DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Texto completo

(1)

TASA DE VARIACIÓN MEDIA

La siguiente tabla ofrece el número de nacimientos en cada mes a lo largo de un año en una determinada población:

Meses 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nacimientos 60 70 82 150 120 100 98 110 95 80 70 54

Para saber, por ejemplo, cómo ha variado el número de nacimientos entre los meses de Enero y Abril, bastará con dividir la variación de nacimientos entre la variación de los meses:

30

3

90

1

4

60

150

=

=

nacimientos/mes

El número que se obtiene mide la variación media del número de nacimientos mensual. Indica que, por término medio, el número de nacimientos de un mes a otro ha aumentado en 30. Si hacemos lo mismo entre Abril y Septiembre tenemos:

11

5

55

4

9

150

95

=

=

nacimientos/mes

A este número se llama Tasa de Variación Media. En general:

Dada una función f(x) definida en un intervalo [a,b], se llama tasa de variación media de la función f en [a,b] al cociente:

( ) ( )

a

b

a

f

b

f

TVM

=

La Tasa de Variación Media es la proporción entre la variación de la ordenada y la variación de la abscisa en el intervalo [a,b]. Por tanto se trata de la pendiente de la recta secante a la gráfica de f(x) en el intervalo [a,b].

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Dada una función f se llama derivada de f en un punto de abscisa “a” al límite:

h

a

f

h

a

f

lim

a

f

h

)

(

)

(

)

(

'

0

+

=

→ = pendiente de la recta tangente

(2)

Ejemplos:

• Calculemos la derivada de la función

(

)

=

2

+

1

x

x

f

en x=1:

(

) ( )

h

f

h

f

lim

f

h

1

1

)

1

(

'

0

+

=

→ .

Como

f

(

1

)

=

1

2

+

1

=

2

y

f

(

1

+

h

)

=

(

1

+

h

)

2

+

1

=

1

+

2

h

+

h

2

+

1

=

h

2

+

2

h

+

2

, sustituyendo:

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

)

1

(

'

0 0 2

0

=

+

=

+

=

+

+

=

→ →

h

lim

h

h

h

lim

h

h

h

lim

f

h h

h . Por tanto f’(1)=2.

• Calcularemos la derivada de f(x) = x en el punto x = 2:

(

) ( )

(

)

1

2

2

2

2

2

2

)

(

'

0 0 0

0

=

=

+

=

+

=

+

=

→ → → →

h

h

lim

h

h

lim

h

h

lim

h

f

h

f

lim

x

f

h h h h

Es decir, f(x) = x es derivable en el punto x = 2 y f’(2) = 1.

FUNCIÓN DERIVADA

Hemos visto como calcular la derivada de una función f en un punto x=a. Pero si ahora queremos calcular la derivada de f en dos o más puntos, tendremos que repetir los cálculos para cada uno de ellos.

La forma de evitar la repetición de los cálculos es determinar la función derivada de f para un punto genérico y después particularizar en los puntos deseados.

La función derivada de una función f dada (o simplemente derivada) es una función que asocia a cada x, donde la función es derivable, su derivada f’(x).

La función derivada de y=f(x) se designa por y’=f’(x) o Df(x) y viene dada por:

(

) ( )

h

x

f

h

x

f

lim

x

f

h

+

=

→0

)

(

'

Ejemplos:

• Calculemos la función derivada de la función 2

5

)

(

x

x

f

=

. Para ello sustituimos a por x en la

definición de derivada:

(

) ( )

(

)

h

x

h

x

lim

h

x

f

h

x

f

lim

x

f

h h 2 2 0 0

5

5

)

(

'

=

+

=

+

→ → 

(

)

x

h

h

x

h

lim

h

h

h

x

lim

x

f

h h

10

5

10

5

·

10

)

(

'

0 2 0

=

+

=

+

=

→ →

Por ejemplo, en x=1: f’(1)=10·1=10.

• Vamos a calcular la función derivada de la función

x

x

f

(

)

=

5

:

(

) ( )

2 0 0 0 0

5

)

·(

5

·(

5

5

5

)

(

'

x

h

x

x

lim

h

h

x

x

h

lim

h

x

h

x

lim

h

x

f

h

x

f

lim

x

f

h h h h

=

+

=

+

=

+

=

+

=

→ → → →

Conocida la función derivada

'

(

)

2

5

x

x

f

=

, podemos calcular la derivada de f en cualquier punto. Por

ejemplo:

5

1

5

)

1

(

'

=

2

=

f

o

4

5

2

5

)

2

(

'

=

2

=

f

.

DERIVADAS SUCESIVAS

A partir de la función derivada primera se puede definir también, si existe, su derivada, y recibe el nombre de derivada segunda. Se designa por y’’=f’’(x) o

D

2

f

(

x

)

.

Análogamente se definen las funciones derivadas tercera, cuarta, …, n-ésima, que se designan por f’’(x),

)

(

4 (

x

(3)

REGLAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS

Para calcular las derivadas de operaciones con funciones no será necesario aplicar la definición de derivada, sino que podrá hacerse de forma rápida si se siguen las reglas de derivación que se muestran a continuación. Estas reglas están basadas en la definición de derivada y en las propiedades de los límites relacionadas con las operaciones con funciones.

Derivada de una función constante

D

(

k

)

=

0

Derivada de x

D

(

x

)

=

1

Derivada de una función potencia n

x

D

(

x

n

)

=

n

·

x

n−1,

siendo n un número cualquiera

Ejemplos: 4 1 5 5

5

5

)

(

x

x

x

D

=

=

( )

x

x

x

x

D

x

D

2

1

2

1

2

1

)

(

2 1 1/2

1 2

/

1

=

=

=

=

− − 2 2 1 1 1

1

1

1

)

(

1

x

x

x

x

D

x

D

=

=

=

=

− −− −

( )

x

x

x

x

D

x

D

2

3

2

3

2

3

)

(

2 1 1/2

3 2

/ 3

3

=

=

=

=

Derivada del producto de un número por una función

D

k

·

f

(

x

)

=

k

·

f

'

(

x

)

Ejemplos: 5 5 4 4

30

5

·

6

)

(

·

6

)

6

(

x

D

x

x

x

D

=

=

=

( ) (

)

3

3 2 2 2

3

2

·

2

3

·

2

3

1

·

2

3

2

3

x

x

x

D

x

D

x

D

=

=

=

=

− −

Derivada de la suma de funciones: D[f(x)+g(x)]=f’(x)+g’(x)

Ejemplo:

(

5

4

6

)

=

(

5

4

)

+

(

6

)

=

20

3

6

x

x

D

x

D

x

x

D

9

12

3

)

4

(

)

9

(

)

6

(

)

(

)

4

9

6

(

3

2

+

=

3

+

2

+

+

=

2

+

x

x

D

x

D

x

D

x

D

x

x

x

D

Derivada del producto de dos funciones: D[f(x)·g(x)]=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)

Ejemplo:

D

(

3

x

+

1

)

·

(

x

2

+

3

)

=

3

·

(

x

2

+

3

)

+

(

3

x

+

1

)

·

2

x

=

9

x

2

+

2

x

+

9

Derivada del cociente de dos funciones:

2

)

(

)

`(

(

)

(

`(

)

(

)

(

x

g

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f

D

=

Ejemplo:

(

)

(

)

(

2

)

2

(4)

Derivada de una función compuesta. Regla de la cadena:

D

(

g

f

)( )

x

=

g

'

f

( )

x

·

f

'

( )

x

Ejemplos:

1

2

·

1

2

1

1

2 2 2

+

=

+

=

+

x

x

x

x

x

D

D

(

x

5

+

2

x

)

10

=

10

(

x

5

+

2

x

) (

9

·

5

x

4

+

2

)

(

)

3

x

+

5

7

=

7

·

(

3

x

+

5

)

6

·

3

D

 

2 2 2

9

9

9

2

18

9

x

x

x

x

x

D

=

=

Derivada de las funciones exponenciales: D[ex]=ex D[ax]=lna·ax

Ejemplos:

 

3+4

=

3+4

·

(

3

2

+

4

)

x

e

e

D

x x x x

 

2

·

7

·ln

7

7

2x 2x

D

=

 

2x+3

=

2x+3

·

2

e

e

D

 

5

7x−4

=

5

7x−4

·ln

5

·

7

D

Derivada de las funciones logarítmicas: D[ln(x)]=

x

1

a

x

x

D

a

ln

1

·

1

)

(log

=

Ejemplos:

(

)

( )

3

7

7

·

3

1

3

ln

7 6 6 7 7

+

=

+

=

+

x

x

x

x

x

D

( )

x

x

D

·

1

3

ln

1

log

3

=

( )

x

x

x

x

x

D

·ln

1

1

·

ln

1

ln

ln

=

=

 

x

x

x

x

x

D

2

1

·

1

2

1

ln

=

=

TABLA DE DERIVADAS

SUMA DE DOS FUNCIONES D[f+g] = D[f] + D[g]

PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA FUNCIÓN

D[k·f] = k · D[f]; kR

PRODUCTO DE DOS FUNCIONES D[f·g] = D[f] · g + f · D[g]

COCIENTE DE DOS FUNCIONES

 

 

2

·

·

g

g

D

f

g

f

D

g

f

D

=

FUNCIÓN COMPUESTA D[gf]=g’(f)·f’

FUNCIÓN CONSTANTE D[k]=0, kR

FUNCIÓN IDENTIDAD D[x]=1

FUNCIÓN POTENCIAL

 

1

·

=

a a

x

a

x

D

 

·

1

·

'

f

f

a

f

D

a

=

a

 

x

x

D

2

1

=

 

f

f

f

D

2

'

=

FUNCIÓN EXPONENCIAL

 

x x

e

e

D

=

D

 

e

f

=

e

f

·

f

'

 

a

a

a

D

x

=

x

·ln

D

 

a

f

=

a

f

·ln

a

·

f

'

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

 

x

x

D

ln

=

1

 

f

f

f

D

ln

=

'

a

x

x

D

a

ln

1

·

1

log

=

a

f

f

f

D

a

ln

1

·

'

log

=

(5)

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Hemos visto que la Tasa de Variación Media es la proporción entre la variación de la ordenada y la variación de la abscisa en el intervalo [a,b] y que, por tanto, se trata de la pendiente de la recta secante a la gráfica de f(x) en el intervalo [a,b].

Así pues, si queremos hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y=f(x) en x=a, disponemos de los siguientes datos:

- El punto de tangencia es (a,f(a)). - La pendiente de la recta es m=f’(a).

A partir de estos datos se obtiene que:

La ecuación de la recta tangente a la gráfica y=f(x) en el punto x=a es:

y-f(a)=f`(a)(x-a)

Ejemplos:

• Calculemos la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

f

(

x

)

=

x

2

+

1

en x=1.

)

1

(

2

2

)

1

)·(

1

(

'

)

1

(

=

=

f

f

x

y

x

y

, ya que f’(1)=2.

• Hallemos la ecuación de la recta tangente a la parábola

f

(

x

)

=

3

x

2

2

x

+

4

en el punto de x=2.

Como f(a) = f(2) = 12, el punto de tangencia es (2,12). Además, f’(x) = 6x – 2. Por tanto, la pendiente de la recta tangente a f en x=2 será: m = f’(2) = 10. Entonces, la ecuación de la recta tangente a f en x=2 es:

y – 12 = 10 · (x-2)

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

En la figura se observa la recta tangente a una función creciente. La recta tangente es siempre creciente también para cualquier punto, por lo que su pendiente será positiva siempre. Por tanto podemos decir que:

Si una función es creciente en el intervalo (a,b) y es derivable en los puntos de este intervalo, entonces f’(x) > 0.

Análogamente:

Si una función es decreciente en el intervalo (a,b) y es derivable en los puntos de este intervalo, entonces f’(x) < 0.

En la figura se tiene la gráfica de una función con un máximo y un mínimo relativos. En ambos puntos, la recta tangente a la curva es horizontal y, por tanto, de pendiente nula. Por esta razón:

(6)

Así, la derivada proporciona un procedimiento rápido y eficaz para estudiar, mediante su signo, la monotonía (crecimiento) de una función. Se siguen los siguientes pasos:

1º. Se calcula f’(x) y se resuelve la ecuación f’(x) = 0. Las soluciones de esta ecuación son los puntos críticos, posibles máximos ó mínimos de la función.

2º. Se estudia el signo de la derivada, dando valores, para determinar si es creciente o decreciente. Después se determina si los puntos críticos son máximos ó mínimos.

Para comprobar si los valores de x en los que se anula la derivada primera son máximos o mínimos se calcula la derivada segunda y se sustituye el punto en f'’(x). Entonces:

a) Si f''(x0)<0  f(x) tiene un máximo relativo en x0.

b) Si f''(x0)>0  f(x) tiene un mínimo relativo en x0.

Ejemplo:

Estudia la monotonía, máximos y mínimos de la función:

f

x

x

x

2

x

2

3

3

)

(

2

3

+

=

.

Solución: Máximo relativo en x=1 y mínimo relativo en x=2.

CURVATURA. PUNTOS DE INFLEXIÓN

Una curva es cóncava hacia arriba (hacia las y positivas) en un punto cuando, al trazar la tangente en ese punto, la curva queda por encima de la recta tangente.

Una curva es cóncava hacia abajo (hacia las y negativas) en un punto cuando, al trazar la tangente en ese punto, la curva queda por debajo de la recta tangente.

Puntos de inflexión de una curva son los puntos en que cambia el sentido de la curvatura pasando de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. En los puntos de inflexión la tangente atraviesa la curva. Si f tiene un punto de inflexión en xo, entonces f'' (xo)=0.

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

(7)

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES. ESQUEMA A SEGUIR

Propiedades Caracterización

1 Dominio (D) xD  existe y tal que y=f(x)

- las funciones polinómicas están definidas para todos los valores de x.

- las funciones racionales no están definidas en los puntos que anulan el denominador.

- Las funciones radicales de índice par no están definidas en los valores que hacen negativo el radicando.

- Las funciones exponenciales están definidas para todos los valores de x.

- las funciones logarítmicas no están definidas para los valores menores o iguales que cero. 2 Simetrías:

a) Función par (simetría respecto al eje de ordenadas)

b) Función impar (simetría respecto al eje de ordenadas)

f(-x)=f(x)

f(-x)=-f(x)

3 Periodicidad f(x+T)=f(x)

4 Puntos de corte con los ejes: a) Corte con el eje OX b) Corte con el eje OY

f(x)=0, ninguno, uno o más puntos. f(0)=y, ninguno o un punto.

5 Ramas infinitas. Puntos en el infinito. a) Punto (-,?) (punto de partida de la gráfica) b) Punto (+,?) (punto de llegada de la gráfica) 6 Asíntotas:

a) Asíntotas verticales: x=a

b) Asíntotas horizontales: y=k

c) Asíntotas oblicuas: y=mx+n

lim ( )

xa

f x

= 

lim

( )

x→

f x

=

k

Estudiando el signo de f(x)-k para valores grandes (o pequeños) de x, se averigua la posición de la curva respecto a la asíntota.

x

x

f

lim

m

x

)

(

 →

=

,

n

f x

mx

x

=

→

lim

( )

;m,nR;m0.

La posición de la curva respecto a su asíntota se averigua estudiando el signo de f(x)-(mx+n) cuando x toma valores grandes (o pequeños).

7 Puntos de discontinuidad

lim ( )

( )

xa

f x

f a

8 Monotonía:

a) Intervalos de crecimiento b) Intervalos de decrecimiento c) Puntos críticos

f `>0 f `<0

f `(a)=0 y f ``(a) > 0  Mínimo f `(a)=0 y f ``(a) < 0  Máximo 9 Curvatura:

a) Intervalos de convexidad. b) Intervalos de concavidad. c) Puntos de inflexión.

f ``< 0 f ``> 0

(8)

Para proceder al trazado de la curva en función de estos datos conocidos hay que seguir los siguientes pasos:

1. Separar en el plano aquellas zonas donde la función f(x) no existe.

2. Situar los puntos de corte a los ejes, los extremos y los puntos de inflexión.

3. Trazar las asíntotas.

4. Iniciar el trazado de la curva empezando por el extremo izquierdo del dominio y a lo largo de una asíntota, si la hay.

Figure

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