Soluciones de los ejercicios
Profesor Andr´es D´ıaz Jim´enez [email protected]
IES ALPAJ ´ES
12 de noviembre de 2012
Ejercicio 1
Estudiar la compatibilidad y el n´ umero de soluciones del siguiente sistema:
x + 2y + z = 1 2x + y + 2z = 2 3x + 3y + 3z = 3 Soluci´ on
A =
1 2 1 2 1 2 3 3 3
Estudiamos el rango
1 2 2 1
= −3 6= 0 El rango de la matriz es por lo menos 2
1 2 1 2 1 2 3 3 3
= 0
|A| = 0 ⇒ rg(A) = 2
Ejercicio 1
Estudiar la compatibilidad y el n´ umero de soluciones del siguiente sistema:
x + 2y + z = 1 2x + y + 2z = 2 3x + 3y + 3z = 3 Soluci´ on
A ′ =
1 2 1 1 2 1 2 2 3 3 3 3
1 2 1 2 1 2 3 3 3
= 0
rg (A) = rg(A ′ ) = 2 < 3
Compatible indeterminado. N´ umero de par´ametros = 3-2=1
Ejercicio 1
Estudiar la compatibilidad y el n´ umero de soluciones del siguiente sistema:
x + 2y + z = 1 2x + y + 2z = 2 3x + 3y + 3z = 3
Soluci´ on Eliminamos la ´ ultima ecuaci´on y utilizamos z como par´ametro.
x + 2y + z = 1 2x + y + 2z = 2
x + 2y = 1 − z 2x + y = 2 − 2z
x =
1 − z 2 2 − 2 z 1
1 2 2 1
, y =
1 1 − z 2 2 − 2 z
1 2 2 1
, z = λ
x = −3 + 3z
−3 , y = 0
−3 , z = λ
S (1 − λ, 0, λ) ∀λ ∈ R
Ejercicio 2
Estudiar la compatibilidad y el n´ umero de soluciones del sistema:
x + 2y + z = 1 2x + y + 2z = 2 3x + 3y + 3z = 4 Soluci´ on
A =
1 2 1 2 1 2 3 3 3
rg(A) = 2
A ′ =
1 2 1 1 2 1 2 2 3 3 3 4
vamos a calcular
1 2 1 2 1 2 3 3 4
= −3 6= 0
rg(A ′ ) = 3
rg (A) 6= rg(A ′ )
Sistema incompatible
Ejercicio 3
Si el rango de la matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales con tres inc´ognitas es igual a 2. ¿Puede ser compatible el sistema? ¿Puede ser compatible determinado? ¿Puede ser
incompatible? Razona tus respuestas poniendo ejemplos concretos.
Soluci´ on
Ejercicio 3
Si el rango de la matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales con tres inc´ognitas es igual a 2. ¿Puede ser compatible el sistema? ¿Puede ser compatible determinado? ¿Puede ser
incompatible? Razona tus respuestas poniendo ejemplos concretos.
Soluci´ on El sistema puede ser compatible. No puede ser compatible determinado porque para que lo fuese el rg(A) = 3. El sistema debe ser compatible indeterminado ya que la matriz A ′
tendr´a rg(A ′ ) = 2 < 3, por tanto si es compatible es indeterminado.
2x − y + z = 1 3x − 2y + z = 2
Puede ser incompatible porque la matriz A ′ puede tener rango 3, por ejemplo:
2x − y + z = 1
3x − 2y + z = 2
5x − 3y + 2z = 0
Ejercicio 4
Un sistema de ecuaciones lineales con dos inc´ognitas y tres ecuaciones, ¿puede ser compatible determinado? En caso afirmativo pon un ejemplo.
Soluci´ on
Ejercicio 4
Un sistema de ecuaciones lineales con dos inc´ognitas y tres ecuaciones, ¿puede ser compatible determinado? En caso afirmativo pon un ejemplo.
Soluci´ on Puede ser compatible determinado por ejemplo
x + y = 7
2x − 2y = 3
3x − y = 10
Ejercicio 5
El determinante de la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales, con tres inc´ognitas, es igual a 0. ¿Puede ser compatible determinado? ¿E incompatible?. Justifica tu respuesta poniendo ejemplos concretos.
Soluci´ on
Ejercicio 5
El determinante de la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales, con tres inc´ognitas, es igual a 0. ¿Puede ser compatible determinado? ¿E incompatible?. Justifica tu respuesta poniendo ejemplos concretos.
Soluci´ on
|A| = 0 ⇒ rg(A) < 2 Deber´ıamos estudiar el rg(A ′ ) por ejemplo
x + y + z = 3
−2x − y + z = −2
−x + 2z = 1
En este sistema la ´ ultima ecuaci´on es la suma de las dos primeras por tanto rg(A) = rg(A ′ ) = 2 el sistema ser´ıa compatible indeterminado.
x + y + z = 3
−2x − y + z = −2
−x + 2z = 2
Cambiamos el ´ ultimo t´ermino independiente y el sistema se convierte en incompatible porque
rg (A ′ ) = 3
Ejercicio 6
x + 2y − z = 0 2x − y + z = 3
1
Estudiar la compatibilidad del sistema.
2
A˜ nadir una ecuaci´on para que el sistema sea compatible determinado. Razonar la respuesta.
3
A˜ nadir una ecuaci´on para que el sistema sea incompatible. Razonar la respuesta.
Soluci´ on
Ejercicio 6
x + 2y − z = 0 2x − y + z = 3
1
Estudiar la compatibilidad del sistema.
2
A˜ nadir una ecuaci´on para que el sistema sea compatible determinado. Razonar la respuesta.
3
A˜ nadir una ecuaci´on para que el sistema sea incompatible. Razonar la respuesta.
Soluci´ on
A = 1 2 −1 2 −1 1
!
1 2 2 −1
= −5 6= 0 ⇒ rg(A) = 2
A ′ = 1 2 −1 0 2 −1 1 3
!
rg(A) = rg(A ′ ) = 2 < 3 ⇒ Sistema compatible indeterminado
Ejercicio 6
x + 2y − z = 0 2x − y + z = 3
1
Estudiar la compatibilidad del sistema.
2
A˜ nadir una ecuaci´on para que el sistema sea compatible determinado. Razonar la respuesta.
3
A˜ nadir una ecuaci´on para que el sistema sea incompatible. Razonar la respuesta.
Soluci´ on
Ejercicio 6
x + 2y − z = 0 2x − y + z = 3
1
Estudiar la compatibilidad del sistema.
2
A˜ nadir una ecuaci´on para que el sistema sea compatible determinado. Razonar la respuesta.
3
A˜ nadir una ecuaci´on para que el sistema sea incompatible. Razonar la respuesta.
Soluci´ on Compatible indeterminado
x + 2y − z = 0 2x − y + z = 3 x − y + z = 1 Incompatible
x + 2y − z = 0 2x − y + z = 3
−x + 3y − 2z = 2
Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del par´ametro a.
x + ay − z = 1
2x + y − az = 2
x − y − z = a − 1
Soluci´ on
Ejercicio 7
Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del par´ametro a.
x + ay − z = 1 2x + y − az = 2 x − y − z = a − 1 Soluci´ on
A =
1 a −1 2 1 −a 1 −1 −1
Calculamos |A|
|A| =
1 a −1 2 1 −a 1 −1 −1
= −1 + 2 − a 2 − (−1 − 2a + a)
= 1 − a 2 − (−1 − a) = 1 − a 2 + 1 + a = −a 2 + a + 2 igualamos a 0
−a 2 + a + 2 = 0 a = −1 ± √
1 + 8
−2 = −1 ± 3
−2 a = −1 + 3
−2 = −1 a = −1 − 3
−2 = 2
Ejercicio 7
Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del par´ametro a.
x + ay − z = 1 2x + y − az = 2 x − y − z = a − 1 Soluci´ on
Caso 1 a = −1 sustituimos en el sistema y obtenemos A y A ′
1 −1 2 1
= 3 6= 0 ⇒ rg(A) = 2
A ′ =
1 −1 −1 1
2 1 1 2
1 −1 −1 −2
Calculamos el rg(A ′ ) para ello calculamos el siguiente determinante:
1 −1 1
2 1 2
1 −1 −2
=
1 −1 1 2 1 2 3 0 0
= 3
−1 1 1 2
= −9
rg(A ′ ) = 3 6= rg(A) ⇒ Incompatible
Ejercicio 7
Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del par´ametro a.
x + ay − z = 1 2x + y − az = 2 x − y − z = a − 1 Soluci´ on
Caso 2 a = 2 sustituimos en el sistema y obtenemos A y A ′
1 2 2 1
= 1 − 4 = −3 6= 0 ⇒ rg(A) = 2
A ′ =
1 2 −1 1 2 1 −2 2 1 −1 −1 1
Calculamos el rango de A ′ , para ello
1 2 1 2 1 2 1 −1 1
= 0 ⇒ rg(A ′ ) = 2
Por tanto rg(A) = rg(A ′ ) = 2 El sistema es compatible indeterminado.
Ejercicio 7
Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del par´ametro a.
x + ay − z = 1 2x + y − az = 2 x − y − z = a − 1 Soluci´ on
Caso 3 a 6= 2; −1 en ese caso |A| 6= 0 ⇒ rg(A) = rg(A ′ ) = 3 el sistema es compatible determinado.
Ejercicio 8
Estudiar el sistema siguiente para los distintos valores del par´ametro a:
ax + y + z = a 2 x − y + z = 1 3x − y − z = 1 6x − y + z = 3a Soluci´ on
A =
a 1 1
1 −1 1 3 −1 −1 6 −1 1
Estudiamos el rango de la matriz A, para ello.
3 −1 6 −1
= 3 6= 0
el rango de la matriz A es por lo menos 2. Veamos si tiene rango 3.
1 −1 1 3 −1 −1 6 −1 1
=
1 −1 1 3 −1 −1
5 0 0
= 5
−1 1
−1 −1
= 5 · 2 = 10 6= 0
Por tanto rg(A) = 3
Ejercicio 8
Estudiar el sistema siguiente para los distintos valores del par´ametro a:
ax + y + z = a 2 x − y + z = 1 3x − y − z = 1 6x − y + z = 3a Soluci´ on
A ′ =
a 1 1 a 2 1 −1 1 1 3 −1 −1 1 6 −1 1 3 a
Para ello calculamos el determinante:
A ′ =
a 1 1 a 2 1 −1 1 1 3 −1 −1 1 6 −1 1 3 a
=
a 1 1 a 2 a + 1 0 2 a 2 + 1 a + 3 0 0 a 2 + 1 a + 6 0 2 a 2 + 3 a
= −
a + 1 2 a 2 + 1 a + 3 0 a 2 + 1 a + 6 2 a 2 + 3 a
Ejercicio 8
Estudiar el sistema siguiente para los distintos valores del par´ametro a:
ax + y + z = a 2 x − y + z = 1 3x − y − z = 1 6x − y + z = 3a Soluci´ on
−
a + 1 2 a 2 + 1 a + 3 0 a 2 + 1 a + 6 2 a 2 + 3 a
= −
a + 1 2 a 2 + 1 a + 3 0 a 2 + 1 5 0 3 a − 1
= 2
a + 3 a 2 + 1 5 3a − 1
2
a + 3 a 2 + 1 5 3a − 1
= 2 (a + 3)(3a − 1) − 5(a 2 + 1) = 2 3a 2 + 9a − a − 3 − 5a 2 − 5 = 2 −2 a 2 + 8 a − 8 = −4 a 2 + 16 a − 16
Igualamos a 0 el determinante
−4 a 2 + 16 a − 16 = 0 Dividimos la ecuaci´on por -4
a 2 − 4a + 4 = 0
(a − 2) 2 = 0
Ejercicio 8
Estudiar el sistema siguiente para los distintos valores del par´ametro a:
ax + y + z = a 2 x − y + z = 1 3x − y − z = 1 6x − y + z = 3a Soluci´ on
(a − 2) 2 = 0 ⇒ a = 2
Por tanto a = 2 ⇒ rg(A) = rg(A ′ ) = 3 y el sistema es compatible determinado.
Para a 6= 2 ⇒ rg(A ′ ) = 4 el sistema es incompatible
Ejercicio 9
Dado el sistema:
λx + λz = 2 x + λy − z = 1 x + 3y + z = 2λ
, se pide:
1
Discutir el sistema para los valores del par´ametro λ.
2
Resolver el sistema para λ = 1.
Soluci´ on Obtenemos la matriz de coeficientes:
A =
λ 0 λ 1 λ −1 1 3 1
Hallamos el valor del determinante de A
|A| =
λ 0 λ 1 λ −1 1 3 1
=
λ 0 0 1 λ −2 1 3 0
= λ
λ −2 3 0
= 6λ
Ejercicio 9
Dado el sistema:
λx + λz = 2 x + λy − z = 1 x + 3y + z = 2λ
, se pide:
1
Discutir el sistema para los valores del par´ametro λ.
2
Resolver el sistema para λ = 1.
Soluci´ on Para λ = 0 el sistema queda
0 = 2 x − z = 1 z + 3y + z = 2
Que es claramente incompatible. Para λ 6= 0 el sistema es compatible determinado.
Ejercicio 9
Dado el sistema:
λx + λz = 2 x + λy − z = 1 x + 3y + z = 2λ
, se pide:
1
Discutir el sistema para los valores del par´ametro λ.
2
Resolver el sistema para λ = 1.
Soluci´ on λ = 1 el sistema queda:
x + z = 1 x + y − z = 1 x + 3y + z = 2 Aplicamos el m´etodo de Gauss
x + z = 1
x + y − z = 1 x + 3y + z = 2
⇒
x + z = 1
y − 2z = 0
3y = 1
y = 1
3 ; z = 1
6 ; x = 1 − 1 6 = 5
6 S 5
6 , 1 3 , 1
6
Ejercicio 10
Discutir el sistema de ecuaciones AX = B, donde:
A =
0 1 m − 1
0 m − 1 1
m − 2 0 0
, X =
x y z
, B =
m m m + 2
, seg´ un los valores de m.
Resolver el sistema en los casos m = 0 y m = 1.
Soluci´ on
|A| =
0 1 m − 1
0 m − 1 1
m − 2 0 0
=
0 1 m − 1
0 m m
m − 2 0 0
= m
0 1 m − 1
0 1 1
m − 2 0 0
=
m (m − 2)
1 m − 1
1 1
= m(m − 2)(1 − m + 1) = −m(m − 2) 2 Igualamos a 0.
−m(m − 2) 2 = 0 ⇒ m = 2, m = 0
Ejercicio 10
Discutir el sistema de ecuaciones AX = B, donde:
A =
0 1 m − 1
0 m − 1 1
m − 2 0 0
, X =
x y z
, B =
m m m + 2
, seg´ un los valores de m.
Resolver el sistema en los casos m = 0 y m = 1.
Soluci´ on Caso 1 m = 0 ⇒ rg(A) = 2
A =
0 1 −1
0 −1 1
−2 0 0
A ′ =
0 1 −1 0 0 −1 1 0
−2 0 0 2
Las dos primeras filas son proporcionales por tanto rg(A) = rg(A ′ ) = 2 el sistema es compatible
indeterminado.
Ejercicio 10
Discutir el sistema de ecuaciones AX = B, donde:
A =
0 1 m − 1
0 m − 1 1
m − 2 0 0
, X =
x y z
, B =
m m m + 2
, seg´ un los valores de m.
Resolver el sistema en los casos m = 0 y m = 1.
Soluci´ on Caso 2 m = 2 ⇒ rg(A) = 1
A =
0 1 1 0 1 1 0 0 0
A ′ =
0 1 1 2 0 1 1 2 0 0 0 4
Observando la matriz A ′ el rg(A ′ ) = 2 por tanto rg(A) 6= rg(A ′ ) por tanto sistema incompatible.
Ejercicio 10
Discutir el sistema de ecuaciones AX = B, donde:
A =
0 1 m − 1
0 m − 1 1
m − 2 0 0
, X =
x y z
, B =
m m m + 2
, seg´ un los valores de m.
Resolver el sistema en los casos m = 0 y m = 1.
Soluci´ on Caso 3 m 6= 0; 2 ⇒ |A| 6= 0 y por tanto rg(A) = rg(A ′ ) = 3. El sistema es compatible
determinado.
Ejercicio 10
Discutir el sistema de ecuaciones AX = B, donde:
A =
0 1 m − 1
0 m − 1 1
m − 2 0 0
, X =
x y z
, B =
m m m + 2
, seg´ un los valores de m.
Resolver el sistema en los casos m = 0 y m = 1.
Soluci´ on Para m = 0 Observamos el sistema y podemos eliminar la segunda ecuaci´on porque es proporcional a la primera.
y − z = 0
− y + z = 0
−2x = 2
⇒
y − z = 0
−2x = 2
El sistema es compatible indeterminado y el n´ umero de par´ametros es 3 − rg(A) = 3 − 2 = 1.
Tomamos como par´ametro z
y = z x = − 2
2 = −1 z = λ
⇒
y = λ x = −1 z = λ
, λ ∈ R
S (−1, λ, λ) λ ∈ R
Ejercicio 10
Discutir el sistema de ecuaciones AX = B, donde:
A =
0 1 m − 1
0 m − 1 1
m − 2 0 0
, X =
x y z
, B =
m m m + 2
, seg´ un los valores de m.
Resolver el sistema en los casos m = 0 y m = 1.
Soluci´ on Para m = 1
y = 1
z = 1
−x = 3
S (−3, 1, 1)
Ejercicio 11
Dado el sistema homog´eneo de ecuaciones :
x + ky − z = 0 2x − y + 2z = 0 x − 4y + kz = 0
1
Determinar para qu´e valores del par´ametro k el sistema tiene soluciones distintas de x = y = z = 0.
2
Resolver el sistema para k = 3
Soluci´ on Tenemos un sistema homog´eneo y debemos estudiar sus soluciones en funci´on del par´ametro k.Para ello obtenemos la matriz A.
A =
1 k −1 2 −1 2 1 −4 k
Hallamos el valor de |A|
|A| =
1 k −1 2 −1 2 1 −4 k
= 1 · (−1) · k + 2 · (−4)(−1) + k · 2 · 1 − (−1)(−1)1 − 1(−4)2 − 2k 2 =
Ejercicio 11
Dado el sistema homog´eneo de ecuaciones :
x + ky − z = 0 2x − y + 2z = 0 x − 4y + kz = 0
1
Determinar para qu´e valores del par´ametro k el sistema tiene soluciones distintas de x = y = z = 0.
2
Resolver el sistema para k = 3 Soluci´ on
−2k 2 + k + 15 = 0 ⇒ 2k 2 − k − 15 = 0 k = 1 ± √
1 + 120
4 = 1 ± √
121
4 = 1 ± 11 4 k = 12
4 = 3 k = −10
4 = − 5 2 El sistema es compatible indeterminado para k = 3; − 5
2 y tendr´a infinitas soluciones distintas de
la trivial.
Ejercicio 11
Dado el sistema homog´eneo de ecuaciones :
x + ky − z = 0 2x − y + 2z = 0 x − 4y + kz = 0
1
Determinar para qu´e valores del par´ametro k el sistema tiene soluciones distintas de x = y = z = 0.
2
Resolver el sistema para k = 3 Soluci´ on Para k = 3
x + 3y − z = 0 2x − y + 2z = 0 x − 4y + 3z = 0
Podemos eliminar una ecuaci´on. Eliminamos la tercera. El n´ umero de par´ametros es igual 3 − rg(A) = 1 por tanto tomamos y como par´ametro. Hacemos y = λ
x + 3y − z = 0 2x − y + 2z = 0
x − z = −3y
2x + 2z = y
Ejercicio 11
Dado el sistema homog´eneo de ecuaciones :
x + ky − z = 0 2x − y + 2z = 0 x − 4y + kz = 0
1
Determinar para qu´e valores del par´ametro k el sistema tiene soluciones distintas de x = y = z = 0.
2
Resolver el sistema para k = 3 Soluci´ on
x − z = −3y
2x + 2z = y
Multiplicamos por -2 la primera ecuaci´on y lo sumamos a la segunda.
4z = 7y ⇒ z = 7 4 y sustituimos en la primera ecuaci´on el valor de z = 7
4 y x − 7
4 y = −3y x = −3y + 7
4 y = − 5 4 y S (− 5
4 λ, λ, 7
4 λ) λ ∈ R
Ejercicio 12
Dado el sistema de ecuaciones:
x + ay − z = a
ax + 2y = −2
x + z = −2
1
Discutirlos seg´ un los valores del par´ametro a.
2
Resolverlo para el caso a = 0.
Soluci´ on Obtenemos la matriz de coeficientes A
A =
1 a −1 a 2 0 1 0 1
Calculamos el determinante de la matriz A
|A| =
1 a −1 a 2 0 1 0 1
=
1 a −1 a 2 0 2 a 0
= −1 ·
a 2 2 a
= 4 − a 2
Ejercicio 12
Dado el sistema de ecuaciones:
x + ay − z = a
ax + 2y = −2
x + z = −2
1
Discutirlos seg´ un los valores del par´ametro a.
2
Resolverlo para el caso a = 0.
Soluci´ on
|A| = 4 − a 2 a 2 − 4 = 0 ⇒ a = ± √
4 = a = 2
a = −2
Por tanto para a = 2; −2 ⇒ |A| = 0. Ahora sustituimos en la matriz los valores obtenidos de a y
obtenemos la matriz ampliada A ′ .
Ejercicio 12
Dado el sistema de ecuaciones:
x + ay − z = a
ax + 2y = −2
x + z = −2
1
Discutirlos seg´ un los valores del par´ametro a.
2
Resolverlo para el caso a = 0.
Soluci´ on Caso 1 a = 2 obtenemos las matrices A y A ′
A =
1 2 −1 2 2 0 1 0 1
1 2 2 1
= 1 − 4 = −3 6= 0 ⇒ rg(A) = 2
A ′ =
1 2 −1 2 2 2 0 −2 1 0 1 −2
Calculamos el rango de A ′
Ejercicio 12
Dado el sistema de ecuaciones:
x + ay − z = a
ax + 2y = −2
x + z = −2
1
Discutirlos seg´ un los valores del par´ametro a.
2
Resolverlo para el caso a = 0.
Soluci´ on Caso 1 a = 2
A ′ =
1 2 −1 2 2 2 0 −2 1 0 1 −2
Para calcular el rango de A ′ calculamos el siguiente determinante:
1 2 2 2 2 −2 1 0 −2
= −4 6= 0 ⇒ rg(A ′ ) = 3
El rg(A) 6= rg(A ′ ) el sistema es incompatible.
Ejercicio 12
Dado el sistema de ecuaciones:
x + ay − z = a
ax + 2y = −2
x + z = −2
1
Discutirlos seg´ un los valores del par´ametro a.
2
Resolverlo para el caso a = 0.
Soluci´ on Caso 2 a = −2 obtenemos las matrices A y A ′
A =
1 −2 −1
−2 2 0
1 0 1
1 −2
−2 2
= 1 − 4 = −3 6= 0 ⇒ rg(A) = 2
A ′ =
1 −2 −1 −2
−2 2 0 −2
1 0 1 −2
Calculamos el rango de A’
Ejercicio 12
Dado el sistema de ecuaciones:
x + ay − z = a
ax + 2y = −2
x + z = −2
1
Discutirlos seg´ un los valores del par´ametro a.
2
Resolverlo para el caso a = 0.
Soluci´ on
A ′ =
1 −2 −1 −2
−2 2 0 −2
1 0 1 −2
Calculamos el valor del determinante
1 −2 −2
−2 2 −2
1 0 −2
= 12 6= 0
El rg(A) 6= rg(A ′ ) el sistema es incompatible.
Ejercicio 12
Dado el sistema de ecuaciones:
x + ay − z = a
ax + 2y = −2
x + z = −2
1
Discutirlos seg´ un los valores del par´ametro a.
2
Resolverlo para el caso a = 0.
Soluci´ on Caso 3 a 6= 2, −2 ⇒ rg(A) = rg(A ′ ) = 3 el sistema es compatible determinado
Ejercicio 12
Dado el sistema de ecuaciones:
x + ay − z = a
ax + 2y = −2
x + z = −2
1
Discutirlos seg´ un los valores del par´ametro a.
2
Resolverlo para el caso a = 0.
Soluci´ on Resolvemos el sistema para a = 0. El sistema es compatible determinado.
x − z = 0
2y = −2
x + z = −2
Pr´acticamente el sistema est´a resuelto de la segunda ecuaci´on deducimos y = −1 y por tanto:
x − z = 0
x + z = −2
Sumamos las dos ecuaciones y obtenemos 2x = −2 ⇒ x = −1 Sustituimos en la primera ecuaci´on
−1 − z = 0 ⇒ z = −1
S (−1, −1, −1)
Ejercicio 13
Dado el sistema de ecuaciones:
x + 2y − z = 0 2x − y + z = 3
1
Estudiar la compatibilidad del sistema.
2
A˜ nadir una ecuaci´on para que el sistema sea compatible determinado. Razonar la respuesta.
3
A˜ nadir una ecuaci´on para que el sistema sea incompatible. Razonar la respuesta.
Soluci´ on Obtenemos las matrices A y A ′ .
A = 1 2 −1 2 −1 1
!
1 2 2 −1
= −5 6= 0 ⇒ rg(A) = 2
A ′ = 1 2 −1 0 2 −1 1 3
!
rg(A ′ ) = 2
Por tanto rg(A) = rg(A ′ ) = 2 sistema compatible indeterminado
Ejercicio 13
Dado el sistema de ecuaciones:
x + 2y − z = 0 2x − y + z = 3
1
Estudiar la compatibilidad del sistema.
2
A˜ nadir una ecuaci´on para que el sistema sea compatible determinado. Razonar la respuesta.
3
A˜ nadir una ecuaci´on para que el sistema sea incompatible. Razonar la respuesta.
Soluci´ on
x + 2y − z = 0 2x − y + z = 3 z = 0
A =
1 2 −1 2 −1 1
0 0 1
Calculamos el rango de A para ello
|A| =
1 2 −1 2 −1 1
0 0 1
= −5 ⇒ rg(A) = 3
rg(A) = rg(A) = 3
El sistema es compatible determinado
Ejercicio 13
Dado el sistema de ecuaciones:
x + 2y − z = 0 2x − y + z = 3
1
Estudiar la compatibilidad del sistema.
2
A˜ nadir una ecuaci´on para que el sistema sea compatible determinado. Razonar la respuesta.
3
A˜ nadir una ecuaci´on para que el sistema sea incompatible. Razonar la respuesta.
Soluci´ on
x + 2y − z = 0 2x − y + z = 3
3x + y = 0
Hemos sumado la primera ecuaci´on con la tercera y luego hemos sustituido el t´ermino independiente por 0. El rg(A) = 2
1 2 0 2 −1 3 3 1 0
= 15
Por tanto el rg(A ′ ) = 3 6= rg(A) el sistema es incompatible.
Ejercicio 14
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
x − ay = 2 ax − y = a + 1
1
Discutir el sistema seg´ un los valores del par´ametro a. Resolverlo cuando la soluci´on sea ´ unica.
2
Determinar el valor de a para que una soluci´on del sistema tenga y = 2.
Soluci´ on
A = 1 −a a −1
!
Calculamos el valor del determinante |A| para calcular el rango de A.
|A| =
1 −a a −1
= a 2 − 1 igualamos a 0
a 2 − 1 = 0 ⇒ a = 1; a = −1
Ejercicio 14
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
x − ay = 2 ax − y = a + 1
1
Discutir el sistema seg´ un los valores del par´ametro a. Resolverlo cuando la soluci´on sea ´ unica.
2
Determinar el valor de a para que una soluci´on del sistema tenga y = 2.
Soluci´ on Caso 1 a = 1
x − y = 2
x − y = 2
El sistema es compatible indeterminado
Ejercicio 14
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
x − ay = 2 ax − y = a + 1
1
Discutir el sistema seg´ un los valores del par´ametro a. Resolverlo cuando la soluci´on sea ´ unica.
2
Determinar el valor de a para que una soluci´on del sistema tenga y = 2.
Soluci´ on Caso 2 a = −1
x + y = 2
−x − y = 0
El sistema es claramente incompatible.
Ejercicio 14
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
x − ay = 2 ax − y = a + 1
1
Discutir el sistema seg´ un los valores del par´ametro a. Resolverlo cuando la soluci´on sea ´ unica.
2
Determinar el valor de a para que una soluci´on del sistema tenga y = 2.
Soluci´ on Supongamos que una soluci´on S tiene y = 2, por tanto S(x, 2). Sustituimos en en el sistema.
x − 2a = 2
ax − 2 = a + 1 ⇒
x = 2 + 2a
ax = a + 1 + 2 ⇒
( x = 2 + 2a ax = a + 3
a igualamos
2 + 2a = a + 3
a ⇒ 2a + 2a 2 = a + 3 ⇒ 2a 2 + 2a − a − 3 = 0 2a 2 + a − 3 = 0
a = −1 ± √
1 + 24
4 = −1 ± 5
4 a = 1; a = − 3
2
Ejercicio 14
Resolver el sistema:
x + 2y + 3z = 1 2x + y − z = 2
Halar dos constantes α y β de manera que al a˜ nadir al sistema anterior una tercera ecuaci´on:
5x + y + αz = β el sistema resulte compatible indeterminado.
Soluci´ on Si a˜ nadimos la ecuaci´on del ejercicio el sistema quedar´ıa
x + 2y + 3z = 1 2x + y − z = 2 5x + y + αz = β y la matriz
A =
1 2 3 2 1 −1 5 1 α
Ejercicio 15
Resolver el sistema:
x + 2y + 3z = 1 2x + y − z = 2
Halar dos constantes α y β de manera que al a˜ nadir al sistema anterior una tercera ecuaci´on:
5x + y + αz = β el sistema resulte compatible indeterminado.
Soluci´ on Calculamos el |A|.
|A| =
1 2 3 2 1 −1 5 1 α
= −3α − 18
igualamos a 0
−3α − 18 = 0 ⇒ α = −6 α = −6 ⇒ rg(A) = 2
Le damos a α = −6 y sustituimos en la matriz A ′ Estudiamos el rango de A ′
A ′ =
1 2 3 1 2 1 −1 2 5 1 −6 β
Ejercicio 15
Resolver el sistema:
x + 2y + 3z = 1 2x + y − z = 2
Halar dos constantes α y β de manera que al a˜ nadir al sistema anterior una tercera ecuaci´on:
5x + y + αz = β el sistema resulte compatible indeterminado.
Soluci´ on Para que la matriz A ′ tenga rango 2 debemos calcular
1 2 1 2 1 2 5 1 β
= −3β + 15
igualamos a 0
−3β + 15 = 0 ⇒ β = 5
Por tanto para α = −6; β = 5 ⇒ rg(A) = rg(A ′ ) = 2. El sistema es compatible determinado.
Ejercicio 16
Dado el sistema de ecuaciones:
(m − 1)x + y + z = 3 mx + (m − 1)y + 3z = 2m − 1
x + 2y + (m − 2)z = 4
1
Discutirlo seg´ un los valores del par´ametro m
2
Resolverlo cuando sea compatible indeterminado.
Soluci´ on Obtenemos la matriz A
A =
m − 1 1 1
m m − 1 3
1 2 m − 2
Para estudiar el rango calculamos:
|A| =
m − 1 1 1
m m − 1 3
1 2 m − 2
=
m − 1 1 0
m m − 1 4 − m
1 2 m − 4
= (m − 4)
m − 1 1 0
m m − 1 −1
1 2 1
Ejercicio 16
Dado el sistema de ecuaciones:
(m − 1)x + y + z = 3 mx + (m − 1)y + 3z = 2m − 1
x + 2y + (m − 2)z = 4
1
Discutirlo seg´ un los valores del par´ametro m
2
Resolverlo cuando sea compatible indeterminado.
Soluci´ on
(m − 4)
m − 1 1 0
m + 1 m + 1 0
1 2 1
= (m − 4)(m + 1)
m − 1 1 0
1 1 0
1 2 1
= (m − 4)(m + 1)(m − 2)
Igualamos a 0
(m − 4)(m + 1)(m − 2) = 0 ⇒ m = 4; m = −1 m = 2
Para los valores anteriores de m |A| = 0
Ejercicio 16
Dado el sistema de ecuaciones:
(m − 1)x + y + z = 3 mx + (m − 1)y + 3z = 2m − 1
x + 2y + (m − 2)z = 4
1
Discutirlo seg´ un los valores del par´ametro m
2
Resolverlo cuando sea compatible indeterminado.
Soluci´ on Caso 1 m = −1 obtenemos las matrices A y A ′
A =
−2 1 1
−1 −2 3
1 2 −3
−2 1
−1 −2
= 5 6= 0 ⇒ rg(A) = 2
A ′ =
−2 1 1 3
−1 −2 3 −3
1 2 −3 4
Ejercicio 16
Dado el sistema de ecuaciones:
(m − 1)x + y + z = 3 mx + (m − 1)y + 3z = 2m − 1
x + 2y + (m − 2)z = 4
1
Discutirlo seg´ un los valores del par´ametro m
2
Resolverlo cuando sea compatible indeterminado.
Soluci´ on Caso 1 m = −1 Para estudiar el rango de A ′ calculamos
−2 1 3
−1 −2 −3
1 2 4
= 5 6= 0 ⇒ rg(A) = 3
Por tanto rg(A) = 2 6= rg(A ′ ) Sistema incompatible.
Dado el sistema de ecuaciones:
(m − 1)x + y + z = 3 mx + (m − 1)y + 3z = 2m − 1
x + 2y + (m − 2)z = 4
1
Discutirlo seg´ un los valores del par´ametro m
2
Resolverlo cuando sea compatible indeterminado.
Soluci´ on Caso 2 m = 2 obtenemos las matrices A y A ′
A =
1 1 1 2 1 3 1 2 0
1 1 2 1
= −1 6= 0 ⇒ rg(A) = 2
A ′ =
1 1 1 3 2 1 3 3 1 2 0 4
1 1 3 2 1 3
= 2 6= 0 ⇒ rg(A ′ ) = 3
Ejercicio 16
Dado el sistema de ecuaciones:
(m − 1)x + y + z = 3 mx + (m − 1)y + 3z = 2m − 1
x + 2y + (m − 2)z = 4
1
Discutirlo seg´ un los valores del par´ametro m
2
Resolverlo cuando sea compatible indeterminado.
Soluci´ on Caso 2 m = 2 obtenemos las matrices A y A ′
A =
1 1 1 2 1 3 1 2 0
1 1 2 1
= −1 6= 0 ⇒ rg(A) = 2
A ′ =
1 1 1 3 2 1 3 3 1 2 0 4
1 1 3 2 1 3 1 2 4
= 2 6= 0 ⇒ rg(A ′ ) = 3
El sistema es incompatible.
Dado el sistema de ecuaciones:
(m − 1)x + y + z = 3 mx + (m − 1)y + 3z = 2m − 1
x + 2y + (m − 2)z = 4
1
Discutirlo seg´ un los valores del par´ametro m
2
Resolverlo cuando sea compatible indeterminado.
Soluci´ on Caso 3 m = 4 obtenemos las matrices A y A ′
A =
3 1 1 4 3 3 1 2 2
3 1 4 3
= 5 6= rg(A) = 2
A ′ =
3 1 1 3 4 3 3 7 1 2 2 4
3 1 3 4 3 7
= 0 ⇒ rg(A ′ ) = 2
Ejercicio 16
Dado el sistema de ecuaciones:
(m − 1)x + y + z = 3 mx + (m − 1)y + 3z = 2m − 1
x + 2y + (m − 2)z = 4
1
Discutirlo seg´ un los valores del par´ametro m
2
Resolverlo cuando sea compatible indeterminado.
Soluci´ on Caso 3 m = 4 es compatible indeterminado. Lo resolvemos
3x + y + z = 3 4x + 3y + 3z = 7
x + 2y + 2z = 4 Eliminamos la segunda ecuaci´on
3x + y + z = 3 x + 2y + 2z = 4
El n´ umero de par´ametros es igual 3 − rg(A) = 3 − 2 = 1, por tanto convertimos z = λ
3x + y = 3 − z
x + 2y = 4 − 2z
Aplicamos la regla de Cramer.
Ejercicio 16
Dado el sistema de ecuaciones:
(m − 1)x + y + z = 3 mx + (m − 1)y + 3z = 2m − 1
x + 2y + (m − 2)z = 4
1
Discutirlo seg´ un los valores del par´ametro m
2
Resolverlo cuando sea compatible indeterminado.
Soluci´ on Aplicamos la regla de Cramer.
3x + y = 3 − z x + 2y = 4 − 2z
3 1 1 2
= 5
x =
3 − z 1 4 − 2 z 2
5 , y =
3 3 − z 1 4 − 2z
5 , z = λ
x = 2
5 , y = 9 − 5λ
5 , z = λ
2 , 9 − 5λ , λ
, λ ∈ R
Ejercicio 16
Dado el sistema de ecuaciones:
2x + 4y = 4k
−k 3 x + k 2 y + kz = 0 x + ky = k 2
, se pide:
1
Discutirlo en funci´on del valor del par´ametro k.
2
Resolver el sistema para k = 2.
3
Resolver el sistema para k = 1.
Soluci´ on
A =
2 4 0
−k 3 k 2 k
1 k 0
|A| =
2 4 0
−k 3 k 2 k
1 k 0
= k
2 4 0
−k 2 k 1 1 k 0
= −k
2 4 1 k
= −k(2k − 4)
−k(2k − 4) = 0 ⇒ k = 0; k = 2
Ejercicio 16
Dado el sistema de ecuaciones:
2x + 4y = 4k
−k 3 x + k 2 y + kz = 0 x + ky = k 2
, se pide:
1
Discutirlo en funci´on del valor del par´ametro k.
2
Resolver el sistema para k = 2.
3
Resolver el sistema para k = 1.
Soluci´ on Caso 1 k = 0
2x + 4y = 0 0 = 0
x = 0
⇒ 2x + 4y = 0 x = 0
A = 2 4 0 1 0 0
!
2 4 1 0
= −4 6= 0
rg (A) = rg(A ′ ) = 2 Sistema compatible indeterminado la soluci´on es muy simple S(0, 0, λ)
Ejercicio 16
Dado el sistema de ecuaciones:
2x + 4y = 4k
−k 3 x + k 2 y + kz = 0 x + ky = k 2
, se pide:
1
Discutirlo en funci´on del valor del par´ametro k.
2
Resolver el sistema para k = 2.
3
Resolver el sistema para k = 1.
Soluci´ on Caso 2 k = 2
2x + 4y = 8
−8x + 4y + 2z = 0 x + 2y = 4
⇒
x + 2y = 4
−4x + 2y + z = 0 x + 2y = 4
A =
1 2 0
−4 2 1 1 2 0
1 2
−4 2
= 2 + 4 = 6 6= 0 ⇒ rg(A) = 2
A ′ =
1 2 0 4
−4 2 1 0 1 2 0 4
Ejercicio 16
Dado el sistema de ecuaciones:
2x + 4y = 4k
−k 3 x + k 2 y + kz = 0 x + ky = k 2
, se pide:
1
Discutirlo en funci´on del valor del par´ametro k.
2
Resolver el sistema para k = 2.
3
Resolver el sistema para k = 1.
Soluci´ on Caso 2 k = 2
A ′ =
1 2 0 4
−4 2 1 0 1 2 0 4
Para ver el rango de A ′
1 2 4
−4 2 0 1 2 4
= 0
Por tanto rg(A) = rg(A ′ ) = 2 el sistema es compatible indeterminado.
Ejercicio 16
Dado el sistema de ecuaciones:
2x + 4y = 4k
−k 3 x + k 2 y + kz = 0 x + ky = k 2
, se pide:
1
Discutirlo en funci´on del valor del par´ametro k.
2
Resolver el sistema para k = 2.
3
Resolver el sistema para k = 1.
Soluci´ on Caso 3 k 6= 0; 2 ⇒ rg(A) = rg(A ′ ) = 3 el sistema es compatible determinado
Ejercicio 16
Dado el sistema de ecuaciones:
2x + 4y = 4k
−k 3 x + k 2 y + kz = 0 x + ky = k 2
, se pide:
1
Discutirlo en funci´on del valor del par´ametro k.
2
Resolver el sistema para k = 2.
3
Resolver el sistema para k = 1.
Soluci´ on Resolver para k = 2
x + 2y = 4
−4x + 2y + z = 0 Hacemos como par´ametro y = λ por tanto:
x = 4 − 2y
−4(4 − 2y) + 2y + z = 0 ⇒ x = 4 − 2y
−16 + 8y + 2y + z = 0 ⇒ z = 16 − 10y Por tanto
S (4 − 2λ, λ, 16 − 10λ) λ ∈ R
Ejercicio 16
Dado el sistema de ecuaciones:
2x + 4y = 4k
−k 3 x + k 2 y + kz = 0 x + ky = k 2
, se pide:
1
Discutirlo en funci´on del valor del par´ametro k.
2
Resolver el sistema para k = 2.
3
