciente en x=8 ? 22. Sean las funciones

2 2 2 5 3 1 ( ) ( ) sen(2 2) 4 7 x x h x y q x x x x        a) Calcular h'(1) b) ¿Es q(x) creciente en x = 10 ? 23. Sea la función f (x) = x2 +4x –12. a) Representarla gráficamente.

(12)
(13)

3. Soluciones a los ejercicios propuestos: El lector completará la

redacción de las soluciones.

 

 

 

3 3 3 2 3 2 4 1 1 3 3 3 3 1 4 1 6 5 5 6 5 5 6 5 5 4 6 5 6 ( ) '( ) 4 ( ) 7 '( ) 28 ( ) 7 5 6 3 1 '( ) 28 15 12 3 4 4 4 ( ) '( ) 3 3 3 1 1 '( ) 3 1 6 3 3 1 6 3 ( ) 3 1 5 5 6 3 1 5 3 1 ( ) f x x f x x f x x f x x f x x x x x f x x x x f x x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x f x x                                          1. 2. 3. 4. 5. 6.

 

 

 

 

4 3 1 4 6 5 6 5 7 7 7 5 3 6 7 3 2 3 5 4 4 1 '( ) 3 1 6 3 3 1 6 3 3 1 7 5 6 3 4 7 3 1 ( ) '( ) cos ( ) 5 3 '( ) 5·cos 5 3 ( ) 12 4 3 '( ) 36 4 cos 12 4 3 ( ) '( ) 5· ·cos [ : f x x x x x x x x x x x f x sen x f x x f x sen x f x x f x sen x x f x x x x f x sen x f x sen x x Nota sen                                 7. 8. 9. 10.

 

5 5 4 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 ( ) ] ( ) 3 4 '( ) 4· 3 4 ·cos 3 4 · 6 4 6 ( ) ln 6 1 '( ) 6 1 12 6 ( ) ln 4 3 1 '( ) 4 3 1 3 7 2 · 6 5 '( ) 6 7 · 6 5 3 7 2 ·6·cos 6 5 ln 5 3 1 ·co x sen x f x sen x x f x sen x x x x x f x x f x x x x f x x x f x x x x x sen x f x x sen x x x x x x                               11. 12. 13. 14. 15.

 



2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 3 2 4 3 10 3 s '( ) ·cos ln 5 3 1 ·( ) 5 3 1 10 3 ·cos ln 5 3 1 · 5 3 1 6 5 · 4 7 3 5 4 12 14 3 5 4 '( ) 4 7 4 7 ( ) '( ) ( ) 8 '( ) 8 ·ln 8 ( ) 8 '( x x x x x x x f x x x x sen x x x x x x x sen x x x x x x x x x x x x f x x x x x f x e f x e f x f x f xf x                               16. 17. 18. 19.

 

4 3 4 5 4 5 ) 4·8 ·ln 8 4 5 ·3 ( ) 3 2 '( ) 3 2 4·ln 3 2 3 2 x x x x f x x f x x x x                 20.

(14)

21. Sea la función f (x) = x3 + x2 –17x + 21, ¿ es creciente en x=8 ? 2 2 '( ) 3 2 17 '(8) 3·8 2·8 17 191 0 ( ) es creciente en =8. f x x x f f x x         

22. Sean las funciones

2 2 2 5 3 1 ( ) ( ) (2 2) 4 7 x x h x y q x sen x x x        b) Calcular

h

'

(1)

 

 

 

 

2 2 2 2 2 2 2 2 10 3 · 4 7 5 3 1 8 '( ) 4 7 10·1 3 · 4·1 7 5·1 3·1 1 8·1 21 24 45 '(1) 5 9 9 4·1 7 x x x x x h x x h                     b) ¿Es q(x) creciente en x = 10 ?

2 2 '( ) 4 1 cos(2 2) '(10) 4·10 1 cos(2·10 10 2) 39·cos192 38.14 q x x x x q            Luego q(x) es decreciente en x = 10 23. Sea la función f (x) = x2 +4x –12. a) Representarla gráficamente. -8 -6 -4 -2 2 4 -15 -10 -5 5 10 15 20

b) Hallar y representar la recta tangente a f(x) en x = –5.

2 0 0 ( 5) ( 5) 4( 5) 12 7; '( ) 2 4; '( 5) 2( 5) 4 6 ( 5, 7) 6 37 6 f f x x f Pto y y m x x y x m                              

(15)

-8 -6 -4 -2 2 4 -30 -20 -10 10 20

24. Sea la función f (x) = x2 – 4x – 5. ¿Para qué valor de x la derivada vale cero? '( ) 2 4; '( ) 0 2 4 0 2 f x x f x x x        

4. Tabla de las derivadas de algunas funciones habituales

1 1 1 1 ( constante) ' 0 ' 1 ' ( ) ' '( ) 1 ' 2 '( ) ( ) ' 2 1 ' '( ) ( ) ' n n n n n n n n n n y K K y y x y y x y nx y u x y nu u x y x y x u x y u x y u y x y n x u x y u x y n u                     

(16)

( ) ( ) ( ) ( ) ' ' '( ) ' ln ' '( ) ln ( ) '( ) ( ) ' '( ) ln ( ) ( ) 1 ln ' ' ln ( ) ' 1 log ' = ln ' log ' ln x x u x u x x u x u x w x w a a y e y e y e y e u x y a y a a y a y a u x a w x u x y u x y u w x u x u x y x y x u y u x y u y x y x a u y u y u a                              2 2 2 2 2 sen ' cos sen ' ' cos cos ' sen cos ' ' cos 1 tg ' 1 tg cos tg ' ' (1 tg ) 1 cotg ' sen cotg ' ' (1 cotg ) sec ' sec tg sec ' ' sec tg cosec ' y x y x y u y u u y x y x y u y u u y x y x x y u y u u y x y x y u y u u y x y x x y u y u u u y u y                                       u' cosec cotg uu 2 2 2 2 2 ' arcsen ' 1 ' arccos ' 1 ' arctg ' 1 ' arccot ' 1 ' arcsec ' 1 u y u y u u y u y u u y u y u u y u y u u y u y u u                 

(17)

Figure

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