Pol´ıgonos y Tri´angulos

7 ^o B´ asico 2015

Profesor

Alberto Alvaradejo Ojeda

1. Pol´ıgono

Un pol´ıgono es una figura plana cerrada formada por trazos o segmentos. Los pol´ıgonos se pueden clasificar en:

C´ oncavos: son los aquellos pol´ıgonos que por lo menos tengan un ´ angulo interior mayor a 180 grado.

Convexos: son los aquellos pol´ıgonos que todos sus ´ angulos interiores son menores a 180 grados.

1.1. Propiedades Generales

Existen algunas propiedades para todo tipo pol´ıgono (regular e irregular).

En todo pol´ıgono de n lados, la suma de los ´ angulos interiores est´ a dada por la relaci´ on:

180 · (n − 2)

En cualquier pol´ıgono, independiente del n´ umero de lados, la suma de sus exteriores es 360

El n´ umero de diagonales que se pueden trazar desde un v´ ertice est´ a dado por:

d = n − 3 donde:

n = N´ umero de lados de pol´ıgono

1.2. Nombre de los pol´ıgonos seg´ un n´ umero de lados

No todos los pol´ıgonos tienen un nombre espec´ıfico tomando en cuenta el n´ umero de lados. Dentro de los pol´ıgonos que reciben nombre se encuentran:

N

de lados Nombre N

de lados Nombre

3 Tri´ angulo 9 Non´ agono o ene´ agono

4 Cuadrado 10 Dec´ agono

5 Pent´ agono 11 Endec´ agono

6 Hex´ agono 12 Dodec´ agono

7 Hept´ agono 15 Pentadec´ agono

8 Oct´ agono 20 Icos´ agono

1.3. Ejercicios

1. Indicar cuales de los siguientes pol´ıgonos son c´ oncavo o convexo:

2. Encuentre la suma de las medidas de los ´ angulos internos, S , de los siguientes pol´ıgonos cuyo n´ umero de lados es :

a) Tres b) diez c) Cuatro d) Seis

e) Treinta

f ) cuarenta y ocho

3. Encuentre la suma de los ´ angulos internos de un pol´ıgono con el siguiente n´ umero de lados, n.

a) n = 5

b) n = 9

c) n = 12

d) n = 20

e) n = 21

f ) n = 55

2. Tri´ angulo

Es un pol´ıgono de tres lados. Los v´ ertices se denotan con letras may´ usculas y los lados con una letra min´ uscula igual a la may´ uscula del v´ ertice opuesto.

2.1. Elementos secundarios del tri´ angulo

2.1.1. Alturas

Son los segmentos perpendiculares a los lados del tri´ angulo y que unen estos con su v´ ertice opuesto. Las tres alturas o sus prolongaciones se cortan en un punto llamado ortocentro (H).

Tri´ angulo agudo Tri´ angulo obtus´ angulo

2.1.2. Bisectrices

Estas dividen cada ´ angulo interior del tri´ angulo en dos ´ angulos de igual medida. En un tri´ angulo se pueden trazar tres bisectrices correspondientes a sus ´ angulos interiores. Se intersectan en un punto llamado incentro (I).

2.1.3. Simetrales

Son rectas perpendiculares a los lados del tri´ angulo las cuales pasan por el punto medio de estos. Se intersectan en un punto llamado circuncentro (C), centro de la circunferencia circunscrita al tri´ angulo.

2.1.4. Transversales de gravedad

Son segmentos que unen los puntos medios de cada lado con su v´ ertice opuesto. Se cortan en un punto

llamado centro de gravedad o baricentro (G), que corresponde al punto de equilibrio del tri´ angulo.

2.2. Area ´

Es la medida de la superficie del tri´ angulo y se expresa en unidades al cuadrado. En el tri´ angulo ABC de la figura:

BD = h = altura

Area= ´ Base · Altura 2 A = b · h

2

2.3. Per´ımetro

Es la suma de los lados del tri´ angulo. En el tri´ angulo anterior:

P = a + b + c

2.4. Ejercicios

1. En el tri´ angulo ABC, AD es bisectriz. ¿Cu´ al es el valor de x?

2. En el tri´ angulo ABC las alturas BN y AM se cortan en el punto S. La medida del ´ angulo M SB es 40

, y la medida del ´ angulo SBA es 20

. ¿Es el tri´ angulo ABC is´ osceles?

3. Si M R es una bisectriz del tri´ angulo P M N , ¿cu´ al es la medida del ´ angulo M RN ?

4. Sabiendo que AH es la altura correspondiente al lado BC, calcular la medida del ´ angulo x

5. En el tri´ angulo ABC, AD es una simetral y la altura correspondiente al lado BC. Calcular el per´ımetro del tri´ angulo ABC.

6. Si AE es altura ¿Cu´ al es el valor del ´ angulo x?

7. En la figura, el tri´ angulo ABC es equil´ atero y el tri´ angulo DEA es rect´ angulo is´ osceles. Si CD es altura,

¿cuanto es δ + β + γ?

8. en la figura, CD es bisectriz del ´ angulo en C. ¿Cu´ al es la medida del ´ angulo x?

9. En el tri´ angulo ABC. ¿Cu´ anto mide x?

10. En el tri´ angulo ABC se trazan las alturas CM y AN . S´ı AB es el doble de BN , entonces el x mide:

11. En el tri´ angulo ABC. ¿Cu´ anto mide el ´ angulo x?

12. Tri´ angulo DEF equil´ atero. ¿Cu´ anto mide el ´ angulo x?

13. ¿Cu´ anto mide el ´ angulo x? en el tri´ angulo ABC

14. El tri´ angulo ABC es escaleno, H es el ortocentro. S´ı el ´ angulo ABC = 55

, ¿cu´ anto mide el ´ angulo x?