Licenciatura en Seguridad e Higiene Laboral Matematica II. Matrices

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Una matriz se define como un arreglo rectangular de elementos (números) dispuestos en m filas y n columnas:

Las matrices se nombran con letras mayúsculas.

Cada uno de los elementos de la matriz (aij) tiene dos subíndices. El primero i indica la fila a la que pertenece y el segundo j la columna.

El orden o dimensión de una matriz es la forma de indicar cuantas filas y columnas tiene la matriz, se indica m x n donde m es el número de filas y n es el número de columnas.

El ejemplo presentado es una matriz A, de m filas y n columnas, es decir, de orden o dimensión m x n.

Esta matriz también se puede representar de la forma siguiente:

A = (aij) m x n.

Ejemplos de matrices de distinto orden (Fila x Columna):

(2 − 1) 1 2

2 −11 −2 2 2

1 0

−2 3

−5 −1 3 2

2

Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) de orden m x n, la matriz A + B es otra matriz S = (sij) del mismo orden, de modo que cada elemento sij de la matriz S, se obtiene como: sij = aij + bij. O sea que se suman los elementos de igual subíndice de cada matriz, por ejemplo:

s11 = a11 + b11

s12 = a12 + b12

Por lo tanto, para que dos matrices A y B se puedan sumar tienen que tener la misma dimensión y se suman los elementos que ocupan la misma posición.



Ejemplo:

Dadas las matrices A y B calcular A+B:

−2 3

−5 −1 B= 12 1

−5 4

−3 2

−7 7−8 1

Propiedades de la suma de matrices

1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) 2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)

3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)

4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.

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Resta

La diferencia de matrices es un caso particular de la suma. Restar dos matrices es lo mismo que sumarle a la primera la opuesta de la segunda:

A - B = A + (-B).

Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) de dimensión m x n, la matriz A - B es otra matriz D = (dij) de la misma dimensión, de modo que cada elemento dij de la matriz D, se obtiene como: dij = aij - bij. O sea que se restan los elementos de igual subíndice de cada matriz, por ejemplo:

d11 = a11 - b11

d12 = a12 - b12

Por lo tanto, para que dos matrices A y B se puedan restar tienen que tener el mismo orden y se restan los elementos que ocupan la misma posición:

Ejemplo:

Dadas las matrices C y D calcular C-D:

=

−5 −1

=

−3 2

=

−2 −3

4

Producto

Producto de una matriz por un escalar

Dado un número real k y una matriz A = (aij) de dimensión m x n, se define el producto del número real k por la matriz A, como otra matriz C= (cij) de la misma dimensión que A, de modo que cada elemento pij de P se obtiene como: cij = k.aij.

Ejemplo:

Realizar el siguiente producto:

4 . 3 2

−1 = 12 8

−4

Propiedades del producto de una matriz por un escalar

1. λ (A + B) = λ A + λ B (propiedad distributiva 1ª)

2. (λ +μ )A = λ A + μ A (propiedad distributiva 2ª) 3. λ [μ A] = (λ μ) A (propiedad asociativa mixta)

4. 1·A = A (elemento unidad)

PRODUCTO DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA

El producto de una matriz fila por una matriz columna es posible, siempre y cuando, el número de filas de la matriz fila sea igual al número de columnas de la matriz columna.

Dadas las matrices:

A = (aij) orden mx1 B = (bij) orden 1xn

Se define el producto de ambas matrices como:

A.B = ∑_,

5

La sumatoria de los productos del primer elemento de la matriz A por el primer elemento de la matriz B, el segundo elemento de A por el segundo de B y así sucesivamente hasta terminar.

Ejemplo:

Dadas A y B calcular el producto A. B (2 0 −1) ∗ 3

2

−1

= 2.3 + 0.2 + (-1). (-1)=6 +0 +1 =7

Por lo tanto el producto de una matriz fila por una matriz columna, cuyas cantidades de filas y columnas respectivamente sean iguales, da como resultado un número real.

PRODUCTO DE MATRICES

Para que dos matrices se puedan multiplicar es necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz, es decir, si la matriz A = ( aij ) tiene dimensión m x n y la matriz B = ( bij ) tiene dimensión p x q, para que se pueda efectuar el producto A . B es necesario que n = p. Por otra parte, la matriz producto P = (pij) tendrá por dimensión m x q, es decir, el número de filas de la matriz A y el número de columnas de la matriz B. Cada elemento pij de la matriz P se obtiene multiplicando la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B, siguiendo el procedimiento desarrollado en el punto anterior.

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O sea, para obtener el elemento p11

= ∗ ∗ ∗ _⋯ ∗

Ejemplo:

Dadas las matrices C y D realizar el producto C.D:

C=

−5 −1

orden 3x2

D=

Primero se verifica que el número de columnas de la primera sea igual al número de filas de la segunda, en este caso se cumple, por lo tanto se puede realizar el producto. La matriz resultante tendrá el número de filas de la primera y el número de columnas de la segunda, o sea su orden será de 3x2.

−2 3

−5 −1

.

2 3 =

=

1.0 + 0.2 1.1 + 0.3

−2.0 + 3.2 −2.1 + 3.3

−5.0 + (−1).2 −5. (−1) + (−1). 3 = 0 1 6 7

−2 2

7

Propiedades del producto de matrices

1- A· (B·C) = (A·B) ·C

2- El producto de matrices en general no es conmutativo.

3- Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A.

4- Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B

= B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A^–1.

5- El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir:

A· (B + C) = A·B + A·C

Tipos de matrices:

Tipo Definición Ejemplo

Fila Son matrices de una sola fila y varias columnas.

C=(2 3 −5)

Columna Son matrices de una sola columna y

varias filas. B= 2

4

−10 Cuadrada Es una matriz que tiene la misma

cantidad de filas que de columnas.

Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann

Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1

A= 2 5

−1 −4 A= 1 2 3 5 −1 0

4 1 2

A=1 2 3 5 −1 0

4 1 2

Diagonal principal

A=1 2 3 5 −1 0

4 1 2

Diagonal secundaria

Nula Es una matriz de cualquier orden en la que todos sus elementos valen 0.

N= 0 0 0 0 0 0 Opuesta La opuesta de la matriz A se

obtiene cambiando de signo todos los elemento de la matriz A: - (aij)

= (-aij).

A = 2 5

−1 −4 A Opuesta:

-A = −2 −5

1 4

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Traspuesta Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando

ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por A^t o A^T

A=1 2 3 5 −1 0

4 1 2

A^t= 1 5 4 2 −1 1

3 0 2

Identidad Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.

I= 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Ortogonal Una matriz ortogonal es necesariamente

cuadrada e invertible: A^-1 = A^{T .} La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El

determinante de una matriz ortogonal vale +1 o -1.

A·A^T = A^T·A=I

. =

Inversa Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A^-1, si se verifica que :

A·A^-1 = A^-1·A = I

A= 2 3 1 1 A^-1= −1 3

1 −2 2 3

1 1 . −1 3

1 −2 ₌ 1 00 1 Triangular

O

Escalonada

Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos, por encima o por debajo, de la diagonal principal nulos.

A=1 5 4 0 −1 1

0 0 3

Inferior

B=1 0 0 5 −1 0 2 −2 3

Superior

Diagonal Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos

excepto los de la diagonal principal.

E=15 0 0 0 3 0 0 0 2

9

Escalar Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos

excepto los de la diagonal principal que son iguales

M= 5 0 0 0 5 0 0 0 5

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

Es una aplicación del conjunto de las matrices cuadradas en los reales donde a cada matriz cuadrada A le asignamos un número real al que llamaremos determinante de A.

Dada una matriz A

le corresponde un número que se lo conoce como determinante de la matriz A.

Para hallarlo se realiza la siguiente sumatoria:

det A = ∑(−1) …

Resolución de determinantes

Regla de Sarrus: Es útil para determinantes hasta de orden 3.

 El determinante de una matriz 1x1 es: det A = a

 El determinante de una matriz 2x2 es:

A= =a11.a22-a12.a21

 El determinante de una matriz 3x3 es:

10

= a11.a22 a22+a12.a23 a31+ a21 a32 a13- a13 a22 a31- a12 a21 a33- a23 a32 a11

Ejemplo:

| | = 1 4 −1 2 2 3 3 5 1

= 1.2.1 + 4.3.3 + 2.5. (−1) − (−1). 2.3 − 2.4.1 − 3.5.1 = 11

Resolución de determinantes por el método de Laplace

La regla de Laplace para calcular determinantes se puede aplicar para matrices cuadradas de cualquier dimensión, pero normalmente se hace para dimensión mayor que 3. Se puede desarrollar tanto por una fila, como por una columna.

El determinante de una matriz es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) por sus adjuntos.

Para ello se definirá primero el menor complementario (Mij) y el adjunto de un elemento de una matriz.

Menor complementario de un elemento El menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada es el determinante de la matriz que obtenemos al suprimir su fila y su columna se representa por Mij.

A=

El menor complementario del elemento a23 (M23), se forma eliminado la fila 2 y la columna 3:

M23 =

Adjunto de un elemento: Es el menor complementario con signo positivo o negativo según sea par o impar la suma de su número de fila y su número de columna. Se representa por:

Aij = (-1)^i+j Mij

Ejemplo:

D23 =4 (−1) 1 3

2 −2 = −4. (−7) = 28

11

Resolución por el desarrollo de Laplace:

Sea A = (aij) una matriz cuadrada de orden 3x3. Entonces su determinante se puede calcular mediante el desarrollo de LAPLACE por una fila cualquiera (o columna), de la siguiente forma:

Eligiendo la fila 1:

| | = 1 5 4 2 −1 1

0 4 3

=1. (-1)¹⁺¹−1 1

0 3 +5. (-1)¹⁺² 2 1

0 3 +4. (-1)¹⁺³2 −1 0 4

| | =1.1. (-3-0)+5. (-1). (6-0)+4.1. (8-0)=-3-30+32=-1

PROPIEDADES DEL DETERMINANTE:

1. det A = det A^t.

2. Si en un determinante se intercambian dos líneas paralelas, el determinante cambia de signo.

3. Si un determinante tiene una línea nula, el determinante es nulo.

4. Si un determinante tiene iguales dos líneas paralelas, de determinante es nulo. 5. Si se multiplica una línea cualquiera de un determinante por un mismo número, todo el determinante queda multiplicado por dicho número.

6. Si dos líneas paralelas son proporcionales, el determinante es nulo.

7. La suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos de una línea paralela es cero.

8. Si todos los elementos de una cierta línea están constituidos por dos sumandos, el

determinante de la matriz puede descomponerse en suma de dos determinantes, de modo que en dicha línea aparezca el primer sumando en el primero de los determinantes y el segundo sumando en el segundo determinante, permaneciendo iguales las restantes líneas en ambos determinantes.

9. Si los elementos de una línea son combinación lineal de líneas paralelas, el determinante es cero.

10. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra línea paralela multiplicados por cualquier número, el determinante no varía.

11. Si en un determinante hay dos columnas (filas) iguales, éste es cero

12. Si una de las columnas (filas) de un determinante se multiplica por un escalar, todo el determinante queda multiplicado por dicho escalar.

13. det (AB)=detA detB

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MATRIZ INVERSA:

Como ya se definió anteriormente, la matriz inversa de una matriz cuadrada An se representa con la siguiente notación: A^-1 , y cumple la siguiente propiedad:

A^-1·A = A·A^-1 = I.

Además sólo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si ésta es regular. Una matriz es regular si su determinante es distinto de cero.

Las propiedades de la matriz inversa son las siguientes:

1. La matriz inversa, si existe, es única 2. A^-1A=A·A^-1=I

3. (A·B) ^-1=B^-1A^-1 4. (A^-1) ^-1=A 5. (kA) ^-1= 1/k·A^-1 6. (A^t) ^–1= (A^-1) ^t

Calculo de una matriz inversa

Existen dos formas de hallarla:

1-En forma directa planteando un sistema de ecuaciones:

Dada la matriz A= 2 3 1 1

buscamos una matriz que cumpla A·A^-1 = I, es decir 2 31 1 . = 1 0

0 1

2a+3c =1 a=-c b=1-d 2b+3d =0 -2c+3c=1 2(1-d)+3d=0

a+c =0 c=1 2-2d+3d=0 A^{-1 =} −1 3 1 −2 b+d =1 a=-1 2+d=0

d=-2 b=3

La matriz que se ha calculado es la inversa de la matriz A, es decir, A^-1.

2-La otra forma de obtener la matriz inversa es utilizando la siguiente fórmula:

A^-1 = .

| |

.

13

Donde:

A^-1 es la matriz inversa.

| |

A^T es el determinante.

adj A es la matriz adjunta.

Dada A= 1 5 4 2 −1 1 0 4 3

| | = 1 5 4 2 −1 1

0 4 3

=-1

adj A=

⎣⎢

⎢⎢

⎢⎡ −1 1

4 3 − 2 10 3 2 −1 0 4

− 5 4

4 3 1 00 4 − 1 5 5 1 0 4

−1 1 − 1 42 1 1 5 2 −1 ⎦⎥⎥⎥⎥⎤

= −7 −6 −8

2 −3 4

9 7 −11

Reemplazando los valores obtenidos en la formula, la matriz inversa es:

A^-1= 7 6 8

−2 3 −4

−9 −7 11

OPERACIONES ELEMENTALES POR FILAS:

Una operación elemental por filas sobre una matriz A = (aij) es cualquiera de las siguientes operaciones:

A=1 5 4 2 −1 1

0 4 3

a) Intercambiar dos filas de la matriz. Es decir reemplazar la fila 1 por la fila 2 y la fila 2 por la fila 1.

A=2 −1 1

1 5 4

4 4 3

b) Multiplicar una fila de la matriz A por un número c ≠ 0. Ejemplo: F2 = 3F2

A=1 5 4 6 −3 3

0 4 3

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c) Multiplicar una fila de la matriz A por un número c ≠ 0 y el resultado sumarlo a otra fila.

Ejemplo: F2 ´= 3F1 + F2 = (3 15 12)+ (2 -1 1)= (6 14 11) A=1 5 4

6 14 11

0 4 3

Análogamente se hacen las operaciones elementales por columnas.

Matrices equivalentes

Dos matrices A y B son del mismo tamaño, se dicen equivalentes si una se puede obtener a partir de la otra por medio de un número finito de operaciones elementales. Se utiliza la notación A~B para indicar que "la matriz A es equivalente a la matriz B".

Ejemplos: Las matrices A y B son equivalentes, pues si a partir de la matriz A se realiza la siguiente combinación lineal:

F2 = 3F1 + F2 = (3 15 12)+ (2 -1 1)= (6 14 11)

Se obtiene la matriz B.

A=2 −1 1

1 5 4

4 4 3

B= 1 5 4 2 14 11

0 4 3

Escalonamiento o triangulación de una matriz:

La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. Siempre será posible conseguir una matriz escalonada.

Una matriz escalonada es aquella que verifica las siguientes propiedades:

1. Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.

2. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente más a la derecha que el pivote de la fila de encima.

Ejemplo:

A=1 −1 1

0 1 4

0 1 3

B= 1 5 4 0 1 11 0 0 0

C= 1 − 2 7 0 2 4

A no es escalonada, mientras que B y C sí lo son.

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RANGO: Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg (E), como el número de filas no nulas de E.

En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada.

Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n.

Para definir el rango de una matriz cualquiera que no esté escalonada se deberá realizar

operaciones elementas con sus filas y columnas para transformarla en otra que sea escalonada.

Por lo tanto, se buscará una matriz equivalente a ella y que cumpla con las propiedades de las escalonadas.

Ejemplo: Hallar el rango de la matriz A. Para ello se buscara una matriz escalonada de la matriz A realizando operaciones elementales entre filas o columnas.

A=4 2 3 1 0 −1 1 −1 2 3

03

Se intercambia la F1 por la F2, se obtiene la matriz ~ (semejante):

A=1 0 −1 4 2 3 1 −1 2

0 3 3

Se realiza:

F2´ = 4F1 - F2

F2´ = (4 0 -4 0)- (4 2 3 3) = (0 -2 -1-3)

~ A=1 0 −1 0 −2 −1 1 −1 2 0

−3 3

Se divide la nueva F2 por -2

~ A= 1 0 −1 0 1 1/2 1 −1 2 0

3/2 3

Se halla:

F3´ = F3 - F1 = (1 -1 2 3)-(1 0 -1 0)= (0 -1 1 3)

~ A=1 0 −1 0 1 1/2 0 −1 1 0

3/2 3

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Se halla:

F3´ = F3 + F2 = (0 -1 1 3)+ (0 1 1/2 3/2)

~A=1 0 −1 0 1 1/2 0 0 3/2

0 3/2 9/2

Se divide la F3 por 3/2:

~ A=1 0 −1 0 1 1/2 0 0 1 0

3/2 3

La matriz escalonada hallada es semejante a la matriz A y su rango es 3.

Aplicaciones

Ejemplo1: Modelo metalúrgico

Supongamos que una empresa fabrica tres modelos de máquinas herramientas, M1, M2 y M3, y como materia prima fundamental utiliza tres tipos de metales, Hierro (H), Níquel (N) y

Cobalto(C). La cantidad de materia prima que necesita para fabricar cada máquina, expresada en toneladas, se muestra en la siguiente tabla, a la cual se le hace corresponder la matriz A.

Las mejores ofertas de la materia prima corresponden a los proveedores P1, P2 y P3.Los precios por tonelada (expresados en cierta unidad monetaria) impuestos por cada uno de los

proveedores a cada uno de los metales aparecen en la siguiente tabla, a la cual se le hace corresponde la matriz B

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Se quiere hacer una tabla de doble entrada que muestre el gasto en materia prima por modelo de máquina y proveedor. Dicha tabla se obtiene a través del siguiente producto matricial:

La tabla obtenida es:

Para interpretar los datos de esta tabla se toma como ejemplo el modelo M3 con el proveedor P1: Si se compra la materia prima al proveedor P1, los gastos por cada máquina del modelo M3 serán de 4160 unidades monetarias. Analizando la tabla

podemos concluir que resulta más económico comprar la materia prima al proveedor P1.

Ejemplo 2:

https://prezi.com/y6yvejaj6nda/aplicacion-de-matrices-en-seguridad-y-salud-en-el-trabajo/

Ejemplo 3:

https://prezi.com/lsbdcw54fmk0/como-se-aplica-el-algebra-lineal-en-la-ing-industrial/

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Sistemas de ecuaciones lineales

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

1-Regla de Cramer:

La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

1- El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas

2- El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Sea el sistema:

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes:

Y sean Δ 1, Δ 2 , Δ 3 ... , Δ n los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

Un sistema de Carme tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones:

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Con los resultados de éstos determinantes se pueden clasificar los sistemas de la siguiente manera:

1) ∆≠0 Única solución

SCD (Sistema Compatible Determinado)

2)

a) ∆=0; ∆x = 0; ∆y = 0; ∆z = 0

Infinitas soluciones SCI (Sistema Compatible Indeterminado) b) ∆ = 0; ∆x o ∆y o ∆z ≠ 0

No tiene solución. SI (Sistema Incompatible)

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

Primero se halla los siguientes determinantes:

∆= 1 4 −1 2 2 3 3 5 1

= 10

∆ = 2 4 −1

0 2 3

3 5 1 = −2

∆ = 1 2 −1

2 0 3

3 3 1 = 15

∆ = 1 4 2 2 2 0 3 5 3

= 11

Para hallar las variables se realizan las siguientes operaciones con los determinantes hallados:

=∆

∆ =−2 10=−1

5

=∆

∆ =15 10=3

2

=∆

∆ =11 10

El sistema es SCD, tiene una única solución.

20

2-Metodo de reducción de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello se utiliza la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales por filas la transformamos en una matriz triangular superior (o inferior). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver.

Se llama matriz ampliada a aquella que incorpora una nueva columna, cuyos elementos son los términos independientes de las ecuaciones del sistema.

Ejemplo.

La matriz ampliada es: 5 2 0 2 1 −1 2 3 −1

20 3

Se multiplica F1 por 1/5:

1/5(5 2 0 2)= (1 2/5 0 2/5)

1 2/5 0

2 1 −1

2 3 −1

2/5 0 3

Se halla F2´ = F2 + F3 = (2 1 -1 0)-(2 3 -1 3)

1 2/5 0

0 −2 0

2 3 −1

2/5

−3 3

Se divide la fila 2 por -2

1 2/5 0

0 1 0

2 3 −1

2/5 3/2

3

Se divide la fila 3 por 2:

1 2/5 0

0 1 0

1 3/2 −1/2 2/5 3/2 3/2

21

Se halla: F3´ = F3 – F1 = (1 3/2 -1/2 3/2)-(1 2/5 0 2/5)

1 2/5 0

0 1 0

0 11/10 −1/2

2/5 3/2 11/10

Se divide la fila 3 por 11/10:

1 2/5 0

0 1 0

0 1 −5/11

2/5 3/2

1

Se halla: F3´ = F3 - F2 = (0 1 -5/11 1)-(0 1 0 3/2)

1 2/5 0

0 1 0

0 0 −5/11

2/5 3/2 −1/2

El sistema nuevo, después de realizar el escalonamiento de la matriz, será:

X+2/5y =0 x=-1/5 y =3/2 y=3/2 -5/11 z =-1/2 z=11/10

Siendo este sistema de fácil resolución.