Desarrollo del pensamiento matemático para
la resolución de problemas
Luis Miguel García Velázquez
Tecnológico de Monterrey, Departamento de Ciencias Básicas, Campus Morelia Daniel Barriga Flores
Tecnológico de Monterrey, Departamento de Ciencias Básicas, Campus Morelia [email protected]
Palabras clave: retos, problemas, matemáticas, estrategia.
1. Introducción
El presente artículo describe los aprendizajes obtenidos al proponer una estrategia para el fortalecimiento de competencias matemáticas a través de una propuesta de materiales y una adaptación de la técnica didáctica de aprendizaje basado en problemas. Las actividades que integran este material generan habilidades de pensamiento matemático sustentadas en fortalezas cognitivas y de carácter.
El ambiente propuesto provee una estrategia que permite abordar problemas retadores siguiendo una metodología estructurada de solución de problemas. Los contenidos desarrollados buscan atraer la atención de los estudiantes al presentarse de manera animada, y pretenden promover las habilidades cognitivas que soportan la búsqueda de diferentes alternativas o enfoques frente a los retos (flexibilidad cognitiva), así como la persistencia de la atención y el enfoque para completar una meta (función ejecutiva). A partir de la experiencia, presentamos también una propuesta a los docentes sobre la preparación previa para trabajar con problemas retadores dentro del aula, que extiende las observaciones en la aplicación de la presente unidad.
2. Desarrollo 2.1 Marco teórico
El presente artículo presenta el diseño y la implementación de una estrategia didáctica que adapta la técnica de aprendizaje basado de en problemas, ofreciendo alternativas a los docentes para abordar la enseñanza de las matemáticas, promoviendo el fortalecimiento del carácter dentro de un ambiente de aprendizaje agradable.
La técnica de aprendizaje basado en problemas está conformada por cuatro etapas que operan sobre los cuadrantes del modelo del pensamiento simplicial (Basadur, 1998), que se enuncian de la siguiente forma:
1. Generación de ideas sobre el problema 2. Conceptualización del problema
3. Optimización de rutas para la solución 4. Implementación de acciones para la solución
El enfoque al adaptar esta técnica didáctica fue aprovechar el método de resolución de problemas para promover en los estudiantes las habilidades que lo conducen de la hipótesis a la verificación. En el proyecto se diseñaron unidades de aprendizaje en un formato dinámico para que trabajen con la integración de estas cuatro fases, promoviendo el desarrollo de las siguientes dimensiones del pensamiento matemático:
1. Leer y visualizar 2. Explorar y representar
3. Modelar y aplicar técnicas establecidas a la resolución de problemas.
4. Argumentar, verificar y conquistar objetivos de abstracción ampliada.
5. Y de forma transversal: Comunicarse en matemáticas, preguntar, convencer, ordenar con lógica y tener destreza en el uso del lenguaje matemático.
Definiremos flexibilidad cognitiva como la habilidad de ver alternativas para solucionar un problema y manejar la incertidumbre. Definiremos función ejecutiva como la habilidad de inhibir una respuesta habitual o instintiva y, en su caso, sustituirla por una más efectiva, menos obvia. (Tough, 2012)
Las habilidades de carácter que se busca aprovechar en las estrategias son perseverancia, autocontrol, entusiasmo, inteligencia social, gratitud, esperanza y curiosidad, de acuerdo a como se han definido en la Tipología VIA. (Peterson, C & Seligman, 2004)
En los campos formativos se trabajan temas de aritmética, álgebra y geometría. Asimismo, el material debe promover la comprensión lectora haciendo uso de la lógica matemática para organizar y analizar información.
2.2 Planteamiento del problema
Las matemáticas se han enseñado tradicionalmente mediante la repetición, mecanización y memorización de terminología, algoritmos y fórmulas, olvidándose de su naturaleza esencial:
una disciplina cuyo aprendizaje requiere del razonamiento y la imaginación. Esta forma de enseñar, característica de todos los niveles, termina por resultar tediosa; además, el contenido se olvida rápidamente al no ser parte de un proceso de aprendizaje verdaderamente significativo.
Debido al enfoque en la enseñanza que hace énfasis en las destrezas operativas, a los estudiantes de niveles de bachillerato y universidad les resulta particularmente difícil el explorar, representar, modelar, argumentar y comunicarse en matemáticas. Como
consecuencia, los procesos que requieren el procesamiento de información de manera lógica (por ejemplo la programación o el desarrollo de textos argumentativos) se vuelven muy complicados para ellos.
Adicionalmente, la aplicación de modelos matemáticos en contextos específicos termina por enfocarse más en la repetición de algoritmos y reglas que en la comprensión de los modelos teóricos y el desarrollo de la intuición. Aquellos estudiantes que quieren dedicarse a la investigación en etapas superiores deben enfrentarse a la complejidad de explorar y generar alternativas frente a los problemas, aun cuando las habilidades necesarias para ello no se promueven en el esquema tradicional de enseñanza de las matemáticas.
En este artículo se presenta la experiencia de diseño para una unidad con el objetivo de resolver problemas de aprendizaje específicos de aritmética, álgebra y geometría, que puedan fortalecer las habilidades en matemáticas de los estudiantes que recién ingresan a la universidad, a la par que promueven el desarrollo de competencias para el razonamiento lógico y matemático en los estudiantes. Como uno de los objetivos del diseño de los materiales y su estrategia de uso se impone el generar un ambiente agradable para el aprendizaje y que estimulen el desarrollo de habilidades cognitivas y del carácter.
2.3 Metodología
El diseño se propuso como una innovación didáctica de la técnica de Aprendizaje Basado en Problemas, implementado como una aplicación digital para tableta móvil que presente secuencias de problemas en formato escenario-sugerencia-solución. Los estudiantes podrán interactuar con la aplicación de forma individual o colaborativa, ya sea con la guía de un profesor o como una experiencia de aprendizaje fuera del aula.
Como grupo base de trabajo se tomaron dos generaciones de estudiantes cursando Introducción a las Matemáticas en el Tecnológico de Monterrey, Campus Morelia, que es una asignatura remedial para todas las licenciaturas en el Tecnológico de Monterrey. En el primer caso participaron 28 estudiantes, en el segundo, 26.
La metodología para desarrollar la unidad fue la siguiente:
1. Elaboración de una propuesta de contenidos que resultan problemáticos para los estudiantes, en torno a la aritmética, el álgebra y la geometría. La propuesta se registró como un listado de habilidades a conseguir.
2. Agrupación de los contenidos en 6 ejes temáticos.
3. Propuesta de 16 problemas que cubrieran los contenidos de los 6 ejes.
4. Selección de 4 problemas que atendieran gran parte de los contenidos elegidos.
5. Escritura de sugerencias y soluciones para los problemas seleccionados.
6. Diseño e implementación de la unidad: guión gráfico, propuesta de arte, diseño y animación.
7. Piloto en grupo: trabajo colaborativo asistido por el profesor en la materia de Introducción a las Matemáticas, octubre 2014.
8. Revisión y ajuste a partir de las observaciones de la sesión y el trabajo de cada uno de los grupos de estudiantes.
9. Piloto en grupo: trabajo colaborativo asistido por el profesor en la materia de Introducción a las Matemáticas, octubre 2015.
10. Análisis de resultados a partir de las observaciones de la sesión y el trabajo de cada uno de los grupos de estudiantes.
Los materiales seleccionados fueron secuenciados para garantizar aprendizajes específicos.
En nuestra propuesta, queremos adoptar su modelo de ambiente de aprendizaje, mismo que está estructurado de la siguiente forma:
1. Presentación del escenario: definición del problema o establecimiento de la hipótesis.
2. Presentación de una sugerencia: diseño de un paso intermedio que sea una activación para el razonamiento creativo del estudiante. No debe avanzar demasiado en el camino de la solución, pero debe resultar un buen impulso.
3. Presentación de la solución: selección de una solución para el problema y diseño de su planteamiento de forma que pueda ser clara y correcta, pero sobre todo ilustrativa en el sentido de apuntar hacia el siguiente aprendizaje del estudiante. Aquí se estimula el uso del razonamiento crítico del alumno que puede comparar su solución con la presentada, reorganizarla o replantearla en términos más eficientes.
2.4 Resultados
La primera fase de análisis del proyecto arrojó un listado de contenidos que se refieren a problemáticas recurrentes en los estudiantes de los primeros niveles universitarios. A continuación, incluimos el listado de habilidades a conseguir:
A. Números enteros y solución de problemas
1. Aplicación de las nociones de múltiplos y divisores para entender el comportamiento de los números enteros.
2. Ejecutar una estrategia de búsqueda, a partir de información parcial, para alcanzar un objetivo de forma eficaz.
3. Seguir un proceso ordenado para conseguir un objetivo.
B. Razones y proporciones
1. Aplicación de operaciones aritméticas básicas en contextos complejos.
2. Aplicación de las razones de proporcionalidad (directa, inversa) para búsqueda de información.
3. Comprensión de las reglas de tres como relación de proporcionalidad entre cantidades.
4. Entendimiento de la noción de porcentajes y cálculo eficiente.
C. Operaciones básicas
1. Comprensión de la factorización como propiedad de la multiplicación de números (de la aritmética al álgebra).
2. Realización eficiente y eficaz de operaciones con fracciones.
3. Simplificación y factorización de números como alternativa para la resolución rápida de problemas.
4. Planeación de una secuencia de operaciones algebraicas para obtener información a partir de los datos presentados.
5. Uso eficiente de las operaciones de multiplicación, división, potencia y raíz.
6. Aplicación de las nociones de múltiplos y divisores para entender el comportamiento de los números enteros.
D. Modelo lineal y sistemas de ecuaciones
1. Uso del lenguaje algebraico para plantear un modelo que permita la aplicación de herramientas conocidas.
2. Establecimiento de ecuaciones lineales como modelo necesario en situaciones complejas.
3. Planteamiento de sistemas de ecuaciones en situaciones complejas.
4. Solución de sistemas de ecuaciones, identificando la manipulación algebraica como un proceso al servicio del análisis de la información presentada.
5. Uso de la representación gráfica del modelo lineal para resolución de un problema complejo.
6. Uso del método gráfico de soluciones de ecuaciones lineales en un problema complejo.
7. Relación entre las representaciones gráficas y algebraicas del modelo lineal.
8. Interpretación de la información que se presenta en porcentajes.
E. Desigualdades e intervalos de números reales
1. Relación entre las nociones de desigualdad y ordenamiento numérico.
2. Aplicación de métodos algebraicos dentro de restricciones, para la búsqueda de un conjunto solución.
3. Relación de las propiedades de los números enteros y reales con la manipulación de desigualdades.
4. Uso de técnicas de factorización y productos notables para comprender una regla algebraica.
5. Aplicación de las nociones de múltiplos y divisores para entender el comportamiento de los números enteros.
La unidad les permitió a los estudiantes fortalecer habilidades necesarias para la materia que son difíciles de atender en el tiempo de la clase (sin renunciar a los contenidos propios del curso). De acuerdo a las soluciones propuestas en los distintos grupos, observamos que los problemas de la unidad permiten atender diversos contenidos. (Véase Tabla 1)
Tabla 1. Problemas y sus Contenidos
Problema Contenidos (problemáticas que abordan)
Problema 1 (Piratas) C6, D1, D2, D3, D4, D6 Problema 2 (Cuadrados) A1, A2, A3, C1, D1, D4 Problema 3 (Pescados) A2, A3, B1, D1, E1, E2, E3
Problema 4 (Rectángulo) A2, A3, C1, C3, C4, D1, D4, E1, E2, E3, E4, E5 Problema 5 (Tiro al blanco) D5, D6, D7, D8
La unidad se implementó a través de la animación de 4 problemas y la escritura de sugerencias y soluciones para resolverlos. Además, la implementación en los grupos permitió poner a prueba y sintonizar el modelo problema – sugerencia – solución. La estructura promueve el desarrollo de las fases (Véase Tabla 2)
Tabla 2. Fases del modelo
Escenario Sugerencia Solución
Generación
Al explorar la situación que se presenta en el video para generar posibles enfoques frente al problema.
Conceptualización
Al regresar al enunciado para generar el
entendimiento del problema.
Al corregir el entendimiento del problema revisando un avance de la solución.
Optimización
Al considerar una ruta alternativa para la solución.
Implementación Al contrastar la
solución propuesta en la unidad contra la solución propia del estudiante.
2.5 Discusión (Análisis e interpretación de resultados)
La implementación de estos ambientes de aprendizaje en formato digital permitió una mayor portabilidad de la unidad, así como la integración de su contenido de forma independiente a los contenidos de un curso. La unidad está orientada para aplicarse en cualquier asignatura donde se hayan detectado problemas específicos de álgebra y aritmética.
Durante la aplicación, para calibrar la dificultad de los problemas para atender, tuvimos que tomar las siguientes decisiones:
1. Modificar las sugerencias propuestas en el Problema 1, para favorecer la conceptualización del problema. Al momento de hacer el guion gráfico y durante la producción de la animación, fue importante insistir en que el escenario no presentara visualmente cantidades que pudieran ser un sesgo para el estudiante al momento de solucionar el problema, o bien que pudieran hacer evidente la respuesta. Tener cuidado en esta fase nos ayuda a plantear el escenario con claridad, pero descartar alternativas incorrectas para el entendimiento del problema (Escenario vs. Conceptualización).
2. El escenario del problema 4 resulta apropiado para trabajar con estudiantes que ya tienen destreza con la manipulación algebraica. Se generó un escenario alternativo que parte de un planteamiento geométrico que resultó más apropiado para promover la generación de alternativas para la solución: a pesar de que la sugerencia y la solución son las mismas, el nuevo escenario promueve la generación de alternativas que no eran evidentes en el planteamiento anterior (Escenario vs. Generación).
La aplicación de la unidad nos permitió realizar, de manera simultánea, el fortalecimiento de aquellas debilidades de álgebra y aritmética que los estudiantes no pudieron resolver en los niveles previos mientras se fortalecen habilidades de pensamiento que apunten hacia aprendizajes más complejos.
En la aplicación vemos el potencial de generar un sistema adaptativo completando un repositorio de ambientes de aprendizaje para trabajar fuera del aula. La secuencia estructura (problema-sugerencia-solución) permitiría sustituir la presencia de un profesor en un ejercicio de aula invertida. Como un crecimiento a futuro, se considera ampliar la plataforma para que el alumno tenga la oportunidad de registrar sus propias soluciones para enriquecer el diseño de las actividades.
3. Conclusiones
La estrategia propuesta permite fomentar en los jóvenes la creatividad, imaginación, el razonamiento lógico y, en consecuencia, el aprendizaje de los conceptos matemáticos en contextos de aplicación. Para desarrollar la flexibilidad cognitiva y la función ejecutiva a través de retos es muy importante que el profesor determine una ruta de incidentes críticos que debe garantizar a lo largo de la secuencia y que modere su intervención con momentos de exploración del estudiante que le permitan buscar alternativas. Es una excelente idea el tener listas herramientas que proporcionarle al estudiante para la exploración. En el aprendizaje con base en retos es primordial hacer consideraciones sobre optimismo, autocontrol y determinación.
Algunos aprendizajes específicos de este trabajo fueron los siguientes:
1. Al presentar retos es importante ofrecerle al estudiante herramientas que le permitan explorar distintas alternativas para llegar a la solución y acompañarlos para mantenerlos enfocados en la meta.
2. Al revisar estrategias de solución con los estudiantes es importante cuestionar en lugar de rechazar, de manera que el propio alumno sea quien pueda decidir si su solución es apropiada o debe optar por buscar una menos evidente, pero acertada.
3. Para desarrollar la flexibilidad cognitiva y la función ejecutiva a través de retos es muy importante que el profesor determine una ruta de incidentes críticos que debe garantizar a lo largo de la secuencia y que modere su intervención en el pizarrón para propiciar momentos de exploración que permitan al estudiante buscar alternativas para enfrentar el reto.
4. Es conveniente que el profesor posea un espectro amplio de herramientas que pueda proporcionarle al estudiante al momento de la exploración, de forma que cada uno elija un camino propio. En el aprendizaje con base en retos es primordial hacer consideraciones sobre optimismo, autocontrol y determinación.
4. Referencias
• Basadur, M.S. (1998). The Basadur Simplex creative problem solving profile inventory:
Development, reliability and validity. McMaster University, Management of Innovation and New Technology Research Centre.
• Peterson, C, C., & Seligman, M. (2004). Character Strengths and virtues: A handbook and classification. Wilbur Oxford: Oxford University Press.
• Tough, P. (2012). How children succeed. New York: First Mariner Books.
5. Reconocimientos
Los autores agradecen al Fondo NOVUS del Tecnológico de Monterrey por el apoyo ofrecido para la realización de este programa.
