DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

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(1)

TASAS DE VARIACIÓN

La siguiente tabla ofrece el número de nacimientos en cada mes a lo largo de un año en una determinada población:

Meses 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nacimientos 60 70 82 150 120 100 98 110 95 80 70 54

Para saber, por ejemplo, cómo ha variado el número de nacimientos entre los meses de Enero y Abril, bastará con dividir la variación de nacimientos entre la variación de los meses:

30

3

90

1

4

60

150

nacimientos/mes

El número que se obtiene mide la variación media del número de nacimientos mensual. Indica que, por término medio, el número de nacimientos de un mes a otro ha aumentado en 30. Si hacemos lo mismo entre Abril y Septiembre tenemos:

11

5

55

4

9

150

95

nacimientos/mes

A este número se llama Tasa de Variación Media. En general:

Dada una función f(x) definida en un intervalo [a,b], se llama tasa de variación media de la función f en [a,b] al cociente:

   

a

b

a

f

b

f

TVM

La Tasa de Variación Media es la proporción entre la variación de la ordenada y la variación de la abscisa en el intervalo [a,b]. Por tanto se trata de la pendiente de la recta secante a la gráfica de f(x) en el intervalo [a,b].

Ejemplo: Uno de los grandes problemas de la humanidad es actualmente el crecimiento de la población. A partir de la tabla que tienes a continuación, vamos a estudiar la variación, en millones, del número de habitantes de nuestro planeta a lo largo del presente siglo.

Años 1.900 1.920 1.930 1.940 1.950 1.960 1.970 1.980 1.996

Población

(millones) 1.569 1.881 2.015 2.249 2.515 3.019 3.693 4.450 5.600

(2)

Así pues, es fácil comprobar que la variación de la población mundial entre los años 1990 y 1996 es: f(1996) – f(1900) = 5600 – 1569 = 4031

Esta variación da una idea de la rapidez con la que una función crece o decrece; sin embargo, si queremos un conocimiento más preciso, debemos utilizar la tasa de variación media, que tiene en cuenta la amplitud del intervalo considerado.

Así, la tasa de variación media de la población mundial entre los años 1900 y 1996 es:

 

99

'

41

96

4031

1900

1996

1900

1996

f

f

TVM

En la tasa de variación media no influye el comportamiento de la función a lo largo del intervalo, ya que sólo intervienen las imágenes de los extremos y la amplitud de éste. De esta forma, pueden existir funciones distintas de [a,b] que tengan la misma tasa de variación media.

Ejemplo:

a) Dada la función 2

)

(

x

x

f

, la tasa de

variación media en el intervalo [-2,3] es:

   

5

4

9

)

2

(

3

2

3

f

f

TVM

.

b) Dada la función g(x) = x + 6, la tasa de variación media en el intervalo [-2,3] es:

   

5

4

9

)

2

(

3

2

3

g

g

TVM

.

Ambas funciones tienen la misma tasa de variación media en el intervalo [-2,3] y, sin embargo, no tienen el mismo comportamiento en dicho intervalo, como se ve en la representación gráfica.

Teniendo en cuenta que “b” es mayor que “a”, se puede expresar “b” como “a+h” para algún número real positivo “h”, y de esta forma la tasa de variación media se expresaría según la fórmula:

  

h

a

f

h

a

f

TVM

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

(3)

Dada una función f se llama derivada de f en un punto de abscisa “a” al límite:

h

a

f

h

a

f

lim

a

f

h

)

(

)

(

)

(

'

0

 = pendiente de la recta tangente

(La derivada de una función en un punto es un número real).

Se dice que una función f es derivable en un punto de abscisa “a” si existe dicho límite.

Si f es derivable en “a”, este límite se llama la derivada de f en “a”. Para designar este límite se utilizan diversas notaciones:

y’(a), f’(a), Df(a), df/dx(a), D[f(a)]

Ejemplos:

 Calculemos la derivada de la función

f

(

x

)

x

2

1

en x=1:

  

h

f

h

f

lim

f

h

1

1

)

1

(

'

0

 .

Como

f

(

1

)

1

2

1

2

y

f

(

1

h

)

1

h

2

1

1

2

h

h

2

1

h

2

2

h

2

, sustituyendo:

2

2

2

2

2

2

)

1

(

'

0 0 2

0

 

h

lim

h

h

h

lim

h

h

h

lim

f

h h

h . Por tanto f’(1)=2.

 Calcularemos la derivada de f(x) = x en el punto x = 2:

  

1

lim

2

2

lim

2

2

lim

2

2

lim

)

2

(

'

0 0 0

0

   

h

h

h

h

h

h

h

f

h

f

f

h h h h

Es decir, f(x) = x es derivable en el punto x = 2 y f’(2) = 1.

Derivadas laterales:

Como la derivada de una función en un punto viene dada por un límite, podemos definir las derivadas laterales de la siguiente forma:

Se llama derivada por la izquierda de la función f en el punto x = a al siguiente límite, si es que existe:

h

a

f

h

a

f

lim

h

)

(

)

(

0

 

Se llama derivada por la derecha de la función f en el punto x = a al siguiente límite, si es que existe:

h

a

f

h

a

f

lim

h

)

(

)

(

0

 

La derivada por la izquierda y por la derecha se llaman derivadas laterales. La derivada por la izquierda se designa por

f

'

 

a

, y la derivada por la derecha por

f

'

 

a

 .

La función f es derivable en el punto x = a si existen las derivadas laterales y éstas coinciden. En este caso:

 

 

 

a

f

a

f

a

f

'

'

'

.

Ejemplo:

Veamos si la función

1

x

si

x

1

x

si

x

)

(

2

x

f

es derivable en x = 1.

  

2

2

2

1

1

1

1

)

1

(

'

0 2 0 2 2 0 0

    

h

h

h

lim

h

h

h

lim

h

h

lim

h

f

h

f

lim

f

h h h h

  

1

1

1

1

1

)

1

(

'

0 0

  

h

h

lim

h

f

h

f

lim

f

h h

(4)

Derivada en un intervalo:

Una función es derivable en un intervalo abierto (a,b) si lo es en cada uno de sus puntos.

Una función es derivable en un intervalo cerrado [a,b] si es derivable en cada punto de (a,b) y derivable por la derecha en a y por la izquierda en b.

FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS

Hemos visto como calcular la derivada de una función f en un punto x=a. Pero si ahora queremos calcular la derivada de f en dos o más puntos, tendremos que repetir los cálculos para cada uno de ellos.

La forma de evitar la repetición de los cálculos es determinar la función derivada de f para un punto genérico y después particularizar en los puntos deseados.

La función derivada de una función f dada (o simplemente derivada) es una función que asocia a cada x, donde la función es derivable, su derivada f’(x).

La función derivada de y=f(x) se designa por y’=f’(x) o Df(x) y viene dada por:

  

h

x

f

h

x

f

lim

x

f

h

0

)

(

'

Ejemplos:

 Calculemos la función derivada de la función 2

5

)

(

x

x

f

. Para ello sustituimos a por x en la

definición de derivada:

  

h

x

h

x

lim

h

x

f

h

x

f

lim

x

f

h h

2 2

0 0

5

5

)

(

'

 

x

h

h

x

h

lim

h

h

h

x

lim

x

f

h

h

10

5

10

5

·

10

)

(

'

0 2

0

 

Por ejemplo, en x=1: f’(1)=10·1=10.

 Vamos a calcular la función derivada de la función

x

x

f

(

)

5

:

  

2 0

0 0

0

5

)

·(

5

·(

5

5

5

)

(

'

x

h

x

x

lim

h

h

x

x

h

lim

h

x

h

x

lim

h

x

f

h

x

f

lim

x

f

h h

h h

 

 

Conocida la función derivada

'

(

)

2

5

x

x

f

, podemos calcular la derivada de f en cualquier punto. Por

ejemplo:

5

1

5

)

1

(

'

2

f

o

4

5

2

5

)

2

(

'

2

f

.

Derivadas sucesivas:

A partir de la función derivada primera se puede definir también, si existe, su derivada, y recibe el nombre de derivada segunda. Se designa por y’’=f’’(x) o

D

2

f

(

x

)

.

Análogamente se definen las funciones derivadas tercera, cuarta, …, n-ésima, que se designan por f’’(x),

)

(

4 (

x

(5)

REGLAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS

Para calcular las derivadas de operaciones con funciones no será necesario aplicar la definición de derivada, sino que podrá hacerse de forma rápida si se siguen las reglas de derivación que se muestran a continuación.

Estas reglas están basadas en la definición de derivada y en las propiedades de los límites relacionadas con las operaciones con funciones.

La derivada de funciones elementales se puede obtener mediante la definición. A continuación se muestra una tabla con los resultados de las funciones más usuales.

Reglas de derivación

Suma y resta (f+g)`=f`+g` (f-g)`=f`-g`

Producto y cociente (f·g)`=f`·g+f·g`

2

`

·

`

g

g

f

g

f

g

f





Producto por un número (k·f)`=k·f`

Composición [g(f(x))]`=g`(f(x))·f`(x)

Derivadas de funciones elementales

Derivada de una función constante

0

)

(

k

D

Derivada de x

1

)

(

x

D

Derivada de una función potencia n

x

1

·

)

(

x

n

n

x

n

D

, siendo n un número cualquiera

Ejemplos:

4 1 5 5

5

5

)

(

x

x

x

D

 

x

x

x

x

D

x

D

2

1

2

1

2

1

)

(

2 1 1/2

1 2

/

1

 

2 2

1 1

1

1

1

1

)

(

1

x

x

x

x

D

x

D

  

 

x

x

x

x

D

x

D

2

3

2

3

2

3

)

(

2 1 1/2

3 2

/ 3

3

Derivada del producto de un número por una función

k

·

f

(

x

)

k

·

f

'

(

x

)

D

Ejemplos: 5 5 4 4

30

5

·

6

)

(

·

6

)

6

(

x

D

x

x

x

D

  

3

3 2

2 2

3

2

·

2

3

·

2

3

1

·

2

3

2

3

x

x

x

D

x

D

x

D

 

Derivada de la suma de funciones, f(x) + g(x)

D[f(x)+g(x)]=f’(x)+g’(x)

(6)

9

12

3

)

4

(

)

9

(

)

6

(

)

(

)

4

9

6

(

x

3

x

2

x

D

x

3

D

x

2

D

x

D

x

2

x

D

Derivada de las funciones trigonométricas Seno D[senx]=cosx Coseno D[cosx]=-senx

Tangente

 

x

x

x

x

D

2

2 2

sec

cos

1

tg

1

tg

Ejemplos: D[sen3x]=cos3x·3

D

cos

x

2

sen

x

2

·

2

x

 

4

2 4

3

4

·

tg

1

tg

x

x

x

D

Derivada de las inversas de las funciones trigonométricas

Arco-seno

2

1

1

)

(arcsen

x

x

D

Arco-coseno

2

1

1

)

(arccos

x

x

D

Arco-tangente 2

1

1

)

(arctg

x

x

D

Ejemplos:

 

2 2 2

5

1

10

)

5

(arccos

x

x

x

D

 

2

1

)

(arctg

x x x

e

e

e

D

Derivada del producto de dos funciones

D[f(x)·g(x)]=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)

Ejemplos:

D

3

x

1

·

x

2

3

3

·

x

2

3

3

x

1

·

2

x

9

x

2

2

x

9

x

x

x

x

x

x

D

(

2

sen

)

2

sen

2

cos

Derivada del cociente de dos funciones

2

)

(

)

`(

(

)

(

`(

)

(

)

(

x

g

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f

D

Ejemplos:

2

2

2

2 2 2

2

1

1

1

2

·

1

·

1

1

x

x

x

x

x

x

x

x

D

 

2 2 2

2

2

·

cos

·

sen

cos

x

x

x

x

x

x

x

D

(7)

Derivada de una función compuesta. Regla de la cadena:

D

g

f

 

x

g

'

f

 

x

·

f

'

 

x

Ejemplos:

1

2

·

1

2

1

1

2 2

2

x

x

x

x

x

D

D

x

5

2

x

10

10

x

5

2

x

 

9

·

5

x

4

2

3

x

5

7

7

·

3

x

5

6

·

3

D

 

2 2

2

9

9

9

2

18

9

x

x

x

x

x

D

Derivada de las funciones exponenciales

D[ex]=ex D[ax]=lna·ax

Ejemplos:

 

e

34

e

34

·

3

x

2

4

D

x x x x

D

 

7

2x

7

2x

·ln

7

·

2

 

e

2x3

e

2x3

·

2

D

D

 

5

7x4

5

7x4

·ln

5

·

7

Derivada de las funciones logarítmicas D[ln(x)]=

x

1

a

x

x

D

a

ln

1

·

1

)

(log

Ejemplos:

 

3

7

7

·

3

1

3

ln

7 6 6

7 7

x

x

x

x

x

D

 

x

x

D

·

1

3

ln

1

log

3

 

x

x

x

x

x

D

·ln

1

1

·

ln

1

ln

ln

 

x

x

x

x

x

D

2

1

·

1

2

1

(8)

TABLA DE DERIVADAS

FUNCIÓN CONSTANTE D[k]=0, kR

FUNCIÓN IDENTIDAD D[x]=1

FUNCIÓN POTENCIAL

 

1

·

a

a

x

a

x

D

D

 

f

a

a

·

f

a1

·

f

'

 

x

x

D

2

1

 

f

f

f

D

2

'

FUNCIÓN EXPONENCIAL

 

x x

e

e

D

D

 

e

f

e

f

·

f

'

 

a

a

a

D

x

x

·ln

D

 

a

f

a

f

·ln

a

·

f

'

FUNCIÓN POTENCIAL-EXPONENCIAL

D

 

f

g

g

·

f

g1

·

f

'

f

g

·ln

f

·

g

'

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

 

x

x

D

ln

1

 

f

f

f

D

ln

'

a

x

x

D

a

ln

1

·

1

log

a

f

f

f

D

a

ln

1

·

'

log

FUNCIÓN SENO D[senx]=cosx D[senf]=cosf·f’

FUNCIÓN COSENO D[cosx]=-senx D[cosf]=-senf·f’

FUNCIÓN TANGENTE

 

x x x

D 2 2

cos 1 tg 1

tg   

 

x f f x f

D 2 2

cos ' ' · tg 1

tg   

FUNCIÓN ARCO SENO

2

1

1

)

(arcsen

x

x

D

2

1

'

)

(arcsen

f

f

f

D

FUNCIÓN ARCO COSENO

2

1

1

)

(arccos

x

x

D

2

1

'

)

(arccos

f

f

f

D

FUNCIÓN ARCO TANGENTE

(= - ARCOCOTANGENTE) 2

1

1

)

(arctg

x

x

D

2

1

'

)

(arctg

f

f

f

D

FUNCIÓN FUNCIÓN SIMPLE FUNCIÓN

COMPUESTA

Ejemplos:

3

x

5

7

7

·

3

x

5

6

·

3

D

 

2 2

2

9

9

9

2

18

9

x

x

x

x

x

D

 

e

2x3

e

2x3

·

2

(9)

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Hemos visto que la Tasa de Variación Media es la proporción entre la variación de la ordenada y la variación de la abscisa en el intervalo [a,b] y que, por tanto, se trata de la pendiente de la recta secante a la gráfica de f(x) en el intervalo [a,b].

Si tomamos una función f que es derivable en x=a, y consideramos los puntos P=(a,f(a)) y Q=(a+h,f(a+h)), la recta que pasa por estos dos puntos es secante a la gráfica de f, y la tasa de

variación media,

h

a

f

h

a

f

TVM

(

)

(

)

, es su pendiente.

Al calcular la derivada de la función f en el punto a, esto es, f’(a), se toma el límite de TVM cuando h tiende a cero. Pero si h se hace cada vez más pequeño, el punto a+h se aproxima al punto a y el punto f(a+h) al punto f(a), es decir, el punto Q tiende al punto P, y la recta secante a la gráfica de la función f, que pasa por los puntos P y Q, tiende a la recta tangente a la gráfica de f en el punto P.

Así pues, si queremos hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y=f(x) en x=a, disponemos de los siguientes datos:

- El punto de tangencia es (a,f(a)). - La pendiente de la recta es m=f’(a).

A partir de estos datos se obtiene que:

La ecuación de la recta tangente a la gráfica y=f(x) en el punto x=a es:

y-f(a)=f`(a)(x-a)

Ejemplos:

 Calculemos la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

(

)

2

1

x

x

f

en x=1.

)

1

(

2

2

)

1

)·(

1

(

'

)

1

(

f

f

x

y

x

y

, ya que

f

'

(

x

)

2

x

f

'

(

1

)

2

·

1

2

.

 Hallemos la ecuación de la recta tangente a la parábola

f

(

x

)

3

x

2

2

x

4

en el punto de x=2.

Como f(a) = f(2) = 12, el punto de tangencia es (2,12). Además, f’(x) = 6x – 2. Por tanto, la pendiente de la recta tangente a f en x=2 será: m = f’(2) = 10. Entonces, la ecuación de la recta tangente a f en x=2 es:

Figure

TABLA DE DERIVADAS  FUNCIÓN CONSTANTE  D[k]=0, k  R  FUNCIÓN IDENTIDAD  D[x]=1  FUNCIÓN POTENCIAL    1·aaxaxD D  fa  a · f a  1 · f '   xxD21   fffD2' FUNCIÓN EXPONENCIAL   x xeeD D  ef  e f ·f '  a a aDxx·ln D  af  a f ·ln a · f

TABLA DE

DERIVADAS FUNCIÓN CONSTANTE D[k]=0, k  R FUNCIÓN IDENTIDAD D[x]=1 FUNCIÓN POTENCIAL   1·aaxaxD D  fa  a · f a  1 · f '   xxD21   fffD2' FUNCIÓN EXPONENCIAL  x xeeD D  ef  e f ·f '  a a aDxx·ln D  af  a f ·ln a · f p.8

Referencias

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