CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES

(1)

CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES

 INTRODUCCIÓN 

Formación de los conjuntos numéricos:

ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; ….}

ℤ = {…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}

ℚ = {6; -5;

3 1

;

7  6

; 0,62; 1,65; 1,3;

2,16}

Los números racionales tienen 2 formas de representarse:

 División indicada de 2 números enteros (divisor diferente de cero)

Ejemplos:

a) ⁷₁ =7 es natural, entero y racional

b)

1  8

= - 8 es entero y racional c)

3

2

= es racional

d)

4  5

= es racional

 Expresión decimal de los números racionales:

Ejemplos:

a) 7 = 7,00 b) – 8 = - 8,00

c)

4

5

= 1,25

d)

3

2

= 0, 666... = 0, 6

 Número decimal con período puro

e) ^₅⁶ = -1,2

 Número decimal terminante

f) ^₁₁⁷ = - 0, 6363... = - 0,63

 Número decimal con período puro

g)

6

1

= 0,1666... = 0,16

 Número decimal con período mixto

ℕ

ℕ ℤ

ℕℤ ℚ

Transformaremos un decimal a una

fracción Transformaremos

un decimal a una fracción

(2)

A) Decimal Exacto :

0,24 =

25 6 100

24 

A) 2,14 =

100 D) 1,21 =

B) 6,213 = E) 1, 213 =

C) 0,2 = F) 6, 5 =

B) Decimal Periódico Puro : Veamos el siguiente ejemplo:

0,4242… = 0,42 =

33 14 99 42 

3,888… = 3,8 = 3

9 8

=

9 35

A) 0,2727 … 0, = =

B) 2,555… 2, = =

C) 2,2424… 3, = =

D) 12,666… 12, = =

C) Decimal Periódico Mixto : Observemos el siguiente ejemplo:

0,466… 0,46 =

15 7 90 42 90

4 46   

2,13 = 2

90 1 13 

= 2

90 1 13 

= 2

90 12

=

15 32

En el numerador se

pone el número decimal y como denominador la unidad

seguida de ceros como cifras tenga la

parte decimal.

En el numerador se pone el número decimal y como denominador la unidad

seguida de ceros como cifras tenga la

parte decimal.

RECUERDA En el numerador se pone el periodo y como

denominador tantos nueves como cifras

tenga el periodo.

RECUERDA En el numerador se pone el periodo y como

denominador tantos nueves como cifras

tenga el periodo.

RECUERDA

En el numerador se pone la parte no periódica seguida de un periodo, menos la parte no periódica, y como denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo,

y tanto ceros como cifras tiene el no periodo.

RECUERDA

En el numerador se pone la parte no periódica seguida de un periodo, menos la parte no periódica, y como denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo,

y tanto ceros como cifras tiene el no periodo.

(3)

A) 0,42 = 4 

=

B) 3,13 = 3  =

c) 2,15 = 2  =

 OBSERVACIÓN

Existen números con infinitas cifras en su parte decimal y que no presentan período alguno.

Tales números forman parte de un nuevo conjunto de números, “Los Números Irracionales”.

¿QUÉ ES UN NÚMERO IRRACIONAL?

Es todo aquel número que en su parte decimal tiene infinitas cifras decimales sin presentar período alguno.

Estos números constituyen un conjunto numérico denominado CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES y se le representa por I.

Ejemplos:

i) 2,2360679...

ii) 3,14159265... no presentan iii) 1,4142135... Período iv) 2,71828128...

v) 1,73231...

 NOTA

I. Los números irracionales no pueden ser representados por fracción alguna.

II. Algunos de estos números irracionales son el resultado de efectuar ciertas operaciones de radicación, por ejemplo:

2 = 1,4142135...

3 = 1,73231...

5 = 2,2360679...

III. Otros números irracionales son llamados trascendentes como el



(se lee número “PI”) y

e

(se lee número de Neper).

 = 3,14159265...

e = 2,71828128...

IV. El conjunto Q y el conjunto I son disjuntos entre sí

Q  I = 

V. Al conjunto I también se le simboliza por Q ’

1. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

a) 3  N ( )

b) 7/5  Z ( )

c) –7  I ( )

d)

4

 I ( )

e) 0,3  I ( )

f) 0  Q ( )

Ejercicios de aplicación Ejercicios de

aplicación

(4)

g) 2,2360679...  I ( ) h) 1,414141...  Q ( ) i) 2,71828128...  I ( )

j) 5 N ( )

k)

3  6

 Z ( )

l) 1,4142135...  I ( ) m) 2,333...  Q ( )

n) – 8  N ( )

o) 0  I ( )

p) 1  I ( )

q) 3  Q ( )

r)   I ( )

s) 1,7320508  I ( )

t) 81  Z ( )

u) ³

 8

 Z ( )

v) ⁵

32

 Q ( )

2. Coloca (V) ó (F) según convenga:

A) Periódico Puro = 0,26 ………

( )

B) Decimal Exacto = 0,333 ………

( )

C) Decimal Exacto = 0,25 ………

( )

D) Periódico Mixto = 8,72 ………

( )

E) Decimal Exacto =

5

2

………

( )

3. Completa:

6 , 3 2 4

4. Une con flechas:

A) Decimal Exacto - 0,23

B) D. Periódico Puro - 0,21 C) D. Periódico Mixto - 0,4

5. Convierte a fracción:

A) 0,23 C) 8,316

B) 1,43 D) 12,56

A) 0,7 C) 5,16

B) 0,12 D) 12,7

A) 0,27 C) 13,126

B) 7,56 D) 9,637

8. Completa:

a , b c d

9. Une con flechas:

A) D. Exacto 

Denominador

formado por (9)

B) D. Periódico Puro  Denominador

formado por (9) y (0)

C) D. Periódico Mixto  Denominador

Formado por (0)

10. Que clase de decimal forma:

A)

4

2

 D. Exacto

B)

11

7

 D. P. Puro

C)

15

7

 D. P. Mixto

11. Hallar la fracción generatriz de:

a) 3,62 = b) 6,3 =

(5)

c) 3,618 = d) 0,357 = e) 0,357 = f) 0,357 =

12. Hallar la fracción generatriz de los siguientes decimales periódico puro:

a) 0,3 = b) 0,4 = c) 6,81 = d) 10,31 = e) 2,01 = f) 17, 36 =

13. Hallar la fracción generatriz de los siguientes números decimales con periodo mixto:

a) 7,623 = b) 7,623 = c) 7,623 = d) 2,413 = e) 3,143 = f) 0,123 =

a) 7,39 = b) 6,86 = c) 7,423 = d) 6,359 = e) 0,127 = f) 1,34 =

15. Efectuar:





 



 

 

 



  

42 1 3 1 7 1 2 1

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

1) 0,012 5) 0,175

2) 2,05 6) 6,12

3) 0,35 7) 10,1

4) 0,105 8) 12,25

1) 0,63 6) 0,72

2) 0,711 7) 2,2

3) 5,6 8) 9,333...

4) 2,54 9) 1,1818...

5) 0,018 10)

0,756756....

1) 0,17 6) 2,7666...

2) 0,56 7)

0,6343434...

3) 0,125 8) 2,15666...

4) 1,23 9) 0,0532

5) 3,165 10)

1,22363636...

4. Después de efectuar las operaciones indicadas a continuación:

0,2121... – 0,1212... + 0,5666...

Indicar el numerador de la fracción generatriz.

5. ¿Qué decimal se obtiene luego de efectuar

operaciones en:





 

  

 

 



  

4 3 1 2 : 1 3 1 4

1

?

6. Después de efectuar las operaciones

indicadas en la expresión:

2

12 1 6 1 4 : 1 4 3 3

2 ^



 



  



 

 

Indique el decimal que se obtiene.

7. Efectuar operaciones en:

(2^-1 + 3^-1) (3^-1 + 4^-1) (4^-1 + 5^-1)

Tarea Domiciliaria

Nº 1 Tarea Domiciliaria

Nº 1

(6)

Indique luego el número decimal que se obtiene.

8. Señalar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

I. Si 2  1; entonces: 2²  1² II. Como 5  -7; entonces: 5²  (-7)² III.Como –1  2; entonces: (-1)³  (2)³ 9. 3 es un:

a) Un número racional b) Un número no racional c) Un periódico puro d) Un decimal exacto e) Un periódico mixto

10. Al efectuar 0,666... –

7

2

el resultado tiene un período de:

a) 3 cifras b) 2 cifras c) 4 cifras

d) 6 cifras e) No tiene período 11. Señalar la afirmación correcta:

I. Todo número racional se puede expresar como

b

a

(b  0).

II. 0,555... es un número irracional.

III. 0,777  0,77

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III

d) I y II e) II y III 12. ¿A qué es igual la cuarta parte de E?

E = 0,25+ ³0,001

a) Un décimo b) Un cuarto c) 4 décimos

d) 2 décimos e) 1 centésimo

13. Efectuar 0,555… +

5 2

a) 7/9 b) 2/8 c) 7/10

d) 4/11 e) 7/11

14. Hallar la fracción generatriz de los siguientes números decimales con periodo mixto:

a) 7,634 b) 0,1567 c)

1,3456

d) 8,36 e) 7,56

15. Qué decimal se obtiene luego efectuar:

47 x 60 3 1 4 1 4

1 



 



  

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5