METNUMINF - Métodos Numéricos e Informática

(1)

Universitat Politècnica de Catalunya 1 / 14

Competencias de la titulación a las cuales contribuye la asignatura

Otros: ESTHER SALA LARDIES, ARCADI SANMARTÍN CARRILLO, JOSE SARRATE RAMOS, MARCEL SAURINA EUDALDO

Responsable: ESTHER SALA LARDIES

Unidad que imparte: Curso:

Créditos ECTS:

751 - DECA - Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 2017

GRADO EN INGENIERÍA DE OBRAS PÚBLICAS (Plan 2010). (Unidad docente Obligatoria) 7,5 Idiomas docencia: Catalán, Castellano, Inglés

Unidad responsable: 250 - ETSECCPB - Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Barcelona

Titulación:

Profesorado

Específicas:

Transversales:

3088. Conocimiento y comprensión del funcionamiento de los ecosistemas y los factores ambientales.

3098. Conocimientos básicos sobre el uso y programación de los ordenadores, sistemas operativos, bases de datos y programas informáticos con aplicación en ingeniería

592. COMUNICACIÓN EFICAZ ORAL Y ESCRITA - Nivel 2: Utilizar estrategias para preparar y llevar a cabo las presentaciones orales y redactar textos y documentos con un contenido coherente, una estructura y un estilo adecuados y un buen nivel ortográfico y gramatical.

596. TRABAJO EN EQUIPO - Nivel 1: Participar en el trabajo en equipo y colaborar, una vez identificados los objetivos y las responsabilidades colectivas e individuales, y decidir conjuntamente la estrategia que se debe seguir.

599. USO SOLVENTE DE LOS RECURSOS DE INFORMACIÓN - Nivel 3: Planificar y utilizar la información necesaria para un trabajo académico (por ejemplo, para el trabajo de fin de grado) a partir de una reflexión crítica sobre los recursos de información utilizados.

602. APRENDIZAJE AUTÓNOMO - Nivel 3: Aplicar los conocimientos alcanzados en la realización de una tarea en función de la pertinencia y la importancia, decidiendo la manera de llevarla a cabo y el tiempo que es necesario dedicarle y seleccionando las fuentes de información más adecuadas.

584. TERCERA LENGUA: Conocer una tercera lengua, que será preferentemente inglés, con un nivel adecuado de forma oral y por escrito y en consonancia con las necesidades que tendrán las tituladas y los titulados en cada enseñanza.

El curso consiste en: quince semanas de docencia presencial, un trabajo de curso a realizar y auto-aprendizaje. Además de las 5 horas por semana en el aula, se dedicarán 7.5 horas cada la semana, de media, al trabajo personal (auto-aprendizaje).

Al menos tres de las cinco horas de clase semanales se dedican a trabajar en pequeños grupos (laboratorio de computación, la solución de problemas y de las evaluaciones, etc).

En algunas sesiones se realizarán entregas presenciales, que se tendrán en cuenta en la evaluación de la asignatura. Las fechas de estas entregas se anunciarán en el calendario del curso.

(2)

Conceptos básicos sobre uso y programación de ordenadores y conocimientos para programar modelos numéricos en problemas de ingeniería.

1. Capacidad para utilizar herramientas informáticas estándar para resolver problemas básicos (ej.: mediciones).

2. Capacidad para utilizar un programa de análisis numérico para realizar un análisis de sensibilidad de un problema en el que se resuelva una ecuación diferencial ordinaria.

3. Capacidad para resolver un problema en ingeniería mediante una técnica numérica.

Conocimientos sobre ordenadores y programas para el análisis numérico matemático. Conocimientos sobre números, algoritmos y análisis de errores. Conocimientos para la determinación de ceros de funciones. Conocimientos para la solución de sistemas de ecuaciones mediante métodos directos y mediante métodos iterativos básicos. Conocimientos sobre la solución de sistemas no lineales de ecuaciones. Aproximación e interpolación. Conocimientos para la integración numérica mediante cuadraturas. Conocimientos para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Conceptos básicos sobre uso y programación de ordenadores y conocimientos para utilitzarr modelos numéricos en problemas de ingeniería.

Capacidad para interpretar los resultados proporcionados por los modelos en el contexto de la ingeniería. Al finalizar el curso, el alumno habrá adquirido la capacidad de:

1. Utilizar herramientas informáticas estándar para resolver problemas básicos (ej.: medidas).

2. Sistematizar y codificar una tarea repetitiva más o menos compleja en un programa de ordenador. 3. Aproximar con el método más adecuado datos empíricos o de diseño.

4. Identificar y resolver problemas de ingeniería como problemas de integración, ceros de funciones o ecuaciones diferenciales ordinarias.

Conocimientos sobre ordenadores y programas para el análisis numérica matemática. Conocimientos sobre números, algoritmos y análisis de errores. Conocimientos para la determinación de ceros de funciones. Conocimientos para la solución de sistemas de ecuaciones. Aproximación e interpolación. Conocimientos para la integración numérica mediante cuadraturas. Conocimientos para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Dedicación total: 187h 30m Horas grupo grande: Horas grupo mediano: Horas grupo pequeño: Horas actividades dirigidas: Horas aprendizaje autónomo:

18h 30m 14h 42h 30m 7h 30m 105h 9.87% 7.47% 22.67% 4.00% 56.00% Horas totales de dedicación del estudiantado

(3)

(4)

Introducción a la programación

Dedicación: 36h

Grupo grande/Teoría: 4h Grupo mediano/Prácticas: 3h Grupo pequeño/Laboratorio: 8h Aprendizaje autónomo: 21h

Introducción a la programación como herramienta para resolver problemas a lo largo del curso y como

herramienta para aumentar la productividad y la tecnificación en el resto de la carrera académica y profesional. Concretamente, se da una visión general de las capacidades de Excel y delÂ·lenguaje de programación Visual Basic for Applications (VBA), así como una cierta habilidad en su uso. Este lenguaje de programación tiene la ventaja de estar instalado en cualquier ordenador con el sistema operativo Windows y el programa Excel, en versiones relativamente recientes.

Nos aproximamos al entorno Excel a nivel de usuario.

Aprenderemos qué es controlable a través de la interfaz y para qué sirven los controles básicos, cómo se definen las funciones, la construcción de gráficos y, lo que es más interesante, qué son las macros y para qué nos podrán servir a lo largo del curso.

VBA: Variables y flujo de información

Trabajo dirigido: variables y flujo de información en VBA Condicional y bucles

Trabajo dirigido: condicional y bucles Ejemplos de programación

Descripción:

(5)

* Conocer el entorno de trabajo de Excel y VBA

* Mostrar, mediante ejemplos, algunas de las posibilidades que ofrece el programa. * Utilizar una hoja de cálculo como espacio de almacenamiento de datos.

* Asignar fórmulas a través de las celdas.

* Crear vectores mecánicamente mediante arrastre y cálculo.

* Dibujar la gráfica de una función y entender la diferencia entre un gráfico de líneas y uno de dispersión. * Entender qué significa llamar a una función y utilizar correctamente los parámetros de entrada y salida. * Entender qué es una macro y el potencial uso que se le puede dar.

* Entender qué es un lenguaje de programación como VBA.

* Saber en qué se diferencian un subprocedimiento y una función y cuando hay que llamar uno u otro. * Entender el carácter secuencial de un programa de VBA.

* Conocer los diferentes tipos de variables que se pueden utilizar y entender cómo se declaran y se inicializan. * Ser capaz de crear subprocedimientos y funciones.

* Saber cuando llamar a funciones o a subprocedimientos.

* Crear una función y poder llamarla tanto desde una celda de la hoja de cálculo como desde un subprocedimiento.

* Ser capaz de utilizar variables y saber asignarles valor. * Escribir y leer de la hoja de cálculo.

Entender para qué sirven y cómo funcionan algunas sentencias de control de flujo: condicional (if) y bucles (for, while).

* Manejar y saber cuándo es útil el condicional.

* Comprender en qué consiste un bucle y sus posibilidades en programación. * Utilizar un bucle tipo For y un bucle tipo While.

* Programar un sumatorio y sus variantes.

* Comprender las posibilidades de enlazar bucles y condicionales.

* Repasar los conceptos de programación tratados en las sesiones anteriores. * Ser capaz de codificar algoritmos sencillos.

(6)

Errores

Dedicación: 7h 11m

Grupo grande/Teoría: 2h Grupo pequeño/Laboratorio: 1h Aprendizaje autónomo: 4h 11m

Este tema es de carácter teórico, pero con implicaciones prácticas en el buen uso de los algoritmos numéricos y la interpretación de sus resultados.

Sistemas de numeración: almacenamiento de números en el ordenador. Origen del error: error inherente, de truncamiento, de redondeo, total. Error absoluto y error relativo. Dígitos significativos. Propagación de errores en las operaciones aritméticas elementales. Cota del error.

Expemples Descripción:

Objetivos específicos:

* Entender que los cálculos numéricos realizados en un ordenador siempre proporcionan resultados aproximados, sujetos a un error.

* Entender las fuentes de los errores y su propagación en las operaciones básicas.

* Entender el concepto de cota del error como herramienta para controlar los errores y mantenerlos pequeños. * Entender como un ordenador digital almacena los números, y las consecuencias y limitaciones que esto provoca.

* Ser capaz de identificar operaciones desfavorables desde el punto de vista de la propagación y amplificación de los errores.

Mediante ejemplos ilustrativos,

* Entender que los cálculos numéricos están sujetos a errores. * Identificar operaciones que propagan mucho los errores.

(7)

Ceros de funciones

Dedicación: 16h 48m

Grupo grande/Teoría: 2h Grupo mediano/Prácticas: 2h Grupo pequeño/Laboratorio: 3h Aprendizaje autónomo: 9h 48m

Se trata de resolver numéricamente un problema fundamental (encontrar raíces de ecuaciones algebraicas), que en muchos casos de interés no es posible o práctico resolverlo analíticamente. El tema permite introducir conceptos generales en métodos numéricos, como son el de algoritmo iterativo o tolerancia numérica. Arquitectura de un algoritmo iterativo. Método de la bisección. Método de Newton. Método de la secante. Convergencia de los métodos iterativos.

Trabajo dirigido: ceros de funciones Problemas de ceros de funciones Descripción:

* Entender el problema matemático (obtener ceros de funciones) y la relación con algunos problemas prácticos. * Entender la arquitectura de un algoritmo iterativo genérico.

* Entender los criterios de convergencia y tener los elementos de juicio para escoger tolerancias numéricas adecuadas.

* Entender el fundamento teórico y la implementación de los tres métodos consignados en el programa (bisección, Newton y secante).

* Entender el concepto de orden de convergencia y saber obtenerlo numéricamente. * Implementar los método iterativos para encontrar ceros de funciones en VBA. * Experimentar con los métodos para entender qué problemas pueden presentar. * Obtener gráficas de convergencia.

* Ser capaz de utilizar los algoritmos iterativos descritos en el curso para resolver ecuaciones sencillas. * Ser capaz de calcular el error de las aproximaciones obtenidas y decidir cuándo un resultado es bastante bueno.

(8)

Integración numérica

Sistemas de ecuaciones lineales

Dedicación: 16h 48m Dedicación: 9h 36m Grupo grande/Teoría: 2h Grupo mediano/Prácticas: 2h Grupo pequeño/Laboratorio: 3h Aprendizaje autónomo: 9h 48m Grupo grande/Teoría: 2h Grupo pequeño/Laboratorio: 2h Aprendizaje autónomo: 5h 36m

Cálculo de áreas: aproximación por rectángulos. Método del trapecio compuesto. Método de Simpson compuesto. Convergencia de las cuadraturas numéricas. Extensión a varias dimensiones.

Trabajo dirigido: integración numérica Problemas de integración numérica

* Sistemas con solución inmediata: matriz diagonal, matriz triangular. * Métodos directos. Gauss.

Trabajo dirigido: matrices y sistemas de ecuaciones lineales Descripción:

Descripción:

* Entender el problema matemático y la relación con algunos problemas prácticos.

* Entender el fundamento teórico y la implementación de los tres métodos consignados en el programa (aproximaciones rectangulares, trapecio compuesto y Simpson compuesto).

* Entender el concepto de orden de convergencia y saber obtenerlo numéricamente.

* Implementación en VBA de los métodos del trapecio compuesto y de Simpson compuesto.

* Obtención experimental de las gráficas de convergencia, y verificación de las fórmulas de estimación del error. * Ser capaz de utilizar cuadraturas compuestas para aproximar numéricamente el valor de una integral definida. * Saber estimar el error de una aproximación y ser capaz de decidir qué discretización se necesita para asegurar una cierta precisión.

* Entender el problema matemático y la relación con algunos problemas prácticos.

* Entender qué características de los métodos de resolución de sistemas son interesantes desde un punto de vista numérico.

* Entender el funcionamiento del método de Gauss.

* Declarar un contenedor estático o dinámico. En particular, un contenedor numérico como vector de una dimensión o matriz de dimensión dos.

* Leer y escribir vectores y matrices en una hoja de cálculo de Excel utilizando contenedores. * Asignar valores a los coeficientes de una matriz o vector.

* Utilizar subprocedimientos y funciones que trabajen con matrices y vectores. * Realizar operaciones de tipo matriz por vector con contenedores.

(9)

Evaluación # 1

Evaluación # 2

Dedicación: 7h 11m Dedicación: 7h 11m Grupo grande/Teoría: 1h Grupo pequeño/Laboratorio: 2h Aprendizaje autónomo: 4h 11m Grupo mediano/Prácticas: 1h Grupo pequeño/Laboratorio: 2h Aprendizaje autónomo: 4h 11m Resolución de la evaluación # 1 Resolución de evaluación Descripción: Descripción:

(10)

Aproximación funcional

Dedicación: 31h 12m Grupo grande/Teoría: 3h 30m Grupo mediano/Prácticas: 4h 30m Grupo pequeño/Laboratorio: 5h Aprendizaje autónomo: 18h 12m Interpolación

Trabajo dirigido: interpolación polinómica Problemas de interpolación

Mínimos cuadrados

Trabajo dirigido: mínimos cuadrados Problemas de mínimos cuadrados Splines

Trabajo dirigido: splines Problemas de splines

Presentación del trabajo dirigido de aproximación funcional Descripción:

(11)

* Entender el concepto de interpolación

* Ser capaz de calcular el polinomio que interpola ciertas datos * Entender el criterio de interpolación.

* Saber construir el polinomio interpolador que pasa por unos puntos dados. * Programación en VBA:

- Repasar cómo se trabaja con matrices y vectores

- Repasar cómo se asignan valores a los coeficientes de una matriz o vector.

- Incidir en la programación y llamada a subprocedimientos y, en particular, recordad como se resuelven sistemas de ecuaciones.

* Ser capaz de calcular el polinomio que interpola ciertas datos

* Entender las propiedades del polinomio interpolador (pasa por los puntos) y qué problemas puede tener esta aproximación.

* Entender el criterio de aproximación por mínimos cuadrados.

* Ser capaz de plantear problemas de mínimos cuadrados, tanto lineales como no lineales.

* Saber resolver problemas de mínimos cuadrados lineales y, en particular, ser capaz de calcular el polinomio que aproxima unos datos por mínimos cuadrados.

* Escribir un programa de VBA que permita calcular el polinomio que aproxima ciertas datos mediante el criterio de mínimos cuadrados.

* Aprender a utilizar algunas herramientas de Excel que permiten hacer ajustes por mínimos cuadrados: - "línea de tendencia" en un gráfico de dispersión.

- "Solver", que permite resolver problemas no lineales

* Ser capaz de calcular el polinomio que aproxima unos datos según el criterio de mínimos cuadrados. * Ser capaz de plantear y resolver problemas de mínimos cuadrados lineales.

* Saber linealizar algunas expresiones sencillas para poder llevar a cabo un ajuste de parámetros por mínimos cuadrados lineales.

* Entender la definición de spline

* Entender cómo se elige el tipo de spline (grado del polinomio y suavidad de la aproximación).

* Ser capaz de decidir cuantos datos se necesitan para calcular un spline (por ejemplo, lineal C0 y cúbico C1). * Saber aproximar derivadas a partir de los valores de una función en unos puntos.

* Entender la definición de spline

* Entender la formulación de los splines C1 cúbicos y saber programar * Programación en VBA:

- Repasar cómo se trabaja con vectores y matrices

- Incidir en la programación y llamada de subprocediments

* Ser capaz de calcular el spline lineal C0 que interpola unos datos. * Ser capaz de calcular el spline cúbico C1 que interpola unos datos.

* Ser capaz de aproximar el valor de la derivada de una función utilizando el valor de la función en algunos puntos.

* Ser capaz de comprobar la continuidad de un spline.

* Entender cuándo y por qué es necesario aproximar funciones

* Entender diferentes criterios de aproximación funcional (interpolación y mínimos cuadrados) y saber decidir cuándo es conveniente utilizar uno u otro.

(12)

Modelización con EDOs

Modelización

Dedicación: 19h 12m Dedicación: 16h 48m Grupo grande/Teoría: 1h 30m Grupo mediano/Prácticas: 1h 30m Grupo pequeño/Laboratorio: 5h Aprendizaje autónomo: 11h 12m Grupo mediano/Prácticas: 3h Grupo pequeño/Laboratorio: 4h Aprendizaje autónomo: 9h 48m * Planteamiento de problemas de valor inicial mediante EDOs de primer orden.

* EDOs de orden superior: reducción a un sistema de EDOs de primer orden. * Problemas de valor inicial y problemas de contorno.

* Resolución de problemas de valor inicial mediante el método de Euler, el método de Euler modificado y el método de Heun.

* Convergencia de los métodos de resolución de EDOs. Trabajo dirigido: resolución de EDOs

Problemas: resolución de EDOs

Trabajo que presenta un problema de diseño en ingeniería que se puede codificar como un problema de ceros de funciones, integración, EDOs o aproximación. Engloba todos los aspectos vistos hasta el momento, incluída la programación.

Trabajo dirigido de modelización Descripción:

Descripción:

* Entender el problema matemático (que es un problema de valor inicial) y la relación con algunos problemas prácticos.

* Entender cómo se aproxima numéricamente la solución de un problema de valor inicial.

* Entender el fundamento teórico y la implementación de los tres métodos consignados en el programa (Euler, Euler modificado, Heun).

* Saber resolver EDOs de primer orden mediante los métodos consignados en el programa. * Entender cómo se mide el error en la resolución de una EDO.

* Entender el concepto de orden de convergencia y saber obtenerlo numéricamente.

* Entender la diferencia entre un problema de valor inicial y un problema de contorno, y saber qué técnicas numéricas se utilizan para resolverlos.

* Entender e implementar los métodos de resolución de EDOs: Euler, Euler modificado y Heun. * Entender el concepto de orden de convergencia y ser capaz de obtenerlo numéricamente.

* Ser capaz de emplear los métodos descritos en el programa (Euler, Euler modificado y Heun) para resolver numéricamente problemas de valor inicial.

* Ser capaz de, dado el error de una aproximación, decidir qué discretización se debe utilizar para garantizar una cierta precisión.

* Identificar y resolver un problema de ingeniería como problema numérico. * Elegir y aplicar las diferentes técnicas numéricas vistas durante el curso.

(13)

La calificación final de la asignatura se obtiene como la media ponderada de diferentes pruebas: N = 0.15*E + 0.15*TP + 0.2*TC + 0.2*ExP + 0.3*Ex

donde

* E es la media aritmética de los ejercicios realizados en clase, incluyendo problemas y prácticas * TP es un trabajo de programación

* TC es el trabajo de curso, en el que se usan métodos numéricos para resolver un problema ingenieril * ExP es el examen de programación

* Ex es la nota de los exámenes convencionales (E1: parcial, E2 final), que se obtiene como el máximo entre 0.3*E1+0.7*E2 y E2.

Todas las notas se calculan sobre 10 y para aprobar se necesita una media N igual o superior a 5.

Para poder ser evaluado, se tienen que entregar los trabajos y ejercicios propuestos en las fechas indicadas.

Criterios de calificación y de admisión a la reevaluación: Los alumnos suspendidos en la evaluación ordinaria que se hayan presentado regularmente a las pruebas de evaluación de la asignatura suspendida tendrán opción a realizar una prueba de reevaluación en el período fijado en el calendario académico. No podrán presentarse a la prueba de reevaluación de una asignatura los estudiantes que ya la hayan superado ni los estudiantes calificados como no presentados. La calificación máxima en el caso de presentarse al examen de reevaluación será de cinco (5,0). La no asistencia de un estudiante convocado a la prueba de reevaluación, celebrada en el período fijado no podrá dar lugar a la realización de otra prueba con fecha posterior

Se realizarán evaluaciones extraordinarias para aquellos estudiantes que por causa de fuerza mayor acreditada no hayan podido realizar alguna de las pruebas de evaluación continua.

Estas pruebas deberán estar autorizadas por el jefe de estudios correspondiente, a petición del profesor responsable de la asignatura, y se realizarán dentro del período lectivo correspondiente.

Sistema de calificación

Evaluación #3

Trabajo de curso

Dedicación: 7h 11m Dedicación: 4h 48m Grupo pequeño/Laboratorio: 3h Aprendizaje autónomo: 4h 11m Grupo pequeño/Laboratorio: 2h Aprendizaje autónomo: 2h 48m

(14)

Normas de realización de las actividades

Si no se realiza alguna de las actividades de laboratorio o de evaluación continua en el periodo programado, se considerará como puntuación cero.

Algunas actividades evaluables se hacen en grupo y, por lo tanto, se permite consultar con otros estudiantes. No obstante, no se permite copiar resultados ni plagiar partes del código o del informe. Los casos de copia serán sancionados.

Los estudiantes deben asistir a los exámenes provistos de una calculadora sencilla. Durante los exámenes no se permite el uso de teléfonos móviles, ordenadores, tablets ni ningún otro dispositivo electrónico. Por otra parte, es posible que en algún examen o parte de él se permita el uso de libros y apuntes.

Bibliografía Básica:

Chapra, S.C.; Canale, R.P. Métodos numéricos para ingenieros. 6a ed. México: McGraw Hill, 2011. ISBN 978-607-15-0499-9. John Walkenbach. Excel 2010: programación con VBA. Madrid: Anaya Multimedia, 2010. ISBN 9788441528284.