Estadística Descriptiva

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Estadística Descriptiva

Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 1

ÍNDICE

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

1. Población y Muestra 4

2. Variables estadísticas 4

3. Frecuencias 5

4. Distribuciones 7

5. Representación gráfica 11

5.1 De caracteres cuantitativos

5.1.1 De variables estadísticas discretas sin agrupar

11

5.1.1.1 Diagrama de barras 11 5.1.1.2 Polígono de frecuencias 12 5.1.1.3 Diagrama de frecuencias acumuladas 12

5.1.2 De variables estadísticas discretas con valores agrupados en intervalos

14

5.1.2.1 Histograma 14

5.1.2.2 Polígono de frecuencias 14 5.1.2.3 Polígono de frecuencias acumuladas 15

5.2 De caracteres cualitativos 17

5.2.1 Diagramas de sectores 17

5.2.2 Pictogramas 18

5.2.3 Cartogramas 18

6. Medidas de posición o centralización 18

6.1 Media aritmética 19

6.2 Moda 21

6.3 Mediana 21

6.4 Cuantiles 25

7. Medidas de dispersión. 29

7.1 Rango o recorrido 29

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7.2 Recorrido intercuartílico 29

7.3 Varianza 29

7.4 Varianza muestral o cuasivarianza 31

7.5 Desviación típica 31

7.6 Desviación típica muestral 31

7.7 Coeficiente de Variación de Pearson 32

7.8 Momentos 33

8. Características de forma: 34

8.1 Sesgo o Coeficiente de asimetría de Fisher 35

8.2 Curtosis o Coeficiente de apuntamiento 36

9. Diagrama de Caja 37

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Es un hecho reconocido que la Estadística es necesaria en todos los campos donde se avance en investigación.

Los principios estadísticos son independientes de la materia en la que se apliquen; los principios son generales aunque las técnicas pueden ser distintas.

Se hace ciencia cuando el estudio se ocupa de la observación y clasificación de los hechos. Estadística es la ciencia de los datos. Los datos o hechos numéricos son esenciales para tomar decisiones en casi todas las áreas de nuestra vida.

Por ejemplo, llevar paraguas depende de la probabilidad de lluvia. Si observamos que las medidas de una mujer son 90-60-90, esto significa que esa persona tiene unas proporciones que se consideran perfectas.

En una empresa se manejan muchos datos sobre ventas, inventarios, personal, gastos, clientes, equipos, etc. Todos estos datos han de ser interpretados de alguna forma, tarea que requiere presentar los números de manera que su mensaje aparezca claramente.

Para poder usar los datos con fines concretos debemos resumirlos y describirlos; esta tarea corresponde a la estadística descriptiva. El análisis de los datos combina resúmenes numéricos con representaciones gráficas.

Imaginemos que asistimos a una partida de dados: primeramente observamos el desarrollo de la partida y anotamos los resultados (estadística descriptiva), como sabemos que con dos dados el resultado más probable es 7 (estadística matemática) y tomaremos la decisión de jugar o no dependiendo de la comparación de los resultados (inferencia estadística).

En la estadística descriptiva se ven cosas pero no se pueden probar de una manera formal. La estadística descriptiva y la estadística matemática son complementarias.

El análisis de datos requiere una colaboración dinámica entre el especialista en el asunto (el que posee los datos) y estadístico (el que los analiza).

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El primer paso en un análisis de datos es su inspección, familiarizarse con los datos y encontrar características extraordinarias. El siguiente paso es la comparación: comparar datos y comparar modelos. Por último, la interpretación. Muy a menudo el ciclo entero comienza de nuevo.

1. POBLACIÓN y MUESTRA

Población es un conjunto de elementos de los cuales nos interesa estudiar alguna característica común. El estudio que se haga servirá para conocer y describir a esa población.

Muestra es una parte de la población. Los resultados que se obtienen de su estudio se tratan de extrapolar para toda la población.

La característica que queremos estudiar de la población presentará diversas modalidades que son los posibles valores que puede tomar.

Los caracteres pueden ser:

cualitativos: las diversas modalidades no son valores numéricos.

Ejemplo: "el color del pelo de un grupo de personas".

cuantitativos: las diversas modalidades son números reales.

Ejemplo: "el número de miembros de las familias que viven en Madrid".

Estos números son los diferentes valores que toma una variable estadística.

2. VARIABLES ESTADÍSTICAS

Variable estadística cuantitativa es una aplicación que asigna a cada elemento de la población un número real, que es el valor de la característica cuantitativa que estamos estudiando.

E = población→R

Una variable estadística es discreta si sus valores posibles pertenecen a un conjunto numerable. El caso más frecuente de variables discretas es aquel en que los valores posibles son números enteros. Así:

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- El número de hijos en una familia.

- El número (o la proporción) de piezas defectuosas de un lote de 1000 piezas.

Una variable estadística es continua si sus valores posibles pertenecen a un conjunto no numerable, en general valores de R o de un intervalo de R.

- El diámetro de una pieza.

- La temperatura de un cuerpo.

En general, todas las magnitudes, relacionadas con el espacio, con el tiempo, con la masa o bien las combinaciones de estos elementos son variables estadísticas continuas.

Rango o recorrido de la variable es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de la variable.

3. FRECUENCIAS

Sea una población de N elementos, de la cual estudiamos el carácter X que presenta las modalidades x , x ,..., x . Para cada modalidad ₁ ₂ _k x se define: _i

• Frecuencia absoluta, n_i, es el número de elementos que poseen la modalidad

x . Se tiene que i n_i N

i k

∑

= ⁼ 1

.

• Frecuencia relativa, f_i, es el cociente entre la frecuencia absoluta n_i y el número total de elementos N, es decir, f n

i N

= i. Se tiene que f_i

i k

∑

= ⁼ 1

1.

• Frecuencia absoluta acumulada, Ni, es el número de elementos que poseen la modalidad x . o alguna de las anteriores (para lo cual tienen que estar ordenadas _i previamente), es decir, N_i n_j

j

= i

∑

= 1

. Se tiene que N_k = . N

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• Frecuencia relativa acumulada, F_i, es el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada y el número total de elementos N, es decir, F N

i N

= i. Se tiene que F_k = . 1

El estudio de las distribuciones de frecuencia tiene como objeto construir tablas verticales u horizontales que se utilizarán para una mejor presentación e interpretación de los datos obtenidos en la muestra.

En la primera columna (fila) se escriben los valores de la variable y en la segunda el número de veces que se repite el valor de la variable.

La tabla (1) formada por la variable junto con sus respectivas frecuencias absolutas se denomina distribución de frecuencias absolutas.

k

1 2 k i

i 1

n n ... n n N

=

+ + + =

∑

=

La tabla (2), formada por los valores de la variable junto con

sus respectivas frecuencias relativas, se denomina distribución de frecuencias relativas.

k k

i

i 1 k

i 1 i 1

f n f ... f 1

= = n

= = + + =

∑ ∑

i

j i

j 1

n N

=

∑

= , y se verifica N_k = N

La tabla (3) es la distribución de frecuencias absolutas acumuladas.

i i

F N

= N , y se verifica F_k = . 1

La tabla (4) es la distribución de frecuencias relativas acumuladas.

X n i

x 1 n ₁ x 2 n ₂

. .

. . x k n _k

N Tabla 1

X fi

x1 f1

x2 f2

. .

. . xk fk

1 Tabla 2

X Fi

x 1 F ₁ x 2 F ₂

. .

. . xk F_k =1

Tabla 4

X Ni

x 1 N ₁ x2 N₂

. .

. . xk N_k =N

Tabla 3

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También es frecuente usar una tabla llamada sumario estadístico, en la que aparecen los valores de la variable junto con los valores de los distintos tipos de frecuencia.

EJEMPLO 3:

El número de hectáreas radiadas por día, en un total de 90 días han sido:

0, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 2, 3, 2, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 4, 0, 1, 1, 0, 3, 0, 0, 1, 3, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 3, 0, 0, 1, 1, 0, 2, 2, 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 2, 4, 1, 0, 4, 5, 0, 2, 2, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1,1, 1, 1, 1, 1.

Obtener la distribución de frecuencias absolutas y la de frecuencias absolutas acumuladas.

Solución:

Distribución de frecuencias:

Absolutas Absolutas acumuladas

Nº de hectáreas Nº de días Nº de hectáreas Nº de días

xi ni xi Ni

0 26 0 26

1 40 1 66

2 14 2 80

3 6 3 86

4 3 4 89

5 1 5 90

Total 90 Total 90

4. DISTRIBUCIONES

Distribución de frecuencias: es el conjunto de modalidades con sus respectivas frecuencias. Según sean éstas (absolutas, relativas,....) así lo será la distribución correspondiente.

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Las distribuciones de frecuencias se representan mediante tablas estadísticas.

Se clasifican en dos tipos:

- Sin agrupar: aparecen los datos individualizados con sus respectivas frecuencias. Se utiliza cuando la variable toma pocos valores diferentes.

- Agrupados en intervalos se divide el campo de la variable en intervalos llamados de clase, que tendrán como frecuencia el número de elementos que estén en el intervalo. Se utiliza cuando la variable toma muchos valores distintos entre sí.

0 1 2 k

e < <e e < < , siendo k el número de clases ... e

La agrupación en intervalos tiene la ventaja de la simplicidad de los cálculos, y el inconveniente de la pérdida de información.

Los intervalos serán todos de la misma amplitud procurando que los datos se distribuyan más o menos homogéneamente a lo largo de todo el recorrido, de forma que no haya ninguna clase con muchos elementos (más del 30%) ni varias clases con pocos o ningún elemento (menos del 5%).

Es importante que no existan intervalos con frecuencia cero.

El nº de intervalos que se toma dependerá del número de datos y de la dispersión de los mismos.

Algunos criterios a seguir es tomar k como el entero más próximo a:

a) 1+3.3log10(N) ; b) ^{2 N}

A los extremos del intervalo se les llama límites de clase (superior e inferior). Estos se deben tomar de forma que se solapen los intervalos, es decir, que el extremo superior de uno sea el inferior del siguiente.

Para evitar la ambigüedad que suponen los valores de la variable que coincidan con algún extremo, se pueden seguir dos criterios:

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- Incluir siempre el extremo superior, pero no el inferior de cada clase, salvo en la primera que se incluyen los dos. Es decir, tomar intervalos de la forma (a,b].

- Tomar los extremos de los intervalos con un decimal más que los dados, de forma que no pueda coincidir con ninguno de ellos.

Se llama marca de clase (xi) al punto medio del intervalo de clase ei-1- ei. En todos los cálculos se opera como si la marca de clase tuviera la frecuencia absoluta de todo su intervalo.

La marca de clase se obtiene sumando los límites superior e inferior de clase y dividiendo por 2, es decir, x_i = (e_i₋₁+e_i)

2 .

Tamaño de clase o amplitud de clase "a" es la diferencia entre los límites de clase.

a e e

k

= k − ₀

La distribución de frecuencias quedaría así:

Intervalo Marca de clase x₁

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa acumulada

Frecuencia absoluta acumulada

[

e , e 0 1

]

Obtener una distribución de frecuencias agrupadas.

Solución:

El más caro es 4500 y el más barato 360, luego el recorrido es 4500-360 = 4140.

Elegimos intervalos de la misma amplitud de modo que, los datos se distribuyan de forma relativamente homogénea a lo largo del recorrido.

Con el criterio, k igual al entero próximo a: 1 3.3 log (95)+ ⋅ ₁₀ ≈7.6, elegimos 7 intervalos de amplitud 600 y semiabiertos (a,b].

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS INTERVALO MARCA

DE CLASE

ABSOLUTA ABSOLUTA ACUMULADA

RELATIVA RELATIVA ACUMULADA

e_i₋₁−e_i x_i n_i N_i f_i F_i

300 - 900 600 27 27 0.2842 0.284

900 - 1500 1200 26 53 0.2737 0.558

1500 - 2100 1800 14 67 0.1474 0.705

2100 - 2700 2400 11 78 0.1158 0.821

2700 - 3300 3000 6 84 0.0632 0.884

3300 - 3900 3600 8 92 0.0842 0.968

3900 - 4500 4200 3 95 0.0316 1.000

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5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Una buena representación gráfica, junto con las tablas de frecuencias anteriormente citadas, permiten captar rápidamente las características de la muestra, así como resumir y analizar los datos.

Según sean los datos, las gráficas se pueden clasificar en:

• De Caracteres Cuantitativos.

• Variable estadística discreta sin agrupar. Diagrama de barras. Polígonos de frecuencias. Diagrama de frecuencias acumuladas.

• Variable estadística discreta con frecuencias agrupadas en intervalos.

• Histograma. Polígonos de frecuencias. Polígonos de frecuencias acumuladas.

• De Caracteres Cualitativos.

• Diagrama de barras. Diagrama de sectores. Pictogramas. Cartogramas

5.1 De caracteres cuantitativos

5.1.1 Para variables discretas (sin agrupar):

DIAGRAMA DE BARRAS

Esta representación es válida para las frecuencias de una variable discreta, sin agrupar. Se colocan sobre el eje de las abscisas los distintos valores de la variable y sobre cada uno de ellos se levanta una línea o barra perpendicular, cuya altura es la frecuencia (absoluta, relativa) de dicho valor.

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En caso de utilizarse para comparar muestras distintas de una misma variable, se debe tener precaución, ya que, en este caso, debemos usar frecuencias relativas para eliminar la influencia visual que ejerce el tamaño de cada una de las muestras.

POLÍGONO DE FRECUENCIAS

Es una línea que se obtiene uniendo los extremos superiores de las barras en el diagrama de barras.

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

frecuencia (absoluta o relativa)

DIAGRAMA DE FRECUENCIAS ACUMULADAS Diagrama de frecuencias acumuladas o diagrama de barras acumulativo.

Representamos en el eje de abscisas los distintos valores de la variable estadística.

Levantamos sobre cada uno de ellos una perpendicular cuya longitud será la frecuencia (absoluta o relativa) acumulada correspondiente a ese valor. De esta forma aparece un diagrama de barras creciente. Trazando segmentos horizontales de cada extremo de barra a cortar la barra situada a su derecha se obtiene el diagrama de frecuencias acumuladas.

0 5 10 15 20 25 30 35

40 N

xi i

Se trata de poder observar la acumulación de frecuencias hasta un valor determinado de la variable; por ello, es muy útil para calcular percentiles de una forma gráfica.

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EJEMPLO 5.1:

El número de hectáreas radiadas por día, en un total de 90 días han sido:

0, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 2, 3, 2, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 4, 0, 1, 1, 0, 3, 0, 0, 1, 3, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 3, 0, 0, 1, 1, 0, 2, 2, 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 2, 4, 1, 0, 4, 5, 0, 2, 2, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1,1, 1, 1, 1, 1.

Se pide:

a) Diagrama de barras.

b) Polígono de frecuencias.

c) Construir el diagrama de frecuencias acumuladas.

Solución:

a) Diagrama de barras de frecuencias absolutas

b) Polígono de frecuencias absolutas:

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 1 2 3 4 5

Polígono de frecuencias absolutas

c) Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas

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5.1.2 Representación gráfica de variables estadísticas discretas con valores agrupados en intervalos

HISTOGRAMA

Es la representación gráfica más frecuente para datos agrupados.

En un histograma se representan las frecuencias mediante áreas. De tal forma que un histograma es un conjunto de rectángulos que tienen como base los intervalos de clase y cuya superficie son las frecuencias (absolutas o relativas).

Por tanto, los rectángulos tienen que solaparse (variable agrupada en intervalos) y el área de cada rectángulo será proporcional a la frecuencia (ni o fi) del intervalo. En cuyo caso las alturas son proporcionales a las frecuencias, y será el cociente entre la frecuencia y la amplitud del intervalo.

Si algún intervalo es de distinta amplitud, el cálculo de su altura (hi) se efectuará hallando el cociente _i ⁱ

i

h n

= a o _i ⁱ

i

h f

=a , donde ai representa la amplitud del intervalo.

ni

ei-1 ei ni

ai

fi

ei-1 ei fi

ai

POLÍGONO DE FRECUENCIAS

El polígono de frecuencias es una línea que se obtiene uniendo los puntos medios de las bases superiores (los techos) de cada rectángulo en el histograma. De forma que empiece y

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acabe sobre el eje de abscisas, en el punto medio del que sería el intervalo anterior al primero y posterior al último respectivamente.

POLÍGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS

En el eje de abscisas representamos los distintos intervalos de clase que han de estar naturalmente solapados. Sobre el extremo superior de cada intervalo se levanta una línea vertical de longitud equivalente a la frecuencia (absoluta o relativa) acumulada del mismo. Se obtiene así un diagrama de barras creciente, que uniendo sus extremos da lugar al polígono de frecuencias acumuladas.

Alcanzará su máxima altura en el último intervalo, que tendrá de frecuencia N o 1 según se trate de frecuencias acumuladas absolutas o relativas.

Es muy útil para calcular percentiles de una forma gráfica. El gráfico se obtiene al unir mediante una poligonal los puntos (ei, Ni) o (ei, Fi).

Al ser un gráfico de datos agrupados en intervalos, el polígono siempre empieza en (e0, 0) y acaba en (ek, N) o (ek, 1).

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EJEMPLO 5.2:

3000 1200 740 1750 3409 580 840 1700 2300 715 3910 545 1380 815 565 3000 890 1580 800 3650 2240 1975 1745 3030 2350 3700 735 990 800 930 915 1100 1280 1163 1410 2050 3600 1260 1600 735 4260 1500 1000 1000 1600 1900 2150 2495 3200 850 540 2900 4500 3600 1035 1520 2495 1357 750 715 2775 2540 1470 395 3900 995 2200 900 1500 1500 1995 2650 1335 885 360 2100 2400 1200 1335 3310 600 755 500 990 765 1020 630 1555 640 950 630 1500 2300 3500 1825

a) Dibujar el histograma b) Polígono de frecuencias.

c) Polígono de frecuencias acumuladas.

Solución:

a) Previamente realizamos un agrupamiento por clases o intervalos de amplitud 600:

e_i₋₁−e_i x_i n_i N_i

300 - 900 600 27 27

900 - 1500 1200 26 53 1500 - 2100 1800 14 67 2100 - 2700 2400 11 78 2700 - 3300 3000 6 84 3300 - 3900 3600 8 92 3900 - 4500 4200 3 95

Sumas = 95

b)

0 1 2 3 4 5

Precio (X 1000)

0 5 10 15 20 25 30

frecuencias absolutas

Histograma

0 1 2 3 4 5

Precio (X 1000)

0 5 10 15 20 25 30

Frecuencia absoluta

Pol¡gono de frecuencias

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c)

0 1 2 3 4 5

Precio (X 1000)

0 20 40 60 80 100

Frecuencias acumuladas

Pol¡gono de frecuencias acumuladas

5.2 Representaciones gráficas de variables estadísticas cualitativas.

Existe una gran multitud de gráficos para representar los datos de una muestra o población de una variable estadística cualitativa. Nosotros solo mostramos algunos de ellos.

DIAGRAMAS DE BARRAS

Se representan en el eje de abscisas los distintos caracteres cualitativos y se levantan sobre ellos rectángulos de bases iguales que no tienen que estar solapados y cuyas alturas serán las correspondientes a la frecuencia absoluta de cada carácter.

DIAGRAMA DE SECTORES

En un círculo se asigna un sector circular a cada uno de los caracteres cualitativos, siendo la amplitud del sector proporcional a la frecuencia relativas o absolutas del carácter.

2136

3870

1830

4328

2060 10000

20003000 40005000

Matemáticas Filosofia Derecho Económicas Químicas

Matemát.

15%

Filosofía 27%

Derecho 13%

Económicas 30%

Químicas 15%

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PICTOGRAMAS

Cada modalidad se representa por un dibujo de tamaño proporcional a la frecuencia de la misma. También es frecuente tomar un dibujo estándar y repetirlo un número de veces proporcional a la frecuencia.

CARTOGRAMA

Es la representación sobre mapas del carácter estudiado. Usualmente las distintas modalidades que adopta este carácter se representan con colores de distinta intensidad o distintas tramas; como ejemplo podemos observar el cartograma elaborado por el Instituto de Estadística de la Comunidad de Madrid. Consejería de Economía y Consumo sobre “la renta per cápita del año 2004 en la Comunidad de Madrid”.

6.0 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

Los parámetros estadísticos son ciertos valores representativos de un conjunto de datos, en el sentido de condensar en ellos la información contenida en dicho conjunto. Estos parámetros estadísticos nos proporcionarán información acerca de la situación, dispersión y forma de los datos. En este curso estudiamos las siguientes medidas o parámetros:

6. MEDIDAS DE POSICIÓN Y CENTRALIZACIÓN

Tienen por objeto dar una idea del valor o valores de la variable, alrededor de los cuales se agrupa una cantidad de datos.

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6.1. Media aritmética.

La media, media aritmética o promedio de una variable estadística es la suma ponderada de los valores posibles por sus respectivas frecuencias.

1 1 2 2 k k

n x n x ... n x

X N

  

 ^k _{i i}

i 1

1 n x

N 





^k ^{i i}

i 1f x





x_i = valores que toma la variable o marca de clase.

f_i = frecuencias relativas.

n_i = frecuencias absolutas.

N = número total de la población o muestra.

PROPIEDADES:

1) La media de las diferencias a la media es nula, es decir, la suma de las desviaciones de los valores de la variable estadística respecto de su media es cero.

k k k k

i i i i i i

i 1(x X) f i 1x f i 1X f X X f X X 0i 1

   

          

   

2) La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable respecto de cualquier número  es mínima para  = X

N 2

i 1 i

( ) (x )



  





N i 1 i

( ) 2 (x ) ( 1)



  



    ^{= 0 } ^N ⁱ ^N

i 1 i 1

x 0

 

  

 

^ ^k ⁱ

i 1

x N





 ^{ =}^X

Y en efecto, es mínimo: ^N

i 1

( ) 2 2N 0



  



 

3) Si se suma una constante “a” a los N valores de la variable, la media queda aumentada en dicho valor “a”.

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( )

k k

i i i i

i 1 i 1

a X a x f a x f a X

= =

+ =

∑

+ = +

∑

= +

4) Si se multiplican todos los valores de la variable estadística X por una constante “b”, la media queda multiplicada por la constante “b”.

k k

i i i i

i 1 i 1

bX bx f b x f bX

= =

=

∑

=

∑

=

Podemos concluir que para una nueva variable Y=a+bX se cumple que Y= +a bX.

5) La media aritmética está comprendida entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de datos.

Solo es aplicable para variables estadísticas cuantitativas.

No depende del orden en el que estén colocados los datos.

Es más representativa cuanto mayor sea la concentración de los valores alrededor suyo y más simétrica sea la distribución.

Es muy sensible a la presencia de datos extremos.

Nota:

Cuando no todos los datos tienen la misma importancia con respecto del resto, se le asigna los llamados pesos o ponderaciones, se le llama media aritmética ponderada.

k i i

1 1 2 2 k k i 1

k

1 2 k

i i 1

x w x w ... x w x w

X w w ... w

w

=

+ + +

= =

+ + +

∑

= valores que toma la variable o datos.

wi = pesos.

x_i

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6.2 Moda, M0, es el valor de la variable que se presenta con más frecuencia dentro de la distribución.

En las distribuciones sin agrupar se observa directamente el valor de mayor frecuencia.

En las agrupadas, definimos la clase o intervalo modal como la que tiene mayor frecuencia.

NOTA: Algunas distribuciones pueden presentar varias modas. Cada moda corresponde a un máximo absoluto del diagrama de barras o histograma.

La moda tiene la ventaja de ser fácil su cálculo, pero tiene el inconveniente de que dos muestras con datos muy parecidos pueden tener modas muy distintas.

Es importante observar que al agrupar en intervalos perdemos información acerca del auténtico valor modal.

6.3 Mediana, M, es el valor de la variable que ocupa el lugar central de los valores de la variable una vez que éstos han sido ordenados en sentido creciente. Por tanto, la mediana M es un valor de la variable tal que el 50% de los datos son inferiores y el otro 50% de los datos son superiores.

La mediana es un valor M tal que F(M)=1/2, se define así como raíz de una ecuación.

Cálculo de la mediana.

En primer lugar ordenamos los datos de menor a mayor.

a) Si los datos no están agrupados en intervalos, en general, no tiene solución, puesto que la función F(x) varía por saltos:

1) Si ningún valor posible x_i corresponde a F(x_i)=1/2 se conviene en considerar como mediana el valor x_i tal que:

F x( _i₋₁)< <1 F x( _i)

2

o lo que es igual:

(22)

Estadística Descriptiva

f₁ f₂ f_i ₁ 1 f₁ f₂ f_i ₁ f_i + +...+ ₋ < < + +2 ...+ ₋ + y con frecuencias absolutas:

n n n N

n n n n

i i i

1 2 1 1 2 1

+ +...+ ₋ < 2 < + +...+ ₋ +

1 F(x)

x M

1/2 1/2 1/21/2

EJEMPLO:

Sea la variable estadística X= {5, 1, 5, 2, 4, 2, 3, 6, 5}, entonces X= {1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6,}, resultando el término central M=4.

2) Si uno de los valores xi corresponde a F x( i)= 1

2 (lo que ocurre solamente si el total N de la población es par) la mediana está indeterminada entre los valores xi y xi+1. El intervalo (xi, xi+1) se denomina mediano, o bien llamamos mediana al punto medio de dicho intervalo.

M

1

x xi x

i+1 1/2

F(x)

(23)

Estadística Descriptiva

EJEMPLO:

Sea la variable estadística X= {4, 1, 5, 2, 2, 3, 4, 5,}, entonces X={1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5}, resultando el intervalo mediano [3, 4], o bien M=3.5.

En la tabla estadística, la mediana se determina a partir de la columna que da las frecuencias relativas (o las frecuencias absolutas) acumuladas.

Otra forma de calcular la mediana es:

1 2 N

x ≤x ≤ ≤... x

N 1 2

N N

2 2 1

x si N es impar

M 1

x x si N es par 2

+



=   

  + 

  



b) Si los datos están agrupados en intervalos:

INTERVALO xi ni Ni e0 --- e1 x1 n1 N1 e1 --- e2 x2 n2 N2 ... ... ... ....

ei-1 --- ei xi ni Ni ... ... ... ...

ek-1 --- ek xk nk N

1) N

2 coincide con uno de los recogidos en la columna de frecuencias acumuladas, por ejemplo Ni, en este caso la mediana es ei.

2) N

2 está entre Ni-1 y Ni. La mediana se encontrará en el intervalo

(

e , ei-1 i

)

. La mediana será M=e_i-1+h y por interpolación lineal se obtiene h.

(24)

Estadística Descriptiva

Se tiene:

i i i-1

i-1

n e - e a N- N h

2

↔ =

↔ ^⇒

M=e i-1+ h

La interpolación lineal anterior puede resumirse en la fórmula:

i 1 i 1

i

N N a

M e 2

n

−

 − 

 

 

= +

EJEMPLO:

Consideremos los salarios de los empleados en una fábrica, el director gana 48000

€/mes, el subdirector 20000 €/mes, seis jefes 5000 €/mes cada uno, los cinco capataces 4000 y los diez operarios 2000 cada uno ¿Cuál es el salario medio? ¿Cuál el salario mediano? y

¿Cuál el salario modal?

Solución:

xi 2000 4000 5000 20000 48000 totales

ni 10 5 6 1 1

Ni 10 15 21 22 23 23

k i i i 1

n x 138000

X = N 23

=

∑

= = ⁶⁰⁰⁰ media aritmética.

1 2

N 23

11.5 N 10 11.5 15 N

2 = 2 = ⇒ = < < = luego la mediana es x₂=4000 y la moda corresponde a n1=10 que es 2000.

¿Cuál de los tres valores anteriores describe mejor los sueldos percibidos por los empleados de ésta fábrica?

La generalización del concepto de la mediana da lugar a nuevas medidas de posición que llamaremos cuantiles.

Mediana

ei-1 ei

N/2

Ni-1

h Ni

ni

Gráfico 6.3

(25)

Estadística Descriptiva

6.4. Cuantiles

Cuantil de orden α es un valor de la variable estadística que deja a su izquierda una parte α de la población y a la derecha una parte 1- α de la población.

El Cuantil de orden α (0 ≤ α ≤ 1) es x_α | F(x_α )=α.

Los más utilizados son los cuartiles Q1, Q2 y Q3 que dejan a su izquierda 1/4, 1/2 y 3/4 de la población respectivamente.

Obsérvese que Q2 = M (Mediana).

Los deciles D1, D2, …, D9 dejan a su izquierda 1/10, 2/10, ..., 9/10 de la población respectivamente.

Los percentiles P1, P2, ..., P99 dejan a su izquierda 1/100, 2/100, .... 99/100 de la población respectivamente.

El cálculo de los mismos es similar al cálculo de la mediana.

Cálculo de cuantil de orden α

1 2 N

x ≤x ≤ ≤... x

( )

[ N] 1

N N 1

x si N no es un número natural

x 1

x x si N es un número natural 2

α + α

α α +

 α

= 

+ α



Donde [ ], los corchetes significan la parte entera del producto, es decir, el menor entero mayor o igual que α N.

Obsérvese que en todos los casos depende de que α sea entero o no lo sea. N

En el caso de que los datos estén agrupados en intervalos, el cálculo se realiza de forma semejante a como se realiza para la mediana, pero todo referido al intervalo que contenga el valor de la frecuencia αN, según sea el cuantil a calcular.

(26)

Estadística Descriptiva

Si αN está en el intervalo [ei-1, ei);

i i i 1

i 1

n e e a

N N h

−

→ − =

α − → ⇒ P_α =e_{i 1}₋ +h por tanto, la interpolación lineal anterior se puede resumir en la fórmula:

(

i 1

)

i 1

i

N N a P e

n

−

α −

= + α − .

EJEMPLO 6.4:

3000 1200 740 1750 3409 580 840 1700 2300 715 3910 545 1380 815 565 3000 890 1580 800 3650 2240 1975 1745 3030 2350 3700 735 990 800 930 915 1100 1280 1163 1410 2050 3600 1260 1600 735 4260 1500 1000 1000 1600 1900 2150 2495 3200 850 540 2900 4500 3600 1035 1520 2495 1357 750 715 2775 2540 1470 395 3900 995 2200 900 1500 1500 1995 2650 1335 885 360 2100 2400 1200 1335 3310 600 755 500 990 765 1020 630 1555 640 950 630 1500 2300 3500 1825

Se pide:

a) Cuartiles.

b) Segundo decil.

c) Percentil ochenta y seis.

d) ¿Para un precio de 3000€ que posición ocupa en la distribución?

Solución:

P_α

ei-1 ei

Ni-1

h Ni

ni

Gráfico 6.4

α^N

(27)

Estadística Descriptiva

e_i₋₁−e_i x_i n_i N_i 300 - 900 600 27 27 900 - 1500 1200 26 53 1500 - 2100 1800 14 67 2100 - 2700 2400 11 78 2700 - 3300 3000 6 84 3300 - 3900 3600 8 92 3900 - 4500 4200 3 95

Sumas = 95

Mediana: La mediana es el valor de la variable cuya frecuencia acumulada es N/2.

( )

N 95

47.5 900,1500 2 = 2 = ∈

Observando la tabla de frecuencias acumuladas, vemos que la mediana está en el intervalo 900 - 1500

El valor exacto lo calculamos por interpolación, suponiendo que los elementos de un intervalo se distribuyen uniformemente a lo largo del mismo.

La frecuencia acumulada al final del intervalo anterior (300, 900) es 27. Por tanto, faltan 20.5 de los 26 elementos que constituyen el intervalo (900, 1500) de amplitud 600.

900 M 1500

Gráficamente

27 53

47.5

47.5 27 20.5 h 53 27 26 600

− = ↔

− = ←→ (47.5 27) 600

h 473.077

26

− ⋅

= =

M=900+ =h 900+473.077=1373.077 Por tanto, el precio mediano es 1373.077 €.

Los cuartiles los obtenemos de forma similar a la mediana.

Al primer cuartil le corresponde frecuencia acumulada ^N ⁹⁵ 23.75 4 = 4 =

Al tercer cuartil le corresponde frecuencia acumulada ^3N ^{3 95} 71.25

4 4

= ⋅ =

(28)

Estadística Descriptiva

900 M 1500

Gráficamente

0 23.75

27

300 Q

1 900

Gráficamente

2100 Q

3 2700

67 71.25 78

^{23.75 0} ^23.75 ^h 27 0 27 600

− = ↔

− = ↔ ^{71.25 67} ^4.25 ^h 78 67 11 600

− = ↔

h ^23.75600 527.777

= 27 = h ^4.25600 231.818

= 11 = Q1 300 h 300 527.777 827.777

⇒ = + = + = Q₃ =2100 h+ =2100 231.818+ =2331.818 El segundo cuartil es la mediana = 1373.077€.

b) Al segundo decil le corresponde la frecuencia acumulada

2N 95 10 = 5 =19

19 0 19 h 27 0 27 600

− = ←→

2

19 600

D 300 h 300 722.22

27

= + = + ⋅ =

c) Al percentil ochenta y seis le corresponde la frecuencia acumulada ^86N ^{86 95} 81.7

100 100

= ⋅ =

86

(81.7 78) 600

P 2700 h 2700 3070

6

− ⋅

= + = + =

d) Se plantea el problema reciproco del anterior

i

(3000 2700) 6

N 78 k 78 81

600

− ⋅

= + = + = Sobre el

total representa aproximadamente el percentil 85.

http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/videos/Percentil.wmv http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/videos/Percentil.mp4

D2

300 900

0

h 27

19 27

P86

2700 3300

78

h 84

81.7 6

3000

2700 3300

78 k

84

Ni 6

(29)

Estadística Descriptiva

7. MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de dispersión nos dan una idea de la mayor o menor concentración de los valores de la variable alrededor de algún valor.

EJEMPLO:

Si consideramos 8 alumnos con calificación de 10 y 8 alumnos con un cero; la media aritmética será 5. Si los 16 alumnos tienen un 5, la media también será cinco, sin embargo, las dos situaciones son claramente distintas y la media es más representativa en el segundo caso, al estar los valores concentrados en un único valor. La diferencia entre uno y otro caso se pone de manifiesto con las medidas de dispersión.

7.1. Rango o recorrido

Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística.

EJEMPLO:

Si las observaciones son: 8, 3, 5, 7, 1, 1, 8, el recorrido es 8-1=7.

Es una medida muy sencilla de calcular, pero, poco robusta, pues solo tiene en cuenta los valores extremos. Para evitar la influencia en el rango de los datos con valores extremos, suele ser frecuente utilizar el rango o recorrido intercuartílico.

7.2. Rango o recorrido intercuartílico

El rango o recorrido intercuartílico o desviación cuartílica es la diferencia entre los cuartiles Q1 y Q3 y se representa por IQR.

3 1

IQR=Q −Q

Su cálculo es muy sencillo, y es una medida muy robusta en el sentido de no estar influenciada por la presencia de valores extremos.

Del ejemplo 6.4, sabemos que Q₃=2331.818 y Q₁ =827.777, por tanto, IQR=1514.041.

Es fácil observar que el recorrido intercuartílico contiene el 50% de las observaciones centrales.

7.3. Varianza

(30)

Estadística Descriptiva

Es la media de los cuadrados de las desviaciones a la media.

( ) ( )

x i i i i i i i

i 1 i 1

x X f x f 2x Xf X f

= =

σ =

∑

− =

∑

− + = ^k ²ⁱ ⁱ ²

i 1

x f X

=

∑

−

k 2

i i 2 k 2

2 i 1 2

x i i

i 1

x n

X x f X

N

=

σ =

∑

− = −

∑

( ) ( )

k 2 k 2

2 2 2 2

y i i i i x

i 1 i 1

y Y f a x X f a

= =

σ =

∑

− =

∑

− = σ

(31)

Estadística Descriptiva

5) Cuanto mayor sea la varianza, menos representativa es la media.

7.4. Varianza muestral o cuasivarianza.

Si los datos que estamos analizando son todos los elementos de la población la varianza nos es útil para analizar la dispersión de dichos datos respecto de la media. Por el contrario, si los datos son una muestra de la población, la varianza nos sirve para analizar la dispersión de dicha muestra, pero… ¿nos sirve para analizar la dispersión de la población?

Si tomamos ahora otra muestra de la misma población, obtendremos una varianza de esta segunda muestra, etc. Para cada muestra tendremos el valor de su varianza correspondiente.

Sería deseable que la media de todo este conjunto de varianza muéstrales fuese la varianza de la población. Pero esto no es así (como se demuestra en Inferencia Estadística). Sin embargo, sí hay una medida de dispersión, la varianza muestral que cumple esta condición, es decir tal que la media de las cuasivarianzas muestrales es la varianza de la población. Es por esto por lo que a veces se calcula la cuasivarianza (varianza muestral) en lugar de la varianza.

La varianza muestral viene dada por:

, es decir:

2 2

k k

2 2 i i i i

i 1 i 1

(x X) n (x X) n

N N

S N 1 N 1 ₌ N ₌ N 1

− −

= σ = =

− −

∑ ∑

−

Nótese que para N suficientemente grande la diferencia entre σ2 y S2 es muy pequeña.

7.5 Desviación típica

La desviación típica o desviación cuadrática media es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

o bien,

Tiene la ventaja sobre la varianza de que está medida en las mismas unidades que la variable.

7.6 Desviación típica muestral.

La desviación típica muestral es la raíz cuadrada positiva de la varianza muestral.

k 2

i i

i 1

(x X) n N

S = N 1 N 1

= − = σ

− −

∑

S N

N

2 2

= 1

− σ

σ= + σ = + −

∑

=

( ²) ( )²

1

x_i X f_i

i

k σ = + −

∑

= ^{x f}ⁱ ⁱ ^X i

k

2 2

1

(32)

Estadística Descriptiva

7.7 Coeficiente de variación de Pearson

Es el cociente de la desviación típica y la media. CV X

= σ

Es frecuente expresarlo en tanto por ciento.

Es independiente de la unidad que se utilice, pues no tiene unidades y por tanto nos permite comparar la dispersión de dos distribuciones que tengan unidades diferentes, o que tengan medias muy distintas.

Tiene el inconveniente de no estar definido para distribuciones con media cero. Además, cuando la media se aproxima a cero el coeficiente de variación tiende a infinito.

EJEMPLO 7:

Con los datos del ejemplo 5.2, calcular:

a) Varianza y desviación típica.

b) Varianza y desviación típica muestral.

c) Coeficiente de variación de Pearson.

Solución:

0 26 0 26 0 0

1 40 40 66 1 40 2 14 28 80 4 56

3 6 18 86 9 54

4 3 12 89 16 48

5 1 5 90 25 25

Sumas 90 103 223

a) Media: x

N x n_i _i

i

= = =

∑

=

1 1

90103 114

0 5

.

Varianza: σ² ²

0

5 2

1 1 2

90223 103

90 11680

= − = −

 

 =

∑

=

N x n_i _i X

i

. x_i n_i x n_i _i N_i x_i² x_i²n_i

(33)

Estadística Descriptiva

Desviación típica;

b) Varianza muestral;

Desviación típica muestral;

c) Coeficiente de variación; CV ^1.0807 0.9443 1.1444

X

= σ = =

7.8. Momentos

Se llama momento de orden r respecto al valor "c", a la cantidad:

(x c f) (x c) n

i N

r i i

k

i

r i i

− = k −

= =

∑ ∑

1 1

, donde r es un entero positivo.

Según los valores de "c", se definen varias clases de momentos:

Momentos no centrales o respecto al origen,

c m

r x

ir f i i

k

xi r n

i i N

= ⇒ = k

=

∑ ∑

= 0

1 1

Los primeros momentos no centrales son iguales a:

m₀ =1 ; m₁ = X

Momentos centrales o respecto a la media

c X x X f x X n

r i N

r i i

k

i r i

k

= ⇒ = − = − i

= =

∑ ∑

µ ( ) ( )

1 1

Los primeros momentos centrales son iguales a:

µ₀ =1; µ₁=0; µ₂ =σ² =m₂ −m ₁²

Relación entre los momentos centrales y no centrales.

σ= (σ²) = 1 1680. =1 0807.

S N

N

2 2

1

90

891 1680 1 1811

= − σ = . = .

S N

= N

− = =

1

90

891 0807 1 0867

σ . .

(34)

Estadística Descriptiva

Desarrollando por la fórmula del binomio de Newton las relaciones de definición:

µ_r _i ^r _i

i k

i r

i i

k

x X f x m f

= − = − =

= =

∑

⁽ ⁾

∑

⁽ ⁾

1

1 1

r r 1 r 2 2 r r

i i i i 1 i i 1 1 i

i i i i

r r r r

x f x f m x f m ... ( 1) m f

0 1 2 r

− −

       

=  −  +  + + −   =

 

∑

 

∑

 

∑

 

∑

r

2 r r j j

r r 1 1 r 2 1 1 r j 1

j 0

r r r r r

m m m m m ... ( 1) m ( 1) m m

0 1 ⁻ 2 ⁻ r ₌ j ⁻

         

=  −  +  + + −   = −  

       

∑

 

r

j j

r r j 1

j 0

( 1) r m m

j ⁻

=

µ = −   

∑

  En particular: ₂ 2 ₂ 2 ₁ ₁ 2 ₁² ₂ ₁²

m m m m m m

0 1 2

     

µ =  −  +  = −

      ,resultado ya conocido.

µ₃ =m₃−3m m₂ ₁+2m ₁³

µ₄ =m₄−4m m₃ ₁+6m m₁² ₂ −3m ₁⁴

8. CARACTERÍSTICAS DE FORMA

Además de la tendencia central y de la dispersión, se puede tratar de caracterizar la forma de una distribución mediante índices que determinen la asimetría y el apuntamiento de la distribución.

Asimetría. Una distribución de frecuencias es simétrica si su correspondiente gráfico es simétrico respecto a un eje vertical.

• Si la distribución es simétrica, la mediana y la media coinciden.