Sobre la convolución de distribuciones

por

J. A. Fernández Viña

PRESENTADO POR EL ACADÉMICO D. ALBERTO Dou

El producto de convolución se estudia ordinariamente para fun-ciones y distribufun-ciones definidas sobre un mismo espacio numérico. En las líneas que siguen exponemos una extensión de ios resul-tados clásicos al caso en que los elementos que se multiplican» estén definidos en espacios de distinto número de dimensiones.

1. CONVOLUCIÓN DE FUNCIONES CONTINUAS

Consideremos el espacio E" identificado al producto R" x R"-""

co« P < H, y pondremos

•*' = (•* . . r r f ï r* — Ir r i r" — i r x ) v ' 'V -ríUi ^nJ'^ ~ v*V '"' V' ~ *• Pu' "" "''

1-1. DEFINICIÓN.—Si f es una aplicación de R" en C, llamaremos-soporte respecto de R" de /, y Io denotaremos por [/]„, a la adheren-cia del conjunto de los .r' € R" para los que existe algún x" € R*-"'

tal q»e / (.r', .r») ^ 0.

or otrn parte, denotaremos por [/] el soporte ordinario de la "nción / por -p ^-j la proyeccjón de r ^ j sobre RP Nótese que r,t [f]

s neces;ir'amente un conjunto cerrado, mientras que [/]„ si lo es.

'"-i. U:4,A._S, [/] c [/],.

ejem--píos que prueban que it, [/] y [/]„ son conjuntos distintos, en ge-neral.

1.3. DEFINICIÓN.—Si / 6 C (R") y g í C (R"), la integral

lf.(t.x"}S(X'-i)dt

*f

-se puede considerar extendida a «, [/] fi (x' — [g]) y por tanto •existirá seguramente, para todo -r" 6 R*-", cuando sea compacto cualquiera de los conjuntos [/], [g}, [/]„ -v [/]. En estas

condicio-nes llamaremos producto de convolución de / por g (en este orden) y lo representaremos por / * g, a la aplicación de R" en C:

* •* f f (t, *") S (f — t) d t.

F.f

Nótese que la integral

jtp-s.x^g&ds

R>

•existe al mismo tiempo que la anterior y es igual a ella.

1.4. PROPIEDADES.—Por simple adaptación de las técnicas de demostración que se utilizan corrientemente (véase [1]), se demues-tran las propiedades siguientes :

1.4.1. / * g € C (Rn) y la aplicación (/, g) -» / * g es bilineal.

1.4.2. Si / (resp. g) es continuamente derivable respecto de U'1

-•vector v € Rn (resp. w £ R"), entonces f*g es continuamente

den-iable respecto de v (resp. w) y se tiene :

DV ( / * £ ) = (Dv /) * g, (resp. Dw (/ * g) = / * Dw g).

En consecuencia, si / es de clase Cm, f * g resulta también de

sus p primeras variables. Si P (D) (resp. Q (D)) es un operador di-ferencial lineal con coeficientes constantes, sobre Rn (resp. R"), de

orden in y si / (resp. g) es de clase Cm, se tiene :

P (D) (/*£) = (P (D) /)*£,. (resp. Q (D) (/ * aO = / * Q (D) g).

1.4.3. [/ * g]t c [/]j, + [o-]. Además, si [g.] y alguno de los •conjuntos [/], [/]p y 7ip [/] son compactos, resulta [/ * g ]p también

compacto.

En cuanto al soporte ordinario de / * g, se tiene : [/ * g] c: r, tf] + [g] x T^ U] ; ^ [/] y ta'l son compactos, [/ * g] serà compacto.

1.4.4. ( / * £ • ) * / ! = / * ( £ * /z), donde à € e (R3) con q < p.

Anotemos por último tina propiedad, de demostración sencilla, y que será utilizada más adelante :

1.45. (f*h)*g=f*(g*h).

NOTA.—Naturalmente, esta teoría de la convolución parcial pue-ae llevarse a cabo para clases de funciones más amplias que las fun-ciones continuas con las condifun-ciones de soporte impuestas.

2. CONVOLUCIÓN DE DISTRIBUCIONES POR FUNCIONES

¡stingeremos dos casos según que el número de dimensiones

1 esPacio donde está definida la di:

que el correspondiente de la función.

espacio donde está definida la distribución sea menor o mayor

2.1. DEFINICIÓN.—Sea T € 3)' (Rp) y ,? •€ 2) (Rn), con p<n. teanra todo 'r£ R " , la aplicación t -» ? (.v' — t, .r") de R" en C,

per-e,nece a ^ OR") y por consiguiente < T, «p (x' — t, x") > es un

Dumeto complejo función de x. A esta función la llamaremos

pro-ucto de convolución de la distribución T por la función 9 y la deno-taremos por T * c.

T ç I! entemente. la definición subsiste en los siguientes casos :

<°*pacto? y ;? € -S (RK)' T e ®' (RP) y 9 6 6 (R"} C0n h]p ° "" [<Pl

m v f ' aSi mismo si se consideran distribuciones de orden finito

y »unciones de clase e».

KEY. Hj. p

2.2. PROPIEDADES.-—Haciendo uso, como en 1.4, de las técnicas de demostración para el caso /> = n, se establecen sin dificultad las propiedades siguientes :

2.2.1. T * =, e G (Rn) y la aplicación (T, 9) -> T * ç es bilineal.

2.2.2. D" (T * 9) = T * D" 9 y D°" (T * ?) = (D" T) * <?,

don-de x € N" y a' € W.

En consecuencia, con notaciones del número anterior, se tiene: P (D) (T « ç) = T * P (P j 9. Q (D) (T * 9) = (Q (D) T) * 9.

2.2.3. [T * o], c [T] ,+ [?]„. Además, si [T] y alguno de los-conjuntos [o], [9], y r.f [o] son compactos, [T * o]p resulta

com-pacto.

En cuanto al soporte ordinario de [T* o], se tiene:

[T * 9] C [T] + -, [ç] .X *„_, [<p].

2.2.4. (T * 9) * ^ = T * (9 * ¿), donde 6 6 2 ) (Rm) con » <

m-2.3. DEFINICIÓN.—Sea T € 2)' (R") y o € £0 (R") con p < n. Consideremos la aplicación ¿ -> < T, ò * ? > (1) de 3) (R") en C, que es lineal en virtud de 1.4.1. Demostremos que es continua.

En efecto, dado el conjunto compacto K c R", se tendra W * 9] C (T, K - [9]) x *„_„ K = K0.

para toda ty con [<}] c: K y, como consecuencia de KD existen un»

constante c' > O y un entero m tales que :

|< T. vi * ¿ > I < f' V s„p D« ty * 9) (x) \.

\¿tm '£ K>

Por otra parte

l D* W * <P> (*) l .< f l (°a W (-«" - '. *"i 9 <0 l <* < .<

[ í j n í . ' - ^ K )

sup l (n*Ç)(jr' — ¿, jr") |,

/ e ( V - s/ K)

con c" constante independiente de fy. Luego : < T, V- * õ > | < c V sup sup I (D* VO (*' - t, *") \a\2m ** KO « M « ' - " / K ) es decir, i < T, ç- * ç > ! < c V sup 1 D" v (-O 1 \<!\Tm *e K

que es lo que deseábamos probar.

La aplicación >ì -> < T, ò * 9 > es, pues, una distribución sobre R", que será denotada por T * ç y a la cual llamaremos producto-de convolución producto-de T por o.

NOTA 1.a—La distribución T * <p no es, en general, una función.

En efecto, para T = S, si existiera una función / 6 .fV. (Rn) tal que:

< T * ç , . V ' > = f f t d x , V v € 2 > ( R " ) .

K"

considerando en particular la función í (-r) = s (•'") PX (•'•")

donde g * & (Rr} y ^^ est¿ defin!da por

PX Cr") = exp. (- A=/(A2 — '-"2)). s¡ r" < .X n PX (.v") = O, si r" ^, A, donde r" = ( V* .v»/ )'\l/í 1 -/ / > " tendnamos :

< 3 * tf. vi > = (ii ^ |,) (O) = 1—1 / j; (.<) 9 (íj ií s,

j" f j d x = f g (.r') d .r' f / (x*, x") f x (x») d .

R" F.f E*-/1

= j's (•*") d x> j f ( x f j x,,} px pU) d r„

[g] r < *

Cuando X -> O, la última integral tiende hacia cero mientras que <C 8 * o, <\> > permanece constante.

NOTA 2.a—Si aplicásemos las definiciones 2.1 y 2.3 en el caso p = n, obtendríamos el mismo resultado. En efecto :

< T * ç. ^ > = < T , < ¿ * c > = (T * W * 9)-) (0) = = (T * (9 * v% (0) = ((T * «p) * VÕ (0) = l" (T * «p) Ç d -v. 2.4. PROPIEDADES. 2.4.1. La aplicación (T, 9) -> T * 9 es bilineal. Demostración trivial. 2.4.2. D1 (T * 9) = (D* T) * 9, D*' (T * 9) = T * D"' 9, donde a € N" y v/ € N". Demostraciones inmediatas.

En consecuencia, con notaciones ya conocidas, se tiene :

P (D) (T * 9) = '(P (D) T) * v, Q (D) (T * 9) = T * Q (D) ç.

2.4.3. (T* 9) * < > = T * (9 *^), donde ^ € 2) (R') con ? < f En efecto, si y € 2) (Rn) se tiene, aplicando 1.4.5 :

< T * (9 * ^), x > = < T, x * (9 * V)" > = < T. x * (9 * Â > = = < T, (x * \f) * ç > = < T * <p, x * /> = < (T * 9) * 4, x >•

La.relación correspondiente entre los soportes requiere una nueva definición.

2.r>. DEFINICIÓN.—Dada la distribución T € 2)' (Rn), llamare-mos soporte de T respecto de R", y lo representarellamare-mos por [T]i» a conjunto de los puntos .f' € R" tales que, para todo entorno V

x' existen dos funciones -/ € £D (V) y co € 3) (R"-y) verificando < T, y. u > i 0.

El conjunto [T], es cerrado, pues su complementario es, eviden-temente, abierto.

2.6. LEMA.—-, [T] c [T],.

En efecto, si .v' € T., [T], existirá .v" € R"-" tal que (.r', x") € [T]. Dado arbitrariamente un entomo V de x', si W es otro entorno de

x", ha de existir 9 6 3) (V x W) tal que < T, ? > dp 0. Como el

conjunto 3) (V) (g) 2) (W) es denso en 3) (V x W), existirán X € 2) (V) y „> € 3) (W)

verificando < T, / w > =fc O : luego x' € [T]p. 2.7. TEOREM.A.—[T * ?]„ <r [T]p + [?].

En efecto, si .r' € [T * s]p, dado arbitrariamente el entomo V de x', existen / € 2) (V) y w 6 £D (R"-p) tales que < T, x w > 4: O ; entonces debe ser

[T] 'fl [íx «•) * 9] 4= 0 y por consiguiente :

-

m n (v-[ç.])*0.

•^n cuanto al soporte ordinario de la distribución T * 9, se tiene: [T * ç] c T, [T] + [<p] x V-P

m-3. CONVOLUCIÓN DE DISTRIBUCIONES

3.1. DEFINICIÓN.—Sea T € 3)' (R") y S € 3)' (R") con p < n, y supongamos que al menos una de ellas, por ejemplo S, tiene soporte compacto.

Consideremos la aplicación o -> < T, 3 * = > (1), de 3) (R*) en C, que lineal, en virtud de 2.2.1 y de la linealidad de T. Para demos-trar que es continua bastará ver que lo es la aplicación o -> S * o de 3) (R") en sí mismo, ya que T es continua. Si K es un compacto fijo de R", se tiene, en virtud de 2.2.3 :

[S * <pï c ([S] + -„ [<p]) x -„_„ [9] = Kc

y la cuestión se reduce entonces a probar que, para todo m € îi, existe k € IM y c > 0 tales que:

sup V I D* (5 * <p) (-r) | < c sup ^ | Da( p ( . r ) ¡ .

*E K« |o|^m "K l « i ^ *

para toda 9 G S) (R") con [o] c K. Esta desigualdad se obtiene in-mediatamente a partir de lo siguiente:

I D* (S * 9) W I = I < 5. D« ç K - t. .v") > i <; <c« /.,--P,,W Z I (D''+ *<?)(*'-',-r") |< f

\y\ -í **

<

..Ä,M Z K

«pH-v-í^")i,

son constantes independientes de 9.

Asi, pues, la aplicación < p ~ > < T , S * ? > es una distribución sobre R" a la cual llamaremos producto de convolution de T pof ^

y denotaremos por T * S.

'3.2. PROPIEDADES. 3.2.1. La aplicación (T, S) -> T * S es bilineal. Demostración trivial. 3.2.2. D* (T * S) = (D* T) * S y D1' (T * S) = T * D1' S, don-4e -j. € M" y a' € W. Demostraciones inmediatas.

Con notaciones ya conocidas, se tiene :

P (D) (T * S) = (î> (D) T) * S y O (D) (T * S) = T * Q (D) S. 3.2.3. [ T * S ] , C [ T ] p > + [S].

En efecto, si .v' Ç. [T * S]jj, para todo entorno V de x' existirán

l 6 3) (V) y w 6 3) (R"-p), tales que < T * S, 7. w > £ O ; esto im-plica [T] fi [S * (-/. o,)] 4: 0, de donde -v [T] n (— [S] + V) £ 0, luego V H (-„ [T] -f [S]) 4: 0, y por consiguiente

-v € s [Tj + [S] = *, [T] + [S] c [T]„ + [S].

En cnanto al soporte ordinario de la distribución T* S, se tiene :

[T * s] c ^TTtf+Ts] x -„_„ [T].

En efecto, sea •/ 6 [T * S], y sean V y S dos entornos de x' y x" respectivamente. Existe 9 € 3) (V x W) tal que < T * S, o > £ 0 T por consiguiente

x e 2> (V) >• « e 2) (W)

tales que < T ^ S, / w > $. 0. Esto implica que:

[T] f) ((- [S] + V) x W) * 0 luego

Vfl (s [T] -f S) * 0 y W -n .*„_, [T] * 0, !o c»al prueba que

NOTAS.—1.a Las notaciones empleadas para designar los espa-cios funcionales que hemos utilizado, son las clásicas de L. Schwartz. 2.a Dejamos para otra ocasión la investigación de la propiedad asociativa del producto de convolución de distribuciones, así como el estudio del .comportamiento del producto frente a la transformación parcial de Fourier, principio de localización, etc.

B I B L I O G R A F Í A

[1] NACHBIN, L.: Lectures on the Theory of Distributions. Uni-versidad de Recife, 1964.