C ONSTRUCTIVE KRULL DIMENSION OF LATTICES

l . INTROOUCTION.-

pe r subs e t s and inte rvals .

Rev. Acad. Cip.n~as Zarapo3a, 37 (198 2)

F=Oi s t *(Bool*)--+Ord*(Set*) and

~HEOREM 1. 1 . - The fu ncto rs

5

S:Ord * (Set*)--+Ois t *(Bo o l * ) are inverse contravaria nt equivalences of catego-- rie s³. * *

C ONSTRUCTIVE KRULL DIMENSION OF LATTICES

We describe Krull dimension of lattices constructively, in the sense of the theory of topoi :one works in sets with·the restriction of not using choi- ce and exluded middle. Throughout, all lattices are distributive, with O and .1which ar e preser ved by homomorphisms. Given a lattice D, we formulate the Krull dimension of D, dimD ~, by means of a simplicial set (Dn}n}o asociated to D; Do' in such a way that the complemented prime filters of Dn are the n- chains of complemented prime filters of D. The main theorem characterizes

dimD~n in te rms of the elements of the boolean algebra freely gene ra ted by D.

Since we do not us e choice, the Birkhoff-Stone dual ity is only used in the fi- ni te case .- So we can prove ou r thecr e m fer O fi n itely presented, by work ing 'in finite'ord er ed sets. Finally, we cons i de r a general latti ce as a fi l t er e d colimi t of fin i t ely pr e se n t e d ane s . Section 1 con t ai n s sorne gene r ali ties a~

bout the fr amewor k. Se cti oh 3 de velops the di men sion of lat t ice . Previously , Se c t i on·2 work s out the dua l dimension of ó.n ordered set in terms of their up- L. Español

Departamento de Geometría y Topología. Colegio Universi t a r i o de la Rio ja . Universidad de Zaragoza.

Classicaly,the Y-rul l dimension of a latric e O is the ~ax i mum lenght of a cha i n of prime f i l ters¹ (ideals) in O.Our constructi v e sett ing compe ls us to - wo r k only with complemented pr ime filters (ideals),that is with invers e ima g e sets of leO) under homomorph isms 0--+2 fro~ O to the two eleme n t s lattice 2.We have a contravariant functor F=Oi s t (-,2 ) :Oist--+Ord fro m lattices to ordered - sets.We also denote F=Bool(-, 2) :Bool--+Set for the restriction functor fr o m boolean algebras to se ts.

Now,we start with an order ed set X. The inv e r se imag e sets of 1(0) under a mo no to n e map X.--+2 are the comnleme n t e d ~ (l ower) subsets of X.A s befor e, we hav e a con t r a v a r ian t fun cto r S=Ord (- ,2):Ord~Ois t and its restric t i on - S=Set(-,2) :Se t~Bool.lf ^{X is finite in th e s}e ns e of Kuratow s ki², t he n S(X) is fi n itel y pr e se n ted :co n ve r se ly , i f O is fini t el y prese nte d , the n F(O) is fi nite . Se t *,Or d*,Oist* and Boo l * are the co r re spondi ng full su b c at e g o ries. Th e fol lo - - wing the o rem sc h o ws the construct ive par t of the classical Birkhoff - Stone dua -

li t y.

y

(4 ) (2) (1)

(3)

Is ," ',s

1:

l: X ---->X +1

o n n+l n n

Now we define a map an : p (X) --t P (X

n) from subsets of X to subsets of X n by where _~i means to delete xi and Xo=X.Thi s provides a simplicial set³ either in Set or in Ord.

A chain X~" '~Xn+l is said degenerated iff i t satisfies xi=xi+ l for so rne i=O, l ,••• ,n . Th e dege ne r a t ed (n +l)-c hai ns form th e sub sets Im(so) ,I m ( s l)' . • . . . . ,Im(Sn) of Xn+l.We de f i n e dimension by:dimX~n iff any (n+l)-chain is deg~

nerated.This means that the map (its doma in is the disjoint union of n+lcopies of X

n)

is surjective.ln particular,dimX=O iff the ordered set X is trivial (x~imp l ie s x=y).

The monotone maps Pi:Xn--+X(o~l~n),definedby Pi(xo~"'~xn)=xi,are univer sals for the property Po~·"~n.ln fact,given monotone maps fo~'''~fn:Y'''''''''X, - the is a unique monotone map f:Y~Xn such that the fol lowing diagrams are cornmutative

where U^C•is the co~plement^of U~X.lt ^{is easy to see} that a chain xo~"'~xn+l ^- is non degenerated iff there is U~X (take the elements with even index) such - that

(xo~···~xn+l) Ean+l(U) .Thus,we

^have

dimX~n

^iff

a~¡l ( ~) =P ( X )

^{.I n}

~articular,

x=o iff

a~l(~)=p(X)

^:any

U~X

is an upper subset.This property is equivalent to X

is trivial-o -

The next ste p is to look into the-families a~ l ( ~ ) . AS ^we know,u=a~l(~) ^iff U is an upper sUbset . Likewi se, U=a; l ( ~ ) iff U is the intersection of an upper - subset and a lower subset:then we say that U is an interval.A U~X is an in ter- val iff xo~xl~x2 with X

O,X

2EU implies xlEU.

6 _

2. DIMENSION OF ORDERED SETS.-

To be brief, we sha 1 1 deve10p this section c1assica11y,but the finite case which is ap11ied in Section 3 is va1id constructive1y.

For each ordered se t X and n~l,we consider the set X

n of the n-chains xo':;'" '':;'xn-in X,and the maps (o;'.i:'én)

di:Xn~Xn_l ' di( xo~" '~xn ) = ( Xo~"'~~ i:'é"'~xn ) si : Xn --> Xn+l ' si(Xo~" '~xn)=(xo~"'~~i~Xi~"'':;'Xn)

THEOREM 1.2.- Any 1attice (boo1ean a1gebral is a fi1tered co1imit of 'finite1y presented 1attices (boo1ean a1gebras) .••

7

(ii) dimX~2 n+l iff any USX is the union of n+l int erv als.

(5 ) po~" '~Pn

D ) D

j .:

ⁿ

fo~"'~fn / . D'

(i) u is the union of n~l in t e rv a l s iff u2 n(U)=l2l.

(ii) u is the union of _n~O intervals and one upp er section iff u2n+ l (U) =12l .

ces.

Proof.-Let D(n) be the free lattice generated by the disjoint union of n+l. copies óf D with the canonical maps hi:D~D(n),hi(x)=xi,o~i~n.Now we make th e THEOREM 3.1.- Let D be a lattice and n~l.Thereis a lattice D

n and homomor---- phisms Pi:D---4Dn(o~i~n) which are universals for the property Po~"' ~n'

Proof.-(i) dimX~2n is equival ent to u;~+ l( l2l) =P(X) . ThU s ^u_{2 n+ l}^{(U) =12l for any USX -} and theorem 2.1(ii) applies. (ii) is similar.**

3. DIMENSION OF LATTICES.-

We begin with the dual categorical constructio ns of (3),but now in lat t i-- (i) dimX~2 n iff any U~X is the unio n of n inte r v a l s and one upper -

subset.

COROLLARY 2.2.- Let X be an order ed set and _{n~O. We} ha v e:' which makes u2n(U)=12l as required.**

Conversely,we suppose that any 2n-chain with its eve n el e me n t s in U'has' some odd element in U.For i = l , " ',n we give the set I

i of elements XEU suchthat an y chain Xo~" '~x2n with its even elements in U satisfies x 2i_1EU.It is clear that U=I1V···~I~ .To prove that each I

i is an inte r v al we consider x~y~z such that X,ZEIi and we extend i t to form xo~···~x2n. by x=xo= " '=x 2 i - 2 ,y=x2i _ l and - z=x2 i=" ·= z 2 n . S i n c e ZEIi,we ha ve YEU.N ow, g ive n Yo~" ·~Y2n with its eve nelemen t s in U andoY2i=y,we form Yo~" '~Y2 i _l;;,z= " ' =z2n ; then ^ZEI_{i i}^{mpl ie s Y21_ 1EU and so} YEI i·**

Proof.-We only prove (i) but (ii) is similar.lf U=Ilu" ~Uln,where each Ii is an in t e r v a l , we consider a chain xo~"'~x2n suc h th at its n+l ~leme n t s wi t h eve n i~

dex are in U.Since there are n intervals,two even ele me nt s at least are in the same I

i and so one odd element at least is in such Ii~U.It follows that THEOREM 2.1.- Let U be a subset of ap ordered set·X. We have:

quotient lattice of D(n) by the congruence relation generated by:Oi=O,li=l, x.lly.=(xllY) ., x. v y.= (x vy) .,X.IIX,=X

k with _{k=min{i,j}(o~i,j~n)}.Thus we obtain a la

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ J 0_- ^o-

tt i c e D

n and a canonical homomorphism p:D(n)--4D

n.TO check that the maps

Pi=phi(o~i~n) are the required universal hornomorphisms is rutine.**

For D':2,the universal property (5) me a n s that the re is a one-to-onecorres pondence between the complemen ted pr i me'filters (ideals) of Dn and the n-chains of complemented prime fil ters (ideals) of D.

Next,we shall dualize (1) and (2).If we co n s i d e r Po~"'~Pi~"'~n+l :D ~D n + l , the n (5) gives di:Dn~Dn+l(o~i~n+l).Similary,from Po~"'~Pi~Pi~"'~

Pn-l:Dn~Dn_l ^{we obtain} si:Dn--+Dn_l(o~i~n-l) with Do=D.These homomorphisms d~

fine a simplicial set (D ) > in Dist.which is transformed in a simplicial set n n~o

(Bn)n~o in Bool under the free functor Dist--4Bool.We shall keep up the notation Pi,di,si for the boolean homomorphisms and Bo=B for the image of D under the free functor.Giv en a lattice D,we define dimension by:dimD~n iff the map (its - image set is the pr o d u c t of n+l copies of B

n)

(s .···'Sn):Bn+l~rr _Bn (6)

o n+l

is a mo no morph i s m in Bool.This means that (6) and the similar map in Dist are inj ective.Th us, if Kn+l is the kern el of (6),then we have dimD~n iff Kn+l=O.

The constructio ns Dn,B

n and Kn ( n~l ) ca n be extend e d in a natural way to g!

ve the functo rs Dn:Dist--+Dist.Bn:Dis t~Bool and Kn : Di s t --+ Se t . S i nc e colimits, free functo rs and fin i t e limits prese rve fil tered coli mits',all these functors do it like wi se .

The map (4) is now (n~l)

where th e symb o l "," de notes complemen t s in bool ea n al g e b r a s . V1e consider the ideal en of Bn gene ra ted by the irnage set C

n of Un .AS before,we have the fu n c - - tors Cn. Cn : Dist --+ Set. S ince homomorph is images and polynomials preservefiltered colim its ' ,the fu nc to r s C and C both have this pr ope r ty .

n n

Proof.- By Theor em 1.2 and the pr e s e r v i ng -p r o p e r tie s above,we must only prove - this lernma wh e n D is finitely presented.ln this case,we shall use Theorem 1.1 - wi t h X=F (D) and denoting by capital letters the subsets of X which are duals of the el e me n t s of B.Gi ven zCCn,there is ucB such that un (u ) =z . Du a l y : we have Z, U~X wi th un (U) = Z as in (4 ) . Re c a l l i ng Sect ion 2,the elements of Z are non degen~

rated chains,and soLs , " ' , 5 l}-l(Z)=\1l whic h is dual of zcK-.Thus C CK and

o n- n rr" n

sinc e Kn is an ideal,we ge t Cn!:; Kn.Convers el y, if ZCKn,then Z is a finite set of non degenerated chains.lf fo l l o ws Zl=Zlu"'uZ

k where'Z

j is formed by one non d~

ge ner ated chai n. Therei fore each z. is in e and so z=zlV" 'VZ CC Thus K ce _and

J n - k n' _ n- n

this proves that Kn=C n. * *

We sha ll end this paper with the main theorem,which is a lattice version -

8

of Corollary 2.2.

THEOREM 3.3. - Let D be a lattiee and n~O.We have:

(i ) dimD~2 n iff every XEB is Df the form n

x=x

v V

^(x./\,y.)

o i=l 1. 1.

(ii) dimD~2n+l iff every XEB is of the form

n+l

x=

V

^{(x.,qy .)}

i=l 1. 1.

Proof. - (i) _dimD~2n means K

2n+ l=0 .By Lernma 3.2 this is equivalent C 2n+

l=0

and so we have dimD<2n iff

u;~+ l ( O ) =B .

On the other hand,let A 2 n+

l be the set of the elements of B we state

above.Our theorem says that A2n+l=B.Aetually,we shall prove that A2n+l=u 2n+l-1 (O).

Theorem 1.1 and Theorem 2.1 (ii) give us this equality when D is finitely pre- sented.Thus,we only need to observe that A -1

2n+

l and u2n+

l ( 0 ) are funetorial eore truetions whieh preserve filtered eolimits.

(ii) is si mi l a r •••

Note th a t for any n~l An=U-1n (O).

In partieular,the main theorem shows that dimD=O iff D is a boolean alge- br a.

ACKNOWLEDGMENTS.- This materi al was th e first pa rt of a theses submitted to the Universidad de Zaragoza in june 1.97B and superv ised by Profesor J.L. Vi-- viente.I wo u l d lik e to thank hi m for his interest and eneouragement.The most - important ideas of the theses were eo rnmu n i ea t e d to me by A.J oya l and wer e la-~

ter diseussed with him on se v eral oe e a s ion s . It is to A.J oya l therefore that _i~r offer my deepest gratitude.

REFERENCES.-

l. R.BALBES and Ph. DWINGER : Distributive ~at t i e e s .Univer s i ty of Missouri Press.Columbia.(1.974) .

2. P.T.JOHNSTONE : To po s theory. Aeademie Pr ess. Ne w York (1.977).

3. S.~~C LANE : Categories for th e working mat hema t i eian . Spr i nge r-Ver l ag . New York. (1.971).

4. G.GRATZER : Universal algebra.Van Nostrand.Prineet on.(1.96 B).

9

Zaragoza .

Departamento de Teoría de Funciones . Facultad de Ci encias . Uni vers idad de

wrle + lis T . Denote

C1 < p < m)

o

< p < m

11 M

=

q.HPCT) $

(2) (1)

where E is a measurable subset of suppC u

s) and q e L~Cu) ^{verifies !q!p w= 1.} The set E is unique except for us - nu l l sets and q is determi ned by the sub- space up to constant factors of modulus one. More ov e r

Theorem '0 . The simply invariant subspaces of LPCu) are precisely the sub spaces of the form

J.J. Guadalupe.

paces generated by app l y i ng the shift operator to a furtct i on f ~ LP(w). paces in LP (w) (O< p < m) as we l l as a description of .the inva r ian t subs

In this paper we obtain a characterization of the simply invariant subs-

INVARIANT SUBSPACES IN

LP (w) (Q < P < m) o

Given a measure 11 on the unit circle T consider 11

=

Ilc + lis the Lebesgue descomposition, where de is the normalized me a s u r e on LPCIl) the space of complex valued u- me a s u r a b l e functions such that

j 1 f\PdU < OO

and by HPCu) the closure in LPCu) of the complex analytic polynomials pCei e)

= ~

akei ke Let S be the shift operator in LPCIl) defined.by

SCf) Cei e)

~

^eiefCeie). As in the classical theory a subspace M

e

LPCu) is called invariant if SCM)CM, doubly invariant if SCM)

=

M and si mpl y

invariant if it is invariant but not doubly invariant. The problem of determining the inv a r i a n t subspaces was so Lv ed by Beurling [lJ for subspaces which are contained in H2CT) with respect to Lebesr¡ue measure. In 13] , his results were extended to p > 1 and arbitrary u , with the Szego condition

Clog w e L^1CT», providing in particular a description of HPCu).

Rev: A~ad. Ciencnas Za raq oz a, 3í' (Ji!o;.;)

is outer LP(w) O < p

< .,

M. Let f e M and

e e HP(T) . Let us n

(1 < P < =)

Then

a.e., and then, by applying the monotone hn ~ log hl )

IKpl IKpl

f/Hn'eL"f\ M , and since a.e.

H ~

+ i (log I K

nl )"'l

=

h

"'1

(log _ _n_) IKpl Thus

lul = 1

hn

m...

=

be a simply invariant subspace of prove that M (\ Lce is dense in

h h

n e LP(T) and n = max IKpl

as M

is the modulus of an outer function Let

_ H

K exp ¡log IKnl

p -

h P

r

l

ⁿ

Kp exp log - - - + i IKpl converges to log 1

IKp l

is decreasing and hn

h log n

K_p Proof.

But

convergente theorem converges to zero we have

IKpl denote H

n

=

^Kp.e_n

Since IHnl

=

Ih nl i t follows that I f/H

nI

=

min tn , Ifl} and then f/H n e LO>.

On the other hand Hn/K

p is outer in HP(T) and l/K

p e HP(T) Therefore, there is a sequence {Pm} of analytic polynomials such that converges to

!-

in LP(T) . Then

Kp

J

^I

^{s, -}

^{Hn f P ¡P w dm e = )}

^I_

^{KHpf_ - fn KpmP}

^I

^{P de}

e \

I...!.

¡p

¡!-. - !-.

P .H IP de

. Hn ^Kp ^Kp m n

Therefore

First of all we shall

Theorem 1. The ~'¿mp.f.y '¿nvaIL'¿ant ~ub~paee~ 06 LP(w) • (O < P " " ) IILe~peet'¿v e.f.y 06 HPlw) ) aILe 06 the 60ILm

12 IKp l

= _ f _ .) : + _1_

'x

IK l.n { If

I

=n } IK I { I f I~n}

p . P

log h n log If l

x

+ log

I

Kp

I I

Kp

I .

n

{I

f

I

=n } :f '}

hn ⁼ max {l, ~

M= u . HP(w)

wheIL e u e ^{LP (w) and} luI = 1 ^a.e. IILe-!>p eet.i.v e.f.y u ü '¿nneIL) -l/p

(-i

~) " ')

with K

p ^(~) exp

p

^{(log where}

'"

denotes the conju~ate

c

function, c = exp

J

^{log w de and} K¹_p was proved to be outer in HP(T).

From (1) and (2) one obtains, in the case di"= w d e M= u.HP(w)

and is inner if M

e

HP(P)

We tryto extend these results to the case p ~ ^{1 .}

is proved.

inner in the case ,t h a t in

109 !f I e L1

Let f = K .F L1

(T)

p IFI e and therefore f = K .u.h with lu \ = 1

p and u

is dense in M i t follows that M

.- -." LP (w) P p. q

u.Hq(w) = u.H (w), and the theorem

. The dollow¡ng ~~a~emen~~ a~e equlvaren~:

If-f/H_n. I ~ ^{Ifl P + Jf/H IP} ~

j nj

converges to f in LP(w) by the dominated e Mf\L'" i t turns out th a t f e L"'n M . Now, Lq (W) is closed in Lq(w) and according to f/Hn_

f/H J n.

M (\J

p

converges to 109 1 IKp l

converges to (loq ~)~ ^{in Lq(T) with q < 1}

h n_

I

Kp

I

_{hn _} ~

{~} such that h (log ---2) hconverges to

P L- n, IKI n: ~l

Hn. = Kp.exp log

--l-

+ i (lgg ---2) Jconverges a.e.

J .

I

K

p

I .

IKp

I

i(log

--1--) ~1

^Kp.

~p

^{= 1 because}

. ~p

is outer in IKpl .'

11q Since Now log - - -

IKpl (log __nh__)~

IKpl subsquence

ii) [u ]

Result l. Con~¡de4

Theref o r e

K_p.exp L-109 1_ + IK~I

ji I f f HP(W) is factorized by 1

F = F..F where F. is inner

e i t

R·

^f J. o J.

and F outer in HP(T) . P

o

Resu l t 2.

16 6

^{e. HP (w) ·, ~hen E}

6

^{= F..{. HP( w)}

Proof.- Theorem 1 implies E

f u.HP(w) where u is inner. Let 13

with

=9 i i) . Supose f e LP(w). and and 10g IK I e L1(T)

. Then 10g

p .

h outer in HP(T) ¡ from this , a.e. and then E = u. HP( W) which is absurdo

f

=9 i) Supo se E

f ) LP(w) . By applying Theorem 1 , Ef = u.HP(w)

= 1 a.e. , then F = u.h with h e HP(T) (log Ih\ e L1(T) and theref ore log IFI e L1(T) , which implies 10g Jfl e L1(T)

contradicting ii).

Pz oof , i) wh~re F e LP( T)

IF I =

I

h

I

with

We try to characterize the invariant subspaces ge n e r a t e d by appl ying the shift operator to a functions f e LP(W) , O < p < '" • Denote by E

f the c10sure in LP(w) of the subspace spanned by lSn f} n =o ' where S is the shift

operator. I

l) E

6

^{= LP(w)}

16

^ü eyeUeJ .

U l .log

161 e

L/(Tl and

6

I O a. e. Mq U.Hq(w )

e

u. HP(w) with lu l

=

¹

Mq

e

Hq(w). From the fact th a t M r. Lce

. P

is de n se in M

p and-this gives us M p

Applications

Then {f-f/H .} converges to zero a.e. and nj

f 21flP . It foll ow s that convergen c e th eor e m.

let O < p _~ 1 < q Theor em O

to

and there is a if follows that

we obtain Frorn

is ·in ne r

1 ( [2],

and therefore is closed and h e HP(T) and Fo

and The orem 1

Lf also

w~th ~nne~ 6aet o ~ ~

F ¡IG~

is equivalent to

the 6une:Uon~ (F,I~,...•(Fnl~ (~n

~6 they d~v~de and ~nne~ 6unet~ on~

Fi.h wi t h h e HP(w) and this is F e HP(T) and G"e HP (T)

and since .G e HP(T) and

(Fk)i1u, k=l,•.. ,n

I

so that u.HP(w» ) ~ .HP(w) be 6u net~on~ ~n HP(w}

~~ eq u ~vai e n t to 1l.G with

Fi e L'"

u

the concept of divisibil i ty. Let F , G be functions be their res8:ctive inner factors. We say _tha~ F

i F.

I

G. when F1 is inner.·

1 1 i

is a simply invariant subspace in Corollary 2. Let 6" ... •6n ^{6unet~o n~ ~n} HP( w). Then

(>.

n E = u.HP(w)

k=1

6

k

Corolla~y 1. Let and and G~ ~e~p eet~veiy . Then

~~ the iea~t eommonmuit~pie 06 that· 1Fk1~Iu (k =' • ...,n1 and

'P '

the,n u

I

^{'f) •}

Th i s result was obtained by Beurli n g wh en 1 ~ P < ",' and w p. 114).

Proof. g e E

f is equ iva lent to g equivalent to

G.1 H HP(T) F:"₁ ^{F e}_o

Proof. lt is easy to prove that n

other hand (\ E k=l f k n

implies {\ E

f = u.HP (w) and then k=l k

'f

inner then Ef

:> 'f .

HP (w) k

14 REFERENCES

1.- A. BEURLlNG: On two problems concerning linear transformation s in Hil b e r t . space. Acta Math., 81 (1949), 239-255).

2.- P. DUREN: Theory of HP spaces. Acadenic Press, 1970.

3.~ J. GUADALUPE: lnvariant subspaces and HP sp aces with respect to arbitrary measures. Bolleti no U. M. l . To appear.

4.- P. KOOSlS: Introduction to HP spaces, Ca~bridge University Press, 1980.

Finally we in t r o d u c e in HP(T) and let Fi,G

i divides G

i , and writes

Result 2 extend the one obta ined by Srin i vasan an d Wang whe n w p. 110).

whe~ e u the ~e n~e f

=

^u.g

Fi · F_O

,'or equivalent F = u.G we obtain GF

o it follows that ~_F ^{é HP(T).}

o

l t is immediate that u.HP (w)C F.. HP (w) because Fi.HP (W)·

. e

¹

Snf e F.•HP( w) (e1n K .F e HP(w» . The n u.K F K h with

. 1 P o F. P

i-" ¿'

this implies ~ e HP(T) . From ~ e HP(T) and (~) ~ e HP(T)

i u u Fi o

u = A. F

i with A constant, complet i n g the proof.

with

, ul 'f

of radiations in the projective space P(H) are defined and characterized M.C. de las Obras - L.

Departamento de Mate máticas. Facultad de Ciencia s. Un i versidad de Ov iedo .

through the application of duality principle toothe stronq and weak converge~

ces of the sequences of subspaces inG(H) .

CONVERGENCIA DE RADIACIONES EN P<H),

LetHbe a real separable Hilbert sp ace , The convergences of sequences

Visto esto, la biyecci6n ortogonal b.1:G(Je) ~ G (J{) tal que b.dE) = E ' . es una biyecci6n continua de (n(Je) ,T

d) sobre (G(JC), T

f), siendo T d y T

f las topologías dadas por los T

d y Ti cerrados respectivamente (6) .

Mas aün, como E(n)~ ^E ~ E(n)~ E siendo ambas L*-convergencias (7), apli- cando el resultado citado de (5), la biyecci6n ortogonal es un homeomorfismo pa-

R~cordemosque dados dos conjuntos S y S' con unas convergencias c y c' re2 pectivamente, una funci6n f:S ~ S' es continua para c y c· si y solo si se veri- fica f(xn)cf,f(x) siempre que xncfx . Además si c' ve r i f i c a'los't r e s axiomas de Frechet, es L*~convergencia, la continuidad para c y c' equivale a la continui- dada para las topologías T(C) y T(C') .(5)

Como caso particular de la situaci6n general estudiada en (2), el conjunto de los subespacios lineales cerrados de JCes un L*-espacio separable con la con- vergencia fuerte - >. Por consiguiente G(JC) - (o}, con la métrica angular acota- da ó(M,N), es completo. Este resultado ya se vi6 en (3) y (4) para subespacios de dimensi6n o codimensi6n finita.

Consideremos el espacio proyectivo P(Je) de base el espacio de Hilbert sepa- rable real. Podemos trasladar a él, todos los conceptos de convergencias vistos para G(J{), con la salvedad de que al ser el subespacio nulo de dimensi6n proyec- tiva -1, es imagen del conjunto vacío. (1)

·Re v . Acad. Ciencias Zara~oza, 37 (1982)

ra las topologias correspondi~ntesa estas convergencias. Si T es la _~opologia mas fina con la convergencia fuerte y T' la topologia de identificación (8) , en-

tonces (G( J0 ,T) es homeomorfo a (G( X),T') y T'

ser~

la topologia mas fina con la

I

. b

convergencJ.a ~

Sea X* el du a l topológico de 1(,. f:1f ... ;K* el isomorfismo isométrico y p¡:J('*) el dual de P(J0 deducido de K* po r la relación de colinealidad, y considere mos la dualidad d:G (J0 - {o} ... G(1f) - {o} inducida por iob .

Ve6 ~ n~e~6 n. Dado un subespacio E e P(J0 , se llama radiación de base E, que de sig naremos por (E) , al conjunto de subespacios que pa s a n por él . Entre estos lo s de dimensi6n menor son los de la forma {r + E

I

r.1 E}.

Se cumplen evid e n t e me n t e todas las relaciones de dua lidad , siendo Ja fi g ura dual de la radiaci6n de base E, el conjunto de to d o s lo s hi per pl anos del dual de E, que es a su vez un espacio proyectivo (6). AsI , 'r e p r e se n taci o n es geométri c a s de (G(1f),T) y (G( :J(),T') ser án G

=

{E

I

E e ^{P(Jf)} Y G*}

=

{(E.l )

I

E.Le ^{P(:/{)}, por} consiguiente G(Jf) y G( K* ) son duales geométrica y topológicamente, si e ndo figu- ras duales E y _{(~) .} Debido a esto podemos dar las definiciones si gu i e n t es :

Ve6 ~n~e~6n .· ^{(E ( n) --» (E) si y solo} si se verifica n las dos condiciones siguien- tes:

i) Si TIh n ~ E(h n ), ta l que TIhn--» TI, entonces TI ~ E.

ii) Para todo TI ~ ^{E, ex i s te TI}_n ~ ^{E(n) tal qu e TI}n--»TI.

Ve6~n~e~6 n. (E( n» ~ ^{(E) si y sol o si se cumplen} las condiciones an~logas : i) Si TIh n ~ ^E(hn ) y TIhn~ ^{TI, en tonc e s TI} ~ ^E.

ii) Par a todo TI ~ ^{E, exi s t e TI}_n ~ ^{E(n) tal que} TIn~ ^TI.

De estas do s de f i niciones se desp re nde el siguiente resultado.

PJtapa6~e~6n. ^{E(n )--» E si y solo si (E( n).l)--lo. (E.1.) Y E(n)-->. E si y so l o si}

(E(n).l)---O> (E⁴) • Vema6 tJL a c. ~6 n.

Es inmediato po r las definiciones de convergencia de subespac ios y de radi a ciones y la equivalencia entre la s converge ncias fuerte y débi l de rayo s y déb i l Y fuerte de hiperplanos respectivamente.n

Por esta equi valencia la convergencia débil de radiaciones es L*-c o nverg e n - cia mientras que la fu er t e es L-convergencia. Aplicando el principio de dualidad a la conver gencia E(n)~ ^E ~ ~ ^{E(h n)}

=

_{E V(h n)}

e

(n), encontramos la minima L*-

16

I

n E N} Y {(E(n)

I

n E N} convergen a E y (E)

17.

Qu i e r o expres ar mi ag radecimiento al Pr o f. A. PLANS, por su or ien ta c ión y es t f mu l o en la realiza ción de este trabaj o .

TI^O•

~ ^{E (n) tal que TI}_n^{-4> TI .}

~ E(n)J. tal que TI' ...

n

Como nota final, todas las caracterizacio nes y pro p i e d a d e s vi s t a s para con- vergencias de subespa'cios en (4), (7), (9)-(15), so n aplicables por dualidad a las conv e r g e n c i a s de radiaci ones.

Ob6en va. c~6 n . La converg enci a simultanea fuerte de subes pacios y radiaciones E( n ) _ E y (E'n»)-> (E) equivale a la débil de E(n).L--->. E.i. y (E(n) ...) ... (E.l) .

Por la equi valenc ia entre (E( n)~ ^{(E) y E(n) L-:.. E",} la convergencia de ra- di a c ione s (E(n) )--"(E) es inmediata (9 ).c

Para ve r el re c f p roco, es decir que'E(n)-;,E, demostraremos que se verifi- ca n las d~s condiciones de la defini ción (10) .Se a xh

n E E(hn) A Xh

n - x, pasan- do a ra yos rh = w(x h ) A r = w( x) tene mos la equi v a le ncia rh - r " TIh -'> TI,

n n (h ) L n n

siend o TIh = rh.l , TI = r.l. junto co n TIh _~ E n' . Por la segunda condición del

n n n

enunc i a do TI _~ EL lueg o r e E. Sea x E E Y r el rayo cor re spo n d i en t e r = w(x) con hi perplano or togo na l TI. Como TI ~ EJ., exist e un TIo

n ~ ^{E(n ).L tal que} TIo n~ ^TI y en consecuenci a r

n e E(n) A rn~ ^r.

Como consecuencia de la an t e r i o r proposición, si E(n)~^{E y} (E(n»~ ^{(F), .}

F.(n)~^{-'> EL Y E}(n)l~ FJ. ha de ser E = F. Consideraciones análogas son válidas para

la convergencia débil simultanea E(n)~ E y (E(n» ~(F).·

Reccrdando que E(n).

.E.

E E(n).l-;'E.lya su vez E(n) ... -;,E ... (E ( n» ... (E), ve mo s que hemos obten ido una significación geomé t r i c a de la convergencia

~

^en

términos de radiaciones.

convergencia de radiaciones que contiene a la fuerte y que viene da d a por la

{h )... .

igualdad _~ (E n ) =(E·t

P nopo6~c~6n.

Las sucesiones {E(n) -respectivamente si y solo si:

i) Para todo TI ~ E, existe TI n ii) Para todo TI^O _~ EJ., existe TIo

n

Vemo6:tna.c~6n.

Si E(n)_ E y

(E(n»)~

^{(E), se tiene con'[uncament;e}

E(n)~

E y E (n).J... E.L, Y en (9) se demostró que en estas condiciones, JJ- TI

~

^{E '3 TIn}

~

^{E (n) tal que}

TIn ~ TI. An á l o g a me n t e se pru e ba el apartado ii ) .

BIBLIOGRAFIA

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OBRAS, M.C., Nuevas convergencias en G(1O, s tochastí.ca , ~,' (1981) (prensa)

18

Rev. Acad. Ciencias Zaragoza, 37' (198 2)

SOBRE LOS

G~UPOS H~CONSTRICTOS.NUEVAS

CARACTERIZACIONES y PROPIEDA- DES.

M.A . Cortés

De pa rt amento de Algebra y Fu nda mentos. Facul tad de Mate máticas. Uni vers idad de Vale nc i a. Valencia . España.

We obtain sorne new characterizations and prope rties of H-cons tra int gr oups. Mor e prec i s e l y we study when the H-c on stra in t

i5

inhe r i ted to se c tions, and con- versely how can be de duce d the H-c ons t ra int of a gro up fr omthe H- c ons t r aint of sorne subqroups or sections.

L INTRODUCCION

Denotaremos por H un homomor f o n- c e r rado, cerrado par a produc t o s dir e c to s , que sea saturado o verifique la Z-propiedad.

Diremos que un grupo es H-constricto si:

C r,(M)

~

M ,

donde Ges r,/G

H, y

M

es un maximal como H-subqrupo normal de

r,.

Estos grupos son una generalizaci6n natura l de los grup o s p- c on st ri cto s , 1T- c o n s t r i c t o s , (c. f.'3, 4) N-constrictos (c.f. 6) YF-constrictos , donde F es una formaci6n de Fitting saturada (csf ,7).

En trabajos anteriores (v. 1, 2) hemos obtenido que la clase de los gr upo s H-constrictos es una clase de Fitt i ng extens ibl e y saturada que contiene a lo s grupos resolubles.

En el presente trabajo obtenemos nuevas caracterizac iones y pr op iedades de los grupos H-constrictos; dado que la clase de dichos grupos no es homomor - fa. estudiamos bajo qué condic iones la H- c on s tri c ci6n de un qrupo se hereda pa- ra secciones y recíprocamente, en que forma de la constricc i6n de un subgrupo o secci6n puede de~ucirse la constricci6n del grupo total.

La notaci6n será la standard de la teoría de grupos (v. S).

Todos los grupos considerados son finitos.

19

2. CARACTERI ZACI ONES Y PROPI EDADES DE LOS GRUPOS H-CONST RI CTOS.

(2.3) Lema

Sea N un H' - subqrupo normal C~ r,. Entonces r. es H-con s t ricto si y so l o si G/N es H-cons t r icto .

r,/r,H' v M es un maxi-

N, ad e má s no es abeliano Si N no es sub grup o de G

H, , enton ces NGH,/G H, y por ta n t o:

20

(2.6) Proposición

Sea N un norma l minima l de G. Entonces N es H- qrUDOo Ñ'"es sub gru p o de CG (M), sie n d o Ñ = NGH,/GH, , G= G/ G

H, , Y Mun max ima l como H-su b qrupo nor ma l de G.

Demostr a c i ó n: Si N no es H-grupo , como es producto di re c to de gru pos simple s isomorfo s, NH

N.

(2.5) Proposición

Si G es H-c o nstri cto y N es un subgrupo no rmal de G, ento nces N es H-con s- tr i c t o.

De mos t r a c i ó n : ver 1 ..

Como consec uencia se t iene que;

1) To d o nor ma l minima l de G H-c on stri c t o es H-q r u p o o H' -grupo , pu e sto qu e tal normal minima l se rí a H-cons tr ic to.

2) Si G es H-con s tric to , o G/G

H, es H-g rupo o G/G

H, no es simple. (2.4) Teorema'

Sea G un grupo, F, = G/r.

H, , ~ un maximal como H-subqrupo normal de

G ,

^{so n}

equivalentes :

1) CG(M) ~ ~; 2) L(CF,(M» = 1; 1) L(F,) H-qrupo.

Las demos t rac ione s de lo s resu l tado s ante riore s puede n verse en 2

Como consecue nci a de (2.4 ) la de f i n ición de gr upo H-c on st r i cto es indepen-' diente de la elección del maximal como H-subqrUDO normal , pues queda carac ter i- zada por el hecho de que L(F,) E H.

(2.2) Teorema

Sea L(r, ) el radica l ·semis imp le de r., con G

H, = 1. Denotaremo s por LH(G) a L(G) H; se a K = LH (G) M, donde H es un subqruDo de r, que es ma ximal como H-sub- gr u po nor ma l . Entonce s:

1) LH( G) es sem isimpl e. 2) [LH(G) ^r MJ=l 3) LH(G)~ M,= Z(LH(G» . 4) (LH (G» H LH(G). 5) CG(K ) ~ M~ K.

(2. 1 ) Def i n ici ó n .

Un grupo G es H-cons tricto si : CF,(M) ~ ~\ , don d e r, mal como H-subg rupo normal de

r,.

21 (2.7) Proposici6n

Si G es H-constri~to, en to n c e s L(G) E H x H' .

Demostraci6n: Como G es H-constri cto, L(G) lo es . Escribamos L(r,) como pr od uc to de sus componentes:

.C- (T) ~

"

LH(G), donde LH (r, ) es el H-residual de L(G).

ti ene que [LH (r, ), M)= 1, lueqo : Ñ~ L (f,) ~ C-( M) ./ /

H "

- -H -

Como N ;= N es N

Por (2. 2, (2») se

y enton c es CS(T) _~ T./ /

En 2 probamos que to d o qrupo H-seo ar abl e es H-con stric to , el re c fproco no es cierto (c. f . _{~ '} Vemo s a conti n uac i6n que bajo ciertas condi c ion e s H-cons tric - ci6n impl ica H-sepa r a bi l i d a d.

(2.9) Teorema

G es H-separab l e si v s61 0 si r,/N es' H-constric to , oara todo subqrupo N ca- racterfs t i c o de G.

Demost r a ci6 n : Si G es H-separab le, lo es G/N, y por tanto H-constricto.

Recfpr o came nte : Supongamos G

H, ^='1. Lla memo s G* al producto de todos los sub grupos de G maximales como H-subgruoos normales. r,* es caracterfstico en G, además (2 . 8) Propos ic i6n

Sea G H-cons tric t o , S ~ G tal que M~ S, siendo M la antiimagen de Mmaxi- ma l como H- s u bgrupo normal de

G

en el eoimorfismo can6nico de r, en G/"H" enton- ce s S es H-con s t r icto .

Demostraci 6 n : Den ote mos por

G

^{a G/G}_H^{, ,}

S =

S/GH~ veamos que SH' es igual a 1. En efect o si Ñ es un nor mal H' -g r u p o de S, como H _~ S se tiene que;

[Ñ,M]

~ ÑIlM = 1

por tanto Ñ ~ C-(M ) ~ M , lue q o Ñ = 1 Y SH' = 1.

Como

M _{~ S~}

ex i s te T ma ximal como H-subgruo o norma l de

S,

tal que M

~

^T,

lueg o:

L(G)

=

L

1 L

r .

Cada L

j, como subq rup o normal de L(G) es H-c on st r i c t o.

Por ot r a parte (Lj)H ' 4 L

j , lue g o:

(1 ) (Lj)H' = L

j o (2) (Lj)H' _~ Z(Lj) En el sequndo ca so si denot amo s mediant e >1/(L

j)H' a un ma xima l como H-sub- grupo normal de Lj/(L j) H' se siq u e que M= L

j, pues si M~ Z(Lj),Lj no se r i a H- c o n str ic t o .

Lueg o o bien L

j es H'-grupo o bien Lj/Z (L j) secuencia L

j lo es . //

Corolario

Si N es un norm al minima l de Gentonces N es H-qrupo o es H' -qrupo o N~ CG(M), siendo M la anti i ma qe n de Men el epimorfismo can6nico de " en G/GH"

y M un max i ma 1 como H-subgrup o norma l de "/G H, .

Demostraci6n: Si N no es H-q r upo ni H' -grupo ento n c e s [N,M] ~ ^G_H, Y por lema de lo s tres subgrupos [N,}1]

=

1.

Corolario es H-constricto.

G/GH, maximales como

~ (G/G H' H,) (L H'

H(G/G H,) ) Como:

22

(2.12) Teorema Sea G

-*

H el pr oduc to de todos los subqr u p os de

G

H-subg r upo s norma le s , equ i va l en :

1) G H-con s tr icto 2) C

G (G; ) _ '

~;.

Como consecuencia de este resultado damos una nuev a ca r a c t e r i z aci ó n de grupo H-constricto y la relación entre la H-constric c i 6n y la H'H-constricción

H' .

LH(G/G

H,) = L(G GH,/G H,) luego LH(G/G

H,) ^E H, Y puesto que es producto de co mpon e n t e s no H-grupos, se concluye que es trivial. Por tanto:

L(G/G

H,) E H Y en consecuencia G es H-constricto.

H' . G es H-constricto si y solo si G lo es. se sigue que

(2.1 1) Teorema

Si G es H- c o n st r i c t o entonces.G es (H-sepa rable)-c onstricto y si G H, 1 se da la equivalenci a.

En 2 obteníamos qu e la clase de los qruPOS H-consrrictos es extensible y como consecuencia residualmente cerrada (es de c ir ve rifi ca la 2a con d i c i6n de formación sin ser homomorfo). Es t e hecho nos er a de uti l idad ~ar a probar (v.2) que el producto de norm a l e s H- con s t ri c to s es H- con stric to , resul tad o para el cual era fund ament al el hecho de que la clase a par t i r de la cua l se defin ia la constricci6n fuera de Fittin q;nosotros re s o lvi mo s este inconve niente ob t e n i e n do un teorema puente entre la H-constricci6n y la (H-separ able)-c on stricci ón

H' H' .

Recíprocamente Si G GH, /G

H, es H-constricto, como (G GH,/GH' )H' 1

H' .

se sigue en virtud de (2. 4) que L(G GH,/G

H,) es H-qrupo.

Denotemos por LH(G/G

H,) el H-residual de L(G/G

H,) . ,

Por' (2. 2, (1) y (4» LH(G /G

H,) es semisimple y (LH(G/GH ,)H LH(G/GH').

(2. 1 0 ) Proposición

G es H-constricto si v solo si GH'GH,/G

H, lo es. H'

Demostración: Si G es H-constricto, por (2.2) lo es G/G

H, ^y por (2.5) G GH, /G H, como G es H-constricto G* es no trivial.

Si G* G, entonces G es cl~ramente H-separable. Si G* < G; aplicamos inducci6n sobre IGI.

Tenemos que IG/ r, *1 < IGI, además para todo N/G* car r,/G* entonces N car G, luego (G/G*)/ (N/G*) G/N es H-constricto y aplicando la hi p ó t e s i s inductiva, G/G* es H-separable y puesto que G* lo es, se sigue puesto que la clase de los grupos H-separables es extensible que Ges H-separable.//

normal de

••1

-* -*

oue _{C~(GH) ~} GH . -*

GH es un subgrupo

-*G

H ,.el"producto de todos los

Lo

-*

- GH se sique obviamente

-* -*

CG(GH) ^~ GH puesto que Recíprocamente I si

23

2) - ' - > 1)

1) G H~constricto

Si G es H-constricto:

Si.G H-constricto C

G/GH, (M/GH,) ^~ M/(;H' (1) Sea Y EC

G(M/G

H,) '. entonces xYGH,

=

xG

H, V x E M , Lueqo x:"'l y-1x

; E G,H"

Consideremos la clase yG

H, ^I entonces pa r a todo x E M se tiene:

Equivalen:

2) CG(M/G

H,) ^~ M.^I siendo M/G

H, un maximal como :H- s u b g r u p o normal de 'G/ G H,

1

1 ) < - - > 3)'

Consecuencia'de .(2 .12): Xdel hecho de q,u.e:

yGH, E CG/GH,.(GH'H/GH') si y solo si y e:'CG(GH'H/GH')'

la equivalencia.

1) CG(M) _~ M

(2.14) Proposici6~

Si G es H-constricto es .H' H- c o n s t r i c t o (HH·-con~tricto). S~'GH'

=

¹

Se

,t i e n e luego yGH"E !2G/G . (M/(;H, ) y por (1) yGH' E M/GH, ^I es decir y E M.

H' .

Sea y E C G(M/G

H,) I por lo anterior yG H, E C

G/GH,<M/G H,

t .

Sea zGH, E C

G/GiJ, (M/GH,) ^I entonces':p a r a todo. xGH, e:'M/G

H; .se tiene qu e :

ZXGH, ⁼ XZG

H• ^I luego xG

H, = XZG

H, y z .e: CG(M/GH.i ~ M.

Por tanto Z E M I ZGH,"E M/(;H' Y entonces C(;/G H•(M/G

H,)

~ .

^M_{/ GH,}

~. '

G H-cónstricto.

Corolario'

H-constricto. En virtud de (2.3) G es H-constricto.

maximales como H-subqrupos normales de G/G

H, ",

Nota: CG(M/G V

H,)

=

{YE(; : X"G

H,

=

^xG_H^{, V xe:M}}

Demostraci6n: 1) ----> 2)

Demostraci6n: Si G es H-constricto C~(M) ~ M I siendo

M

un maximal como H-sub~:

(2.13) Proposici6n

G

y es H-separable , se tiene que G es'(H-separable)-constricto y por (2.11) es grupo de

G.

^{Puesto que}

M

es 2-con str ic to y no es 2' -constricto. (v, 7, pq, 72-75).

co n x f O O

O 1 O

o

1 O O

. La cla se de los grupo s H-cons t r ictos no es homomo r f o (v.;;)I. Sin embarqo

propiedad de la H-con s t r icci6n se hereda oa r a cie r to s cocien t e s ; lo vere mos las propo si c iones si guie nte s :

24

(2. 16) Propo sición

G es H-constricto si y solo si Kro(G) lo es.

Demostraci6n: Si G es'H-constricto, por (2.5) Kro(G) lo es.

Recíprocamen te: Como G/Kro(G) es nilpotente es H-con s tric t o, y por la pro- piedad de extensión de los qrupos H-constr ictos, r: es H-const r ic to .

Corolario

G es H-constr icto si y solo si G/Zro(G) es H-const ric to, siend o Zro(G) el hipe r c entro de G.

Nota s fin ales

1) Dado un qrupo G su radical H-c o n s tr i cto oue denotaremos po r C(r:) es el ma y or subgrupo normal H-constri cto de G.

2) Por ser la clase extensible,C (G/C (G)) l. la

(2.15 ) Pro po sic ión

G es H-cons tric to si y solo s~G/N es H-c ons tri ct o, si e n do N un su bgrupo de Z(G) .

Demos t r a ci 6 n: Si G/N es H-constricto , puesto aue N tambi én lo es, se sique po r la propiedad de extens ión que G es H-c onstricto.

Recíprocamente: Podemo s sup on er qu e r:

H, = 1, en este caso (G/N)H ' es ta m- bién tr ivia l, lueqo hemo s de probar que L(r:/N) es H- qr upo .

Llamemos L/N a L(G/N), v deno t e mos por L

1 una an t i i maqen minimal normal de L/N en el homomorf ismo can6 ni c o de G en G/N.

Por ser G H-cons tric to v L

1 semisimp le, se sique que es H-subqr upo de L(G). En consecuencia"L

1N/N = L/N es H-qru po.

en

El recíproco de (2. 14 ) no es en qeneral cie r to; ya que si lo fuera dado un gr u p o G n-con s t ric to , es n'n -con s t r icto lueqo nn' -c o n s t ric to v seria por ta n - to n' -co n s tr ic to. Pero EÜ q ruo o r:

=

^{CH (T) donde H}

=

^{SL(4,2a) , a} > 1 y T la inv oluc i6n cent ral dada por:

Demost raci6n: Si G es H-con stricto, G/G

H, es H-c onst ri c t o y po r (2.11) es (H-separable )-co nstr icto , lueqo (H'H -separable)-cons t ric to . De nu evo por (2.11) G/GH, es H'H-constricto y por ser la clase de los qrupos H-constrictos ext e n - sibl e s, se si gue qu e G es H'H-con s tri c to.

Si G

H, ⁼ 1, invir tiendo el razonamie nto an t e r ior se si q u e la equivalencia.

Est e trabajo es una oar te de mi tesi s doctoral . Qu ier o expresar mi aqr ad e- cimiento al Pro f. pé r e z Monasor direc to r de la mi s ma oor su conti nua ori e n ta-

ci6n y"ayu da.

25

ZaJ;"aqoza.

"A Cour se on Groups Theory". Cambridqe Universi ty Pr e s s, Cambridqe , (1978) .

"Group Theory" . Prentice Hall, Londres, (1 9 6 4 ). 8 . - ROSE, J.:

"En d 1 i c h e Grupoen I" . Sprinqer-Verlaq , Berlin (19fi7).

"I n j e cto r s and normal suqroups of finite Groups". Isr a- el J . Math., 9 (1971). 554-55&.

7. - PEREZ MONASOR,F.: "Gr up os fini to s "se p a r a d os respecto de una fo rmací.ón de Fittinq", Pub 1 ic .Sem.Mat . , 17, (1973) , Univ er si d a d de BIBLIOGRAFIA

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2. - CORTES MONLEON,A.: "Con s t r i c c i ó n respecto de homomorfos saturados o con Z-oropiedad " . Actas VII .ro.rn adas .'1atemáticas Hi s p a no- Lus as, (19A O) .

3.- GORENSTE IN,D .: "Fin i t e Gr oup s ". Ha rpere-Ro w, Ne\" Yor k, (19 6 R).

4.- GORENSTEIN-WALTER.:"The lT- la v e r of a finite Gr ouos". I11i nois J.rlath ., 15 , (1971) , 555 -56 4".

9. - SCOTT, W. : 5. - HUPPERT,B.: 6. - MANN,A.:

3) Si N es un subqru p o nor mal de G, en tonces: C(N) = N~C(G).

4) El radical H-se para bl e de un qru p o G, que deno taremo s por RH(G), está conte- nido en el rad ical H- c o n s t ricto, y en qeneral esta incl u s i 6n es es t r i c t a. 5) Si C(G/M) = 1, entonces RH(G) ~ H. Además C(G/RH(G» ) ="1 .

6) Con secue nci a de 2 y 3 , si N4 G Y C(N) = 1 = C(G/N) entonces RH(G) l.

RH(G) = 1 es equiva len te a C(G) = l.

27

!f C

16 ^y U/K es :F'-grupo KC

4• Por tanto , C 4 es :l"- J.M. de Olazábal

Asd, C 4 es la C4' por lo que Notemos que, trivi alment e, toda ~-envol tur a es una ?-c a pa.

t.1. Definici6n

Let F be a class of finite groups . Th e def i n ition of the der ived classF, I when F is not an homomorph, doe s not behave approp iate ly be ca us e we can find nil- potent qroup s, whi ch are not PI_gr oups , whose compo s i t i pn fa c tor s are not P-groups. For example, ifF ={1,C6}, C6 is not a F' group, but ne i t h er C3 nor C2 are F-groups.

Tf we want to avoid th is, we must chang e sl i gh t ly the defin itio n of der ived class. The study of such a class leads us to anothe r small change of the concept of F-pro-

jector of a group G, aod so we shall prove that the new deríved cla s s is exte n - sible and clo sed under subgroups homomor ph, therefore a satura t e d Fit t i ng for mation.

Considering , in the traditional way, tha t a compositi o n P-fac tor can or canno t be sol vab le we find two way s of studying this topic.

Sea:F'

=

~1, C4'C2xC2^~ la clase formada por los grupos de orden 4 y el gr u- Rev. Acad. Ciencias Zaragoza , 37 (1982)

CAPAS YENVOLTURAS EN GR UPOS F INITOS.

Depart amento de Geomet r ía y Top ología. Fa cul t a d de Ciencias. Univers idad de San- tander.

1.- EL COM::F.Pl'ODET-CAPA DE UNGRUPO. LA CLA9I': DERI VADA? '

S

Sea

T

una clas e de grupo s . Se dice ~-c apa de un gr up o G a unW-subgr upo F de G tal que si F ~ U~

G

y U/K eS'~-grupo simple, entonces U

=

KF.

El siguiente ejemplo mues tra c6mo pueden existi r 7-capa s sin exist i r T - envQlturas en un grupo G.

1.2. Ejemplo

C4 no es T-envoltura de C 16•

po trivial. Sea G

=

C,6. Ent onc e s, C

4 ^{€ ~~} Si C 4 ^~ U simple, nec~sariamenteU/K es trivial, lueg o U

=

K capa de C

16'

Por otro lado, 1 y C

4 son los ~nicos ~-subgrupos de C 16•

~nica posible _~-envoltura: ahora bien, CS/ct € ~ Y

eS I

C 4,C

2

Demostraci6n

se tiene que

{ G\U /V y-

28

Se a']1 un a clase cualquiera de grupos finitos; se considera -;F ~ gr u p o simp le y V ~ ^U ~ ^{G imp l i c a V = U{}

1.4. Definici6n

Notemos qu e este argu ment o coincide esencial mente con2

7.1 Hi l f ss at z, p. 699 U

n F C¡;' n

K)F . Por tanto

U = K (U('\F) = K(F n K) F' = KF

(U n 'F)/(K n 'F) _~ (p n U) K/K = U/K:F-gr u po simple UN/ N = (KN/ N)(F/ N) = (KN/ N) (F'N/N) por lo que UN = FKN. Se sigue que

U ='U

n

UN= U'"' F'KN= FK (U'"' N) . Ahora bien, F( Un N) ~ un F, lu ego U = K (U ,",F)

Puesto que U/K es simple, K( U ('\ N)/K = U/K, 6 bien K( tJ () N)/ K = K/K, es decir, K( U ,", N) = U, 6 bi en, K(U n N) = K. As1 , U/K(U ,", N) es {1~ ^{6 es U/K·,} en cualquier caso, U/ K (U() N) es un W-grup o simple, por lo que (UN/ N) /( KN/ N) lo es y se tiene

Sea

l'

un a cla se de grupo s finitos

Por a) F es l'-capa de U n F y pue sto que

a) Desde luego F'E:7; sea F ~ H~ U Y H/K ?-grupo simple; entonces, F ~ H ~ GY H/K~-grupo simpl e, luego H = KF.

b) FN/N": U/N ~ G/N Y (U/N)/(K/N) 'Y-grup o simple implica F ~ U~ GY

u /K

^{?-grupo s}imple ; as 1 U = KF , por lo que U/N'= KF/N = K/N (FN) / N.

c ) F €7; F ~ F ~ ^GY F/N7-gr u po simple , lu eg o p'= FN.

Sea F ~ U ~ GY U/ K-;F-grupo simpl e. Se ti ene:

F/N = FN/ N~ UN/N ~ G/ N

(UN/N)/( KN/N) ~ UN/KN ~ U/(Uti KN) = U/K(Uti N) a) Si F' es :F'-capa de G, F es T-ca p a de U, V F'~ U ~ G.

b ) Si F' es~-capa de G y FN/ N E: :F , entonce s F'N/N es-¡;'-c ap a de G/N, para todo subgrupo normal N de u.

c) Si F es~~apa ^{de F} y P/N es 1'-capa simple de G/N, en t once s F es -¡;'-ca- pa de G.

1.3. Proposici6n

Demos trac i ón Demos traci.ón

Demos t r ac i ón

G), U

=

V; lue go S e T'. s

FT-c apa normal de Gy F/F 8_~ impli c an por 1.3 .b) que F/F es 1'-eapa de IU"g o, por 1 .6, G/1" 8

T'. -

s

29

. SP3 G€ ~I Y Sun subgrupo de G; dado U/V :F'-grupo simple, donde U~ S, s

n~ces ariame nt e ,(u

• Sea G8 T~ y N normal de G¡ si (U/N)/(V/N) es un :F'-gr upo simple ~on

'l/N

^<! '} / H, se tiene que l.T/V es un1"-grupo simple con U~ G, luego al ser G

un :F'~-grup<), U

=

^V Y así , U/N ⁼ V/N. Por tanto, G/ N8 :F'~• Si P es ~-cap a nor mal dR G, G/p

e

~~

G/F' ,

r, 8T~ si Y solo si 1 es1"-cr,ipa de G.

Not emos que, .tr-ívíat.me nt e,

1"

^'¡; 1"~ para toda clase

:P.

si :F'es un homomorfo, 'F~ ~1"' , por lo que se tiene la igual da d.

Nec esida d: , 1';T, se a 1 ~ U~ G YU/ K:F'-gr upo si mple ; entonces, al ser G unT~-grupo, U= K; por tanto, U K. 1 Y 1 es T-ca pa de G

Su fic ienci a: Sea U~ G Y u/vT-grupo simple; como 1 es T-eapa de G, U V. ,

=

V. Por tant o, G

e

~~.

Sea'F' una cl a s e de gr u pos finitos. Pn t onc e s ,

T'

es un homomorfo s-eerra- s

do y ex t e n s ib l e . Por tant o , es una for mac i ón de Pitting saturada.

Demo st rac i ón

Se a ^{G 8} a:"s

y

sea

u/v e

Y,

u

^{!E G;} si ^V

I u, :i

^H m~^<l U tal que V~ ^{M<1 U;}

ahora U/M es:F-gru po simple, lue go U

=

^H, una con tr-ad íccíón; por tanto, U

=

V

Y G

e

1":

1 .8. Propos ic ión 1.7 . Coro lario 1 .6. r~oposición

,•5. Propos i ción

2.5 . Corolario 2.3. DeFi n ic i 6n

Sigue es e nci a l me n te la linea de la demostraci6n dada en 1.1.3

""

.s

de U, para todo F ~ U ~ G.

ent~nces

^FN/Nes 1" -capa de G/N,

l '

P'sr F7'1'-capa FN/ N€

'1',

G.

FIN es_~r-capa simple resoluble de G/N, enton-

Si r"es s-cer-r- ad a , 'T~r e1'~, luego

Demostraci 6n 2. 4. Proposici6n

.Si '" es un homomorFo's-cerr a do,

-:F'

=

'1"

=?'

s sr

30

Dada una cla se F' de grupos Finito s, se deFi ne 7'

=

~ G \

u/V

:J"'-grupo sr

simpl e y reso lubl e con U~ G im~lica U= V~. No t e mo s que

1'"

~ ~~ ~'1'~r' para cada claseT.

Sea'1"un a clas e de gr u pos Finitos

Not emo s que toda 2t-capa es una Yr-capa, tr i v i a l me n t e .

Demostraci 6n

a) r

s:

_r^{-capa de}_.^{G implica}

b) Si F' es 1"1'-cap a de Gy para todo subgrupo normal "Nde c) Si F es 1"1'-capa de

¡;:

y ces F' es 1"r-c a pa de G.

2.2. Propo sic i6n

2.- '1' -CAPAS DE UN GRUPO. LA CLASE DERIVADA?'

l ' R

Sea G€7~r y U/V? -grupo simple tal que U_~ G. Si 1

I U / V,

existe

.t

I ", /"

'F-gru po simple y r-esoLub l.e con V, _~ U_~ G,10 que contradice el ser

G de T~r ; por ta nto, U = V Y G 8 T~.

Se dice '1'1'-capa de un grupo G a un 7-subgrupo F de G tal que si F _~ U_~ G, YU/K es W-grupo si mpl e y resoluble, entonces U

=

^{KF .}

2.'.

DeFinici 6n

F'inalmente, sea N 8:P' y G/N € ~'. Entonces 1 es :rt-eapa de Ny N/N es

s s

T-capa simpl e de G/N. Por tanto, , es 7-capa de Gy as! G€ Qt,.

s

Demostración 2.4 y1.5

2.6. Proposición

G S

T'

si y solo si 1 es

T

-capa de G.

sr r

Demostración

Totalmente similar a la dada en 1.1.6

2.7. Corolario

Si 1"es 'Fr-capa normal de G, entonces GIl" €

7'

sr Demostración

Inmediata (ver 1.7, 2 •.3 Y 2.6)

2.8. Proposición

7'

es·un homomorfo s-cerrado y extensible. Por tanto, una formación de sr

Pitting saturada.

Demostraci6n

Sigue esencialmente la linea de 1.8

2.9. Observación

Sea~un conjunto de n~meros primos. Fs conocido que todo~-subgrupo de Hall de un grupo G, si existe. es una ~~-envoltura, luego una ~1T-capa, y asi una (~~r~apa. Es conocido asimismo que existen grupos con ~~-envolturasy que no poseen 'Tl'-subgrupos de Hall,.para cierto1T'3. Sin embargo, si

~

^{posee un}

~nico primo tqdos los conceptos anteriores coinciden. ~t{s exactamente,

2.10. Proposición

i) Toda (~ ) -capa es un p-subgrupo de Sylow, y recíprocamente.

p r.

ii) Sead la clase de los grupos rríLpotenres , toda et(r-capa es un subgrupo de Cartero Adem&s, en un grupo resoluble ambos conceptos coinciden.

Demostración

i) Sea P una (~ ) -capa de un grupo G; asi P€ ~ ^, luego existe

P

p-sub-

p r . p ,

31

grupo se Sylow de G tal que

pe P;

si

p i P,

existe K

~ P

tal que [K: PJ

=

f 2

.Y

as! P max K nil pot ent e, lu e g o F<1K. Cntonces , K/P es un p-gr u po simple y

resoluble por lo que, al se~ p(~ ) -ca pa de G, K

=

PP

=

P, un a contradicc jón.

p r

Por tanto, P=

P

es un p- s u bg r upo de Sylow de G.

ii) Sea N una eN'r-cap a de G. Entonce s , Nes nilpo t e n t e y N~ NG( N). Si

NI NG( N),

exist e K~

NG (N)

tal que 1

I

K/N nil pot e n t e y simple, luego K

=

=

^NN

=

^N, contradicci6n; por lo tan to , N

=

^{NG(N )} Y N es un subgrupo de Cartel'. El resto está conteni do en 2 VI 12.2

2.11. Observación

¿Se pu e de afirmar que si

'Ji

es un homomorfo s-cerrado ,el concepto de

7

-c a-

, r

pa y el de T-envoltura coincidan ?

REFERENCIAS

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ReV. A,~. Ciencias Za rag za, 37 (19R2)

COMPORTAMIENTO DE lA POLARIZACION DE ORIENTACION EN El MODELO DE RElAJACION COlE - DAVIDSON.

J. Garay

Departamento de Teoría de Func iones. Facultad de·Ci enci a s . Uni v ersidadde Zar a g o za. (Es pa ña).

F.J. Arcega

Depar t a mento de Electri c i d a d y El ectr6nica . Fac ult a d de Ci.encias . Un ivers i- dad de Za ragoza . (Espa ñ a).

A mathematical formali sm of the au toco r re la t i o n function of the reduced dielectri c orientation pol ari zati on for the Cole - Oavidson relaxation model has been de v el opped. This calcu l a t ion per mits us to deduc e that the dielec- trie behaviouy can be expla ine d by superpo siti on of sorne elerne nt ary relaxa- tion processes of Deby e ty p e. To show' t he corre sponden c e.be tween theory aod exp e r ie nce we have chose n the polar li q u i d di pro p yl enq l yc ol wh o se behav i o u r has been shown to follow the Col e - Da v ids o n mode lo

INTRODUCCI ON

El estudio de la relajación dieléctrica en sistemas condensados a frecuen- cias de microondas se fundamenta en el comportamiento de la polarización eléctri ca de orientación , cuya primitiva descripción corresponde a una función de de- crecimiento temporal de tipo exponencial inherent e al modelo de difusión por ro tación pr opu e s t o or ig i na l me n t e por Deby e (1929) . Sin embargo, la ~ayorla 'le los esp ectros de frecue ncia obtenidos pa r a l íquidos polares y sóliuos ferroeléc tricos no obed e c e n al cita d o moce lo ,d i f e r e n c i a qu e refleja la existencia de di- fer e nte s dipo lo s eléctricos en el medio mate r i al con'd i s t i n t a s ca racterísticas cinemá t i c a s y dinámicas, por todo lo cual su compor t a mi e n t o global impone una - desvi a ció n respe c to al cit a d o modelo de Debye .

Es t a circunstancia ha motivado el establecimiento de modelos empíricos de relajación dieléctrica (Cole-Cole, 1941 ; Cole - Da vidson,1950 ; Havriliak-Neg~

mi , 196 6) qu e satisfacen el comportamiento macroscópico aunque limitado por el tratamiento de los datos, ya que en la mayoría de los casos se obtiene un redu- cido númer o de pu n t o s experimentales di s t r i b u í d o discretamente en un amplio ran go de frecuencia del espectro de disper sión, o bi e n un espectro continuo en un interval o de fr e c u e n c i a s . Ad e má s tiene lugar la aparición de fuertes desviacio- nes en los citad os mo d elos para la región de alta frecuencia, debido a efectos in e r c i a le s pro ducidos po r ot r o t ipo de contribución a la relajación dieléctrica.

Se pued e efectuar un análisis del pr o b l e ma a partir de la relación ge n e r a l existente entre la polarización de orientaci6n reducida y su cor r e spond i e n t e -- función de autocorrelaci6n ~( t ) según

33