FUNCIONES. 4º E.S.O. Opción B CONCEPTO DE FUNCIÓN

FUNCIONES

4º E.S.O. Opción B

CONCEPTO DE FUNCIÓN

Una función es una relación entre dos magnitudes en la que a cada valor de la primera se le asocia un único valor de la segunda que se llama imagen.

La variable independiente es el valor de la primera. Se designa por x.

La variable dependiente es el valor de la segunda que le La variable dependiente es el valor de la segunda que le corresponde a x. Se designa por y.

El dominio de la función es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente y que tienen imagen.

El recorrido de la función es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente y son imagen de x.

CONCEPTO DE FUNCIÓN

Una tienda de café vende su especialidad a 2 euros el kilogramo.

x: Kilogramos 0,5 0,8 1 1,5

y: Euros 1 1,6 2 3

Tabla

Gráfica Fórmula y = 2x

CONCEPTO DE FUNCIÓN

Una tienda de café vende su especialidad a 2 euros el kilogramo.

Variable independiente, x → kilogramos de café Variable dependiente, y → precio en euros Dominio → ^{Dom f}

( )

⁼

[

^0,+∞

[

Dominio → Recorrido

( ) [ [

Dom f = 0,+∞

[

^0,

[

= +∞

CONCEPTO DE FUNCIÓN Hallar el dominio de f (x)= + x−2

( ) ( )

Dom f →x−2≥0→x≥2→Dom f =[2,+∞[

CONCEPTO DE FUNCIÓN Hallar el dominio de g(x) ¹

x 4

= −

( ) ( ) { }

Dom g →x−4≠0→x≠4→Dom g =
− 4

TASA DE VARIACIÓN

¿Cómo varía la función f(x) = x² + 1 cuando la variable x pasa La tasa de variación de una función f al pasar del punto a al punto b viene dada por la expresión:

[ ] ( ) ( )

TV a, b =f b −f a

de 1 a 1’2, es decir, cuando su valor se incrementa en dos décimas?

( )

²

( )

²

f 1 =1 + =1 2 f 1' 2 =1' 2 + =1 2 ' 44

Pasa de 2 a 2’44. La diferencia es de 0’44 y es la tasa de variación.

[ ] ( ) ( )

TV 1,1' 2 =f 1' 2 −f 1 =0 ' 44

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Una función es creciente en un intervalo si para cualquier par de valores del mismo a y b con a < b se cumple que ^{TV a, b}

[ ]

^>0

Una función es decreciente en un intervalo si para cualquier par de valores del mismo a y b con a < b se cumple que ^{TV a, b}

[ ]

^<0

[ ]

Creciente : TV a, b

[ ]

>0 Decreciente : TV a, b

[ ]

<0 Creciente : TV a, b >0 Decreciente : TV a, b

[ ]

<0

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Calcula la tasa de variación y estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = –x en el intervalo

[

^{2, 2 '1}

]

[ ] ( ) ( ) ( )

TV 2, 2 '1 =f 2 '1 −f 2 = −2 '1− −2 = −0 '1 0<

Como es una recta y la tasa de variación es negativa, la función es decreciente en el intervalo

[

^{2, 2 '1}

]

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Calcula la tasa de variación y estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = x²–1 en el intervalo

[

^{1, 2}

]

[ ] ( ) ( )

TV 1, 2 =f 2 −f 1 = −3 0=3>0

Como es una parábola, la tasa de variación es positiva y no contiene al vértice, la función es creciente en el intervalo

[

^{1, 2}

]

V b 0

2a

= − =

MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS Una función tiene un máximo relativo en x = a si existe un entorno del punto a en el que los valores que toma la función son menores o iguales que f(a).

Una función tiene un mínimo relativo en x = a si existe un entorno del punto a en el que los valores que toma la función son mayores o iguales que f(a).

son mayores o iguales que f(a).

Una función tiene un máximo absoluto en x = a si f(a) es mayor que f(x) para cualquier valor x del dominio.

Una función tiene un mínimo absoluto en x = a si f(a) es menor que f(x) para cualquier valor x del dominio.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS

Máximos relativos en: x = –6, x = –1, x = 6 Mínimos relativos en: x = –4, x = 3

Máximo absoluto en: x = –1

FUNCIONES PERIÓDICAS

Una función es periódica de período T si para todos los puntos del dominio se verifica que f(x + T) = f(x)

Período T=2 Período T=2

FUNCIONES ACOTADAS

Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k (cota inferior) tal que para todo x del dominio es f(x) ≥ k Una función f está acotada superiormente si existe un número real k’ (cota superior) tal que para todo x del dominio es f(x) ≤ k’

Una función f está acotada si lo está inferiormente y Una función f está acotada si lo está inferiormente y superiormente, es decir, si existe k y k’ tal que k ≤ f(x) ≤ k’

FUNCIONES SIMÉTRICAS

Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando se cumple para todo x que f(–x) = f(x).

También se llaman funciones pares.

f (x)=x2−2

FUNCIONES SIMÉTRICAS

Una función f es simétrica respecto del origen cuando se cumple para todo x que f(–x) = –f(x).

También se llaman funciones impares.

f (x)=x3

FUNCIONES SIMÉTRICAS Estudia la simetría de la función: f (x) ³₅

= x

( )

(

³

)

₅ ³₅ ³₅

( )

f x f x

x x

x

− = = = − = −

− −

(

^−x

)

^{−x x}

Es una función impar.

FUNCIONES SIMÉTRICAS

Estudia la simetría de la función: f (x)=x⁴−x²

( ) ( )

⁴

( )

^{2 4 2}

( )

f −x = −x − −x =x −x =f x

Es una función par.

OPERACIONES CON FUNCIONES

Producto de una función por un número:

(

kf

)( )

x =k f x⋅

( )

Suma de dos funciones:

(

^{f +g}

)( )

^{x =f x}

( )

^{+g x}

( ) ( )( )

3f x = ⋅3 f x

( )

=6x+3

( )

f x =2x 1+

( )( ) ( ) ( )

( )

²

f x =x 

Resta de dos funciones:

(

^{f −g}

)( )

^{x =f x}

( )

^{−g x}

( )

(

^{f +g}

)( )

^{x =f x}

( )

^{+g x}

( )

^=x2+2x

( )

( )

f x x g x 2x

= 

= 

(

^{f −g}

)( )

^{x =f x}

( )

^{−g x}

( )

^=x2−2x

( )

( )

f x x2

g x 2x

= 

= 

Producto de dos funciones:

(

f g⋅

)( )

x =f x

( ) ( )

⋅g x

( )

  f x

OPERACIONES CON FUNCIONES

( ) ( )

f x x2 1 g x 2x

= + 

= 

(

^{f g⋅}

)( )

^{x =f x g x}

( ) ( )

^{⋅ =}

(

^x2+1

)

^⋅

(

^2x

)

^=2x3+2x

División de dos funciones:

( ) ( )

( ) ( )

f f x

x ; g x 0

g g x

  = ≠

  

( ) ( )

3 2

f x x x

g x 2x

= + 

= 

( ) ( )

( )

3 2 2

f f x x x x x

g x g x 2x 2

  + +

= = =

  

Composición de dos funciones:

OPERACIONES CON FUNCIONES

(

g f

)( )

x =g f x

( )



( ) ( )

f x x2 1 g x 2x

= + 

= 

(

^{g f}

)( )

^{x =g f x}

( )

^^{=g x} ^2+1^{=2 x}

(

²⁺¹

)

^=2x2+2

(

^{g f}

)( )

^{x =g f x}

( )

^^{=g x} ^2+1^{=2 x}

(

²⁺¹

)

^=2x2+2

(

f g

)( )

x =f g x

( )

=f 2x

[ ]

=

(

2x

)

²+ =1 4x²+1

( )

²

x 2x ^f 2x +1

g

f g

Dos funciones son recíprocas o inversas si se cumple que:

FUNCIONES RECÍPROCAS O INVERSAS

(

g f

)( ) (

x = f g

)( )

x =x→g(x)=f (x)⁻¹

( ) ( )

f x 5x 3 x 3

= + 



( )

^{x 3}−

g x 5

− 

= 



(

^{g f}

)( )

^{x g f x}

( )

^{g 5x}

[

³

] ⁽

^{5x 3}

⁾

^{3 x}

5 + −

=  = + = =



(

f g

)( )

x f g x

( )

f ^{x 3} 5 ^{x 3} 3 x

5 5

− −

   

=  =  =  + =



Halla la función inversa de f(x) = 3x – 1

FUNCIONES RECÍPROCAS O INVERSAS

( )

^{y 1 1}

( )

^{x 1}

f x 3x 1 y 3x 1 x f x

3 3

+ − +

= − → = − → = → =

( )

f x y=x

( )

f⁻1 x

FUNCIONES RECÍPROCAS O INVERSAS

( )

^{2 2 1}

( )

f x =x →y=x →x= ± y →f⁻ x = ± x →No es función

FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

Una compañía de telefonía propone a los nuevos clientes la siguiente oferta para SMS: los diez primeros mensajes del mes son gratis, puedes mandar hasta 100 pagando 10€ y si envías más de 100 cada uno costará 10 céntimos.

( )

0 si 0 x 10

f x 10 si 10 x 100

< ≤



= < <

( )

f x 10 si 10 x 100

0 '10x si 100 x

= < <

 ≤



FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Representa:

( )

x si x 3

f x 2x 1 si 3 x 1

5 si 1 x

− < −



= − − ≤ <

 ≤



FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Representa:

( ) (

x 4 si x

)

4 0 x 4 si x 4

f x x 4

x 4 si x 4 x 4 si x 4 0

− + + ≤

 − − ≤ −

= − = =

+ > −

+ + >

 

