Síntesis de Mecanismos de Cuatro Barras para N Puntos de Precisión con Restricciones de Espacio Empleando el Algoritmo de Recocido Simulado

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(1)I NSTITUTO T ECNOL ÓGICO Y DE E STUDIOS S UPERIORES DE M ONTERREY C AMPUS M ONTERREY D IVISI ÓN DE I NGENIER ÍA Y A RQUITECTURA P ROGRAMA DE G RADUADOS EN I NGENIER ÍA. S ÍNTESIS DE M ECANISMOS DE C UATRO BARRAS PARA “N” P UNTOS DE P RECISI ÓN CON R ESTRICCIONES DE E SPACIO EMPLEANDO EL A LGORITMO DE R ECOCIDO S IMULADO. TESIS P RESENTADA COMO R EQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL G RADO ACAD ÉMICO DE M AESTRO EN C IENCIAS E SPECIALIDAD EN I NGENIER ÍA M EC ÁNICA J OS É A RMANDO JAVIER DE VALLE G ALV ÁN D ICIEMBRE DEL 2000.

(2) c José Armando Javier de Valle Galván. 2000..

(3) I NSTITUTO T ECNOL ÓGICO Y DE E STUDIOS S UPERIORES DE M ONTERREY C AMPUS M ONTERREY D IVISI ÓN DE I NGENIER ÍA Y A RQUITECTURA P ROGRAMA DE G RADUADOS EN I NGENIER ÍA Los miembros del cómite de tesis recomendamos que la presente tesis del Ing. José Armando Javier de Valle Galván sea aceptada como requisito parcial para obtener el grado académico de Maestro en Ciencias con especialidad en: I NGENIER ÍA M EC ÁNICA Cómite de Tesis:. Dr. Horacio Martı́nez Alfaro Asesor de la tesis. M.C. Octavio E. Herrera Giammattei Sinodal. Dr. Alex Elı́as Zúñiga Sinodal. A PROBADO. Dr. Federico Viramontes Brown Director del Programa de Graduados en Ingenierı́a Diciembre del 2000.

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(5) A la Santisima Trinidad, A mis padres, José Armando Xavier y Marı́a Elena. A mis hermanos, Marı́a Elena, Marı́a del Rosario, José Joaquı́n y Dulce Marı́a. A ti Liliana especialmente..

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(7) Sı́ntesis de Mecanismos de Cuatro Barras para “N” Puntos de Precisión con Restricciones de Espacio empleando el Algoritmo de Recocido Simulado. José Armando Javier de Valle Galván, M. C. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, 2000.. Asesor de la tesis: Dr. Horacio Martı́nez Alfaro.. En esta tesis se desarrolla un método para la sı́ntesis de mecanismos de cuatro barras, Grashof y No-Grashof, generadores de trayectoria, para “N” puntos de precisión con varias restricciones adicionales respecto a los métodos clásicos, tales como la longitud de los eslabones especificando la razón de la longitud máxima del eslabón a la distancia total de la trayectoria deseada, o el espacio de operación especificando su dimensión y forma mediante “n” vértices del poligono deseado. El problema de sı́ntesis se transforma en uno de optimización, y para su solución se emplea el algoritmo de Recocido Simulado. De esta manera, la trayectorı́a deseada se puede especificar mejor al proporcionar más puntos de los cinco permitidos en los métodos clásicos de sı́ntesis de dı́adas. Aunque los mecanismos obtenidos por esta técnica no cumplen exactamente con la trayectoria deseada en todos los puntos especificados, se logra un mejor control sobre el mecanismo solución y de la trayectoria global que genera.. ix.

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(9) Reconocimientos. Agradezco al Dr. Horacio Martinez Alfaro, mi asesor, por el apoyo y dedicación que me brindó para la realización de esta tesis. A mis sinodales: Dr. Alex Elı́as Zúñiga y M. C. Octavio E. Herrera Giammattei, por su apoyo y sugerencias. Al Departamento de Ingenierı́a Mecánica del ITESM, Campus Monterrey, por su confianza y apoyo para estudiar esta Maestrı́a en Ciencias. A mis compañeros y amigos de estudio y trabajo: Carlos, Dan, Ricardo, Manuel, Jesús, Raziel, Angel, Trinidad y Raúl. Por todos los momentos compartidos, gracias.. J OS É A RMANDO JAVIER DE VALLE G ALV ÁN. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Diciembre del 2000. vii.

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(11) Índice General 1 Introducción. 1.1 Antecedentes. . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 El Mecanismo de Cuatro Barras. . 1.1.2 Criterio de Grashof. . . . . . . . 1.1.3 Posiciones de bloqueo [10]. . . . 1.1.4 Análisis de posición. . . . . . . . 1.1.5 Curvas del eslabón acoplador [10]. 1.2 Justificación. . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Hipótesis. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Objetivo General. . . . . . . . . . . . . . 1.5 Metodologı́a. . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Organización de la Tesis. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. 1 1 1 2 4 5 8 9 10 10 10 11. 2 Sı́ntesis Clásica de Mecanismos. 2.1 Sı́ntesis cinemática. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Puntos de precisión. . . . . . . . . . . . 2.1.2 Herramientas de sı́ntesis dimensional [13] 2.2 Sintesis gráfica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Posiciones lı́mite. . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Generación de trayectorias. . . . . . . . . 2.3 Sı́ntesis analı́tica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 La forma de dı́ada estándar. . . . . . . . 2.3.2 Dos puntos de precisión. . . . . . . . . . 2.3.3 Tres puntos de precisión. . . . . . . . . . 2.3.4 Cuatro puntos de precisión . . . . . . . . 2.3.5 Cinco puntos de precisión. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 13 13 14 15 15 15 17 25 26 28 29 32 36. xi. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . ..

(12) 3 Sı́ntesis de Mecanismos mediante Recocido Simulado. 3.1 Recocido Simulado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Definición. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 El proceso fı́sico de recocido. . . . . . . . 3.2 Algoritmo de recocido simulado. . . . . . . . . . . 3.3 Formulación del problema. . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Implementación. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 42 42 42 42 44 47 50. 4 Resultados. 4.1 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Sı́ntesis mediante el Algoritmo de Recocido Simulado. . . 4.2.2 Resultados mediante sı́ntesis con dı́adas para tres puntos de precisión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Comparación entre los resultados obtenidos por los métodos de sı́ntesis de Recocido Simulado y Dı́adas para tres puntos de precisión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Discusión de Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53 53 53 53. 5 Conclusiones y Trabajo Futuro. 5.1 Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Trabajo Futuro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89 89 90. A Programa Fuente. A.1 Archivos de entrada y salida. . . . . . A.2 “N” puntos de precisión. . . . . . . . A.3 Limitando longitud de eslabones. . . . A.4 Restricciones en espacio de operación.. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 73. 82 87. 91 91 94 113 115. B Programa para Sı́ntesis con tres puntos de precisión. 119 B.1 Listado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 B.2 Ejemplo de sı́ntesis de mecanismo especificando la posición de los pivotes fijos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125. xii.

(13) Índice de Tablas 2.1 2.2 2.3 4.1. Intersecciones, condiciones y tipos de mecanismo [6]. . . . . . . . Ecuaciones de restricción dependiendo de la razón de longitud de los eslabones en la sı́ntesis gráfica para posiciones lı́mite [11]. . . Número de variables y opciones libres para sı́ntesis de trayectoria con temporización y para generación de movimiento [13]. . . . . Desviación generada por los mecanismos obtenidos para los resultados presentados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. xiii. 17 17 27 84.

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(15) Índice de Figuras 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9. Mecanismo de cuatro barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Criterio Grashof: ,eslabón más corto; , eslabón más largo; y , eslabones de longitud intermedia. . . . . . . . . . . . . . . . . Notación para encontrar el ángulo del eslabón de entrada para las posiciones lı́mite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notación del Mecanismo de cuatro barras para el análisis de posición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Configuraciones abierta y cruzada de un mecanismo de cuatro barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curvas tı́picas generadas por el eslabón acoplador de un mecanismo de cuatro barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sı́ntesis geométrica de un mecanismo de cuatro barras para posiciones lı́mite [11]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diseño inicial (a) indicando los parámetros de diseño y (b) diagrama del mecanismo generador de trayectoria deseado . . . . . . Inversión para situar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verificación del mecanismo generador de trayectoria sintetizado para tres puntos de precisión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Puntos de trayectoria prescritos y rotaciones para el eslabón de entrada para tres puntos de precisión. . . . . . . . . . . . . . . . Construcción gráfica de la posición inicial del eslabón de entrada para la generación de trayectorias con temporización. . . . . . . . Sı́ntesis para cuatro puntos de precisión empleando el diseño de pivote en el polo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verificación del mecanismo para cuatro puntos de precisión. . . . Sı́ntesis para cuatro puntos de precisión empleando el método de reducción punto-posición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. xv. 2 3 5 6 8 9 16 18 19 20 21 22 23 24 25.

(16) 2.10 Representación de las dı́adas que modelan un mecanismo de cuatro barras en su primera y k-ésima posición. . . . . . . . . . . . . 2.11 Mecanismo de cuatro barras para la sı́ntesis de generación de trayectorias con dos puntos de precisión. . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Diagrama de mecanismo de cuatro barras resultante modelado por dı́adas para los tres puntos de precisión. . . . . . . . . . . . . . . 2.13 Esquema una dı́ada WZ en tres posiciones para la sı́ntesis de mecanismo generador de trayectoria especificando pivote fijo. . . . . 2.14 Generación de los cı́rculos de punto central y de punto circular. El primer punto de precisión se ubica en el origen del sistema de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15 Cı́rculos de punto central y de punto circular con una opción de posible mecanismo que cumple con los puntos de precisión. . . . 2.16 Mecanismo de compatibilidad para la sı́ntesis de cuatro puntos de precisión y su solución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17 Mecanismo de cuatro barras “padre” con sus cognados mostrados a sus lados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9. Diagrama de flujo del programa desarrollado para la sı́ntesis de mecanismos empleando el algoritmo de recocido simulado. . . . Mecanismo sintetizado para 20 puntos de precisión. . . . . . . . . Detalle de las trayectorias prescrita y generada para la sı́ntesis de 20 puntos de precisión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mecanismo sintetizado para 20 puntos de precisión restringiendo la longitud máxima de los eslabones. . . . . . . . . . . . . . . . . Detalle de las trayectorias prescrita y generada. El mecanismo aproxima uno a uno los puntos prescritos. . . . . . . . . . . . . . Mecanismo sintetizado para 20 puntos de precisión de trayectoria circular con restricciones de espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . Detalle de las trayectorias circulares prescrita y generada por el mecanismo con restricciones en el espacio de operación. . . . . . Mecanismo sintetizado para 20 puntos de precisión de una trayectoria lineal con restricciones de espacio. . . . . . . . . . . . . . . Detalle de las trayectorias lineales prescrita y generada por el mecanismo para 20 puntos de precisión. . . . . . . . . . . . . . . . . Mecanismo sintetizado para 21 puntos de precisión de una trayectoria lineal con restricciones de espacio. . . . . . . . . . . . . . . xvi. 26 28 29 30. 32 33 35 37 51 56 56 58 59 61 62 64 65 67.

(17) 4.10 Detalle de las trayectorias lineales prescrita y generada por el mecanismo para 21 puntos de precisión restringiendo su espacio de operación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 Mecanismo solución propuesto para la sı́ntesis de trayectorias especificando 3 puntos de precisión. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12 Detalle de las trayectorias circulares prescrita y generada por el mecanismo para 3 puntos de precisión. . . . . . . . . . . . . . . . 4.13 Mecanismo solución propuesto para la sı́ntesis de trayectoria lineal especificando 3 puntos de precisión. . . . . . . . . . . . . . . 4.14 Detalle de las trayectorias lineales prescrita y generada por el mecanismo para 3 puntos de precisión. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.15 Mecanismo solución propuesto para la sı́ntesis de trayectoria lineal con restricción en el espacio de operación especificando 3 puntos de precisión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.16 Detalle de las trayectorias lineales prescrita y generada por el mecanismo para 3 puntos de precisión restringiendo el espacio de operación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.17 Diagrama de un mecanismo de cuatro barras mostrando la nomenclatura para la sı́ntesis con dı́adas para tres puntos de precisión. . . 4.18 Mecanismo de cuatro barras sintetizado para 3 puntos de precisión de la trayectoria circular, especificando los pivotes fijos. . . . . . . 4.19 Detalle de las trayectorias circulares prescrita y generada por el mecanismo para 3 puntos de precisión especificando los pivotes fijos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.20 Mecanismo de cuatro barras sintetizado para 3 puntos de precisión de la trayectoria lineal, especificando los pivotes fijos. . . . . . . . 4.21 Detalle de las trayectorias prescrita (lineal) y generada por el mecanismo para 3 puntos de precisión especificando los pivotes fijos. 4.22 Mecanismo de cuatro barras sintetizado para 3 puntos de precisión de la trayectoria lineal, especificando los pivotes fijos encontrados por el Algoritmo de Recocido Simulado. . . . . . . . . . . . . . . 4.23 Detalle de las trayectorias prescrita (lineal) y generada por el mecanismo para 3 puntos de precisión especificando los pivotes fijos encontrados utilizando el algoritmo de recocido simulado. . . . . 4.24 Comparación entre las trayectorias circular prescrita y las generadas por los mecanismos sı́ntetizados. Caso generación de trayectoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. xvii. 68 69 70 71 72. 73. 74 74 77. 78 80 80. 83. 83. 85.

(18) 4.25 Comparación entre las trayectorias circular prescrita y las generadas por los mecanismos sı́ntetizados. Limitando la longitud de los eslabones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.26 Comparación entre las trayectorias circular prescrita y las generadas por los mecanismos sı́ntetizados. Limitando el espacio de operación del mecanismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.27 Detalle de las trayectorias lineales prescrita y generadas por los mecanismos generados mediante recocido simulado y mediante dı́adas. Caso de generación de trayectoria solamente. . . . . . . . 4.28 Detalle de las trayectorias lineales prescrita y generadas por los mecanismos generados mediante recocido simulado y mediante dı́adas. Caso: limitando el espacio de operación del mecanismo. .. xviii. 85. 86. 86. 87.

(19) Capı́tulo 1 Introducción. 1.1. Antecedentes.. Un mecanismo es un dispositivo que transforma un movimiento en otro. Si el dispositivo también transmite fuerzas sustanciales se denomina máquina, y si además estas fuerzas están asociadas con la conversión de energı́a de fluidos se le puede llamar motor [5]. El estudio de los movimientos puede realizarse desde dos puntos de vista: el análisis cinemático y la sı́ntesis cinemática. El análisis cinemático comprende la determinación del movimiento de un mecanismo o máquina dado, mientras que la sı́ntesis cinemática es la determinación de mecanismos que cumplan con algunas especificaciones de movimiento, ya sea de desplazamiento, velocidad o aceleración de manera individual o en conjunto. Existen métodos sistemáticos para realizar la sı́ntesis de mecanismos a partir de los métodos clásicos: gráfico y analı́tico, ambos de una manera más reciente, auxiliados por computadora. Ası́ también con el desarrollo de las computadoras, se han desarrollado técnicas alternativas como Rectificación de la Solución o la sı́ntesis basada en Optimización [2, 3, 4].. 1.1.1 El Mecanismo de Cuatro Barras. Un mecanismo sencillo, pero de gran uso por su versatilidad y poco mantenimiento es el mecanismo de cuatro barras, formado por tres eslabones móviles, un. 1.

(20) eslabón fijo y cuatro uniones de pivote o revolutas. El eslabón conectado a la fuente de potencia se denomina eslabón de entrada. El segundo eslabón conectado al eslabón fijo o tierra se llama seguidor. Al último eslabón movil se le denomina acoplador oflotante y es el que une a los eslabones de entrada y salida. Punto trazador Trayectoria Eslabón. . acoplador. Eslabón. Eslabón. de entrada. de salida. Eslabón fijo. Figura 1.1: Mecanismo de cuatro barras.. 1.1.2 Criterio de Grashof. El criterio de Grashof [10] es una relación que predice el comportamiento del mecanismo de cuatro barras basado en la longitud de sus eslabones y establece que la suma de los eslabones más corto y más largo de un mecanismo de cuatro barras no puede ser mayor que la suma de los dos eslabones restantes para que se tenga una rotación relativa continua entre dos eslabones. Si: S L P Q Entonces si:. = = = =. Longitud del eslabón más corto. Longitud del eslabón más largo. Longitud de un eslabón restante. Longitud del último eslabón restante.. 2. (1.1).

(21) El mecanismo es Grashof y al menos un eslabón puede realizar una revolución completa respecto al plano de referencia. Si esta desigualdad no se cumple, estonces el mecanismo es no-Grashof y ningún eslabón puede realizar una revolución completa respecto al plano de referencia. Los posibles movimientos de un mecanismo de cuatro barras dependen de la condición de Grashof y de la inversión del mecanismo seleccionada. Si se definen las inversiones respecto al eslabón más corto, los movimientos del mecanismo son los siguientes [10]:. l. s q. p. Figura 1.2: Criterio Grashof: ,eslabón más corto; , eslabón más largo; eslabones de longitud intermedia.. . Caso. . . y ,. :. – Al fijar cualquier eslabón adyacente al más corto se obtiene un mecanismo rotatorio-oscilatorio, en el que el eslabón más corto gira completamente y el otro eslabón unido a tierra oscila. – Si se fija el eslabón más corto se obtiene un mecanismo doble oscilatorio, en el que ambos eslabones unidos a tierra realizan giros completos. A esta condición también se le conoce como eslabonamiento de arrastre.. 3.

(22) – Al fijar el eslabón opuesto al más corto se tiene un mecanismo doble oscilatorio, en el que ambos eslabones unidos a tierra oscilan y solamente el acoplador hace revoluciones completas.. !". . Caso : Todas las inversiones resultan en un mecanismo triple-oscilatorio en el que ningún eslabón puede girar completamente.. #$%&'(. Caso : Es un caso especial de mecanismos Grashof donde todas las inversiones son doble-oscilatorio o doble-giratorio pero con puntos de cambio, dos por revolución del eslabón de entrada, cuando las lı́neas centrales de todos los eslabones resultan colineales. En estos puntos de cambio el comportamiento del mecanismo se vuelve indeterminado; el mecanismo puede asumir cualquiera de las dos configuraciones o quedar en una condición de bloqueo, la cual ocurre cuando los eslabones de entrada y acoplador se alinean.. 1.1.3 Posiciones de bloqueo [10]. Los ángulos del eslabón de entrada que corresponden a las posiciones de bloqueo de un mecanismo no-Grashof, doble oscilatorio, pueden calcularse utilizando trigonometrı́a. Empleando la nomenclatura mostrada en la Figura 1.3. La lı́nea auxiliar h que une los puntos ) y *,+ divide el cuadrilatero en dos triangulos, *.-/).*,+ y ).0*,+ . Empleando la ley de los cosenos para expresar el ángulo de transmisión 1 en función de la longitud de los eslabones y del ángulo de entrada 23- :. 4 - % - - 89:-<;>=@?A23 -6 5 7. pero también:. 4 - % B- - B : +<;D=@? 1 +C 5 7. Igualando estas dos ecuaciones y simplificando la expresión:. - - - % B >; =@? 1 +C 5 B F + E5 - 8 B9G: +- ;D=H?A237. (1.2). Para encontrar los valores máximo y mı́nimo para el ángulo de entrada 23- se deriva la ecuación 1.2 con respecto a 1 y se iguala a cero, donde se obtiene:. I 32 - % B :+ K? JGL 1 %PO I 1 8 9G- ?MGJ LN234. (1.3).

(23) B G4 23-. 1 :+. 8 Figura 1.3: Notación para encontrar el ángulo del eslabón de entrada para las posiciones lı́mite.. Como las longitudes no pueden ser nulas, la expresión sólo puede ser cero cuando ?KJ:L 1 es cero o 180 Q ; entonces ;D=@? 1 es RTS . Sustituyendo estos valores en la ecuación 1.2 y resolviendo para 23- :. _ - - B- - B OT b : + 5 5 + 23-VU:W XZYZ[9\GX ;>;D=@? R 8 MG-Ha 23(1.4) 7 8` GLos valores obtenidos de la ecuación 1.4 para 23- corresponden a la posición del eslabón de entrada para tener una posición de bloqueo del mecanismo. Solamente ]c^ uno de los casos R produce un argumento para la función ;D;>=@? entre RTS . El %P]H^. primer ángulo de bloqueo, que se encuentra en el primer o segundo cuadrante se encuentra con este valor. El segundo ángulo de bloqueo es el negativo del primero, debido a la simetrı́a de las dos posı́ciones de bloqueo respecto al eslabón fijo.. 1.1.4 Análisis de posición. Considerando a los eslabones del mecanismo de cuatro barras como vectores y siguiendo la notación mostrada en la Figura 1.4 se puede establecer la siguiente relación: 5.

(24) f,g. f e. f B. f,h B. 2B. G-. 23-. f. 2c. :+ Z. 2D+. d Figura 1.4: Notación del Mecanismo de cuatro barras para el análisis de posición.. i9jlkmi`npoqi/rlosiVtTuwv. (1.5). Utilizando notación de números complejos para los vectores de posición, la ecuación 1.5 se puede escribir como:. G-yx{z9|~}. . B x{zM| 5 Z9x{zM|` 5 G-yx{zM|}. %PO. (1.6). Cualquier posición del mecanismo queda definida por el ángulo del eslabón de entrada 23- . Dado que 2c está fijo, quedan como incognitas los ángulos 2 B y 2D+ . Sustituyendo la identidad de Euler en la ecuación 1.6 para expresarla en sus componentes cartesianas y separando la parte real de la imaginaria se tiene [9]: Parte real: %&O B B G-<;D=@?A23- ;>=@?A2 5 Z ;>=@?A2c 5 :+<;D=@?A2D+ (1.7) Parte imaginaria:. :-<?MJGL#23-. . B ?KJ:LN2 B 5 Z ?MJGLN2c 5 :+<?KJ:LN2D+. %O. Resolviendo las ecuaciones 1.7 y 1.8 y empleando las identidades:. ?MJGLN2D+. %. ]. % S 5 ]] ;>=@?<2D+ S . 7 ] L |- S L |6. L - | L - |-. (1.8).

(25) se obtiene:. 2B. %. 2D+. ]H^ ] 5 R& L 7 ; ]H^ ] 5 R 7 ; L %. donde:. %. ) % % -. %. ) - - 5 ) - 5 . )p )p. - 5 - - 5 -. . (1.9). . (1.10). 8;D=@?A2c 5 G-A;D=@?A238?KJGLN2c 5 G-A?K J:LN23 + - 5 B- ) - - +65 B- 5 7 :)+ -5 7 B. (1.11) (1.12) (1.13) (1.14). Por tanto las coordenadas de las uniones revolutas y del punto trazador del mecanismo en el sistema coordenado global dAe quedan determinadas por:. f V- f -V f B f B f + f + . %. % % % %. % %. %. lf fl fl fl f B f B 5 fl 5 fl . G -A;>=@?<23G-A?KJGLN23- G-A;>=@?<23- B ;D=@?A2 B G-A?KJGLN23- B ?MJGL#2 B :+;D=@?A2D+ :+<?MJGLN2D+ g G-A;>=@?<23- ;>=@?A2 B 5 h ?MJGLN2 B G-A?KJGLN23- g ?KJ:LN2 B h ;D=@?A2 B. (1.15) (1.16) (1.17) (1.18) (1.19) (1.20) (1.21) (1.22). La solución para los ángulos 2 B y 2D+ tiene cada una dos soluciones dada por los signos R y como toda ecuación cuadrática sus raices pueden ser de tres tipos: reales y diferentes, reales e iguales o complejos conjugados. Si el discriminante bajo el radical es negativo, la solución es compleja conjugada, fisicamente significa que los eslabones con las longitudes dadas no se pueden conectar para el valor determinado del ángulo de entrada 23- . Salvo esta excepción, sus soluciones generalmente son reales y diferentes, significando que para cada valor del ángulo de entrada 23- existen dos valores para 2 B y 2D+ . 7.

(26) Cada pareja de valores resultantes de la solución negativa y positiva de 2 B y 2D+ se refiere a las inversiones geométricas posibles en un mecanismo de cuatro barras, llamadas configuración abierta, y cruzada.. Figura 1.5: Configuraciones abierta y cruzada de un mecanismo de cuatro barras.. En la Figura 1.5 se muestran las dos inversiones geométricas para un mecanismo Grashof rotatorio oscilatorio. Los términos cruzado y abierto se refieren O( 23- definido como la variable a la suposición en la que el eslabón de entrada, con 23- - . Se define cruzado de control, se encuentra en el primer cuadrante a un mecanismo Grashof si los dos eslabones adyacentes al más corto se cruzan uno con otro y abierto si no se intersectan en esta posición.. 1.1.5 Curvas del eslabón acoplador [10]. El acoplador es el eslabón más interesante de cualquier mecanismo ya que realiza movimientos complejos y cualquier punto sobre él puede tener trayectorias de alto grado. En general mientras más eslabones tenga un mecanismo mayor es el grado de las curvas generadas, entendiendo por grado la potencia más elevada de cualquier término de su ecuación. Una curva de grado n puede tener hasta n intersecciones con una linea recta. Para un mecanismo de cuatro barras se pueden obtener curvas de hasta cuarto grado. Aún si el mecanismo es no-Grashof las cur8.

(27) vas del acoplador son cerradas y se pueden clasificar según su forma generalizada (Ver Figura 1.6).. Figura 1.6: Curvas tı́picas generadas por el eslabón acoplador de un mecanismo de cuatro barras Hay un rango infinito de variación entre esta curvas generalizadas, sin embargo algunas caracterı́sticas de interés son los “vértices” y las “intersecciones” (cusp y crunodes en inglés). Un vértice es un punto agudo en la trayectorı́a que presenta velocidad instantanea nula. Una intersección crea una trayectoria en forma de ocho y en ese punto la curva tiene dos pendientes o velocidades. Un mecanismo equivalente, en inglés “cognate”, se refiere a un mecanismo de geometrı́a distinta que genera la misma curva del eslabón acoplador [10].. 1.2. Justificación.. Encontrar un método para la sı́ntesis de mecanismos de cuatro barras generadores de trayectoria para “N” puntos de precisión incluyendo restricciones en su espacio de operación permitirá diseñar sistemas con mejor desempeño e incorporar mayores restricciones en su operación. Ası́ mismo se podrá aumentar el empleo de este versatil mecanismo simplificando diseños.. 9.

(28) 1.3. Hipótesis.. Se puede sintetizar un mecanismo de cuatro barras que incorpore además del requisito de la trayectoria deseada restricciones en su espacio de operación, o en la longitud de sus eslabones, utilizando el algoritmo de Recocido Simulado para obtener una solución de buena aproximación pero que con certeza cumple con los requerimientos del problema.. 1.4. Objetivo General.. Desarrollar un método para la sı́ntesis de mecanismos de cuatro barras, Grashof y No- Grashof, generadores de trayectoria, para “N” puntos de precisión con restricciones en su espacio de operación, especificando su dimensión y forma. O bien limitando la longitud de sus eslabones, para obtener un mejor diseño y/o control sobre la trayectoria generada.. 1.5. Metodologı́a.. Consiste principalmente en los siguientes puntos:. . . . Revisión de la literatura de sı́ntesis de mecanismos, en partı́cular de cuatro barras generadores de trayectoria. Desarrollar y validar un algoritmo computacional para realizar el análisis de posición del mecanismo eficientemente. Revisión de la literatura sobre el método de optimización combinatoria de Recocido Simulado. Determinar los mecanismos de generación de estados, de perturbación, criterios de aceptación y función objetivo para el problema: generar un mecanismo de cuatro barras que cumpla con la trayectoria especificada y que opere en el espacio prescrito. Desarrollar un algoritmo computacional para resolver el problema propuesto de sı́ntesis por medio de Recocido Simulado. Esta etapa comprende la refinación y validación del método propuesto, ası́ como la comparación con otros métodos alternativos bien probados.. 10.

(29) 1.6. Organización de la Tesis.. En el Capı́tulo 1 se describe al mecanismo de cuatro barras; sus caracterı́sticas escenciales, criterios de movilidad y el método utilizado para realizar su análisis de posición. En el Capı́tulo 2 se hace referencia a la teorı́a clásica más empleada para la sı́ntesis de mecanismos de cuatro barras, los métodos geométricos y analı́ticos empleando dı́adas; particularmente para la tarea de generación de trayectoria. Con esto se pretende dejar identificadas las ventajas y desventajas que presentan cada uno de ellos. En el Capı́tulo 3 se describe la sı́ntesis de mecanimos empleando el Algoritmo de Recocido Simulado, su teorı́a, la descripción de la función objetivo obtenida y su desarrollo como algoritmo computacional para la resolución del problema propuesto. En el Capı́tulo 4 se presentan resultados del método propuesto para la sı́ntesis de mecanismos y se comparan con los obtenidos mediante el método de sı́ntesis empleando diadas para tres puntos de precisión. El Capı́tulo 5 contiene las conclusiones de este trabajo además del posible trabajo a futuro que puede realizarse.. 11.

(30)

(31) Capı́tulo 2 Sı́ntesis Clásica de Mecanismos. Este capı́tulo tiene como objetivo mostrar la teorı́a clásica para la sı́ntesis de mecanismos, en particular de cuatro barras generadores de trayectoria ya sea de manera geométrica o analı́tica, y determinar claramente el problema de sı́ntesis a resolver.. 2.1. Sı́ntesis cinemática.. La sı́ntesis cinemática en general se refiere al diseño sistemático de mecanismos para una función especifica: generación de función, generación de trayectorı́a o generación de movimiento. En cada una de estas áreas de sı́ntesis se pueden distinguir dos etapas: sı́ntesis de tipo y sı́ntesis dimensional. La sı́ntesis de tipo se refiere a la definición del tipo adecuado de mecanismo que satisface mejor el problema. Se busca tener el mejor balance entre funcionabilidad y costo, confiabilidad o cualquier otro factor de interés. En la sı́ntesis dimensional se busca determinar las dimensiones significativas y la posición de inicio de un mecanismo de tipo preconcebido para una tarea especifica y con desempeño dado. La tarea de generación de función se define como la correlación de una función de entrada con unafunción de salida en un mecanismo. El resultado es una computadora mecánica analógica. En la generación de trayectoria se busca el control de un punto de interés para trazar una trayectoria definida respecto al marco de referencia fijo, no importando la orientación del eslabón que contiene al punto. Si los puntos de la trayectorı́a han de estar correlacionados con el tiempo o con las posiciones del eslabón de entrada, la tarea se denomina generación de trayectoria con tempori13.

(32) zación prescrita. La generación de movimiento requiere que todo un cuerpo sea guiado a través de una secuencia de posiciones determinada. El cuerpo que se guia generalmente es una parte del eslabón acoplador, del cual nos importa su orientación. Existen tres métodos para especificar el rendimiento deseado de un mecanismo: aproximación de primer orden o puntual, de orden superior y de punto-orden combinada. En la aproximación puntual se especifican puntos discretos de la función o trayectoria deseada. El mecanismo sintetizado generará una función que coincidirá con la función ideal en los puntos de precisión, pero generalmente se apartará de ella entre dichos puntos. En ocasiones, además se requiere que el mecanismo cumpla con velocidad, aceleración, impactos, etc. en una o más posiciones. En la aproximación de orden superior se busca controlar además de la posición, la pendiente de la función o trayectoria, su curvatura o la razón de cambio de la curvatura, por ejemplo. A la combinación de las dos aproximaciones anteriores se denomina aproximación punto-orden o aproximación mediante producto de puntos de precisión separados. Esto es cuando se requiere de una cierta velocidad y posición en un punto de precisión mientras que en otro sólo es necesaria la posición por ejemplo.. 2.1.1 Puntos de precisión. Los puntos o posiciones prescritas como lugares sucesivos para el punto o eslabón de interés en el plano se denominan puntos de precisión o posiciones de precisión. El número de puntos de precisión que pueden ser logrados por un mecanismo está limitado por el número de ecuaciones disponibles para su solución. Por lo tanto, el número de puntos de precisión que se emplean en la sı́ntesis dimensional del mecanismo de cuatro barras generalmente varı́a entre dos y cinco. Tres es el número máximo de puntos de precisión con el cuál se tiene una solución lineal para la sı́ntesis del mecanismo. Es posible la sı́ntesis de generación de función con hasta siete puntos de precisión y la sı́ntesis de generación de trayectorı́a con hasta nueve puntos de precisión, pero requieren en general de métodos numéricos, en lugar de los de forma cerrada que son preferibles, esto por la dificultad que presenta su solución conforme aumenta el número de puntos de precisión requerido [10, 12]. Los procedimientos de sı́ntesis analı́tica nos pueden guiar a una solución que cumpla con los puntos de precisión, pero no se tiene ninguna garantı́a sobre el 14.

(33) comportamiento del mecanismo sintetizado entre dichos puntos. Puede ser que el mecanismo no logre pasar por los puntos de precisión en el orden requerido o inmovilizarse durante su trayectoria entre ellos. Una definición útil para cuantificar el desempeño del mecanismo es el error estructural, que se define como la diferencia entre la función generada por el mecanismo sintetizado, y la función especificada para cierto valor de la variable de entrada.. 2.1.2 Herramientas de sı́ntesis dimensional [13] . Las dos herramientas básicas de sı́ntesis dimensional son la construcción geométrica y el cálculo analı́tico (matemático). En las siguientes secciones se describen estos dos métodos de sı́ntesis para el la tarea de generación de trayectoria.. 2.2. Sintesis gráfica.. Los métodos de sı́ntesis geométricos o gráficos ofrecen al diseñador un procedimiento de diseño relativamente rápido y directo. Sin embargo, tienen limitaciones de exactitud a causa del error de dibujo y podrı́a ser necesario repetir muchas veces la construcción geométrica para obtener resultados apropiados [13].. 2.2.1 Posiciones lı́mite. Este tipo de sintesis [6, 11] se refiere a los problemas donde se prescriben el ángulo entre las posiciones lı́mites de un eslabón lateral de un mecanismo de cuatro barras, utilizando el concepto de la desigualdad del triángulo. f f Considerando al eslabón fijo como , al eslabón de entrada como - y su f f pivote fijo ), , al eslabón acoplador B y al de salida como + con pivote l . El ángulo de movilidad, 2 , está dado por @ ,y@ o - l{@- . Para evaluar la f f f B y el movilidad de + se necesitan tres cı́rculos: el Cı́culo I de radio f f B ¡ con centro en ), ; y el Cı́rculo III de radio f + con Cı́rculo II de radio ¡ - 5 centro en , . El Cı́rculo III representa el lugar del punto relativo a , , y los cı́rculos I y II el lugar de las distancias máxima y mı́nima posibles entre y )l (Ver Figura 2.1). Los casos posibles y su resultado se presentan en la tabla 2.1.. 15.

(34) Figura 2.1: Sı́ntesis geométrica de un mecanismo de cuatro barras para posiciones lı́mite [11]. La clasificación de los mecanismos triple oscilador depende del eslabón más grande. Las clases cero, uno y dos corresponden cuando el eslabón de mayor longitud es el acoplador, uno lateral y el fijo respectivamente. Los pasos para la sı́ntesis son los siguientes:. f. 1. Dibujar el circulo III de radio + con centro en , . Las posiciones lı́mite @ y se determinan de acuerdo al ángulo de movilidad 2 del eslabón de salida.. circulo 2. Dibujar un de radio ¡ f f B radio con centro en los cı́rculos.. f - f B ¡ con centro en y otro cı́rculo de 5 . Ubicar el pivote ), en la intersección de. Dependiendo de la longitud de los eslabones, se tienen los siguientes casos para el lugar del pivote ), :. 16.

(35) Tabla 2.1: Intersecciones, condiciones y tipos de mecanismo [6]. Caso Intersección Condición Tipo de Mecanismo f f 1 Ninguna Doble rotatorio f f ++ 1 Ninguna Rotatorio oscilatorio f - f B 2 II y III Triple oscilador Clase 1 f f B 2 II y III Triple oscilador Clase 0 f - f 3 I y III Triple oscilador Clase 1 f f 3 I y III Triple oscilador Clase 2 f - f -B Doble oscilador 4 I, II y III f f B 4 I, II y III Rotatorio oscilatorio 5 I y/o II tangente a III Mecanismos con puntos de cambio Tabla 2.2: Ecuaciones de restricción dependiendo de la razón de longitud de los eslabones en la sı́ntesis gráfica para posiciones lı́mite [11]. Caso Lugar de ), Ecuación de restricción f Razón f f f cı́rculo f BK¢¢ f ++ f - f B ?KJGLN2H¢ 7 f B ¢ f + elipse f - f B hiperbola ?KJGLN2H¢ 7 f B ¢ f + f -£¢ f + f - f B ?KJGLN2H¢ 7 f -£¢ f + elipse f - f B hiperbola ?KJGLN2H¢ 7 -£¢ +. 2.2.2 Generación de trayectorias. Tres posiciones prescritas. Se desea diseñar un mecanismo de cuatro barras de modo que un punto de trayec toria en el eslabón acoplador pase por tres posiciones seleccionadas , - y B. Al diseñar para tres posiciones prescritas, las posiciones de )l y , , que defi son opciones libres. La longitud del nen la longitud e orientación del eslabón fijo, eslabón de entrada y la distancia entre ) y son arbitrarias. El procedimiento es el siguiente [13]:. . . . 1. Seleccionar los puntos de trayectoria prescritos, , - y B , escoger posiciones para los pivotes fijos )l y , ,determinando el eslabón fijo. 2. Escojer una longitud para el eslabón de entrada y trazar la trayectoria de ) 17.

(36) Figura 2.2: Diseño inicial (a) indicando los parámetros de diseño y (b) diagrama del mecanismo generador de trayectoria deseado (un cı́rculo). Seleccionar el punto para ).. . ). (posición de. ). para la posición. . 3. Ya establecida la longitud de ) , localizar ),- y ) B . Los puntos ) , y se encuentran sobre el acoplador y por lo tanto tienen las mismas separaciones entre sı́ en todas las posiciones. 4. La posición de se encuentra medinate una inversión cinemática fijando el acoplador en la posición 1. El resto del mecanismo, incluido el bastidor, debe moverse de modo que el mismo movimiento relativo exista entre todos los eslabones de esta inversión ası́ como de la posción original. Las posiciones relativas de , respecto a la posición 1 del acoplador se obtienen mediante la construcción que se muestra en la Figura 2.3 como % sigue. Girar de )p una distancia angular ¥¤¦- 5 ¤ , donde ¤§)l alrededor )l{),- % ),/)p , para llegar a ) . Dibujar y ¤ un arco alrededor de ) con radio )l{, . Trazar un arco alrededor de con radio -/, . La intersección de estos dos arcos es la posición de ¨ . La construcción de sigue el mismo procedimiento con ) (girado alrededor de )p desde ), una distancia angular 8¤ B 5 ¤ ) como centro de un arco con radio ),{l y con B l 18.

(37) como radio de un segundo arco desde el centro. . .. Figura 2.3: Inversión para situar 5. Trazar bisectrices perpendiculares a las lı́neas ,{ y . El punto de intersección sitúa como centro del cı́rculo que pasará por las tres posiciones relativas de , : , , ¨ y ¨ . 6. Dibujar el mecanismo en las tres posiciones para verificar el diseño. Si el diseño no es satisfactorio, se pueden repetir estos pasos escogiendo diferentes posiciones para los pivotes y distinta longitud para el eslabón de entrada. Idealmente hay seis conjuntos infinitos de mecanismos de cuatro barras que cumplen con esta generación de trayectoria, ya que la posición del pivote )l 595©58ª 5V5©58ª (coordenadas d y e ) y los vectores ),y, y ),/)p fueron seleccionados arbitrariamente en el plano de referencia fijo. Esto equivale a tres conjuntos infinitos de soluciones para cada lado del mecanismo. Es importante señalar que un pequeño error en las posiciones de , , o produce un error amplificado en la posición de . Conforme las lı́neas ,{¨ y ¨ ¨ se vuelven paralelas, la amplificación del error es muy grande.. 19.

(38) Figura 2.4: Verificación del mecanismo generador de trayectoria sintetizado para tres puntos de precisión.. Tres posiciones prescritas con temporización.. El ángulo «APara este caso, las rotacones del eslabón de entrada están prescritas. en sentido horario corresponde al movimiento del punto desde hasta - , y « B en sentido horario, de a B (Ver Figura 2.5). Los pasos para la construcción de la Figura 2.6 son los sigientes: 1. Seleccionar el pivote fijo del eslabón de entrada de precisión de la trayectoria prescrita - B . 2. Trazar las lı́neas. . -/)l. y. . Z), . respecto a los puntos. B )l .. 3. Invertir el movimiento (fijando el eslabón de entrada )l{) que todavı́a no se conoce), girar -{)l6«A- grados en sentido antihorario alrededor de ), , y B ), , « B grados en sentido antihorario alrededor de )l , situando - y B . 4. 5.. Dibujar las lı́neas - y B . Situar )p la primer posición de ) pendiculares 8- y B .. en la intersección de las bisectrices per-. 20.

(39) Figura 2.5: Puntos de trayectoria prescritos y rotaciones para el eslabón de entrada para tres puntos de precisión.. 6. Continuar la construcción de acuerdo a la sección anterior. La generación de trayectorias con temporización prescrita implica dos opciones d e libres (las coordenadas y de )l respecto a ), produciendo idealmente dos conjuntos infinitos de soluciones. Cuatro posiciones prescritas. Se presenta aqui el método de reducción punto-posición [12]. Parte del hecho de poder dibujar un cı́rculo que pase por tres puntos y se escogen los parámetros de diseño de modo que algunas posiciones correspondientes de un punto de diseño, por lo regular una unión revoluta, coincidan, con lo que se reduce a tres el número de posiciones distintas. Esto se logra situando ya sea el punto de pivote , o el punto en uno de los polos del acoplador. En los siguientes apartados se desarrollan estos dos diseños en donde se determinan tres posiciones relativas distintas para un punto de un eslabón y luego se traza un circulo que pase por esos puntos. Con este método se pueden satisfacer hasta seis puntos de precisión. Diseño 1. Se requiere diseñar un mecanismo de cuatro barras tal que un punto del acoplador pase por cuatro posiciones escogidas arbitrariamente en el orden 21.

(40) Figura 2.6: Construcción gráfica de la posición inicial del eslabón de entrada para la generación de trayectorias con temporización.. , -, B y +. (Ver Figura 2.7). Localizando el pivote fijo , en uno de los polos del movimiento del acoplador, el procedimiento es el siguiente: 1. Seleccionar dos posiciones que se harán coincidentes en la inversión, por ejemplo las posiciones 1 y 4 para que , se sitúe en el polo Z+ . El polo se encuentra en la bisectriz perpendicular de la lı́nea + (cualquier punto cómodo sobre esta lı́nea es bueno). Esto determina el ángulo de rotación del eslabón seguidor ¬Z+ , desde la posición 1 a la 4.. . 2. Puesto que , esta en el polo Z+ , se puede girar el acoplador de , desde la posición 1 a la 4. Esto implica que ) y , que son puntos del acoplador, también deben girar el mismo ángulo ¬EZ+ alrededor de , de la posición 1 a la 4. 3. Escoger una dirección para )ly, y trace dos lı́neas que pasen por , con ángulo Rp¬EZ+D¢ 7 desde ,{)l . Los puntos )p y )l+ deben estar sobre estas lı́neas equidistantes respecto a , . 4. Seleccionar posiciones para ) y )l . Esto establece )l y las longitudes de los eslabones fijo y de entrada, ası́ como la distancia ) . 22.

(41) Figura 2.7: Sı́ntesis para cuatro puntos de precisión empleando el diseño de pivote en el polo.. % B en % el arco alrededor de )l con radio ),{)p )l/)l+ , tales ) B `) . l y están situados en Z+ . Fijar el acoplador (una inversión cinemática) y determinar la posición relativa % de , para las posiciones % 2 y 3 ¥ ¯® , B construyendo °±)p `¨ °±),- -{, y °²) 9¨ °±) B , . El centro del cı́rculo que pasa por , , ¨ y ¨ es . Esto establece las longitudes. ),% - y ) 5. Localizr B que -{)l6.. de los eslabones acoplador y de salida y finaliza el diseño.. 7. Dibujar el mecanismo en las cuatro posiciones para verificar el diseño (Ver Figura 2.8). Entre las posiciones 3 y 4, la manivela de entrada gira más allá de l+ , y luego gira de regreso a l+ , hasta que el punto de trayectoria finalmente coincide con la posición prescrita + . Durante esta rotación hacia adelante y hacia atrás del es labón de entrada, el punto sale de la trayectoria prescrita. Este comportamiento es caracterı́stico de los diseños que se obtienen por este método y podrı́a no ser apropiado en algunas aplicaciones de generadores de trayectoria. requiere diseñar un mecanismo de cuatro barras tal que el punto Diseño 2. Se del acoplador pase por las posiciones prescritas en orden , - , B y + . Lo23.

(42) Figura 2.8: Verificación del mecanismo para cuatro puntos de precisión.. calizando el punto del acoplador el siguiente (Ver Figura 2.9):. . en un polo del acoplador el procedimiento es. . 1. Localizar arbitrariamente el polo Z+ en la bisectriz perpendicular de la lı́nea + . Los puntos y l+ estarán en el mismo lugar con Z+ . El ángulo Z+ + es ¬EZ+ .. . . ), es rı́gido, el ángulo )9p debe 2. Puesto que el triángulo acoplador ser igual al ángulo )l+£l+ + . Una vez ubicados y , se traza una lı́nea desde p en una dirección arbitraria a fin de establecer un lugar geométrico para )p . La distancia 9) es arbitraria también. 3. Ubicar% )#+ de modo que el ángulo )p99)l+ )#+y )Mp .. %. ¬lSD³. en magnitud y sentido y. 4. Escoger el pivote ), para el eslabón % de entrada en la bisectriz del ángulo )p99)#+ . De este modo, )l{) ),/)#+ . Dibujar la trayectoria del arco circular de ) desde ) hasta )#+ . 5.. % Situar , ) - de modo que )l- - p) , y ) B 24. % B B ) . tal que ).

(43) Figura 2.9: Sı́ntesis para cuatro puntos de precisión empleando el método de reducción punto-posición. 6. Dado que °²)9 y B .. % % % °±),-/,- - ± ° ) B B B °±)l+y#+ + , localizar l-. 7. Dado que p y #+ coinciden, se puede trazar un cı́rculo que pase por p , #+ , ,- y B . El centro de este cı́rculo es el pivote fijo , y el radio la longitud del eslabón de entrada del mecanismo. El procedimiento gráfico es un poco más sencillo si el punto acoplador está en el polo que si está el pivote , esta en el polo. La situación de diseño podria determinar cual utilizarse.. 2.3. Sı́ntesis analı́tica.. Los métodos de sı́ntesis analı́ticos son adecuados para el cálculo automático y tienen las ventajas de exactitud y repetibilidad. Una vez que un mecanismo se modela matemáticamente y se codifica para una computadora, es fácil manipular los parámetros del mecanismo para crear nuevas soluciones [13]. Existen varios métodos, sin embargo en esta tesis se mencionan los referentes a la tarea de generación de trayectoria utilizando dı́adas. 25.

(44) 2.3.1 La forma de dı́ada estándar. En general, los mecanismos planos pueden modelarse utilizando vectores para representar los eslabones. Dependiendo del problema de sı́ntesis que se quiera resolver, dichos vectores se pueden combinar de diferentes formas y casi todos se pueden resolver modelando los eslabones como combinaciones de pares de vectores llamados dı́adas. Para nuestro caso, el mecanismo de cuatro barras se modela con dos dı́adas: el lado izquierdo del mecanismo representado por el par de vectores ´ y µ y el lado derecho por el par de vectores ¶ y · . Los vectores µ y · se consideran unidos 5Hª rı́gidamente al eslabón acoplador. Los vectores que representan ), en el eslabón 5`5©5¥ª acoplador y al eslabón fijo ),yl se determinan en la sı́ntesis del mecanismo.. Figura 2.10: Representación de las dı́adas que modelan un mecanismo de cuatro barras en su primera y k-ésima posición.. La suma de vectores alrededor del circuito que contiene las posiciones primera y k-ésima de una de las dı́adas que forman el mecanismo se denomina la ecuación de la forma estándar [12]. Si k representa la posición de precisión y n el número total de posiciones de precisión, se tiene:. ´w¸. . µ¹¸ 5º ¸. . º 5 µ» 5 ´¼ 26. %O. ½(%. 7 a¾. (2.1).

(45) Escribiendo la expresión en notación de números complejos:. Ä % ½(% ¿ x{zM|ÀKx{z`Á£Â 5 S3Ã {x z9ÅDÂ6À/x{zMÆÇÂ 5 S3Ã È ¸3x{zMÉ8Â (2.2) 7 a¾ % ¿ % Ä Ê % % la expresión sustituyendo ´ x z9| , µ x zMÅ>Â y Ë © ¸3x z9É8Â ; Arreglando donde Ë¨¸ º ¸ 5º . % ½Ì% ´ À/x{z9Á£Â 5 SDÃ µÀ/x{zMÆÇÂ 5 SDÃ Ë¸ (2.3) 7 a¾ Escribiendo la ecuación de la forma estándar para la dı́ada derecha:. ¶ À x z`Á Â 5 S Ã. . · À x zMÆ Â 5 S Ã. %. Ë¸. ½Ì%. 7 a¾. (2.4). El mecanismo de cuatro barras queda determinado entonces al conocer las dos componentes de cada vector de las dı́adas empleadas para modelarlo. Por tanto, sólo hay un número finito de parámetros a especificar que pueden imponerse en un trabajo de sı́ntesis. El número de ecuaciones resultantes, variables y opciones libres se presentan en la Tabla 2.3. Tabla 2.3: Número de variables y opciones libres para sı́ntesis de trayectoria con temporización y para generación de movimiento [13]. No. de No. de No. de No. de No. de No. de Posiciones Variables Ecuaciones Variables Opciones Soluciones (n) Escalares Escalares Prescritas Libres Disponibles B 2 8 2 3 3 ¥Í 3 12 4 6 2 ¥Í 4 16 6 9 1 ¥Í 5 20 8 12 0 Finito. Para la sı́ntesis de un mecanismo generador de trayectoria con temporización prescrita los ángulos Î©¸ del eslabón de entrada se especifican para definir la temporización y los ángulos ¤¦¸ del vector µ , los cuales controlan la orientación del eslabón acoplador quedan como opciones libres. Como estos ángulos se especifican o se toman como opciones libres, este procedimiento de sı́ntesis es igual al de un mecanismo generador de movimiento [10].. 27.

(46) 2.3.2 Dos puntos de precisión. El mecanismo se modela con dos dı́adas, una izquierda ´¼µ y una derecha ¶· . Cada dı́ada conecta un pivote fijo con el punto trazador en el eslabón acoplador mediante las uniones ) o . El procedimiento a seguir se repite para cada una de ellas [12, 10]. Ver Figura 2.11.. Figura 2.11: Mecanismo de cuatro barras para la sı́ntesis de generación de trayectorias con dos puntos de precisión. Para la dı́ada izquierda, en su ecuación de la forma estándar (Ecuación 2.3) hay tres opciones libres a escoger; si se prescriben Ë- y Î©- para el caso de generación de trayectoria, se pueden escoger µ y ¤§- arbitrariamente obteniendo una solución lineal para ´ :. ´. % ¨ Ë - 5 µ 8x zMÆÇ} 5 S x z`Á£} 5 S. (2.5). La longitud y orientación del eslabón acoplador se determinan en términos de los vectores µ» y ·§ y el eslabón fijo en función de las dos dı́adas expresandose de la Ï % siguiente manera:. Ð %. µ» 5 §· Ï ´¼ 5 ¶. (2.6). Se tienen en teorı́a tres conjuntos infinitos de soluciones. En general se incorporan para este caso otros criterios para mejorar otros ı́ndices de rendimiento 28.

(47) como el ángulo de trasmisión del mecanismo.. 2.3.3 Tres puntos de precisión. El sistema de ecuaciones para tres posiciones de una sola dı́ada esta dado por:. . %. ´ 8x z9Á } 5 S µ#8x zMÆ } 5 S % ´ 8x z9Áy 5 S #µ 8x Mz Æ¯ 5 S . Ë-. Ë B. (2.7). El sistema de ecuaciones 2.7 es un juego de ecuaciones complejas, lineales respecto a sus incógnitas complejas ´ y µ , los vectores que representan a la dı́ada en su primera posición, con coeficientes conocidos [12].. Figura 2.12: Diagrama de mecanismo de cuatro barras resultante modelado por dı́adas para los tres puntos de precisión.. . . Para el caso de generación de trayectorias se especifican - , B , Î©- y Î B ; ¤¦y ¤ B se escogen arbitrariamente. Otra opción consiste en especificar los pivotes fijos como se desarrolla en la siguiente apartado. En ambos casos se esperan dos conjuntos infinitos de solución.. 29.

(48) Especificación de pivotes fijos. Si se desea especificar la posición de los pivotes fijos, se pueden escoger las coordenadas d y e de los dos pivotes fijos como opciones libres, en vez de escoger los ángulos de los eslabones. Tomando como referencia la Figura 2.13, las ecuaciones de sı́ntesis para una dı́ada en tres posiciones separadas por distancias finitas son:. ´. . %. µ % ´Ñx z9Á£} µEx zMÆÇ} % ´Ñx 9z Áy µEx zMÆ¯. º º º B. (2.8). Figura 2.13: Esquema una dı́ada WZ en tres posiciones para la sı́ntesis de mecanismo generador de trayectoria especificando pivote fijo. Al escoger las componentes d y e de uno de los pivotes fijos como opciones libres, se dejan como incognitas los ángulos Î©- y Î B como incognitas en el caso de sı́ntesis para generación de movimiento o a los ángulos ¤¦- y ¤ B en el caso de generación de trayectorias con temporización prescrita. Estos ángulos se encuentran dentro de expresiones trascendentales en las ecuaciones 2.8, y al asignarles valores, sólo existe solución para ´ y µ si el determinante de la matriz aumentada de. 30.

(49) coeficientes de las ecuaciones 2.8 es igual a cero.. ÒÒ. Ò S º ÒÒÒ P % O ÒÒ S ÒÒ x z`Á£} x z9ÆÇ} º - ÒÒ Ò x z`Áy x z9Æ¯ º B Ò. (2.9). Expandiendo el determinante sobre la columna que contiene las incógnitas ¤ B , se tiene:. À º B x z9Á£} Ó 5 º -/x z9ÁyKÃ. . %&O n x z9ÆÇ}EÀ º 9x `z Áy 5Óº Ã x zMÆ¯À º - 5 º 9 x z9Á£}9Ã. simplificando la expresión:. ) donde:. . ). %. %. %. 0x{z9ÆÇ}. . x{z9Æ¯. %&O. º B x z9Á£} 5 º -/n x z9Áy 9 x º z9Áy 5 º º - 5Óº 9 x z9Á£}. ¤¦-. y. (2.10). (2.11). (2.12). La ecuación 2.11 expresa la suma de los vectores sobre el lazo cerrado. Para % cada ángulo % se obtienen dos soluciones. La solución trivial se presenta cuando ¤¦- Î©B y¤ Î B . La solución buscada es la no trivial dada por:. % H] ^KÔ ]H^KÔ ]H^MÔ ¤¦- % 7 ]H^MÔ 5 ) 5 ]H^MÔ 8 5 ]H^MÔ x{z9Á£} (2.13) ¤ B 7 5 ) 5 5 x{z9Áy (2.14) para ¤¦- y ¤ B , se sustituyen junto con los valores Una vez conocidos los valores especificados de Î©- , Î B , y - en las ecuaciones 2.8 o 2.7 y se encuentran los valores para ´ y µ con lo que se determina la dı́ada para la posición de pivote de. tierra especificada. Esto se repite para la dı́ada derecha del mecanismo. Cı́rculos de los puntos centrales y puntos circulares.. Para el problema de sı́ntesis de tres puntos de precisión, Loerch [12] descubrió que si se escoge un valor arbitrario para un parámetro angular no prescrito al tiempo que se permite que el otro parámetro angular varı́e a través de todos los valores posibles, los lugares geométricos resultantes de los pivotes fijos ½ Õ (del alemán “Mittelpunkt” que significa punto central) y pivotes móviles (de “Kreispunkt” que significa punto circular) correspondientes son pares de cı́rculos (los pivotes 31.

(50) móviles se consideran en su primera posición, de ahı́ el subı́ndice 1) y representan el lugar de todas las posibles soluciones para los vectores ´ , µ , ¶ y · permitiendo localizar su mejor posición, ampliando en gran medida los recursos de solución.. Figura 2.14: Generación de los cı́rculos de punto central y de punto circular. El primer punto de precisión se ubica en el origen del sistema de coordenadas.. El lugar geométrico de los pivotes de tierra se denomina cı́rculo de punto central ó cı́rculo M y el de los pivotes móviles se denomina cı́rculo de punto circular ó cı́rculo K.. 2.3.4 Cuatro puntos de precisión El sistema de ecuaciones para cuatro puntos de precisión de una dı́ada es [12]:. . %. ´ 8x z9Á£} 5 S µ#8x zMÆÇ} 5 S % ´ 8x z9Áy 5 S µ#8x zMÆ¯ 5 S % ´ 8x z9Áy 5 S #µ 8x zMÆ¯ 5 S . Ë-. Ë B Ëp+. (2.15). Para la solución solamente se tiene una opción libre de entre las siete incógnitas B reales: las coordenadas de ´ , µ y los ángulos Î©- , Î y ÎÈ+ , dado que - , B , + y los ángulos ¤§- , ¤ B y ¤¦+ se especifican en el caso de generación de movimiento. 32.

(51) Figura 2.15: Cı́rculos de punto central y de punto circular con una opción de posible mecanismo que cumple con los puntos de precisión.. Por lo tanto, sólo se puede escoger arbitrariamente un ángulo de rotación o una coordenada de un vector de eslabón. El sistema de ecuaciones 2.15 contiene tres ángulos desconocidos, ÎÈÖ o ¤¦Ö en expresiones trascendentales. Aún si se escoge un ángulo ÎÈÖ o ¤Ö como opción libre, el sistema de ecuaciones requiere de alguna técnica de solución de ecuaciones no lineales. Dada esta dificultad, se recurre con mayor frecuencia a los cı́rculos M y K, que en su forma más general se conocen como curvas de Burmester. Con ellas se han desarrollado varı́as técnicas como la de superposición de dos casos de tres puntos de precisión [12], donde los puntos en las curvas M/K para las cuatro posiciones de precisión se obtienen de las intersecciones de los cı́rculos de cada uno de los subproblemas de tres puntos de precisión. El sistema de ecuaciones 2.15 es un juego de tres ecuaciones complejas lineales, no-homogéneas para las dos variables complejas µ y ´ . Reescribiendo las ecuaciones 2.15 en forma matricial:. ×ØÙ. x z9Á } 5 S x z9Á 5 S x z9Áy 5 S. ÚÜÛ å x z9Æ } 5 S Ë % â á æâ ã ´ B x z9Æ 5 S ÝßÞ µ à âä Ë ç â x z9Æ¯ 5 S pË +. (2.16). Para que de estas ecuaciones se obtengan soluciones simultáneas para estas 33.

(52) variables, una de las ecuaciones debe ser linealmente dependiente de las otras dos. Esto se logra si el rango de la matriz aumentada è , formada al añadir el vector de parámetros a la matriz de coeficientes, es igual a 2 (a esta condición se le llama condición de compatibilidad). Por lo tanto es necesario que el determinante de la matriz aumentada sea igual a cero.. Ò Ë % ÒÒÒ x z9Á£} 5 S x zMÆÇ} 5 S ¨ ÒÒ x 9z Áy 5 S x Mz Æ¯ 5 S Ë B Det è Ò x z9Á 5 S x Mz Æ 5 S Ë +. ÒÒ. ÒÒ %&O ÒÒ Ò. (2.17). La ecuación 2.17 es compleja y contiene dos ecuaciones escalares independientes con dos incógnitas Î B y ÎÈ+ por ejemplo. Expandiendo el determinante sobre la columna que contiene las incógnitas se tiene:. donde: y. é Ö. é -yx{z9Á£} é B {x z9Áy é £+ x{z`Áy é %O é % é - é B é + 5 5 5. (2.18). (2.19). con ê =2, 3, 4, son los cofactores de los elementos en la primer columna:. é - %. ÒÒ. é B %. ÒÒ. é + %. ÒÒ x zMÆ¯ 5 S Ò x zMÆ¯ 5 S 5 ÒÒÒ xx zMzMÆÆ¯} ÒÒ ÒÒ x zMÆ } Ò x zMÆ . 5 S 5 S 5 S 5 S. Ò Ë B ÒÒÒ Ëp+ Ò ËËp+. Ò. ÒÒ. ÒÒ. (2.20). Ò Ë- ÒÒÒ Ë B Ò. La ecuación 2.18 se denomina ecuación de compatibilidad y puede ser entendida como la ecuación de cierre de circuito para un mecanismo de cuatro barras o é mecanismo de compatibilidad, formado por el eslabón fijo , eslabones móviles é Ö , ê = 2, 3, 4, con rotaciones ÎÈÖ , medidas a partir de su posición inicial. En la Figura 2.16 se muestra el mecanismo de compatibilidad en su posición inicial con vectores, las posiciones siguientes se muestran con lı́neas punteadas. En este mecanismo de compatibilidad también se presentan distintos circuitos o ramas como en el mecanismo de cuatro barras real y también cumplen con la ecuación 2.18. 34.

(53) Figura 2.16: Mecanismo de compatibilidad para la sı́ntesis de cuatro puntos de precisión y su solución. Por cada valor de Î©- existen dos juegos de valores para Î B y ÎÈ+ , por lo que el rango en que se asuma Î©- se determina por los lı́mite de movilidad del mecanismo de compatibilidad. Una vez determinados los juegos de valores para un valor dado de Î©- se pueden resolver el sistema de ecuaciones 2.15 y/o obtener los cı́rculos M y K para ampliar el panorama½ de solución. Al conjunto formado por un punto central Õ y un punto circular se denomina pareja de puntos de Burmester. El mecanismo sintetizado cumple con los puntos de precisión o posiciones prescritas, sin embargo no existe garantı́a de que cumpla con ellas en el orden requerido. Además puede tener ángulos de transmisión pequeños o puntos de cambio por ejemplo. Solución de la ecuación de compatibilidad. Una solución analı́tica sencilla para la ecuación de compatibilidad se obtiene de su construcción geométrica [12]. Dado un valor para Î©- , los valores para los ángulos Î B , ÎÈ+ y ëÎ B , ÈëÎ + para cada circuito posible del mecanismo de compatibilidad se determinan, con base en la Figura 2.16 de la siguiente manera: Si 35.

(54) é % é é y- x z9Á£} ì ì % é % é Ö ¡ ÖK¡ y ¡ ¡. donde. se puede calcular:. donde:. O b $ %&]c^ ] _ K? JGLN2 B 2B 2B ; L ;D@= ?<2 B a ì ì ì % ÒÒ % +í- 5 ì -B ì 5 ÒÒ O ¥ ~ î B B B Ò ;D=@?A2 K ? : J l L 2 9 S D ; H = ? 2 5 Òðï 7 B. y se tienen como resultados:. %. ÎB % ë2 B % ëÎ B. ]H^KÔ é b ]H7 ^KÔ 5 é 2 B. De manera semejante:. donde:. %P]H^ ] _ K? J:LN2D+ D2 + ; L ;D@= ?A2D+a ì ì ì % -B 5 ì +- ì 5 ;D=@?A2D+ 7 +. por último se calculan:. ÎÈ+ % ÈëÎ +. %. ]H^MÔ é B 2B 5 ]H^MÔ é Bë2 5 B O$. ?KJ:Ll2D+. 2D+. b¹ñ. (2.21). (2.22). Dë2 +. %. 5 2D+. (2.23). % ÒÒ Ò O Ò 9S 5 ;D=H? - D2 + ¥î~- ÒÒðï. ]H^KÔ é H] ^KÔ é ]H^KÔ é 5 D2 + 5 ]HM^ Ô é + b Dë2 + 5 +. (2.24). 2.3.5 Cinco puntos de precisión. Para este caso de sı́ntesis no se tienen opciones libres. Las curvas de punto circular y punto central son cúbicas y si se intersectan se tiene una solución y la dı́ada o pareja de Burmester encontrada cumple con las cinco posiciones prescritas. 36.

(55) Extensiones de la teorı́a de puntos de Burmester. Teoréma de Roberts-Chebyshev. Esta teorı́a [12] establece que existen dos mecanismos de cuatro barras adicionales que generan la mismo trayectoria que el mecanismo “padre” aunque con diferentes rotaciones del eslabón acoplador. Estos mecanismos adicionales se denominan cognados de Roberts-Chebyshev y se pueden obtener geométricamente, haciendo referencia a la Figura 2.17, de la siguiente forma:. Figura 2.17: Mecanismo de cuatro barras “padre” con sus cognados mostrados a sus lados.. µí`´¼ y de µ-/´!- . ½ ¨½ , haciendo ½ °±Õ Õ similar al ° de Encontrar el tercer pivote fijo modo que corresponda a , Õ a , etc. ó Encontrar el triángulo ½ ½ acoplador ó de un cognado haciendo °±ò similar a °²Õ - Õ o ° - . es el eslabón seguidor del “cognado derecho” en lı́nea punteada de la Figura 2.17. Encontrar el cognado restante acoplador ôpõ - y/o ° ½ ¨½ construyendo - y conectandoel õ triángulo similar a °²Õ Õ para formar el eslabón óö seguidor del segundo cognado. Con esto se forma el paralelogramo õ .. 1. Completar los paralelogramos de 2. 3.. 4.. 37.

(56) . Como tres paralelogramos concurren en , las curvas del eslabón acoplador trazadas por como punto de cualquiera de los tres mecanismos son la misma. Un resultado útil es que los cognados de un mecanismo de cuatro barras generador de movimiento son mecanismos generadores de trayectoria con temporización prescrita, lo cual simplifica los métodos de sı́ntesis para cuatro y cinco posiciones, ya que las ecuaciones sólo se resuelven una vez para las dos tareas. Solución para cinco puntos de precisión. El sistema de ecuaciones para una dı́ada en su forma estándar para las cinco posiciones prescritas está dado por [12]:. ´ ÀKx{z9Á Â 5 SDÃ. . µÀ/x{zMÆ Â 5 SDÃ. %. ½$%. Ë¨¸. La matriz aumentada para este sistema:. ×ØØ x z9Á£} % ØÙ x z9Áy è x z9Áy x z9Á£ø. 5 S x zMÆÇ} 5 S x zMÆ¯ 5 S x zMÆ¯ 5 S x zMÆÇø. 5 S Ë 5 S Ë B 5 S Ëp+ 5 S Ëù. 7 a÷. (2.25). Ý. ÚÜÛÛ Û (2.26). Para que el sistema de ecuaciones 2.25 tenga solución simultánea para la dı́ada WZ, è debe tener rango 2. Por tanto, ahora se tiene que cumplir de forma simultanea dos ecuaciones de compatibilidad dadas por:. ÒÒ. Ë ÒÒ x z9Á£} 5 S x zMÆÇ} 5 S ¨ ÒÒ x z9Á 5 S x Mz Æ 5 S Ë B Ò x z9Á 5 S x Mz Æ 5 S Ë + y. ÒÒ. ÒÒ %&O ÒÒ Ò. Ò Ë - ÒÒÒ & % O ÒÒ x z9Á£} 5 S x zMÆÇ} 5 S ¨ B ÒÒ x z9Áy 5 S x zMÆ¯ 5 S Ë ÒÒ Ò x z9Á£ø 5 S x zMÆÇø 5 S Ë¨ù Ò. (2.27). ÒÒ. (2.28). Considerando el caso de generación de movimiento, si las soluciones para Î©¸ son reales, las ecuaciones 2.25 son compatibles y entonces se tienen hasta cuatro dı́adas que cumplen con las cinco posiciones prescritas.. 38.

(57) é -yx z9Á£} é B x z9Áy é +£x z9Áy é %PO (2.29) é x z9Á£} é B x z9Áy é +£x z9Á£ø 5 é %PO (2.30) 5 ½% é donde % ¸ ( ½ÌS % ® 7 ®{ú® ³ ) siguen la definición dada por las ecuaciones 2.19 y é é ¸ ( S ) reemplazando el subı́ndice ³ por el ÷ . Utilizando el 2.20 y ¸ ® 7 ®/ú Desarrollando los determinantes sobre su primer columna se tienen:. complejo conjugado de las ecuaciones de compatibilidad:. % O é -yxcûcz9Á£} é B cx ûcz`Áy é {+ xcûcz9Áy é % O é xcûcz9Á£} é B cx ûcz`Áy é {+ xcûcz9Á£ø 5 é 5 -. (2.31) (2.32). Multiplicando las ecuaciones de compatibilidad por su respectivo conjugado, para eliminar ÎÈ+ y Î©ù se tiene para las ecuaciones 2.29 y 2.31: donde. ü %% I ½ %. ü 9x{z`Áy é B é é é 5 é -yx z`Á£} 5 5 S ® 7 ®{ú. I ü M xcûcz9Áy %O. (2.33). -{é x cû z`é Á£} ý é é é é y- x ûcz9Á£} 5 + + ¸ ¸. ü -{x{z`Áy I - ü -yxcûcz9Áy %O % é (2.34) ü I ü I é donde ½% - y - son de la misma forma que y pero con ¸ ¸ donde S ® 7 ®/ú . Las ecuaciones 2.33 y 2.34 son ecuaciones homogéneas nolineales respecto a x z`Á£} y x z`Áy y multiplicando estas ecuaciones por x z9Áy se obtienen dos ecuaciones adicionales: ü 9x{z - Áy I `x{z9Áy ü %&O (2.35) ü -{x{z - Áy I -/x{z9Áy ü - %&O (2.36) y para las ecuaciones 2.30 y 2.32 :. Este sistema de cuatro ecuaciones es homogéneo y lineal considerando como ¥ÿ incógnitas a x z Áy , x z Áy , x z Áy y x z{þ:û Áy . El determinante de la matriz de coeficientes debe ser cero para obtener la solución a este sistema de ecuaciones, por tanto: Ò O ü I ü Ò. Ò Ò % ÒÒÒ O ü - I - ü O - ÒÒÒ %&O ÒÒ ü I ü O ÒÒ ÒÒ ü I ü ÒÒ - - 39. (2.37).