¿C´ omo calcular el producto de dos permutaciones?
¿C´ omo calcular el signo de una permutaci´ on?
Ejercicios
Objetivos. Aprender a multiplicar permutaciones y calcular su signo.
Requisitos. Permutaciones, composici´on de funciones, permutaciones c´ıclicas.
Producto de dos permutaciones
1. Ejemplo: el producto de dos permutaciones. Consideremos dos permutaciones del conjunto {1, . . . , 6}, es decir dos elementos de S6:
ϕ = 1 2 3 4 5 6 3 1 6 4 2 5
, ψ = 1 2 3 4 5 6 6 3 5 1 2 4
. Esta notaci´on significa que
ϕ(1) = 3, ϕ(2) = 1, ϕ(3) =
|{z}
?
, ϕ(4) =
|{z}
?
, ϕ(5) =
|{z}
?
, ϕ(6) =
| {z }
?
y
ψ(1) = 6, ψ(2) = 3, ψ(3) =
|{z}
?
, ψ(4) =
|{z}
?
, ψ(5) =
|{z}
?
, ψ(6) =
|{z}
?
.
El producto ϕψ se define como la composici´on ϕ ◦ ψ.
Esto significa que para todo j ∈ {1, . . . , n}, (ϕψ)(j) :=
| {z }
?
.
Para calcular (ϕψ)(j) con alg´un j ∈ {1, . . . , n} primero aplicamos al n´umero j la permu- taci´on
| {z }
?
, luego aplicamos al resultado la permutaci´on
| {z }
?
:
(ϕψ)(1) = ϕ(ψ(1)) = ϕ(6) = 5; (ϕψ)(2) = ϕ(ψ(2)) = ϕ(3) = 6;
(ϕψ)(3) = ϕ(ψ( )) = ϕ( ) =
|{z}?
; (ϕψ)(4) = ϕ(ψ( )) = ϕ( ) =
|{z}?
;
(ϕψ)(5) = ϕ(ψ( )) = ϕ( ) =
|{z}?
; (ϕψ)(6) = ϕ(ψ( )) = ϕ( ) =
|{z}?
. Respuesta:
ϕψ = 1 2 3 4 5 6 5
.
¿C´omo multiplicar permutaciones y calcular sus signos? Ejercicios, p´agina 1 de 4
2. El mismo ejemplo sin escribir c´alculos intermedios. Seguimos trabajando con las permutaciones ϕ y ψ del ejemplo anterior:
ϕ = 1 2 3 4 5 6 3 1 6 4 2 5
, ψ = 1 2 3 4 5 6 6 3 5 1 2 4
.
Otra vez calculemos el mismo producto ϕψ, pero ahora sin escribir los c´alculos intermedios.
Por ejemplo, para calcular (ϕψ)(3), uno puede pensar seg´un el siguiente diagrama:
1 2 3 4 5 6
3 1 6 4 2 5
1 2 3 4 5 6
6 3 5 1 2 4
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ψ ψ ψ ψ ψ ψ
Procediendo de esta manera, otra vez calcule ϕψ:
ϕψ = 1 2 3 4 5 6 2
.
3. Producto de las mismas permutaciones, pero en otro orden. Seguimos traba- jando con las permutaciones ϕ y ψ del ejemplo anterior:
ψ = 1 2 3 4 5 6 6 3 5 1 2 4
, ϕ = 1 2 3 4 5 6 3 1 6 4 2 5
. Calculemos el producto ψϕ. Por ejemplo,
(ψϕ)(6) = ψ(ϕ(6)) = ψ(5) = 2.
Calcule el producto ψϕ:
ψϕ = 1 2 3 4 5 6 2
.
4. Conclusi´on acerca de la conmutatividad de la multiplicaci´on de permuta- ciones. Compare los productos ϕψ y ψϕ de los Ejercicios 2 y 3: ¿son iguales o no?.
¿Qu´e conclusi´on se puede hacer de este ejemplo acerca de la conmutatividad de la multi- plicaci´on en S6?.
# La multiplicaci´on en S6 es conmutativa, es decir, siempre se cumple la igualdad ϕψ = ψϕ.
# La multiplicaci´on en S6no es conmutativa, es decir, no siempre se cumple la igualdad ϕψ = ψϕ.
# Este ejemplo no es suficiente para hacer la conclusi´on.
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Descomposici´ on de una permutaci´ on en ciclos disjuntos
5. Ejemplo. Use el siguiente ejemplo para comprender el procedimiento:
ϕ =
1 2 3 4 5 6 7 8
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 3 6 7 4 2 8 1 5
= 1
3 7
2 6
8 5
4
Los mismos ciclos se pueden dibujar de manera “lineal”:
ϕ = 1 3 7 2 6 8 5 4
De aqu´ı proviene una notaci´on m´as breve:
ϕ = c(1, 3, 7) c(2, 6, 8, 5) c(4).
6. Otro ejemplo.
ϕ = 1 2 3 4 5 6 7 6 2 7 1 5 4 3
. Escriba la descomposici´on en ciclos disjuntos con flechitas:
ϕ = 1 2 3
Ahora en notaci´on breve:
ϕ = c , , c c , c .
7. Otro ejemplo.
ϕ = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 9 2 7 3 1 4 5 8
. Escriba la descomposici´on de ϕ en ciclos disjuntos.
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C´ alculo del signo de una permutaci´ on
A cada permutaci´on ϕ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} le corresponde un n´umero 1 o −1 llamado el signo o la signatura de ϕ y denotado por sgn(ϕ). Se dice que ϕ es par si sgn(ϕ) = 1;
es impar si sgn(ϕ) = −1.
Hay varias maneras de definir y calcular sgn(ϕ). La definici´on escrita abajo nos permite calcular sgn(ϕ) de manera la m´as eficiente (es decir, la m´as r´apida). Luego vamos a analizar esta definici´on con m´as detalles.
8. Definici´on del signo de una permutaci´on. Sea ϕ una permutaci´on que se descom- pone en p ciclos de longitudes r1, r2, . . . , rp. Entonces el signo de ϕ se define como
sgn(ϕ) := (−1)(r1−1)+(r2−1)+...+(rp−1). Consideremos la permutaci´on del Ejemplo 5:
ϕ = c(1, 3, 7) c(2, 6, 8, 5) c(4)
Aqu´ı tenemos 3 ciclos de longitudes 3, 4, 1 (es decir, p = 3, r1 = 3, r2 = 4, r3 = 1), as´ı que sgn(ϕ) = (−1)(3−1)+(4−1)+(1−1) = (−1)2+3+0 = (−1)5 = −1.
En otras palabras, la permutaci´on ϕ del Ejemplo 5 es impar.
9. Ejercicio. Calcule el signo de la permutaci´on del Ejemplo 6 usando su descomposici´on en ciclos disjuntos:
ϕ = 1 2 3 4 5 6 7 6 2 7 1 5 4 3
=
sgn(ϕ) =
10. Ejercicio. Calcule el signo de la permutaci´on del Ejemplo 7:
ϕ = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 9 2 7 3 1 4 5 8
=
sgn(ϕ) =
¿C´omo multiplicar permutaciones y calcular sus signos? Ejercicios, p´agina 4 de 4
